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ideal mínimo correcto de un anillo R es un ideal derecho distinto de cero que no contiene ningún otro ideal derecho distinto de cero. Asimismo, un ideales mínima izquierda es un ideal a izquierda distinto de cero de R que no contiene otros ideales no nulos izquierda de R , y una ideales mínimo de R es un ideales distinto de cero que no contiene ningún otro ideal de dos caras distinto de cero de R . ( Isaacs 2009 , p. 190)

Dicho de otra manera, los ideales mínimos derecho son elementos mínimos de la poset de ideales correctos distintos de cero de R ordenados por inclusión. Se advierte al lector que fuera de este contexto, algunos posets de ideales pueden admitir el ideal cero, por lo que cero podría ser un elemento mínimo en ese poset. Este es el caso de la posición de ideales primos de un anillo, que puede incluir el ideal cero como ideal primo mínimo .

Definición [ editar ]

La definición de un ideal mínimo correcto N de un anillo R es equivalente a las siguientes condiciones:

• N es distinto de cero y si K es un ideal justo de R con {0} ⊆ K ⊆ N , entonces o bien K = {0} o K = N .
• N es un módulo R derecho simple .

Los ideales de derechos mínimos son la noción dual de la idea de ideales de derechos máximos .

Propiedades [ editar ]

Se pueden encontrar muchos datos estándar sobre ideales mínimos en textos estándar tales como ( Anderson y Fuller 1992 ), ( Isaacs 2009 ), ( Lam 2001 ) y ( Lam 1999 ).

• En un anillo con unidad , los ideales de derecho máximo siempre existen. En contraste, no es necesario que existan ideales mínimos de derecha, izquierda o de dos lados en un anillo.
• El zócalo derecho de un anillo. $${\ displaystyle \ mathrm {soc} (R_ {R})}es una estructura importante se define en términos de los ideales mínimos adecuados de R .
• Los anillos para los cuales cada ideal de derecho contiene un ideal de derecho mínimo son exactamente los anillos con un zócalo de derecho esencial.
• Cualquier anillo Artinian derecho o anillo Kasch correcto tiene un ideal derecho mínimo.
• Los dominios que no son anillos de división no tienen ideales de derechos mínimos.
• En los anillos con la unidad, ideales mínimos adecuados son necesariamente principales ideales correctos , porque para cualquier distintos de cero x en un derecho mínimo ideales N , el conjunto xR es un ideal justo distinto de cero de R dentro de N , y así xR = N .
• De Brauer lema: Cualquier mínima ideal justo N en un anillo R satisface N ² = {0} o N = eR por algún elemento idempotente de R . ( Lam 2001 , p. 162)
• Si N ₁ y N ₂ son ideales de derecho mínimo no isomórficos de R , entonces el producto N ₁ N ₂ = {0}.
• Si N ₁ y N ₂ son ideales mínimos distintos de un anillo R , entonces N ₁ N ₂ = {0}.
• Un anillo simple con un ideal mínimo correcto es un anillo semisimple .
• En un anillo semiprime , existe un ideal mínimo correcto si y solo si existe un ideal mínimo izquierdo. ( Lam 2001 , p. 174)

Generalización [ editar ]

Un submódulo distinto de cero N de un módulo derecho M se llama un submódulo mínimo si no contiene otros submódulos distintos de cero de M . De manera equivalente, N es un submódulo distinto de cero de M, que es un módulo simple . Esto también se puede extender a bimódulos llamando a un distinto de cero sub-bimodule N un mínimo sub-bimodule de M si N no contiene otros sub-bimódulos distintos de cero.

Si el módulo M se toma como el derecho R módulo R _R , entonces es claro que los submódulos mínimos son exactamente los ideales mínimos adecuados de R . Del mismo modo, los ideales izquierda minimales de R son precisamente los submódulos mínimas de la izquierda módulo _R R . En el caso de los ideales de dos caras, vemos que los ideales mínimas de R son exactamente los mínimos sub-bimódulos del bimodule _R R _R .

Al igual que con los anillos, no hay garantía de que existan submódulos mínimos en un módulo. Se pueden utilizar submódulos mínimos para definir el zócalo de un módulo .

 ideal primitivo de izquierda en la teoría de anillos es el aniquilador de un módulo izquierdo simple (distinto de cero) . Un ideal primitivo correcto se define de manera similar. Los ideales primitivos de izquierda y derecha son siempre ideales de dos caras.

