LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

homomorfismo de anillo es una función entre dos anillosque respeta la estructura.

Más explícitamente, si R y S son anillos, entonces un homomorfismo de anillo es una función f  : R → S tal que f es ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

además de preservar

$${\ displaystyle f (a + b) = f (a) + f (b)} para todos una y b en R

multiplicación preservando

$${\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)} para todos una y b en R

unidad (identidad multiplicativa) preservando

$${\ displaystyle f (1_ {R}) = 1_ {S}}.

(Los inversos aditivos y la identidad aditiva también forman parte de la estructura, pero no es necesario exigir explícitamente que también se respeten, ya que estas condiciones son consecuencia de las tres condiciones anteriores. Por otro lado, descuidar incluir la condición f (1 _R ) = 1 _S causaría que varias de las propiedades a continuación falle.)

Si R y S son rngs (también conocidos como pseudo-anillos , o anillos no unitales ), entonces la noción natural ^[7]es la de un homomorfismo rng , definido como anteriormente, excepto sin la tercera condición f (1 _R ) = 1 _S . Es posible tener un homomorfismo entre anillos (unital) que no sea un homomorfismo de anillo.

La composición de dos homomorfismos de anillo es un homomorfismo de anillo. Se deduce que la clase de todos los anillos forma una categoría con homomorfismos de anillo como los morfismos (véase la categoría de anillos ). En particular, se obtienen las nociones de endomorfismo de anillo, isomorfismo de anillo y automorfismo de anillo.

Propiedades [ editar ]

Sea f  : R → S un homomorfismo de anillo. Entonces, directamente de estas definiciones, se puede deducir:

• f (0 _R ) = 0 _S .
• f (- un ) = - f ( a ) para todo un en R .
• Para cualquier elemento unitario a en R , f ( a ) es un elemento unitario tal que f ( a ⁻¹ ) = f ( a ) ⁻¹ . En particular, f induce un homomorfismo de grupo del grupo (multiplicativo) de unidades de R al grupo (multiplicativo) de unidades de S (o de im ( f )).
• La imagen de f , denotada im ( f ), es un subanillo de S .
• El kernel de f , definida como ker ( f ) = { a en R  : f ( un ) = 0 _S } , es un ideales en R . Cada ideal en un anillo R surge de un homomorfismo de anillo de esta manera.
• El homomorfismo f es inyectivo si y solo si ker ( f ) = {0 _R } .
• Si f es biyectivo , entonces su inverso f ⁻¹ es también un homomorfismo de anillo. En este caso, f se llama isomorfismo , y los anillos R y S se llaman isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de los anillos, los anillos isomorfos no se pueden distinguir.
• Si existe un anillo homomorfismo f  : R → S entonces la característica de S divide la característica de R . Esto puede usarse a veces para mostrar que entre ciertos anillos R y S , no puede haber homomorfismos de anillo R → S.
• Si R _p es el subring más pequeño contenido en R y S _p es el subring más pequeño contenido en S , entonces cada homomorfismo de anillo f  : R → S induce un homomorfismo de anillo f _p  : R _p → S _p .
• Si R es un campo (o más generalmente un campo de sesgo ) y S no es el anillo cero , entonces f es inyectivo.
• Si tanto R y S son campos , a continuación, im ( f ) es un subcampo de S , por lo que S puede ser visto como una extensión de campo de R .
• Si R y S son conmutativas y P es un ideal primo de S entonces f ^-1 ( P ) es un ideal primo de R .
• Si R y S son conmutativas y S es un dominio de integridad , entonces ker ( f ) es un ideal primo de R .
• Si R y S son conmutativas, S es un campo, y f es sobreyectiva, entonces ker ( f ) es un ideal maximal de R .
• Si f es sobreyectiva, P es primo (máxima) ideales en R y ker ( f ) ⊆ P , entonces f ( P ) es primo (máxima) ideal en el S .

Además,

• La composición de los homomorfismos en anillo es un homomorfismo en anillo.
• El mapa de identidad es un homomorfismo de anillo (pero no el mapa de cero).
• Por lo tanto, la clase de todos los anillos junto con los homomorfismos de anillo forma una categoría, la categoría de anillos .
• Por cada anillo R , hay un único anillo homomorfismo Z → R . Esto dice que el anillo de enteros es un objeto inicial en la categoría de anillos.
• Para cada anillo R , hay un anillo único homomorfismo R → 0 , donde 0 denota el anillo cero (el anillo cuyo único elemento es cero). Esto dice que el anillo cero es un objeto terminal en la categoría de anillos.

