LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

Este artículo está sobre campos en álgebra. Para campos en geometría, vea Campo vectorial . Para otras aplicaciones, ver Campo § Matemáticas .

El heptágono regular no puede construirse usando solo una regla y compás ; Esto puede comprobarse utilizando el campo de los números construibles .

Estructuras algebraicas
Como grupo[espectáculo]
Como un anillo[espectáculo]
celosía -como[espectáculo]
Módulo -como[espectáculo]
Como algebra[espectáculo]
v t mi

En matemáticas , un campo es un conjunto en el que se definen la suma , la resta , la multiplicación y la división , y se comportan como lo hacen las operaciones correspondientes en números racionales y reales . Por lo tanto, un campo es una estructura algebraica fundamental , que se usa ampliamente en álgebra , teoría de números y muchas otras áreas de las matemáticas.

Los campos más conocidos son el campo de los números racionales , el campo de los números reales y el campo de los números complejos . Muchos otros campos, tales como campos de funciones racionales , campos de funciones algebraicas , campos de números algebraicos , y p campos -adic se utilizan comúnmente y estudiados en matemáticas, en particular en la teoría de números y la geometría algebraica . La mayoría de los protocolos criptográficos se basan en campos finitos , es decir, campos con muchos elementos .

La relación de dos campos se expresa mediante la noción de una extensión de campo . La teoría de Galois , iniciada por Évariste Galois en la década de 1830, está dedicada a comprender las simetrías de las extensiones de campo. Entre otros resultados, esta teoría muestra que el ángulo de trisección y la cuadratura del círculo no se puede hacer con una brújula y regla . Además, muestra que las ecuaciones quínticas son algebraicamente insolubles.

Los campos sirven como nociones fundamentales en varios dominios matemáticos. Esto incluye diferentes ramas de análisis , que se basan en campos con estructura adicional. Los teoremas básicos en el análisis dependen de las propiedades estructurales del campo de los números reales. Lo más importante para fines algebraicos es que cualquier campo puede usarse como escalar para un espacio vectorial , que es el contexto general estándar para el álgebra lineal . Los campos numéricos , los hermanos del campo de los números racionales, se estudian en profundidad en la teoría de los números . Los campos de función pueden ayudar a describir las propiedades de los objetos geométricos.

Definición [ editar ]

Informalmente, un campo es un conjunto, junto con dos operaciones definidas en ese conjunto: una operación de suma escrita como a + b , y una operación de multiplicación escrita como a ⋅ b , ambas se comportan de manera similar a la de los números racionales y reales. , incluida la existencia de un inverso aditivo −a para todos los elementos a , y de un inverso multiplicativo b ⁻¹ para cada elemento distinto de cero b . Esto nos permite considerar también las llamadas operaciones inversas de resta a- b , y división a / b , mediante la definición de:

a - b = a + (- b ) ,

a / b = a · b ⁻¹ .

Definición clásica [ editar ]

Formalmente, un campo es un conjunto F junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación . ^[1] Una operación es una asignación que asocia un elemento del conjunto a cada par de sus elementos. El resultado de la adición de a y b se llama la suma de a y b y se denota a + b . De manera similar, el resultado de la multiplicación de a y b se llama el producto de a y b., y denotado ab o a ⋅ b . Estas operaciones son necesarias para satisfacer las siguientes propiedades, denominadas axiomas de campo . En estos axiomas, un , b y c son arbitrarias elementos del campo F .

• Asociatividad de suma y multiplicación: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c y a · ( b · c ) = ( a · b ) · c .
• Comutatividad de la suma y la multiplicación: a + b = b + a y a · b = b · a .
• Identidad aditiva y multiplicativa : existen dos elementos diferentes 0 y 1 en F, de modo que a + 0 = a ya · 1 = a .
• Inversos aditivos : para cada a en F , existe un elemento en F , denotado - a , llamado el inverso aditivo de a, tal que a + (- a ) = 0 .
• Inversos multiplicativos : por cada una ≠ 0 en F , existe un elemento en F , denotado por un ^-1 , 1 / una , o1/un , llamado el inverso multiplicativo de una , de manera que una · un ^-1 = 1 .
• Distributividad de la multiplicación sobre la suma: a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) .

Esto se puede resumir diciendo: un campo tiene dos operaciones, llamadas suma y multiplicación ; es un grupo abeliano bajo la adición, con 0 como identidad aditiva ; los elementos distintos de cero son un grupo abeliano bajo la multiplicación, con 1 como identidad multiplicativa ; La multiplicación es distributiva sobre la suma.

Definición alternativa [ editar ]

Los campos también se pueden definir de maneras diferentes, pero equivalentes. Alternativamente, se puede definir un campo mediante cuatro operaciones binarias (sumar, restar, multiplicar, dividir) y sus propiedades requeridas. La división por cero está, por definición, excluida. ^[2] Para evitar cuantificadores existenciales , los campos se pueden definir mediante dos operaciones binarias (suma y multiplicación), dos operaciones unarias (que producen el inverso aditivo y el inverso multiplicativo respectivamente) y dos operaciones nulos (las constantes 0 y 1 ). Estas operaciones están sujetas a las condiciones anteriores. Evitar los cuantificadores existenciales es importante en matemáticas constructivas y computación. ^[3] Uno puede definir de manera equivalente un campo mediante las mismas dos operaciones binarias, una operación unaria (el inverso multiplicativo) y dos constantes 1 y −1, ya que 0 = 1 + (−1) y −a = (−1) una . ^{[nb 1]}

Ejemplos [ editar ]

Números racionales [ editar ]

Artículo principal: Número racional

Los números racionales han sido ampliamente utilizados mucho tiempo antes de la elaboración del concepto de campo. Son números que pueden escribirse como fracciones a / b , donde a y b son enteros y b ≠ 0 . El inverso aditivo de dicha fracción es - a / b , y el inverso multiplicativo (siempre que a ≠ 0 ) es b / a , que puede verse como sigue:

$${\ displaystyle {\ frac {b} {a}} \ cdot {\ frac {a} {b}} = {\ frac {ba} {ab}} = 1.}

