LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

 anillo de producto grande . Esto se hace al proporcionar el producto cartesiano de una colección de anillos posiblemente infinita por suma y multiplicación por coordenadas.

El anillo resultante se llama producto directo de los anillos originales.

Ejemplos [ editar ]

Un ejemplo importante es el anillo Z / n Z de enteros módulo n . Si n se escribe como un producto de potencias primarias (véase el teorema fundamental de la aritmética ),

$${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {n_ {1}} \ p_ {2} ^ {n_ {2}} \ \ cdots \ p_ {k} ^ {n_ {k}},}

donde los p _i son primos distintos, entonces Z / n Z es naturalmente isomorfo al anillo del producto

$${\ displaystyle \ mathbf {Z} / p_ {1} ^ {n_ {1}} \ mathbf {Z} \ \ times \ \ mathbf {Z} / p_ {2} ^ {n_ {2}} \ mathbf {Z } \ \ times \ \ cdots \ \ times \ \ mathbf {Z} / p_ {k} ^ {n_ {k}} \ mathbf {Z}.}

Esto se deduce del teorema del resto chino .

Propiedades [ editar ]

Si R = Π _i ∈ I R _i es un producto de anillos, a continuación, para cada i en que tenemos una sobreyectiva homomorfismo de anillos p _i : R → R _i que proyecta el producto en el i ° de coordenadas. El producto R , junto con las proyecciones p _i , tiene la siguiente propiedad universal :

si S es cualquier anillo y f _i : S → R _i es un homomorfismo de anillos para cada i en I , entonces existe exactamente un anillo homomorfismo f : S → R tal que p _i ∘ f = f _i para cada i en I .

Esto demuestra que el producto de los anillos es un ejemplo de productos en el sentido de la teoría de categorías.

Cuando I es finito, el grupo aditivo subyacente de Π _i ∈ I R _i coincide con la suma directa de los grupos aditivos de R _i . En este caso, algunos autores llaman a R la "suma directa de los anillos R _i " y escriben ⊕ _i ∈ I R _i , pero esto es incorrecto desde el punto de vista de la teoría de categorías, ya que generalmente no es un coproducto en la categoría. de anillos: por ejemplo, cuando dos o más de R _i son distintos de cero, el mapa de inclusión R _i→ R no puede asignar 1 a 1 y, por lo tanto, no es un homomorfismo de anillo.

(Un coproducto finito en la categoría de álgebra conmutativa (asociativa) sobre un anillo conmutativo es un producto tensorial de álgebras . Un coproducto en la categoría de álgebras es un producto gratuito de álgebras .)

Si A _i en R _i es un ideales para cada i en I , entonces A = Π _i ∈ I A _i es un ideal de R . Si I es finito, entonces lo contrario es cierto, es decir, cada ideal de R es de esta forma. Sin embargo, si I es infinito y los anillos R _i no son cero, entonces lo contrario es falso: el conjunto de elementos con casi todas las coordenadas distintas de cero forman un ideal que no es un producto directo de los ideales de la R _i . El ideal Unes un ideal primordial en R si todos menos uno de los A _i son iguales a R _i y el resto de A _i es un ideal primo en R _i . Sin embargo, lo contrario no es cierto cuando yo es infinito. Por ejemplo, la suma directa de la R _i forma un ideal no contenido en ninguna A , pero el axioma de elección indica que está contenido en algún ideal máximo que es un primo fortiori .

Un elemento x en R es una unidad si y sólo si todos sus componentes son unidades, es decir, si y sólo si p _i ( x )es una unidad en R _i para cada i en I . El grupo de unidades de R es el producto de los grupos de unidades de R _i.

Un producto de dos o más anillos que no sean cero siempre tiene divisores cero distintos a cero : si x es un elemento del producto, todas cuyas coordenadas son cero excepto p _i ( x ) , e y es un elemento del producto con todas las coordenadas cero excepto p _j ( y ) (con i ≠ j ), luego xy = 0 en el anillo del producto.

 anillo de matriz es cualquier colección de matrices sobre un anillo R que forma un anillo bajo la suma de la matriz y la multiplicación de la matriz ( Lam 1999 ). El conjunto de n × n matrices con entradas de R es un anillo de matriz denotado M _n ( R ), así como algunos subconjuntos de matrices infinitas que forman anillos de matriz infinita . Cualquier subring de un anillo de matriz es un anillo de matriz.