Ejemplos [ editar ]

• La función f  : Z → Z _n , definida por f ( un ) = [ a ] _n = un mod n es un sobreyectiva homomorfismo de anillos con kernel n Z (véase la aritmética modular ).
• La función f  : Z ₆ → Z ₆ definida por f ([ a ] ₆ ) = [ 4a ] ₆ es un homomorfismo rng (y un endomorfismo rng), con el núcleo 3 Z ₆ y la imagen 2 Z ₆ (que es isomorfo a Z ₃ ).
• No hay anillo homomorfismo Z _n → Z para n ≥ 1 .
• La compleja conjugación C → C es un homomorfismo de anillo (de hecho, un ejemplo de un automorfismo de anillo).
• Si R y S son anillos, la función cero de R a S es un homomorfismo de anillo si y solo si S es el anillo cero . (De lo contrario, falla al asignar 1 _R a 1 _S ). Por otro lado, la función cero siempre es un homomorfismo rng.
• Si R [ X ] denota el anillo de todos los polinomios en la variable X con coeficientes en los números reales R , y C denota los números complejos , entonces la función f  : R [ X ] → C definida por f ( p ) = p ( i ) (sustituye la unidad imaginaria i por la variable X en el polinomio p ) es un homomorfismo de anillo suprayectivo. El núcleo de fconsiste en todos los polinomios en R [ X ] que son divisibles por X ² + 1 .
• Si f  : R → S es un homomorfismo de anillo entre los anillos R y S , entonces f induce un homomorfismo de anillo entre los anillos de matriz M _n ( R ) → M _n ( S ) .
• Un homomorfismo de álgebra unital entre álgebras asociativas unitales sobre un anillo conmutativo R es un homomorfismo de anillo que también es R- lineal .

La categoría de anillos [ editar ]

Artículo principal: Categoría de anillos.

Endomorfismos, isomorfismos y automorfismos [ editar ]

• Un endomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.
• Un isomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo que tiene un inverso de 2 lados que también es un homomorfismo de anillo. Uno puede probar que un homomorfismo de anillo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo como una función en los conjuntos subyacentes. Si existe un isomorfismo de anillo entre dos anillos R y S , entonces R y S se denominan isomorfos . Los anillos isomorfos se diferencian solo por un reetiquetado de elementos. Ejemplo: Hasta el isomorfismo, hay cuatro anillos de orden 4. (Esto significa que hay cuatro anillos no isomorfos por pares de orden 4, de manera que cada otro anillo de orden 4 es isomorfo para uno de ellos). Por otro lado, Hasta el isomorfismo, hay once reglas de orden 4.
• Un automorfismo de anillo es un isomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.

Monomorfismos y epimorfismos [ editar ]

Homomorfismos de anillo inyectivos son idénticos a monomorfismos en la categoría de los anillos: Si f  : R → Ses un monomorphism que no se inyectiva, a continuación, envía algunos r ₁ y r ₂ al mismo elemento de S . Considere los dos mapas g ₁ y g ₂ de Z [ x ] a R que mapean x a r ₁ y r ₂ , respectivamente; f ∘ g ₁ y f∘ g ₂ son idénticos, pero dado que f es un monomorfismo, esto es imposible.

Sin embargo, los homomorfismos de anillo suryectivo son muy diferentes de los epimorfismos en la categoría de anillos. Por ejemplo, la inclusión Z ⊆ Q es un epimorfismo de anillo, pero no una proyección. Sin embargo, son exactamente iguales a los fuertes epimorfismos .

homomorfismo entre dos álgebras asociativas , A y B , sobre un campo (o anillo conmutativo ) K , es una función $${\ displaystyle F \ colon A \ to B}tal que para todo k en K y x , y en A , ^[1] [2]

• $${\ displaystyle F (kx) = kF (x)}
• $${\ displaystyle F (x + y) = F (x) + F (y)}
• $${\ displaystyle F (xy) = F (x) F (y)}

Las dos primeras condiciones dicen que M es un K homomorfismo -module entre K -modules .

Si F admite un homomorfismo inversa o de manera equivalente si es biyectiva , F se dice que es un isomorfismo de A a B .

Una abreviatura común para "homomorfismo entre álgebras" es "homomorfismo de álgebra" o "mapa de álgebra".

Homomorfismos de álgebra unital [ editar ]

Si A y B son dos álgebras unitales, entonces un homomorfismo de álgebra$${\ displaystyle F: A \ rightarrow B}se dice que es unital si se asigna la unidad de la A a la unidad de B . A menudo, las palabras "homomorfismo de álgebra" se usan realmente en el significado de "homomorfismo de álgebra unital", por lo que se excluyen los homomorfismos de álgebra no-unital.

Un homomorfismo de álgebra unital es un homomorfismo de anillo .