Los axiomas de campo abstractamente requeridos se reducen a las propiedades estándar de los números racionales. Por ejemplo, la ley de distributividad se puede probar de la siguiente manera: ^[4]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {a} {b}} \ cdot \ left ({\ frac {c} {d}} + {\ frac {e} {f}} \ right) \ \ [6pt] = {} & {\ frac {a} {b}} \ cdot \ left ({\ frac {c} {d}} \ cdot {\ frac {f} {f}} + {\ frac { e} {f}} \ cdot {\ frac {d} {d}} \ right) \\ [6pt] = {} & {\ frac {a} {b}} \ cdot \ left ({\ frac {cf } {df}} + {\ frac {ed} {fd}} \ right) = {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {cf + ed} {df}} \\ [6pt] = {} & {\ frac {a (cf + ed)} {bdf}} = {\ frac {acf} {bdf}} + {\ frac {aed} {bdf}} = {\ frac {ac} {bd} } + {\ frac {ae} {bf}} \\ [6pt] = {} & {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} + {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {e} {f}}. \ end {alineado}}}

Números reales y complejos [ editar ]

La multiplicación de números complejos se puede visualizar geométricamente mediante rotaciones y escalas.

Artículos principales: Número real y número complejo.

Los números reales R , con las operaciones habituales de suma y multiplicación, también forman un campo. Los números complejos C consisten en expresiones

a + bi , con a , b real,

donde i es la unidad imaginaria , es decir, un número (no real) que satisface i ² = −1 . La suma y la multiplicación de números reales se definen de tal manera que las expresiones de este tipo satisfacen todos los axiomas de campo y por lo tanto se mantienen para C . Por ejemplo, la ley distributiva hace cumplir

( a + bi ) ( c + di ) = ac + bci + adi + bdi ² = ac - bd + ( bc + ad ) i .

Es inmediato que se trata nuevamente de una expresión del tipo anterior, y así los números complejos forman un campo. Los números complejos se pueden representar geométricamente como puntos en el plano , con coordenadas cartesianasdados por los números reales de su expresión descriptiva, o como las flechas desde el origen hasta estos puntos, especificadas por su longitud y un ángulo encerrado con alguna dirección distinta. Luego, la suma corresponde a la combinación de las flechas al paralelogramo intuitivo (agregando las coordenadas cartesianas), y la multiplicación es, a menos que intuitivamente, combinando la rotación y la escala de las flechas (sumando los ángulos y multiplicando las longitudes). Los campos de los números reales y complejos se utilizan a lo largo de las matemáticas, la física, la ingeniería, las estadísticas y muchas otras disciplinas científicas.

Números construibles [ editar ]

El teorema de la media geométrica afirma que h ² = pq . La elección de q  = 1 permite la construcción de la raíz cuadrada de un número constructible dado p .

Artículo principal: Números construibles.

En la antigüedad, varios problemas geométricos se referían a la (in) viabilidad de construir ciertos números con brújula y regla . Por ejemplo, los griegos desconocían que, en general, es imposible trisecir un ángulo dado. Estos problemas se pueden resolver utilizando el campo de los números construibles . ^{[5] Los} números reales construibles son, por definición, las longitudes de los segmentos de línea que se pueden construir a partir de los puntos 0 y 1 en un número infinito de pasos usando solo compás y regla . Estos números, dotados con las operaciones de campo de los números reales, restringidos a los números construibles, forman un campo que incluye correctamente el campo Qde números racionales. La ilustración muestra la construcción de raíces cuadradas de número construible, no necesariamente contenidos dentro de Q . Usando el etiquetado en la ilustración, construya los segmentos AB , BD y un semicírculo sobre AD (centro en el punto medio C ), que intersecta la línea perpendicular a través de B en un punto F , a una distancia de exactamente$${\ displaystyle h = {\ sqrt {p}}}de B cuando BD tiene longitud uno.

No todos los números reales son construibles. Se puede demostrar que$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}no es un número construible, lo que implica que es imposible construir con brújula y enderezar la longitud del lado de un cubo con el volumen 2 , otro problema planteado por los antiguos griegos.

Un campo con cuatro elementos [ editar ]

Adición	Multiplicación
+ O yo UNA segundo O O yo UNA segundo yo yo O segundo UNA UNA UNA segundo O yo segundo segundo UNA yo O	· O yo UNA segundo O O O O O yo O yo UNA segundo UNA O UNA segundo yo segundo O segundo yo UNA

Además de los sistemas numéricos familiares, como los racionales, hay otros ejemplos de campos menos inmediatos. El siguiente ejemplo es un campo que consta de cuatro elementos llamados O , I , A , y B . La notación se elige de modo que O desempeñe el papel del elemento de identidad aditivo (indicado con 0 en los axiomas anteriores), e I es la identidad multiplicativa (indicada con 1 en los axiomas anteriores). Los axiomas de campo se pueden verificar mediante el uso de un poco más de teoría de campos o mediante el cálculo directo. Por ejemplo,

A · ( B + A ) = A · I = A , que es igual a A · B + A · A = I + B = A , como lo requiere la distributividad.

Este campo se denomina campo finito con cuatro elementos, y se denota F ₄ o GF (4) . ^[6] El subconjunto que consta de O e I (resaltado en rojo en las tablas de la derecha) también es un campo, conocido como el campo binario F ₂ o GF (2) . En el contexto de la informática y el álgebra booleana , O y I a menudo se denotan respectivamente por falso y verdadero , la adición se denota XOR(exclusivo o), y la multiplicación se denota AND. En otras palabras, la estructura del campo binario es la estructura básica que permite la computación con bits .

Nociones elementales [ editar ]

En esta sección, F indica un campo arbitrario y un y b son arbitrarias elementos de F .

