LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

el término socle tiene varios significados relacionados.

Sótano de un grupo [ editar ]

En el contexto de la teoría de grupos , el zócalo de un grupo G , soc denotado ( G ), es el subgrupo generado por los subgrupos normales mínimos de G . Puede suceder que un grupo no tenga un subgrupo normal no trivial mínimo (es decir, cada subgrupo normal no trivial contiene correctamente otro subgrupo de este tipo) y en ese caso, el zócalo se define como el subgrupo generado por la identidad. El zócalo es un producto directo de subgrupos normales mínimos. ^[1]

Como ejemplo, considere el grupo cíclico Z ₁₂ con el generador u , que tiene dos subgrupos normales mínimos, uno generado por u ⁴ (que da un subgrupo normal con 3 elementos) y el otro por u ⁶ (que da un subgrupo normal con 2 elementos). Por lo tanto, el zócalo de Z ₁₂ es el grupo generado por u ⁴ y u ⁶ , que es solo el grupo generado por u ² .

El zócalo es un subgrupo característico y, por lo tanto, un subgrupo normal. Sin embargo, no es necesariamente normal en el tránsito .

Si un grupo G es un grupo con resolución finita , entonces el zócalo puede expresarse como un producto de grupos p elementales abelianos . Por lo tanto, en este caso, es solo un producto de copias de Z / pZ para varias p donde el mismo p puede aparecer varias veces en el producto.

Zócalo de un módulo [ editar ]

En el contexto de la teoría de módulo y la teoría de anillos el zócalo de un módulo M sobre un anillo R se define como la suma de los submódulos distintos de cero mínimas de M . Puede considerarse como una noción dual a la del radical de un módulo . En notación de conjunto,

$${\ displaystyle \ mathrm {soc} (M) = \ sum \ {N \ mid N {\ text {es un submódulo simple de}} M \}.}

Equivalentemente,

$${\ displaystyle \ mathrm {soc} (M) = \ bigcap \ {E \ mid E {\ text {es un submódulo esencial de}} M \}.}

El zócalo de un anillo R puede referirse a uno de dos conjuntos en el anillo. Considerando R como un módulo Rderecho , se define soc ( R _R ), y considerando R como un módulo R izquierdo , se define soc ( _R R ). Ambos de estos zócalos son ideales de anillo , y se sabe que no son necesariamente iguales.

• Si M es un módulo de artiniano , SOC ( M ) es en sí mismo un submódulo esencial de M .
• Un módulo es semisimple si y sólo si soc ( M ) =  M . Anillos para los cuales soc ( M ) =  M para todos M son precisamente anillos semisimples .
• soc (soc ( M )) = soc ( M ).
• M es un módulo finamente cogenerado si y solo si soc ( M ) se genera finitamente y soc (M) es un submódulo esencial de M.
• Dado que la suma de los módulos semisimples es semisimple, el zócalo de un módulo también podría definirse como el único submódulo semi-simple máximo.
• De la definición de rad ( R ), es fácil ver que rad ( R ) aniquila soc ( R ). Si R es un unital de dimensión finita álgebra y M un finitamente generado R -módulo entonces el zócalo consiste precisamente de los elementos aniquiladas por el radical Jacobson de R . ^[2]

Zócalo de un álgebra de Lie [ editar ]

En el contexto de las álgebras de Lie , un zócalo de un álgebra de Lie simétrica es el espacio propio de su automorfismo estructural que corresponde al valor propio −1. (Un álgebra de Lie simétrica se descompone en la suma directa de su zócalo y cosoco .)

elemento invertible o una unidad en un ( unital ) anillo R es cualquier elemento u que tiene un elemento inverso en el multiplicativo monoid de R , es decir, un elemento v tal que

uv = vu = 1 _R , donde 1 _R es la identidad multiplicativa . ^[1] [2]

El conjunto de unidades de cualquier anillo se cierra bajo la multiplicación (el producto de dos unidades es nuevamente una unidad), y forma un grupo para esta operación. Nunca contiene el elemento 0 (excepto en el caso del anillo cero ) y, por lo tanto, no está cerrado en adición; sin embargo, su complemento podría ser un grupo bajo adición, lo que ocurre si y solo si el anillo es un anillo local .

El término unidad también se usa para referirse al elemento de identidad 1 _R del anillo, en expresiones como anillo con una unidad o anillo de unidad , y también, por ejemplo , matriz de "unidad" . Por esta razón, algunos autores llaman 1 _R "unidad" o "identidad", y dicen que R es un "anillo con unidad" o "anillo con identidad" en lugar de "anillo con una unidad".