Ejemplos [ editar ]

• Cada anillo es un $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}-Algebra ya que siempre existe un homomorfismo único. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to R}. Ver ejemplos de álgebra asociativa para la explicación.
• Cualquier homomorfismo de anillos conmutativos. $${\ displaystyle R \ to S} da $${\ displaystyle S}la estructura de un$${\ displaystyle R}-algebra . Es fácil de usar esto para mostrar que la sobrecategoría$${\ displaystyle R / {\ textbf {CRings}}} es la misma que la categoría de $${\ displaystyle R}-algebras.
• Considere el diagrama de $${\ displaystyle \ mathbb {C} [z]}-algebras

{\ displaystyle {\ begin {matrix} && \ mathbb {C} [z] & \\ & \ swarrow {\ operatorname {ev} _ {\ alpha}} && \ searrow \\\ mathbb {C} && \ rightarrow & \ mathbb {C} [x, y, z] / (xy-z) \ end {matrix}}}

dónde $${\ displaystyle \ operatorname {ev} _ {\ alpha} (z) = \ alpha}. Esto es ^{[ aclaración necesaria ]}

• Si A es una subálgebra de B , a continuación, para cada invertible b en B la función que toma cada una en una a b ^-1 un b es un homomorfismo álgebra (en caso$${\ displaystyle A = B}, esto se llama un automorfismo interno de B ). Si A también es simple y B es un álgebra central simple , entonces cada homomorfismo de A a B se da de esta manera por algún b en B ; Este es el teorema de Skolem-Noether .

Anillo homomorfismo

De Wikipedia, la enciclopedia libre

  (Redirigido desde el epimorfismo del anillo )

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En la teoría del anillo o en el álgebra abstracta , un homomorfismo de anillo es una función entre dos anillosque respeta la estructura.

Más explícitamente, si R y S son anillos, entonces un homomorfismo de anillo es una función f  : R → S tal que f es ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}

además de preservar

$${\ displaystyle f (a + b) = f (a) + f (b)} para todos una y b en R

multiplicación preservando

$${\ displaystyle f (ab) = f (a) f (b)} para todos una y b en R

unidad (identidad multiplicativa) preservando

$${\ displaystyle f (1_ {R}) = 1_ {S}}.

(Los inversos aditivos y la identidad aditiva también forman parte de la estructura, pero no es necesario exigir explícitamente que también se respeten, ya que estas condiciones son consecuencia de las tres condiciones anteriores. Por otro lado, descuidar incluir la condición f (1 _R ) = 1 _S causaría que varias de las propiedades a continuación falle.)

Si R y S son rngs (también conocidos como pseudo-anillos , o anillos no unitales ), entonces la noción natural ^[7]es la de un homomorfismo rng , definido como anteriormente, excepto sin la tercera condición f (1 _R ) = 1 _S . Es posible tener un homomorfismo entre anillos (unital) que no sea un homomorfismo de anillo.

La composición de dos homomorfismos de anillo es un homomorfismo de anillo. Se deduce que la clase de todos los anillos forma una categoría con homomorfismos de anillo como los morfismos (véase la categoría de anillos ). En particular, se obtienen las nociones de endomorfismo de anillo, isomorfismo de anillo y automorfismo de anillo.

Propiedades [ editar ]

Sea f  : R → S un homomorfismo de anillo. Entonces, directamente de estas definiciones, se puede deducir:

• f (0 _R ) = 0 _S .
• f (- un ) = - f ( a ) para todo un en R .
• Para cualquier elemento unitario a en R , f ( a ) es un elemento unitario tal que f ( a ⁻¹ ) = f ( a ) ⁻¹ . En particular, f induce un homomorfismo de grupo del grupo (multiplicativo) de unidades de R al grupo (multiplicativo) de unidades de S (o de im ( f )).
• La imagen de f , denotada im ( f ), es un subanillo de S .
• El kernel de f , definida como ker ( f ) = { a en R  : f ( un ) = 0 _S } , es un ideales en R . Cada ideal en un anillo R surge de un homomorfismo de anillo de esta manera.
• El homomorfismo f es inyectivo si y solo si ker ( f ) = {0 _R } .
• Si f es biyectivo , entonces su inverso f ⁻¹ es también un homomorfismo de anillo. En este caso, f se llama isomorfismo , y los anillos R y S se llaman isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de los anillos, los anillos isomorfos no se pueden distinguir.
• Si existe un anillo homomorfismo f  : R → S entonces la característica de S divide la característica de R . Esto puede usarse a veces para mostrar que entre ciertos anillos R y S , no puede haber homomorfismos de anillo R → S.
• Si R _p es el subring más pequeño contenido en R y S _p es el subring más pequeño contenido en S , entonces cada homomorfismo de anillo f  : R → S induce un homomorfismo de anillo f _p  : R _p → S _p .
• Si R es un campo (o más generalmente un campo de sesgo ) y S no es el anillo cero , entonces f es inyectivo.
• Si tanto R y S son campos , a continuación, im ( f ) es un subcampo de S , por lo que S puede ser visto como una extensión de campo de R .
• Si R y S son conmutativas y P es un ideal primo de S entonces f ^-1 ( P ) es un ideal primo de R .
• Si R y S son conmutativas y S es un dominio de integridad , entonces ker ( f ) es un ideal primo de R .
• Si R y S son conmutativas, S es un campo, y f es sobreyectiva, entonces ker ( f ) es un ideal maximal de R .
• Si f es sobreyectiva, P es primo (máxima) ideales en R y ker ( f ) ⊆ P , entonces f ( P ) es primo (máxima) ideal en el S .