Consecuencias de la definición [ editar ]

Uno tiene un · 0 = 0 y - a = (−1) · a . ^[7] En particular, uno puede deducir el inverso aditivo de cada elemento tan pronto como se sepa –1 .

Si ab = 0, entonces a o b debe ser 0. De hecho, si a  ≠ 0, entonces 0 = a ^–1 ⋅0 = a ^–1 ( ab ) = ( a ^–1 a ) b = b . Esto significa que cada campo es un dominio integral .

El aditivo y el grupo multiplicativo de un campo [ editar ]

Los axiomas de un campo F implican que es un grupo abeliano bajo adición. Este grupo se denomina grupo aditivo del campo y, a veces, se denota por ( F , +) cuando se denota simplemente porque F podría ser confuso.

De manera similar, los elementos no nulos de F forman un grupo abeliano bajo multiplicación, llamado grupo multiplicativo , y se denota por ( F \ {0}, ·) o simplemente F \ {0 } o F ^* .

Por lo tanto, un campo puede definirse como el conjunto F equipado con dos operaciones indicadas como una suma y una multiplicación de tal manera que F es un grupo abeliano bajo la adición, F \ {0 } es un grupo abeliano bajo la multiplicación (donde 0 es el elemento de identidad del adición), y la multiplicación es distributivasobre la suma. ^{[nb 2] Por lo tanto,} algunas declaraciones elementales sobre los campos se pueden obtener aplicando los datos generales de los grupos . Por ejemplo, los inversos aditivos y multiplicativos - a y a ⁻¹ están determinados únicamente por a .

El requisito 1 ≠ 0 sigue, porque 1 es el elemento de identidad de un grupo que no contiene 0. ^[8] Por lo tanto, el anillo trivial , que consiste en un solo elemento, no es un campo.

Cada subgrupo finito del grupo multiplicativo de un campo es cíclico (ver Raíz de unidad § Grupos cíclicos ).

Característica [ editar ]

Además de la multiplicación de dos elementos de F , es posible definir el producto n ⋅ a de un elemento arbitrario a de F por un entero positivo n para que sea la suma n veces

a + a + ... + a (que es un elemento de F. )

Si no hay un entero positivo tal que

n ⋅ 1 = 0 ,

entonces se dice que F tiene la característica 0. ^[9] Por ejemplo, el campo de los números racionales Q tiene la característica 0 ya que ningún entero positivo n es cero. De lo contrario, si no es un número entero positivo nsatisfacer esta ecuación, el más pequeño número entero positivo tal puede demostrar ser un número primo . Por lo general, se denota por p y se dice que el campo tiene la característica p en ese momento. Por ejemplo, el campo F ₄ tiene característica 2 ya que (en la notación de la tabla de adición anterior) I + I = O .

Si F tiene característica p , entonces p ⋅ un = 0 para todos un en F . Esto implica que

( a + b ) ^p = a ^p + b ^p ,

ya que todos los demás coeficientes binomiales que aparecen en la fórmula binomial son divisibles por p . Aquí, a ^p  : = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ( p factores) es la p -ésima potencia, es decir, el p- veces producto del elemento a . Por lo tanto, el mapa de Frobenius

Fr: F → F , x ⟼ x ^p

es compatible con la suma en F (y también con la multiplicación), y por lo tanto es un homomorfismo de campo. ^[10] La existencia de este homomorfismo hace que los campos en la característica p sean bastante diferentes de los campos de la característica 0.

Subcampos y campos principales [ editar ]

Un subcampo E de un campo F es un subconjunto de M que es un campo con respecto a las operaciones de campo de F . Equivalentemente, E es un subconjunto de F que contiene 1 , y se cierra bajo la suma, multiplicación, inverso aditivo e inverso multiplicativo de un elemento distinto de cero. Esto significa que 1 ∊ E , que para todos a , b ∊ E tanto a + b como a · b están en E , y que para todos a ≠ 0 enE , tanto - una y 1 / aestán en E .

Los homomorfismos de campo son mapas f : E → F entre dos campos tales que f ( e ₁ + e ₂ ) = f ( e ₁ ) + f ( e ₂ ) , f ( e ₁ e ₂ ) = f ( e ₁ ) f ( e ₂ ) y f (1 _E ) = 1 _F , donde e ₁ ye ₂ son elementos arbitrarios de e . Todos los homomorfismos de campo son inyectivos . ^[11] Si f también es un subjetivo , se llama isomorfismo (o los campos E y F se denominan isomorfos).

Un campo se denomina campo principal si no tiene subcampos adecuados (es decir, estrictamente más pequeños). Cualquier campo F contiene un campo principal. Si la característica de F es p (un número primo), el campo principal es isomorfo al campo finito F _p introducido a continuación. De lo contrario, el campo principal es isomorfo a Q . ^[12]

Campos finitos [ editar ]

Artículo principal: campo finito

Los campos finitos (también llamados campos de Galois ) son campos con un número finito de elementos, cuyo número también se conoce como el orden del campo. El ejemplo introductorio anterior F ₄ es un campo con cuatro elementos. Su subcampo F ₂ es el campo más pequeño, porque, por definición, un campo tiene al menos dos elementos distintos 1 ≠ 0.

En el módulo aritmético modular 12, 9 + 4 = 1 ya que 9 + 4 = 13 en Z , que dividido por 12 hojas restante 1. Sin embargo, Z / 12 Z no es un campo porque 12 no es un número primo.

Los campos finitos más simples, con orden principal, son los más accesibles mediante aritmética modular . Para un entero positivo fijo n , aritmético "módulo n " significa trabajar con los números

Z / n Z = {0, 1, ..., n - 1}.