Cuando R es un anillo conmutativo, el anillo matricial M _n ( R ) es un álgebra asociativa , y puede denominarse álgebra matricial . Para este caso, si M es una matriz y r está en R , entonces la matriz Mr es la matriz M con cada una de sus entradas multiplicada por r .

Este artículo asume que R es un anillo asociativo con una unidad 1 ≠ 0 , aunque los anillos de matriz pueden formarse sobre anillos sin unidad.

Ejemplos [ editar ]

• El conjunto de todas las matrices n × n sobre un anillo arbitrario R , denota M _n ( R ). Esto generalmente se conoce como el "anillo completo de n- by- n matrices". Estas matrices representan endomorfismos del módulo libre R ⁿ .
• El conjunto de todas las matrices triangulares superiores (o conjunto de todas las inferiores) sobre un anillo.
• Si R es cualquier anillo con unidad, entonces el anillo de endomorfismos de$${\ displaystyle M = \ bigoplus _ {i \ en I} R}como un módulo Rderecho es isomorfo al anillo de matrices finitas de columna $${\ displaystyle \ mathbb {CFM} _ {I} (R) \,}cuyas entradas están indexadas por I × I , y cuyas columnas contienen solo finitadamente muchas entradas distintas de cero. Los endomorfismos de M considerados como un módulo R izquierdo dan como resultado un objeto análogo, las matrices finitas de fila $${\ displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (R)} Cada una de las filas tiene solo un número finito de entradas distintas de cero.
• Si R es un álgebra de Banach , entonces la condición de finitud de fila o columna en el punto anterior se puede relajar. Con la norma vigente, se pueden usar series absolutamente convergentes en lugar de sumas finitas. Por ejemplo, las matrices cuyas sumas de columnas son secuencias absolutamente convergentes forman un anillo. De manera análoga, las matrices cuyas sumas de filas son series absolutamente convergentes también forman un anillo. Esta idea se puede utilizar para representar operadores en espacios de Hilbert , por ejemplo.
• La intersección de los anillos de matriz finita de fila y columna también forma un anillo, que se puede denotar mediante $${\ displaystyle \ mathbb {RCFM} _ {I} (R)}.
• El álgebra M ₂ ( R ) de matrices reales 2 × 2 , que es isomorfo a los quaterniones divididos , es un ejemplo simple de un álgebra asociativa no conmutativa. Al igual que los cuaterniones , tiene dimensión 4 sobre R , pero a diferencia de los cuaterniones, tiene cero divisores , como se puede ver en el siguiente producto de las unidades matriciales : E ₁₁ E ₂₁ = 0 , por lo tanto, no es un anillo de división . Sus elementos invertibles son matrices no singulares y forman un grupo., el grupo lineal general GL (2, R ) .
• Si R es conmutativo , el anillo de matriz tiene una estructura de una * -algebra sobre R , donde la involución * en M _n ( R ) es la transposición de la matriz .
• Si A es una álgebra C * , entonces M _n ( A ) consiste en n -by- n matrices con entradas de la C * -algebra A , que en sí es una álgebra C *. Si A no es unital, entonces M _n ( A ) tampoco lo es. Viendo A como una subálgebra cerrada por norma de los operadores continuos B ( H ) para algún espacio de Hilbert H (que existe tal espacio de Hilbert e isomorfismo isométrico * es el contenido del teorema de Gelfand-Naimark ), podemos identificar M _n ( A) con una subalgebra de B ( H^{$${\ displaystyle \ oplus n}}). Para simplificar, si además suponemos que Hes separable y A $${\ displaystyle \ subseteq} B ( H ) es un álgebra C * unital, podemos dividir A en un anillo de matriz sobre un álgebra C * más pequeña. Uno puede hacerlo fijando una proyección p y, por tanto, su proyección ortogonal 1 - p ; uno puede identificar una con{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} pAp & pA (1-p) \\ (1-p) Ap & (1-p) A (1-p) \ end {pmatrix}}}, donde la multiplicación de matrices funciona según lo previsto debido a la ortogonalidad de las proyecciones. Para identificar A con un anillo de matriz sobre un álgebra C *, requerimos que p y 1 -  p tengan el mismo ″ rango ″; más precisamente, necesitamos que p y 1 -  p sean equivalentes de Murray-von Neumann, es decir, existe una isometría u parcial tal que p = uu * y 1 -  p = u * u . Uno puede fácilmente generalizar esto a matrices de tamaños más grandes.
• Las álgebras de matriz compleja M _n ( C ) son, hasta el isomorfismo, las únicas álgebras asociativas simples sobre el campo C de los números complejos . Para n = 2 , la matriz de álgebra M ₂ ( C ) juega un papel importante en la teoría del momento angular . Tiene una base alternativa dada por la matriz de identidad y las tres matrices de Pauli . M ₂ ( C ) fue la escena del álgebra abstracta temprana en forma de biquaterniones .
• Un anillo de matriz sobre un campo es un álgebra de Frobenius , con la forma de Frobenius dada por la traza del producto: σ ( A , B ) = tr ( AB ) .