Además,

• La composición de los homomorfismos en anillo es un homomorfismo en anillo.
• El mapa de identidad es un homomorfismo de anillo (pero no el mapa de cero).
• Por lo tanto, la clase de todos los anillos junto con los homomorfismos de anillo forma una categoría, la categoría de anillos .
• Por cada anillo R , hay un único anillo homomorfismo Z → R . Esto dice que el anillo de enteros es un objeto inicial en la categoría de anillos.
• Para cada anillo R , hay un anillo único homomorfismo R → 0 , donde 0 denota el anillo cero (el anillo cuyo único elemento es cero). Esto dice que el anillo cero es un objeto terminal en la categoría de anillos.

Ejemplos [ editar ]

• La función f  : Z → Z _n , definida por f ( un ) = [ a ] _n = un mod n es un sobreyectiva homomorfismo de anillos con kernel n Z (véase la aritmética modular ).
• La función f  : Z ₆ → Z ₆ definida por f ([ a ] ₆ ) = [ 4a ] ₆ es un homomorfismo rng (y un endomorfismo rng), con el núcleo 3 Z ₆ y la imagen 2 Z ₆ (que es isomorfo a Z ₃ ).
• No hay anillo homomorfismo Z _n → Z para n ≥ 1 .
• La compleja conjugación C → C es un homomorfismo de anillo (de hecho, un ejemplo de un automorfismo de anillo).
• Si R y S son anillos, la función cero de R a S es un homomorfismo de anillo si y solo si S es el anillo cero . (De lo contrario, falla al asignar 1 _R a 1 _S ). Por otro lado, la función cero siempre es un homomorfismo rng.
• Si R [ X ] denota el anillo de todos los polinomios en la variable X con coeficientes en los números reales R , y C denota los números complejos , entonces la función f  : R [ X ] → C definida por f ( p ) = p ( i ) (sustituye la unidad imaginaria i por la variable X en el polinomio p ) es un homomorfismo de anillo suprayectivo. El núcleo de fconsiste en todos los polinomios en R [ X ] que son divisibles por X ² + 1 .
• Si f  : R → S es un homomorfismo de anillo entre los anillos R y S , entonces f induce un homomorfismo de anillo entre los anillos de matriz M _n ( R ) → M _n ( S ) .
• Un homomorfismo de álgebra unital entre álgebras asociativas unitales sobre un anillo conmutativo R es un homomorfismo de anillo que también es R- lineal .

La categoría de anillos [ editar ]

Artículo principal: Categoría de anillos.

Endomorfismos, isomorfismos y automorfismos [ editar ]

• Un endomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.
• Un isomorfismo de anillo es un homomorfismo de anillo que tiene un inverso de 2 lados que también es un homomorfismo de anillo. Uno puede probar que un homomorfismo de anillo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo como una función en los conjuntos subyacentes. Si existe un isomorfismo de anillo entre dos anillos R y S , entonces R y S se denominan isomorfos . Los anillos isomorfos se diferencian solo por un reetiquetado de elementos. Ejemplo: Hasta el isomorfismo, hay cuatro anillos de orden 4. (Esto significa que hay cuatro anillos no isomorfos por pares de orden 4, de manera que cada otro anillo de orden 4 es isomorfo para uno de ellos). Por otro lado, Hasta el isomorfismo, hay once reglas de orden 4.
• Un automorfismo de anillo es un isomorfismo de anillo de un anillo a sí mismo.

Monomorfismos y epimorfismos [ editar ]

Homomorfismos de anillo inyectivos son idénticos a monomorfismos en la categoría de los anillos: Si f  : R → Ses un monomorphism que no se inyectiva, a continuación, envía algunos r ₁ y r ₂ al mismo elemento de S . Considere los dos mapas g ₁ y g ₂ de Z [ x ] a R que mapean x a r ₁ y r ₂ , respectivamente; f ∘ g ₁ y f∘ g ₂ son idénticos, pero dado que f es un monomorfismo, esto es imposible.

Sin embargo, los homomorfismos de anillo suryectivo son muy diferentes de los epimorfismos en la categoría de anillos. Por ejemplo, la inclusión Z ⊆ Q es un epimorfismo de anillo, pero no una proyección. Sin embargo, son exactamente iguales a los fuertes epimorfismos .