La suma y la multiplicación en este conjunto se realizan realizando la operación en cuestión en el conjunto Z de enteros, dividiendo por n y tomando el resto como resultado. Esta construcción produce un campo precisamente si n es un número primo . Por ejemplo, tomando el primer n  = 2 resultados en el campo anteriormente mencionado F ₂ . Para n  = 4 y más generalmente, para cualquier número compuesto (es decir, cualquier número n que pueda expresarse como un producto n  =  r ⋅ s de dos números naturales estrictamente más pequeños), Z/ n Z no es un campo: el producto de dos elementos distintos de cero es cero, ya que r ⋅ s  = 0 en Z / n Z , que, como se explicó anteriormente , evita que Z / n Z sea ​​un campo. El campo Z / p Zcon p elementos ( p siendo primo) construido de esta manera generalmente se denota por F _p .

Cada campo finito F tiene q  =  p ⁿ elementos, donde p es primo y n  ≥ 1 . Esta afirmación se mantiene ya que Fpuede verse como un espacio vectorial sobre su campo principal. La dimensión de este espacio vectorial es necesariamente finita, digamos n , lo que implica la declaración afirmada. ^[13]

Un campo con q  =  p ⁿ elementos se puede construir como el campo de división del polinomio

f ( x ) = x ^q - x .

Tal campo de división es una extensión de F _p en la que el polinomio f tiene q ceros. Esto significa que f tiene tantos ceros como sea posible ya que el grado de f es q . Para q  = 2 ²  = 4 , se puede verificar caso por caso usando la tabla de multiplicar anterior para que los cuatro elementos de F ₄ satisfagan la ecuación x ⁴  =  x , por lo que son ceros de f . Por el contrario, en F ₂ , f tiene solo dos ceros (es decir, 0 y 1), por lo quef no se divide en factores lineales en este campo más pequeño. Continuando con las nociones básicas de la teoría de campos, se puede mostrar que dos campos finitos con el mismo orden son isomorfos. ^[14] Por tanto, es habitual hablar de lacampo finito con q elementos, denotadas por F _q o GF ( q ) .

Historia [ editar ]

Históricamente, tres disciplinas algebraicas llevaron al concepto de campo: la cuestión de resolver ecuaciones polinomiales, teoría de números algebraicos y geometría algebraica . ^[15] Un primer paso hacia la noción de campo fue realizado en 1770 por Joseph-Louis Lagrange , quien observó que permutando los ceros x ₁ , x ₂ , x ₃de un polinomio cúbico en la expresión

( x ₁ + ω x ₂ + ω ² x ₃ ) ³

(con ω ser un tercio de la raíz de la unidad ) solamente produce dos valores. De esta manera, Lagrange explicó conceptualmente el método de solución clásico de Scipione del Ferro y François Viète , que continúa al reducir una ecuación cúbica para una x desconocida a una ecuación cuadrática para x ³ . ^[16] Junto con una observación similar para ecuaciones de grado 4 , Lagrange vinculó lo que eventualmente se convirtió en el concepto de campos y el concepto de grupos. ^[17] Vandermonde , también en 1770, y en mayor medida, Carl Friedrich Gauss , en sus Disquisitiones Arithmeticae. (1801), estudió la ecuación.

x ^p = 1

para una p primera y, de nuevo usando el lenguaje moderno, el grupo Galois cíclico resultante . Gauss deduce que un regular de p -gon puede ser construido si p  = 2 ^2 k  + 1 . Sobre la base del trabajo de Lagrange, Paolo Ruffini afirmó (1799) que las ecuaciones quínticas (ecuaciones polinomiales de grado 5) no pueden resolverse algebraicamente, sin embargo, sus argumentos eran erróneos. Estos vacíos fueron rellenados por Niels Henrik Abel en 1824. ^[18] Évariste Galois, en 1832, diseñó criterios necesarios y suficientes para que una ecuación polinomial se pueda resolver algebraicamente, estableciendo así lo que hoy se conoce como la teoría de Galois . Tanto Abel como Galois trabajaron con lo que hoy se llama un campo numérico algebraico , pero no concibieron ni una noción explícita de un campo, ni de un grupo.

En 1871, Richard Dedekind introdujo, para un conjunto de números reales o complejos que se cierran bajo las cuatro operaciones aritméticas, la palabra alemana Körper , que significa "cuerpo" o "cuerpo" (para sugerir una entidad cerrada orgánicamente). El término inglés "campo" fue introducido por Moore (1893) . ^[19]

Por campo, nos referiremos a cada sistema infinito de números reales o complejos, tan cerrados en sí mismos y perfectos que la suma, resta, multiplicación y división de cualquiera de estos dos números nuevamente produce un número del sistema.

-  Richard Dedekind, 1871 ^[20]

En 1881, Leopold Kronecker definió lo que él llamó un dominio de racionalidad , que es un campo de fracciones racionales en términos modernos. La noción de Kronecker no cubría el campo de todos los números algebraicos (que es un campo en el sentido de Dedekind), pero, por otro lado, era más abstracta que la de Dedekind en el sentido de que no hizo ninguna suposición específica sobre la naturaleza de los elementos de un campo. Kronecker interpretó un campo como Q (π) de manera abstracta como el campo de función racional Q ( X ) . Antes de esto, se conocían ejemplos de números trascendentales desde la obra de Joseph Liouville en 1844, hasta que Charles Hermite (1873) yFerdinand von Lindemann (1882) demostró la trascendencia de e y π , respectivamente. ^[21]

La primera definición clara de un campo abstracto se debe a Weber (1893) . ^[22] En particular, la noción de Heinrich Martin Weber incluía el campo F _p . Giuseppe Veronese (1891) estudió el campo de la serie de poder formal, lo que llevó a Hensel (1904) a introducir el campo de los números p -ádicos. Steinitz (1910) sintetizó el conocimiento de la teoría del campo abstracto acumulado hasta el momento. Estudió axiomáticamente las propiedades de los campos y definió muchos conceptos importantes de la teoría de campos. La mayoría de los teoremas mencionados en las secciones Teoría de Galois , Campos de construcción yLas nociones elementalesse pueden encontrar en el trabajo de Steinitz. Artin y Schreier (1927) vincularon la noción de ordenación en un campo , y por lo tanto el área de análisis, a propiedades puramente algebraicas. ^[23] Emil Artin rediseñó la teoría de Galois desde 1928 hasta 1942, eliminando la dependencia del teorema del elemento primitivo .