Estructura [ editar ]

• El anillo de matriz M _n ( R ) se puede identificar con el anillo de endomorfismos del módulo R libre de rango n, M _n ( R ) ≅ Fin _R ( R ⁿ ) . ^{[ aclaración necesaria ]} El procedimiento para la multiplicación de matrices puede rastrearse hasta composiciones de endomorfismos en este anillo endomorfismo.
• El anillo M _n ( D ) sobre un anillo de división D es un anillo simple Artiniano , un tipo especial de anillo semisimple . Los anillos$${\ displaystyle \ mathbb {CFM} _ {I} (D)} y $${\ displaystyle \ mathbb {RFM} _ {I} (D)}no son simples ni artinianos si el conjunto I es infinito, sin embargo, aún son anillos lineales completos .
• En general, cada anillo semisimple es isomorfo a un producto directo finito de anillos de matriz completa sobre anillos de división, que pueden tener diferentes anillos de división y diferentes tamaños. Esta clasificación está dada por el teorema de Artin-Wedderburn .
• Hay una correspondencia de uno a uno entre las dos caras ideales de M _n ( R ) y los ideales de dos caras de R . Es decir, para cada ideal I de R , el conjunto de todas las matrices n × n con entradas en I es un ideal de M _n ( R ), y cada ideal de M _n ( R ) surge de esta manera. Esto implica que M _n ( R ) es simple si y solo si R es simple. Para n ≥ 2 , no todo ideal izquierdo o ideal derecho de M_n ( R ) surge por la construcción anterior de un ideal a izquierda o un ideal en R . Por ejemplo, el conjunto de matrices cuyas columnas con índices 2 a nson todas cero, forman un ideal izquierdo en M _n ( R ).
• La correspondencia ideal anterior en realidad surge del hecho de que los anillos R y M _n ( R ) son equivalentes de Morita . En términos generales, esto significa que la categoría de los módulos R izquierdos y la categoría de los módulos M _n ( R ) izquierdos son muy similares. Debido a esto, existe una correspondencia biyectiva natural entre las clases de isomorfismo de los módulos R izquierdos y los módulos M _n ( R ) izquierdos, y entre las clases de isomorfismo de los ideales izquierdos de R y M _n ( R). Las declaraciones idénticas se mantienen para los módulos correctos y los ideales correctos. A través de la equivalencia de Morita, M _n ( R ) puede heredar cualquier propiedad de R que sea invariante de Morita, como ser simple , Artinian , Noetherian , prime y muchas otras propiedades tal como aparecen en el artículo de equivalencia de Morita .

Propiedades [ editar ]

• El anillo de matriz M _n ( R ) es conmutativo si y solo si R es conmutativo y n = 1 . De hecho, esto también es cierto para la subring de matrices triangulares superiores. Aquí hay un ejemplo para matrices 2 × 2 (de hecho, matrices triangulares superiores) que no conmutan:

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }} \,}

y

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }}. \,}

Este ejemplo es fácilmente generalizado a n × n matrices.

• Para n ≥ 2, el anillo matricial M _n ( R ) tiene cero divisores y elementos nilpotentes , y nuevamente, lo mismo puede decirse de las matrices triangulares superiores. Un ejemplo en matrices 2 × 2 sería

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix }} \,}.

• El centro de un anillo de matriz sobre un anillo R se compone de las matrices que son múltiplos escalares de la matriz de identidad , donde el escalar pertenece al centro de R .
• En álgebra lineal, se observa que sobre un campo F , M _n ( F ) tiene la propiedad de que para cualquiera de las dos matrices A y B , AB = 1 implica BA = 1 . Esto no es cierto para cada anillo R sin embargo. Un anillo Rcuyos anillos de matriz tienen la propiedad mencionada se conoce como anillo finito estable ( Lam 1999 , p. 5).