Los ideales primitivos son primos. El cociente de un anillo por un ideal primitivo izquierdo es un anillo primitivoizquierdo . Para los anillos conmutativos, los ideales primitivos son máximos, por lo que los anillos primitivos conmutativos son todos los campos.

Espectro primitivo [ editar ]

Un espectro primitivo es un análogo no conmutativo ^{[nota 1]} de un espectro primo de un anillo conmutativo .

Sea A un anillo y$${\ displaystyle \ operatorname {Prim} (A)}el conjunto de todos los ideales primitivos de una . Entonces hay una topología en$${\ displaystyle \ operatorname {Prim} (A)}, Llamada la topología de Jacobson , que se define de manera que el cierre de un subconjunto T es el conjunto de los ideales primitivos de A que contienen la intersección de los elementos de T .

Ahora, supongamos que A es un álgebra asociativa sobre un campo. Entonces, por definición, un ideal primitivo es el núcleo de una representación irreducible. $${\ displaystyle \ pi}de A y por lo tanto hay una proyección.

$${\ displaystyle \ pi \ mapsto \ operatorname {ker} \ pi: {\ widehat {A}} \ to \ operatorname {Prim} (A).}

Ejemplo: un espectro de una C * -algebra unital .

Este artículo trata sobre los ideales en la teoría del anillo . Para los ideales primarios en la teoría del orden, vea ideal (teoría del orden) § Primeros ideales .

Un diagrama de Hasse de una porción de la red de ideales de los enteros Z . Los nodos púrpuras indican ideales primos. Los nodos púrpura y verde son ideales semiprime , y los nodos púrpura y azul son ideales primarios .

En álgebra , un ideal primo es un subconjunto de un anillo que comparte muchas propiedades importantes de un número primo en el anillo de enteros . ^[1] [2] Los ideales primos para los enteros son los conjuntos que contienen todos los múltiplos de un número primo dado, junto con el ideal cero .

Los ideales primitivos son primos, y los ideales primariosson primarios y semiprime .

Ideales primos de anillos conmutativos [ editar ]

Un P ideal de un anillo conmutativo R es primo si tiene las siguientes dos propiedades: 

• Si a y b son dos elementos de R, de modo que su producto ab es un elemento de P , entonces a está en P o b está en P ,
• P no es todo el anillo R .

Esto generaliza la siguiente propiedad de los números primos: si p es un número primo y si p divide un producto ab de dos enteros , entonces p divide a o p divide b . Por lo tanto podemos decir

Un número entero positivo n es un número primo si y sólo si n Z es un ideal primo en Z .

Ejemplos [ editar ]

• Un ejemplo simple: para R = Z , el conjunto de números pares es un ideal primordial.
• Dado un dominio de factorización único (UFD)$${\ displaystyle R}cualquier elemento irreductible $${\ displaystyle r \ en R} genera un ideal ideal $${\ displaystyle (r)}. Tenga en cuenta que el criterio de Eisenstein para dominios integrales (por lo tanto, UFD) es una herramienta efectiva para determinar si un elemento en un anillo polinomial es irreductible o no. Por ejemplo, tomar un polinomio irreducible.$${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} en un anillo polinomial $${\ displaystyle \ mathbb {F} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} sobre un campo $${\ displaystyle \ mathbb {F}}.
• Si R denota el anillo C [ X , Y ] de polinomios en dos variables con coeficientes complejos , entonces el ideal generado por el polinomio Y ² - X ³ - X - 1 es un ideal primordial (vea la curva elíptica ).
• En el anillo Z [ X ] de todos los polinomios con coeficientes enteros, el ideal generado por 2 y X es un ideal primordial. Consiste en todos aquellos polinomios cuyo coeficiente constante es par.
• En cualquier anillo R , un ideal maximal es un ideal M que es máxima en el conjunto de todos los ideales adecuados de R , es decir M está contenida en exactamente dos ideales de R , a saber, M sí mismo y todo el anillo R . Todo ideal máximo es de hecho primo. En un dominio ideal principal, todo ideal primo distinto de cero es máximo, pero esto no es cierto en general. Para la UFD$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} Nullstellensatz de Hilbertafirma que cada ideal máximo es de la forma$${\ displaystyle (x_ {1} - \ alpha _ {1}, \ ldots, x_ {n} - \ alpha _ {n})}.
• Si M es una variedad suave , R es el anillo de funciones reales suaves en M y x es un punto en M , entonces el conjunto de todas las funciones suaves f con f  ( x ) = 0 forma un ideal primordial (incluso un ideal máximo) ) en R .