Construyendo campos [ editar ]

Construyendo campos a partir de anillos [ editar ]

Un anillo conmutativo es un conjunto, equipado con una operación de suma y multiplicación, que satisface todos los axiomas de un campo, a excepción de la existencia de inversos multiplicativos a ⁻¹ . ^[24] Por ejemplo, los enteros Z forman un anillo conmutativo, pero no un campo: el recíproco de un entero n no es en sí mismo un entero, a menos que n = ± 1 .

En la jerarquía de estructuras algebraicas, los campos pueden caracterizarse como los anillos conmutativos R en los que cada elemento distinto de cero es una unidad (lo que significa que cada elemento es invertible). Del mismo modo, los campos son los anillos conmutativos con exactamente dos distintos ideales , (0) y R . Los campos también son precisamente los anillos conmutativos en los que (0) es el único ideal primo .

Dado un anillo conmutativo R , hay dos formas de construir un campo relacionado con R , es decir, dos formas de modificar R de modo que todos los elementos distintos de cero se vuelvan invertibles: formen el campo de fracciones y formen campos de residuos. El campo de fracciones de Z es Q , los racionales, mientras que los campos de residuos de Z son los campos finitos F _p .

Campo de fracciones [ editar ]

Dado un dominio integral R , su campo de fracciones Q ( R ) se construye con las fracciones de dos elementos de R exactamente como Q se construye a partir de los enteros. Más precisamente, los elementos de Q ( R ) son las fracciones a / b donde a y b están en R , y b ≠ 0 . Dos fracciones a / b y c / d son iguales si y solo si ad =bc . La operación en las fracciones funciona exactamente igual que para los números racionales. Por ejemplo,

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.}

Es sencillo mostrar que, si el anillo es un dominio integral, el conjunto de las fracciones forma un campo. ^[25]

El campo F ( x ) de las fracciones racionales sobre un campo (o un dominio integral) F es el campo de fracciones del anillo polinomial F [ x ] . El campo F (( x )) de la serie Laurent.

$${\ displaystyle \ sum _ {i = k} ^ {\ infty} a_ {i} x ^ {i} \ (k \ in \ mathbb {Z}, a_ {i} \ en F)}

sobre un campo F es el campo de fracciones del anillo F [[ x ]] de la serie de potencia formal (en la que k ≥ 0 ). Sin embargo, dado que cualquier serie de Laurent es una fracción de una serie de potencias dividida por una potencia de x (a diferencia de una serie de potencias arbitrarias), la representación de fracciones es menos importante en esta situación.

Campos de residuos [ editar ]

Además el campo de las fracciones, que incrusta R injectively en un campo, un campo se puede obtener de un anillo conmutativo R por medio de un mapa sobreyectiva a un campo F . Cualquier campo obtenido de esta manera es un cociente R / m , en donde m es un ideal maximal de R . Si R tiene sólo un ideal maximal m , este campo se llama el campo residuo de R . ^[26]

El ideal generado por un solo polinomio f en el anillo polinomial R = E [ X ] (sobre un campo E ) es máximo si y solo si f es irreductible en E , es decir, si f no puede expresarse como el producto de dos polinomios en E [ X ]de menor grado . Esto produce un campo.

F = E [ X ] / ( f ( X )).

Este campo F contiene un elemento x (es decir, la clase de residuo de X ) que satisface la ecuación

f ( x ) = 0 .

Por ejemplo, C se obtiene de R al unir el símbolo de la unidad imaginaria i, que satisface f (i) = 0 , donde f ( X ) = X ² + 1 . Además, f es irreducible sobre R , lo que implica que el mapa que envía un polinomio f ( X ) ∊ R [ X ] a f ( i ) produce un isomorfismo

$${\ displaystyle \ mathbf {R} [X] / \ left (X ^ {2} +1 \ right) \ {\ stackrel {\ cong} {\ longrightarrow}} \ \ mathbf {C}.}

Construyendo campos dentro de un campo más grande [ editar ]

Los campos se pueden construir dentro de un campo contenedor más grande dado. Supongamos que se le asigna un campo E y un campo F que contiene E como subcampo. Para cualquier elemento x de F , hay un subcampo más pequeño de F que contiene E y x , llamado el subcampo de F generado por x y denotado E ( x ). ^[27] El pasaje de E a E ( x ) se refiere adjuntando un elemento a E. Más en general, para un subconjunto S ⊂ F, hay un subcampo mínima de F que contiene E y S , denotada por E ( S ) .

El compositum de dos subcampos E y E ' de algún campo F es el subcampo más pequeño de F que contiene tanto E como E'. El COMPOSITUM puede ser usado para construir el mayor subcampo de la F que satisface una determinada propiedad, por ejemplo, el mayor subcampo de la F , que es, en el lenguaje introducido a continuación, algebraico sobre E . ^{[nb 3]}

Extensiones de campo [ editar ]

Más información: Glosario de teoría de campo.

La noción de un subcampo E ⊂ F también puede considerarse desde el punto de vista opuesto, refiriéndose a que F es una extensión de campo (o simplemente una extensión) de E , denotada por

F / E ,

y lea " F sobre E ".

Un dato básico de una extensión de campo es su grado [ F  : E ] , es decir, la dimensión de F como un espacio de vector E. Satisface la fórmula ^[28]

[ G  : E ] = [ G  : F ] [ F  : E ] .

Las extensiones cuyo grado es finito se conocen como extensiones finitas. Las extensiones C / R y F ₄ / F ₂ son de grado 2, mientras que R / Q es una extensión infinita.