Subring diagonal [ editar ]

Sea D el conjunto de matrices diagonales en el anillo matricial M _n ( R ), que es el conjunto de matrices de modo que cada entrada distinta de cero, si existe, esté en la diagonal principal. Luego D se cierra bajo la suma de la matriz y la multiplicación de la matriz , y contiene la matriz de identidad , por lo que es una subalgebra de M _n ( R).

Como un álgebra sobre R , D es isomorfo al producto directo de n copias de R . Es un módulo R libre de dimensión n . Los elementos idempotentes de D son las matrices diagonales, de modo que las entradas diagonales son a su vez idempotentes.

Dos subanillos diagonales dimensionales [ editar ]

Cuando R es el campo de los números reales , entonces el subring diagonal de M ₂ ( R ) es isomorfo a números de complejo dividido . Cuando R es el campo de los números complejos , entonces la subring diagonal es isomorfa a los números bicomplejos . Cuando R = ℍ, el anillo de división de los cuaterniones , entonces el subring diagonal es isomorfo al anillo de los biquaterniones divididos , presentado en 1873 por William K. Clifford.

Matrix semiring [ editar ]

De hecho, R sólo tiene que ser un semiring para M _n ( R ) a determinar. En este caso, M _n ( R ) es un semiring, denominado matriz semired . De manera similar, si R es una semiflexión conmutativa, entonces M _n ( R ) es una semialgebra matricial .

Por ejemplo, si R es la semired booleana (el álgebra booleana de dos elementos R  = {0,1} con 1 + 1 = 1), entonces M _n ( R ) es la semiring de relaciones binarias en un n- elemento establecido con unión como adición, composición de relaciones como multiplicación, la relación vacía ( matriz cero ) como el cero y la relación de identidad ( matriz de la identidad ) como la unidad. 

anillo de endomorfismo X , denotado por End ( X ); El conjunto de todos los homomorfismos de X en sí mismo. La adición de endomorfismos surge naturalmente de manera puntual y se multiplica a través de la composición del endomorfismo . El uso de estas operaciones, el conjunto de endomorfismos de un grupo abeliano forma un (unital) anillo , con el mapa cero $${\ textstyle 0: x \ mapsto 0} Como identidad aditiva y el mapa de identidad. $${\ textstyle 1: x \ mapsto x}Como identidad multiplicativa . ^[1] [2]

Las funciones involucradas están restringidas a lo que se define como un homomorfismo en el contexto, que depende de la categoría del objeto en cuestión. El anillo de endomorfismo en consecuencia codifica varias propiedades internas del objeto. Como el objeto resultante es a menudo un álgebra sobre un anillo R, esto también puede llamarse el álgebra de endomorfismo .

Un grupo abeliano es lo mismo que un módulo sobre el anillo de enteros , que es el anillo inicial . De manera similar, si R es un anillo conmutativo , los monoides de endomorfismo de sus módulos forman álgebras sobre Rpor los mismos axiomas y derivación. En particular, si R es un campo F , sus módulos M son espacios vectoriales V y sus anillos endomorphism se álgebras sobre el campo F . Estas observaciones son el punto de partida para la teoría de categorías enriquecida , ya que las categoríasAbel , R -Mod y F -Vect tienen funciones homvaloradas en las categorías de Z , R y F- álgebras, y por lo tanto se enriquecen en sí mismas.

Descripción [ editar ]

Dejar que ( A , +) ser un grupo abeliano y consideramos los homomorfismo de grupos de una en una . Luego, la adición de dos de estos homomorfismos se puede definir de manera puntual para producir otro grupo de homomorfismos. Explícitamente, dados dos de estos homomorfismos f y g , la suma de f y g es el homomorfismo$${\ textstyle \ left [f + g \ right] (x): = f (x) + g (x)}. Bajo esta operación, End ( A ) es un grupo abeliano. Con la operación adicional de composición de homomorfismos, End ( A ) es un anillo con identidad multiplicativa. Esta composición es explícitamente$${\ textstyle \ left (fg \ right) \ left (x \ right): = f \ left (g \ left (x \ right) \ right)} ( fg ) ( x ): = f ( g ( x )) . La identidad multiplicativa es el homomorfismo de identidad en una .