No ejemplos [ editar ]

• Considere la composición de los siguientes dos cocientes

$${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1)}} \ to {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1, x)}}}

Aunque los dos primeros anillos son dominios integrales (de hecho, el primero es un UFD), el último no es un dominio integral, ya que es isomorfo

$${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1, x)}} \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [ y]} {(y ^ {2} -1)}} \ cong \ mathbb {C} \ times \ mathbb {C}}

mostrando que el ideal $${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -1, x) \ subconjunto \ mathbb {C} [x, y]} no es primo

• Otro no ejemplo es el ideal. $${\ displaystyle (2, x ^ {2} +5) \ subconjunto \ mathbb {Z} [x]} Desde que tenemos

$${\ displaystyle x ^ {2} + 5-2 \ cdot 3 = (x-1) (x + 1) \ in (2, x ^ {2} +5)} pero tampoco $${\ displaystyle x-1} ni $${\ displaystyle x + 1} Son elementos del ideal.

Propiedades [ editar ]

• Un I ideal en el anillo R (con unidad) es primo si y solo si el anillo de factor R / I es un dominio integral . En particular, un anillo conmutativo es un dominio integral si y solo si (0) es un ideal primo.
• Un ideal I es primordial si y solo si su complemento teórico de conjuntos está multiplicativamente cerrado . ^[3]
• Cada anillo distinto de cero contiene al menos un ideal principal (de hecho, contiene al menos un ideal máximo), que es una consecuencia directa del teorema de Krull .
• El conjunto de todos los ideales primos (el espectro de un anillo) contiene elementos mínimos (llamados primos mínimos ). Geométricamente, estos corresponden a componentes irreductibles del espectro.
• La preimagen de un ideal primario bajo un anillo de homomorfismo es un ideal primario.
• La suma de dos ideales primos no es necesariamente primo. Para un ejemplo, considere el anillo C [ x , y ]con ideales primos P = ( x ² + y ² - 1) y Q = ( x ) (los ideales generados por x ² + y ² - 1 y xrespectivamente). Su suma P + Q = ( x ² + y ² - 1, x ) = ( y ² - 1,x ) sin embargo, no es primo:y ² - 1 = ( y - 1) ( y + 1) ∈ P + Q, pero sus dos factores no lo son. Como alternativa, tenga en cuenta que el anillo de cociente tiene cero divisores, por lo que no es un dominio integral y, por lo tanto, P + Q no puede ser primo.
• En un anillo conmutativo R con al menos dos elementos, si cada ideal apropiado es primo, entonces el anillo es un campo. (Si el ideal (0) es primo, entonces el anillo R es un dominio integral. Si q es un elemento no cero de R y el ideal ( q ² ) es primo, entonces contiene q y luego q es invertible).
• Un ideal principal distinto de cero es primordial si y solo si es generado por un elemento primo . En una UFD, cada ideal primo distinto de cero contiene un elemento primo.

Usos [ editar ]

Un uso de los ideales primarios ocurre en la geometría algebraica , donde las variedades se definen como los conjuntos de ideales cero en los anillos polinomiales. Resulta que las variedades irreductibles corresponden a ideales primordiales. En el enfoque abstracto moderno, uno comienza con un anillo conmutativo arbitrario y convierte el conjunto de sus ideales principales, también llamado su espectro , en un espacio topológico y, por lo tanto, puede definir generalizaciones de variedades llamadas esquemas , que encuentran aplicaciones no solo en geometría , sino También en la teoría de los números .

La introducción de ideales primordiales en la teoría de los números algebraicos fue un gran paso adelante: se realizó que la propiedad importante de la factorización única expresada en el teorema fundamental de la aritmética no se mantiene en cada anillo de enteros algebraicos , pero se encontró un sustituto cuando Richard Dedekind elementos reemplazados por ideales y elementos primarios por ideales primos; ver dominio de Dedekind .

Primeros ideales para anillos no conmutativos [ editar ]

La noción de un ideal primario puede generalizarse a los anillos no conmutativos utilizando la definición conmutativa "idealmente sabio". Wolfgang Krull avanzó esta idea en 1928. ^[4] El siguiente contenido se puede encontrar en textos como Goodearl's ^[5] y Lam's. ^[6] Si R es un anillo (posiblemente no conmutativo) y P es un ideal en R que no sea R , decimos que P es primo si para dos ideales A y B de R :

• Si el producto de ideales AB está contenido en P , a continuación, al menos uno de A y B está contenido en P .

Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la conmutativa en anillos conmutativos. Se verifica fácilmente que si un ideal de un anillo no conmutativo R satisface la definición conmutativa de cebado, entonces también satisface la versión no conmutativa. Un P ideal que satisface la definición conmutativa de prime se llama a veces un ideal prime para distinguirlo de otros ideales meramente prime en el anillo. Los ideales completamente primos son ideales primos, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el ideal cero en el anillo de n × n matrices sobre un campo es un ideal primordial, pero no es completamente primo.

Esto se acerca al punto de vista histórico de los ideales como números ideales , ya que para el anillo Z " A está contenido en P " es otra forma de decir " P divide a A ", y la unidad ideal R representa la unidad.

Las formulaciones equivalentes del ideal P ≠ R que es primordial incluyen las siguientes propiedades:

• Para todos una y b en R , ( una ) ( b ) ⊆ P implica un ∈ P o b ∈ P .
• Para cualquier par de derecha ideales de R , AB ⊆ P implica A ⊆ P o B ⊆ P .
• Para cualquier par de izquierda ideales de R , AB ⊆ P implica A ⊆ P o B ⊆ P .
• Para cualquier elementos un y b de R , si aRb ⊆ P , a continuación, un ∈ P o b ∈ P .

Los ideales primarios en los anillos conmutativos se caracterizan por tener complementos multiplicativamente cerrados en R , y con una ligera modificación, se puede formular una caracterización similar para los ideales primos en los anillos no conmutativos. Un subconjunto no vacío S ⊆ R se llama un sistema de m si por cualquier una y b en S , existe r en R tal que arb está en S . ^[7] El siguiente elemento se puede agregar a la lista de condiciones equivalentes arriba:

• El complemento R ∖ P es un m-sistema.

Ejemplos [ editar ]

• Cualquier ideal primitivo es primo.
• Al igual que con los anillos conmutativos, los ideales máximos son primos, y también los ideales primos contienen ideales primos mínimos.
• Un anillo es un anillo primordial si y solo si el ideal cero es un ideal primo, y además un anillo es un dominio si y solo si el ideal cero es un ideal primordial.
• Otro hecho de la teoría conmutativa eco en teoría no conmutativo es que si A es un no nulo R módulo, y P es un elemento máximo en el conjunto parcialmente ordenado de annihilator ideales de submódulos de A , entonces P es primo.

Hechos importantes [ editar ]

• Prime evitación de lemma . Si R es un anillo conmutativo, y A es un subring (posiblemente sin unidad), yI ₁ , ..., I _n es una colección de ideales de R con a lo más dos miembros que no son primos, entonces si A no está contenido en cualquier I _j , tampoco está contenido en la unión de I ₁ , ..., I _n . ^[8] En particular, A podría ser un ideal de R .
• Si S es cualquier sistema m en R , entonces un lema esencialmente debido a Krull muestra que existe un ideal de R máximo con respecto a estar separado de S , y además el ideal debe ser primo. ^[9] En el caso { S } = {1}, tenemos el teorema de Krull , y esto recupera los ideales maximales de R . Otro sistema m prototípico es el conjunto, { x , x ² , x ³ , x ⁴ , ...}, de todas las potencias positivas de un elemento no nilpotente .
• Para un P ideal ideal , el complemento R ∖ P tiene otra propiedad más allá de ser un sistema m. Si xy está en R ∖ P , entonces tanto x como y deben estar en R ∖ P , ya que P es un ideal. Un conjunto que contiene los divisores de sus elementos se llama saturado .
• Para un anillo conmutativo R , hay un tipo de conversar por la declaración anterior: Si S es no vacío saturadas y cualquier forma multiplicativa subconjunto cerrado de R , el complemento R ∖ S es una unión de ideales primos de R . ^[10]
• La intersección de miembros de una cadena descendente de ideales primarios es un ideal primordial, y en un anillo conmutativo, la unión de miembros de una cadena ascendente de ideales primarios es un ideal primordial. Con el Lema de Zorn , estas observaciones implican que el conjunto de ideales primarios de un anillo conmutativo (parcialmente ordenado por inclusión) tiene elementos máximos y mínimos.

Conexión a la maximalidad [ editar ]

Los ideales primarios con frecuencia pueden producirse como elementos máximos de ciertas colecciones de ideales. Por ejemplo:

• Un máximo ideal con respecto a tener una intersección vacía con un sistema m fijo es primo.
• Un máximo ideal entre los aniquiladores de submódulos de un módulo R fijo M es primo.
• En un anillo conmutativo, un máximo ideal con respecto a ser no principal es primo. ^[11]
• En un anillo conmutativo, un ideal máximo con respecto a no ser generado de manera contable es primo.