Extensiones algebraicas [ editar ]

Una noción fundamental en el estudio de las extensiones de campo F / E son elementos algebraicos . Un elemento$${\ displaystyle x \ en F}es algebraico sobre E si es la raíz de un polinomio con coeficientes en E , es decir, si satisface una ecuación polinomial

e _n x ⁿ + e _n −1 x ^n −1 + ··· + e ₁ x + e ₀ = 0 ,

con e _n , ..., e ₀ en E , y e _n ≠ 0 . Por ejemplo, la unidad imaginaria i en C es algebraica sobre R e incluso sobre Q , ya que satisface la ecuación

i ² + 1 = 0 .

Una extensión de campo en la que cada elemento de F es algebraico sobre E se llama extensión algebraica . Cualquier extensión finita es necesariamente algebraica, como se puede deducir de la fórmula de multiplicatividad anterior. ^[29]

El subcampo E ( x ) generado por un elemento x , como anteriormente, es una extensión algebraica de E si y solo si x es un elemento algebraico. Es decir, si x es algebraico, todos los demás elementos de E ( x ) son necesariamente también algebraicos. Además, el grado de la extensión E ( x ) / E , es decir, la dimensión de E ( x ) como un espacio del vector E , es igual al grado mínimo n, de modo que existe una ecuación polinómica que involucra a x, como anteriormente. Si este grado es n , entonces los elementos de E ( x ) tienen la forma

$${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} a_ {k} x ^ {k}, \ \ a_ {k} \ en E.}

Por ejemplo, el campo Q ( i ) de los racionales gaussianos es el subcampo de C que consta de todos los números de la forma a + bi, donde a y b son números racionales: sumandos de la forma i ² (y de manera similar para los exponentes más altos) don No debe considerarse aquí, ya que a + bi + ci ² se puede simplificar a a - c + bi .

Bases de trascendencia [ editar ]

El campo mencionado anteriormente de fracciones racional E ( X ) , donde X es un indeterminada , no es una extensión algebraica de E ya que no hay ecuación polinómica con coeficientes en E cuya cero es X . Los elementos, como X , que no son algebraicos se denominan trascendentales . Informalmente hablando, lo indeterminado X y sus poderes no interactúan con los elementos de E . Una construcción similar se puede llevar a cabo con un conjunto de indeterminados, en lugar de solo uno.

Una vez más, la extensión de campo E ( x ) / E analizada anteriormente es un ejemplo clave: si x no es algebraico (es decir, x no es la raíz de un polinomio con coeficientes en E ), entonces E ( x ) es isomorfo a E ( X ) . Este isomorfismo se obtiene sustituyendo x por X en fracciones racionales.

Un subconjunto S de un campo F es una base de trascendencia si es algebraicamente independiente (no satisface ninguna relación polinomial) sobre E y si F es una extensión algebraica de E ( S ) . Cualquier extensión de campo F / E tiene una base de trascendencia. ^[30] Por lo tanto, las extensiones de campo se pueden dividir en formas de la forma E ( S ) / E ( extensiones puramente trascendentales ) y extensiones algebraicas.

Operaciones de cierre [ editar ]

Un campo se cierra algebraicamente si no tiene extensiones algebraicas estrictamente más grandes o, de manera equivalente, si existe alguna ecuación polinómica

f _n x ⁿ + f _n −1 x ^n −1 + ··· + f ₁ x + f ₀ = 0 , con coeficientes f _n , ..., f ₀ ∈ F , n > 0 ,

tiene una solución x ε F . ^[31] Por el teorema fundamental del álgebra , C está algebraicamente cerrado, es decir, cualquier ecuación polinomial con coeficientes complejos tiene una solución compleja. Los números racionales y reales no están cerrados algebraicamente ya que la ecuación

x ² + 1 = 0

No tiene ninguna solución racional o real. Un campo que contiene F se llama un cierre algebraico de F si es algebraico sobre F (en términos generales, no es demasiado grande en comparación con F ) y está algebraicamente cerrado (lo suficientemente grande como para contener soluciones de todas las ecuaciones polinómicas).

Por lo anterior, C es un cierre algebraica de R . La situación que el cierre algebraica es una extensión finita del campo F es bastante especial: por el teorema de Artin-Schreier , el grado de esta extensión es necesariamente 2, y F es elementalmente equivalente a R . Tales campos también se conocen como campos cerrados reales .

Cualquier campo F tiene un cierre algebraico, que es además único hasta isomorfismo (no único). Se conoce comúnmente como la clausura algebraica y denota F . Por ejemplo, el cierre algebraico Q de Q se denomina campo de números algebraicos . El campo F suele ser bastante implícito, ya que su construcción requiere el lema del ultrafiltro , un axioma de teoría de conjuntos que es más débil que el axioma de elección . ^[32] En este sentido, el cierre algebraico de F _q es excepcionalmente simple. Es la unión de los campos finitos que contienen F._q (los de orden q ⁿ ). Para cualquier campo algebraicamente cerrado F de la característica 0, el cierre algebraico del campo F (( t ))de laseriedeLaurentes el campo de laserie Puiseux, obtenido por las raíces adyacentes de t . ^[33]

Campos con estructura adicional [ editar ]

Dado que los campos son omnipresentes en las matemáticas y más allá, varios refinamientos del concepto se han adaptado a las necesidades de áreas matemáticas particulares.

Campos ordenados [ editar ]

Artículo principal: campo ordenado

Un campo F se llama campo ordenado si se pueden comparar dos elementos, de modo que x  +  y  ≥ 0 y xy  ≥ 0siempre que x  ≥ 0 e y  ≥ 0 . Por ejemplo, los reales forman un campo ordenado, con el ordenamiento habitual ≥. El teorema de Artin-Schreier establece que un campo puede ser ordenado si y solo si es un campo formalmente real , lo que significa que cualquier ecuación cuadrática

$${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2} = 0}

solo tiene la solución x ₁ = x ₂ = ... = x _n = 0 . ^[34] El conjunto de todos los órdenes posibles en un campo fijo Fes isomorfo al conjunto de homomorfismos de anillo del anillo de Witt W ( F ) de las formas cuadráticas más de F, a Z . ^[35]

Un campo arquimediano es un campo ordenado tal que para cada elemento existe una expresión finita

1 + 1 + ··· + 1

cuyo valor es mayor que ese elemento, es decir, no hay elementos infinitos. De manera equivalente, el campo no contiene infinitesimales (elementos más pequeños que todos los números racionales); o, todavía equivalente, el campo es isomorfo a un subcampo de R .