La identidad multiplicativa 1 _R y su opuesto −1 _R son siempre unidades. Por lo tanto, los pares de elementos inversos aditivos ^[3] x y - x están siempre asociados .

Ejemplos [ editar ]

En cualquier anillo, 1 es una unidad. Más generalmente, cualquier raíz de unidad en un anillo R es una unidad: si r ⁿ = 1 , entonces r ^{n  - 1} es un inverso multiplicativo de r . Por otro lado, 0 nunca es una unidad (excepto en el anillo cero). Un anillo R se denomina campo de desviación (o un anillo de división) si U ( R ) = R - {0} , donde U (R) es el grupo de unidades de R (ver más abajo). Un campo de sesgo conmutativo se llama un campo . Por ejemplo, las unidades de los números reales R son R - {0 }.

Enteros [ editar ]

En el anillo de enteros Z , las únicas unidades son +1 y −1 .

Anillos de enteros $${\ displaystyle R = {\ mathfrak {O}} _ {F}}en un campo numérico F tienen, en general, más unidades. Por ejemplo,

( √ 5 + 2) ( √ 5 - 2) = 1

en el anillo Z [ 1 + √ 5/2 ] , y de hecho el grupo de unidades de este anillo es infinito.

De hecho, el teorema de la unidad de Dirichlet describe la estructura de U ( R ) con precisión: es isomorfo para un grupo de la forma

$${\ displaystyle \ mathbf {Z} ^ {n} \ oplus \ mu _ {R}}

dónde $${\ displaystyle \ mu _ {R}}es el grupo (finito, cíclico) de raíces de unidad en R y n , el rango del grupo de unidades es

$${\ displaystyle n = r_ {1} + r_ {2} -1,}

dónde $${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}son los números de incrustaciones reales y el número de pares de incrustaciones complejas de F , respectivamente.

Esto recupera el ejemplo anterior: el grupo de unidades de (el anillo de enteros de) un campo cuadrático real es infinito de rango 1, ya que$${\ displaystyle r_ {1} = 2, r_ {2} = 0}.

En el anillo Z / n Z de enteros módulo n , las unidades son las clases de congruencia (mod n ) representadas por enteros coprime en n . Constituyen el grupo multiplicativo de enteros modulo n .

Polinomios y potencia de la serie [ editar ]

Para un anillo conmutativo R , las unidades del anillo polinomial R [ x ] son ​​precisamente esos polinomios

$${\ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + \ dots a_ {n} x ^ {n}}

tal que $${\ displaystyle a_ {0}}es una unidad en R , y los coeficientes restantes$${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}}Son elementos nilpotentes , es decir, satisfacen.$${\ displaystyle a_ {i} ^ {N} = 0}para algunos n . ^[4] En particular, si R es un dominio (no tiene divisores cero ), entonces las unidades de R [ x ] están de acuerdo con los de R . Las unidades de la serie de potencia suenan. $${\ displaystyle R [[x]]} son precisamente esas series de poder

$${\ displaystyle p (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} x ^ {i}}

tal que $${\ displaystyle a_ {0}}es una unidad en R . ^[5]

Anillos de matriz [ editar ]

El grupo de unidades del anillo M _n ( R ) de n  ×  n matrices sobre un anillo conmutativo R (por ejemplo, un campo ) es el grupo GL _n ( R ) de matrices invertibles .

Un elemento del anillo de matriz. $${\ displaystyle \ operatorname {M} _ {n} (R)}es invertible si y solo si el determinante del elemento es invertible en R , con el inverso explícitamente dado por la regla de Cramer .

En general [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle R}ser un anillo Para cualquier$${\ displaystyle x, y} en $${\ displaystyle R}, Si $${\ displaystyle 1-xy} es invertible, entonces $${\ displaystyle 1-yx} Es invertible con lo inverso. $${\ displaystyle 1 + y (1-xy) ^ {- 1} x}. ^[6] La fórmula para lo inverso se puede encontrar de la siguiente manera: pensando formalmente, supongamos$${\ displaystyle 1-yx} es invertible y que lo inverso viene dado por una serie geométrica: $${\ displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = \ sum _ {0} ^ {\ infty} (yx) ^ {n}}. Luego, manipulándolo formalmente,

$${\ displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = 1 + y \ left (\ sum _ {0} ^ {\ infty} (xy) ^ {n} \ right) x = 1 + y (1-xy ) ^ {- 1} x.}

Vea también la identidad de Hua para un tipo similar de resultados.