Si el conjunto A no forma un grupo abeliano , entonces la construcción anterior no es necesariamente aditiva , ya que entonces la suma de dos homomorfismos no tiene por qué ser un homomorfismo. ^[3] Este conjunto de endomorfismos es un ejemplo canónico de un anillo cercano que no es un anillo.

Propiedades [ editar ]

• Los anillos de endomorfismo siempre tienen identidades aditivas y multiplicativas , respectivamente, el mapa cero y el mapa de identidad .
• Los anillos de endomorfismo son asociativos , pero típicamente no conmutativos .
• Si un módulo es simple , entonces su anillo de endomorfismo es un anillo de división (esto a veces se llama el lema de Schur ). ^[4]
• Un módulo es indecomisible si y solo si su anillo de endomorfismo no contiene ningún elemento idempotenteno trivial . ^[5] Si el módulo es un módulo inyectivo , entonces la indecomposibilidad es equivalente a que el anillo de endomorfismo sea un anillo local . ^[6]
• Para un módulo semisimple , el anillo de endomorfismo es un anillo regular de von Neumann .
• El anillo de endomorfismo de un módulo uniserial de derecho distinto de cero tiene uno o dos ideales de derecho máximo. Si el módulo es Artinian, Noetherian, proyectivo o inyectivo, entonces el anillo de endomorfismo tiene un ideal máximo único, por lo que es un anillo local.
• El anillo de endomorfismo de un módulo de uniforme Artiniano es un anillo local. ^[7]
• El anillo de endomorfismo de un módulo con longitud de composición finita es un anillo semiprimario .
• El anillo de endomorfismo de un módulo continuo o módulo discreto es un anillo limpio . ^[8]
• Si un módulo R se genera de manera finita y proyectiva (es decir, un progenerador ), entonces el anillo de endomorfismo del módulo y R comparten todas las propiedades invariantes de Morita. Un resultado fundamental de la teoría de Morita es que todos los anillos equivalentes a R surgen como anillos endomorfistas de progenitores.

Ejemplos [ editar ]

• En la categoría de módulos R, el anillo de endomorfismo de un módulo R M solo usará los homomorfismos del módulo R , que son típicamente un subconjunto adecuado de los homomorfismos del grupo abeliano. ^[9]Cuando M es un módulo proyectivo finamente generado , el anillo de endomorfismo es fundamental para la equivalencia de Morita de las categorías de módulos.
• Para cualquier grupo abeliano. $${\ displaystyle A}, $${\ displaystyle M_ {n} (\ operatorname {End} (A)) \ cong \ operatorname {End} (A ^ {n})}, ya que cualquier matriz en $${\ displaystyle M_ {n} (\ operatorname {End} (A))}Lleva una estructura de homomorfismo natural de $${\ displaystyle A ^ {n}} como sigue:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ phi _ {11} & \ cdots & \ phi _ {1n} \\\ vdots && \ vdots \\\ phi _ {n1} & \ cdots & \ phi _ {nn} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sum _ {i = 1} ^ {n } \ phi _ {1i} (a_ {i}) \\\ vdots \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ phi _ {ni} (a_ {i}) \ end {pmatrix}}}.

Uno puede usar este isomorfismo para construir muchos anillos de endomorfismo no conmutativos. Por ejemplo:$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}) \ cong M_ {2} (\ mathbb {Z})}, ya que $${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}}.

Además, cuando $${\ displaystyle R = K} Es un campo, hay un isomorfismo canónico. $${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (K) \ cong K}, asi que $${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (K ^ {n}) \ cong M_ {n} (K)}, es decir, el anillo de endomorfismo de un $${\ displaystyle K}-el espacio del vector se identifica con el anillo de n -by- n matrices con entradas en$${\ displaystyle K}. ^[10] Más en general, el álgebra de endomorfismo del módulo libre $${\ displaystyle M = R ^ {n}} es naturalmente $${\ displaystyle n}-por-$${\ displaystyle n} Matrices con entradas en el anillo. $${\ displaystyle R}.

• Como ejemplo particular del último punto, para cualquier anillo R con unidad, Fin ( R _R ) = R , donde los elementos de R actúan en R por la multiplicación de la izquierda .
• En general, los anillos de endomorfismo se pueden definir para los objetos de cualquier categoría preaditiva .