Cada conjunto real delimitado tiene un límite al menos superior.

Un campo ordenado está Dedekind-complete si todos los límites superiores , límites inferiores (ver Corte de Dedekind) y límites, que deberían existir, existen. Más formalmente, se requiere que cada subconjunto delimitado de F tenga un límite superior mínimo. Cualquier campo completo es necesariamente arquimediano, ^[36] ya que en cualquier campo no arquimediano no hay un mayor infinitesimal ni un menos racional positivo, de ahí la secuencia 1/2, 1/3, 1/4, ... , cada elemento del cual Es mayor que todo infinitesimal, no tiene límite.

Dado que cada subcampo propio de los reales también contiene dichas brechas, R es el único campo ordenado completo, hasta el isomorfismo. ^[37] Varios resultados fundacionales en el cálculo se derivan directamente de esta caracterización de los reales.

Los hiperreales R ^* forman un campo ordenado que no es Arquimediano. Es una extensión de los reales obtenidos al incluir números infinitos e infinitesimales. Estos son más grandes, respectivamente más pequeños que cualquier número real. Los hiperreales forman la base fundamental del análisis no estándar .

Campos topológicos [ editar ]

Otro refinamiento de la noción de un campo es un campo topológico , en el que el conjunto F es un espacio topológico , de manera que todas las operaciones del campo (suma, multiplicación, los mapas a ↦ - a y a ↦ a ⁻¹ ) son continuos Mapas con respecto a la topología del espacio. ^[38] La topología de todos los campos que se analizan a continuación se induce a partir de una métrica , es decir, una función

d  : F × F → R ,

que mide una distancia entre dos elementos de F .

La finalización de F es otro campo en el que, informalmente hablando, se llenan los "huecos" en el campo original F , si hay alguno. Por ejemplo, cualquier número irracional x , como x  =  √ 2 , es una "brecha" en los racionales Q en el sentido de que es un número real que puede aproximarse arbitrariamente de cerca por números racionales p / q , en el sentido de que distancia de x y p / q dada por el valor absoluto | x  -  p / q |Es tan pequeño como se desee. La siguiente tabla muestra algunos ejemplos de esta construcción. La cuarta columna muestra un ejemplo de una secuencia cero , es decir, una secuencia cuyo límite (para n  → ∞ ) es cero.

Campo	Métrico	Terminación	secuencia cero
Q	| x - y | ( valor absoluto habitual )	R	1 / n
Q	obtenido utilizando la valoración p -adic , para un número primo p	Q p p -dada números	p n
F ( t ) ( F cualquier campo)	obtenido utilizando la valoración t -adic	F (( t ))	t n

El campo Q _p se utiliza en teoría de números y análisis p -adic . El cierre algebraico Q _p lleva una norma única que extiende la de Q _p , pero no está completa. La finalización de este cierre algebraico, sin embargo, se cierra algebraicamente. Debido a su analogía aproximada con los números complejos, se llama el campo de los números p-adic complejos y se denota por C _p . ^[39]

Campos locales [ editar ]

Los siguientes campos topológicos se denominan campos locales : ^{[40] [nb 4]}

• Extensiones finitas de Q _p (campos locales de característica cero)
• Extensiones finitas de F _p (( t )) , el campo de la serie de Laurent sobre F _p (campos locales de la característica p ).

Estos dos tipos de campos locales comparten algunas similitudes fundamentales. En esta relación, los elementos p ∈ Q _p y t ∈ F _p (( t )) (referidos como uniformizador ) se corresponden entre sí. La primera manifestación de esto es a nivel elemental: los elementos de ambos campos se pueden expresar como series de potencia en el uniformizador, con coeficientes en F _p . (Sin embargo, dado que la adición en Q _p se realiza usando carry , que no es el caso en F _p (( t )), estos campos no son isomorfos.) Los siguientes hechos muestran que esta similitud superficial es mucho más profunda:

• Cualquier primer orden afirmación de que es cierto para casi todos Q _p también es cierto para casi todos los F _p (( t )) . Una aplicación de esto es el teorema de Ax-Kochen que describe ceros de polinomios homogéneos en Q _p .
• Las extensiones ramificadas de ambos campos están en bijección entre sí.
• Las raíces adyacentes de las potencias p de p (en Q _p ), respectivamente de t (en F _p (( t )) ) producen (infinitas) extensiones de estos campos conocidos como campos perfectos . Sorprendentemente, los grupos de Galois de estos dos campos son isomorfos, que es el primer vistazo de un notable paralelo entre estos dos campos: ^[41]

$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} \ left (\ mathbf {Q} _ {p} \ left (p ^ {1 / p ^ {\ infty}} \ right) \ right) \ cong \ operatorname {Gal} \ left (\ mathbf {F} _ {p} ((t)) \ left (t ^ {1 / p ^ {\ infty}} \ right) \ right).}

Campos diferenciales [ editar ]

Los campos diferenciales son campos equipados con una derivación , es decir, permiten obtener derivados de elementos en el campo. ^[42] Por ejemplo, el campo R ( X ), junto con la derivada estándar de polinomios, forma un campo diferencial. Estos campos son fundamentales para la teoría diferencial de Galois , una variante de la teoría de Galois que trata con ecuaciones diferenciales lineales .

La teoría de Galois [ editar ]

Artículo principal: Teoría de Galois.