Grupo de unidades [ editar ]

Las unidades de un anillo R forman un grupo U ( R ) bajo la multiplicación, el grupo de unidades de R . Otras notaciones comunes para U ( R ) son R ^∗ , R ^× y E ( R ) (del término alemán Einheit ).

Un anillo conmutativo es un anillo local si R - U ( R ) es un ideal máximo . Como resultado, si R - U ( R ) es un ideal, entonces es necesariamente un ideal máximo y R es local, ya que un ideal máximo está separado de U ( R ) .

Si R es un campo finito , entonces U ( R ) es un grupo cíclico de orden$${\ displaystyle | R | -1}.

La formulación del grupo de unidades define un functor U de la categoría de anillos a la categoría de grupos : cada anillo homomorfismo f  : R → S induce un grupo homomorfismo U ( f ): U ( R ) → U ( S ) , ya que fmapea unidades a unidades. Este functor tiene un adjunto a la izquierda que es la construcción de anillo de grupo integral .

Asociacion [ editar ]

Artículo principal: Relaciones de Green § Las relaciones H y D

En un anillo unital conmutativo R , el grupo de unidades U ( R ) actúa sobre R a través de la multiplicación. Las órbitas de esta acción son llamadas conjuntos de asociados ; en otras palabras, hay una relación de equivalencia∼ en R llamada asociación de tal manera que

r ∼ s

significa que hay una unidad u con r = us .

En un dominio integral, la cardinalidad de una clase de equivalencia de asociados es la misma que la de U ( R ) .

 elemento idempotente , o simplemente un idempotente , de un anillo es un elemento de un tal que un ² = una . ^[1] Es decir, el elemento es idempotente bajo la multiplicación del anillo. Inductivamente, entonces, también se puede concluir que a = a ² = a ³ = a ⁴ = ... = a ⁿpara cualquier entero positivo n. Por ejemplo, un elemento idempotente de un anillo de matriz es precisamente una matriz idempotente .

Para los anillos generales, los elementos idempotentes bajo la multiplicación están involucrados en la descomposición de los módulos, y están conectados a las propiedades homológicas del anillo. En el álgebra de Boole , los principales objetos de estudio son anillos en los que todos los elementos son idempotentes tanto en la suma como en la multiplicación.

Ejemplos [ editar ]

Uno puede considerar el anillo de enteros mod n , donde n es squarefree . Por el teorema del resto chino , este anillo se incluye en el producto directo de los anillos de enteros mod  p . Ahora, cada uno de estos factores es un campo, por lo que está claro que los únicos idempotents serán 0 y 1. Es decir, cada factor tiene dos idempotents. Entonces, si hay m factores, habrá 2 ^m idempotentes.

Podemos comprobar esto para los enteros mod 6, R = Z / 6 Z . Como 6 tiene dos factores (2 y 3), debe tener 2 ²idempotentes.

0 ² ≡ 0 ≡ 0 (mod 6)

1 ² ≡ 1 ≡ 1 (mod 6)

2 ² ≡ 4 ≡ 4 (mod 6)

3 ² ≡ 9 ≡ 3 (mod 6)

4 ² ≡ 16 ≡ 4 (mod 6)

5 ² ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)

De estos cálculos, 0, 1, 3 y 4 son idempotentes de este anillo, mientras que 2 y 5 no lo son. Esto también demuestra las propiedades de descomposición describen a continuación: porque 3 + 4 = 1 (mod 6) , hay una descomposición anillo 3 Z / 6 Z ⊕ 4 Z / 6 Z . En 3 Z / 6 Z la identidad es 3 + 6 Z y en 4 Z / 6 Z la identidad es 4 + 6 Z .

Otros ejemplos

Hay una catenoide de idempotentes en el anillo de cuaternión dividido .

Tipos de idempotentes de anillo [ editar ]

Una lista parcial de los tipos importantes de idempotents incluye:

• Dos idempotentes a y b se llaman ortogonales si ab = ba = 0 . Si a es idempotente en el anillo R (con unidad), entonces es b = 1 - a ; Por otra parte, un y b son ortogonales.
• Un idempotente una en R se llama un idempotente central de si ax = xa para todas las x en R .
• Un idempotente trivial se refiere a cualquiera de los elementos 0 y 1, que siempre son idempotentes.
• A idempotente primitiva es un idempotente un tal que aR es directamente indescomponible .
• A idempotente locales es un idempotente un tal que aRa es un anillo local . Esto implica que aR es directamente indecomisible, por lo que los idempotentes locales también son primitivos.
• Un idempotente irreductible derecho es un idempotente una para los que aR es un módulo simple. Por el lema de Schur , End _R ( aR ) = aRa es un anillo de división, y por lo tanto es un anillo local, por lo que los idempotentes irreductibles de derecha (e izquierda) son locales.
• Una primitiva centralmente idempotente es un idempotente central de una que no se puede escribir como la suma de dos idempotents centrales ortogonales distintos de cero.
• Un idempotente un + I en el anillo cociente R / I se dice que levantar módulo I si hay un idempotente b en Rtal que b + I = un + I .
• Un idempotente de un de R se llama un idempotente completo si RaR = R .
• Una separabilidad idempotente ; ver álgebra separables .

Cualquier idempotente no trivial a es un divisor cero (porque ab = 0 sin a ni b ni es cero, donde b = 1 - a ). Esto demuestra que los dominios integrales y los anillos de división no tienen tales idempotentes. Los anillos localestampoco tienen tales idempotentes, pero por una razón diferente. El único idempotente contenido en el radical de Jacobson de un anillo es 0.

Anillos caracterizados por idempotentes [ editar ]

• Un anillo en el que todos los elementos son idempotentes se denomina anillo booleano . Algunos autores usan el término "anillo idempotente" para este tipo de anillo. En tal anillo, la multiplicación es conmutativa y cada elemento es su propio inverso aditivo .
• Un anillo es semisimple si y solo si cada ideal derecho (o cada izquierda) es generado por un idempotente.
• Un anillo es normal de Von Neumann si y solo si cada ideal de derecha finita (o cada izquierda finita generada) es generado por un idempotente.
• Un anillo para el cual el aniquilador r. Ann ( S ) cada subconjunto S de R es generado por un idempotente se denomina anillo de Baer . Si la condición solo se cumple para todos los subconjuntos singleton de R , entonces el anillo es un anillo de Rickart correcto . Ambos tipos de anillos son interesantes incluso cuando carecen de una identidad multiplicativa.
• Un anillo en el que todos los idempotentes son centrales se llama un anillo abeliano . Tales anillos no necesitan ser conmutativos.
• Un anillo es directamente irreductible si y solo si 0 y 1 son los únicos idempotentes centrales.
• Un anillo R puede escribirse como e ₁ R ⊕ e ₂ R ⊕ ... e _n R con cada e _i un idempotente local si y solo si R es un anillo semiperfecto .
• Un anillo se llama un anillo SBI o anillo Lift / rad si todos los idempotentes de R lift modulo el radical de Jacobson .
• Un anillo satisface la condición de cadena ascendente en sumandos directos derechos si y solo si el anillo satisface la condición de cadena descendente en sumandos directos izquierdos si y solo si cada conjunto de idempotentes ortogonales por pares es finito.
• Si a es idempotente en el anillo R , entonces aRa es nuevamente un anillo, con identidad multiplicativa a . El anillo aRa se refiere a menudo como un anillo de esquina de R . El anillo de la esquina surge naturalmente ya que el anillo de los endomorfismos Fin _R ( aR ) _R aRa .

Papel en descomposiciones [ editar ]

Los idempotents de R tienen una importante conexión a la descomposición de R módulos . Si M es un módulo Ry E = Fin _R ( M ) es su anillo de endomorfismos , entonces A ⊕ B = M si y solo si hay un idempotente e en E tal que A = e ( M ) y B = ( 1 - e ) ( M ) . Claro entonces, mes directamente indescomponible si y sólo si 0 y 1 son los únicos idempotents en E . ^[2]

En el caso en que M = R, el anillo endomorfismo, Fin _R ( R ) = R , donde cada endomorfismo surge como una multiplicación a la izquierda por un elemento de anillo fijo. Con esta modificación de la notación, A ⊕ B = Rmódulos como correcto si y sólo si existe un idempotente único e tal que eR = A y (1 - e ) R = B . Por lo tanto, cada sumando directo de módulo de R es generado por un idempotente.

Si a es un idempotente central, entonces el anillo de la esquina aRa = Ra es un anillo con identidad multiplicativa a . Así como los idempotentes determinan las descomposiciones directas de R como un módulo, los idempotentes centrales de R determinan las descomposiciones de R como una suma directa de anillos. Si R es la suma directa de los anillos R ₁ , ..., R _n , entonces los elementos de identidad de los anillos R _i son idempotentes centrales en R , par ortogonales en pares, y su suma es 1. A la inversa, dados idempotents centralesa ₁ , ..., a _n en R que son pares ortogonales y tienen la suma 1, entonces R es la suma directa de los anillos Ra ₁ , ..., Ra _n . Entonces, en particular, cada idempotente central a en R da lugar a una descomposición de R como una suma directa de los anillos de esquina aRa y (1 - a ) R (1 - a ) . Como resultado, un anillo R es directamente indecomisible como un anillo si y solo si la identidad 1 es centralmente primitiva.

Trabajando de forma inductiva, uno puede intentar descomponer 1 en una suma de elementos primitivos centralmente. Si 1 es centralmente primitivo, hemos terminado. Si no, es una suma de idempotentes ortogonales centrales, que a su vez son primitivos o sumas de idempotentes más centrales, y así sucesivamente. El problema que puede ocurrir es que esto puede continuar sin fin, produciendo una familia infinita de idempotentes ortogonales centrales. La condición " R no contiene conjuntos infinitos de idempotentes ortogonales centrales " es un tipo de condición de finitud en el anillo. Se puede lograr de muchas maneras, como exigir que el anillo tenga la razón noetheriana . Si una descomposición R = c ₁ R ⊕ c ₂ R ⊕ ... ⊕c _n R existe con cada c _i un idempotente centralmente primitivo, luego R es una suma directa de los anillos de esquina c _i Rc _i , cada uno de los cuales es irreductible en anillo. ^[3]

Para las álgebras asociativas o álgebras jordanas sobre un campo, la descomposición de Peirce es una descomposición de un álgebra como una suma de espacios propios de elementos idempotentes de conmutación.

Relación con las involuciones [ editar ]

Si una es un idempotente del anillo endomorphism End _R ( M ), entonces el endomorphism f = 1 - 2 un es un Rmódulo involución de M . Es decir, f es un R homomorfismo tal que f  ² es el endomorphism identidad de M .

Un elemento idempotente a de R y su involución asociada f dan lugar a dos involuciones del módulo R , dependiendo de la visualización de R como módulo izquierdo o derecho. Si r representa un elemento arbitrario de R , f puede ser visto como un derecho R -homomorphism r ↦ fr de modo que ffr = r , o f también se pueden ver como una izquierda R módulo homomorfismo r ↦ rf , donde RFF = r .

Este proceso puede revertirse si 2 es un elemento invertible de R : ^[4] si b es una involución, entonces 2 ⁻¹ (1 - b)y 2 ⁻¹ (1 + b) son idempotentes ortogonales, que corresponden a a y 1 - a . Así, para un anillo en el que 2 es invertible, los elementos idempotentes corresponden a involuciones de una a una.

Categoría de módulos R [ editar ]

Levantando idempotents también tiene importantes consecuencias para la categoría de R módulos . Todos los idempotentes levantan el módulo I si y solo si cada sumando R directo de R / I tiene una cubierta proyectivacomo un módulo R. ^{[5] Los} idempotentes siempre levantan ideales y anillos de módulo nulo para los cuales R / Iestá completamente completado .

La elevación es más importante cuando I = J ( R ) , el radical Jacobson de R . Otra caracterización de los anillos semiperfectos es que son anillos semilocales cuyos idempotentes levantan el módulo J ( R ). ^[6]

Celosía de ideales [ editar ]

Uno puede definir un orden parcial en los idempotents de un anillo de la siguiente manera: si a y b son idempotents, escribimos a ≤ b si y solo si ab = ba = a . Con respecto a este orden, 0 es el idempotente más pequeño y 1 el más grande. Para los idempotentes ortogonales a y b , a + b también es idempotente, y tenemos a ≤ a + b y b ≤ a + b . Los atomosDe este orden parcial son precisamente los idempotentes primitivos. ( Lam 2001 , p. 323)

Cuando el orden parcial anterior se restringe a los idempotentes centrales de R , se puede dar una estructura reticular. Para dos idempotentes centrales e y f, el complemento ¬ e = 1 - e y la unión y reunión están dados por

e ∨ f = e + f - ef

y

e ∧ f = ef .

La ordenación ahora se convierte en simplemente e ≤ f si y solo si eR ⊆ fR , y la unión y cumplimiento satisfacen ( e ∨ f ) R = eR + fR y ( e ∧ f ) R = eR ∩ fR = ( eR ) ( fR ) . Se muestra en ( Goodearl 1991 , p. 99) que si R es von autoinyectivo normal y derecho de von Neumann , entonces la red es unacelosía completa .