La teoría de Galois estudia las extensiones algebraicas de un campo mediante el estudio de la simetría en las operaciones aritméticas de suma y multiplicación. Una noción importante en esta área son las extensiones de Galois F / E finitas , que son, por definición, aquellas que son separables y normales . El teorema del elemento primitivo muestra que las extensiones separables finitas son necesariamente simples , es decir, de la forma

F = E [ X ] / f ( X ) ,

donde f es un polinomio irreducible (como arriba). ^[43] Para dicha extensión, ser normal y separable significa que todos los ceros de f están contenidos en F y que f solo tiene ceros simples. La última condición siempre se cumple si E tiene la característica 0.

Para una extensión de Galois finita, el grupo Galois Gal ( F / E ) es el grupo de automorfismos de campo de Fque son triviales en E (es decir, las bijections σ: F → F que conservan la suma y la multiplicación y que envían elementos de E a sí mismos). La importancia de este grupo se deriva del teorema fundamental de la teoría de Galois , que construye una correspondencia explícita uno a uno entre el conjunto de subgrupos de Gal ( F / E )y el conjunto de extensiones intermedias de la extensión F / E . ^[44] Por medio de esta correspondencia, las propiedades de la teoría de grupos se traducen en hechos sobre campos. Por ejemplo, si el grupo de Galois de una extensión de Galois como anteriormente no es solucionable (no se puede construir a partir de los grupos abelianos ), entonces los ceros de f pueden no ser expresadas en términos de suma, multiplicación, y radicales, es decir, las expresiones que implican$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\}}}. Por ejemplo, los grupos simétricos S _n no pueden resolverse para n ≥5. En consecuencia, como se puede mostrar, los ceros de los siguientes polinomios no se pueden expresar mediante sumas, productos y radicales. Para el último polinomio, este hecho se conoce como el teorema de Abel-Ruffini :

f ( X ) = X ⁵ - 4 X + 2 (y E = Q ), ^[45]

f ( X ) = X ⁿ + a _n −1 X ^n −1 + ... + a ₀ (donde f se considera como un polinomio en E ( a ₀ , ..., a _n −1 ) , para algunos indeterminados a _i , E es cualquier campo, y n ≥ 5 ).

El producto tensor de los campos no suele ser un campo. Por ejemplo, una extensión finita F / E de grado n es una extensión de Galois si y solo si hay un isomorfismo de F -algebras

F ⊗ _E F ≅ F ⁿ .

Este hecho es el comienzo de la teoría de Galois de Grothendieck , una extensión de gran alcance de la teoría de Galois aplicable a los objetos algebro-geométricos. ^[46]

Invariantes de campos [ editar ]

Los invariantes básicos de un campo F incluyen la característica y el grado de trascendencia de F sobre su campo principal. Este último se define como el número máximo de elementos en F que son algebraicamente independientes sobre el campo principal. Dos campos algebraicamente cerrados E y F son isomorfos precisamente si estos dos datos concuerdan. ^[47] Esto implica que dos campos incontables algebraicamente cerrados de la misma cardinalidad y la misma característica son isomorfos. Por ejemplo, Q _p , C _p y C son isomorfos (peroNo isomorfos como campos topológicos).

La teoría de modelos de campos [ editar ]

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , dos campos E y F se denominan elementalmente equivalentes si todas las afirmaciones matemáticas que son verdaderas para E también lo son para F y viceversa. Las afirmaciones matemáticas en cuestión deben ser oraciones de primer orden (que involucran 0, 1, la suma y la multiplicación). Un ejemplo típico es

φ ( E ) = "para cualquier n > 0 , cualquier polinomio de grado n en E tiene un cero en E " (lo que equivale a decir que E está cerrado algebraicamente).

El principio de Lefschetz establece que C es elementalmente equivalente a cualquier campo algebraicamente cerrado F de característica cero. Además, cualquier declaración fija φ se mantiene en C si y solo si se mantiene en cualquier campo algebraicamente cerrado de característica suficientemente alta. ^[48]

Si U es un ultrafiltro en un conjunto I , y F _i es un campo para cada i en I , el ultraproducto de la F _i con respecto a U es un campo. ^[49] Se denota por

ulim _{i → ∞} F _i ,

ya que se comporta de varias maneras como un límite de los campos F _i : el teorema de statesoś establece que cualquier declaración de primer orden que se cumpla para todos, pero finamente para muchos F _i , también se aplica para el ultraproducto. Aplicado a la oración anterior φ , esto muestra que hay un isomorfismo ^{[nb 5]}

$${\ displaystyle \ operatorname {ulim} _ {p \ to \ infty} {\ overline {\ mathbf {F}}} _ {p} \ cong \ mathbf {C}.}

El teorema de Axe-Kochen mencionado anteriormente también se desprende de esto y de un isomorfismo de los ultraproductos (en ambos casos sobre todos los números primos p )

ulim _p Q _p ≅ ulim _p F _p (( t )) .

Además, la teoría de modelos también estudia las propiedades lógicas de varios otros tipos de campos, como campos cerrados reales o campos exponenciales (que están equipados con una función exponencialexp: F → F ^x ). ^[50]

El grupo absoluto de Galois [ editar ]

Para los campos que no son algebraicamente cerrado (o no separable cerrado), el grupo absoluta Galois Gal ( F ) es fundamentalmente importante: la extensión del caso de extensiones de Galois finitas descritos anteriormente, este grupo gobierna todas las extensiones separables finitos de F . Por medios elementales, el grupo Gal ( F _q ) se puede demostrar que ser el grupo Prüfer , la finalización profinito de Z . Esta declaración incluye el hecho de que las únicas extensiones algebraicas de Gal ( F _q ) son los campos Gal ( F _q ⁿ) para n > 0, y que los grupos Galois de estas extensiones finitas están dados por

Gal ( F _q ⁿ / F _q ) = Z / n Z .

También se conoce una descripción en términos de generadores y relaciones para los grupos de Galois de campos numéricos p (extensiones finitas de Q _p ). ^[51]

Las representaciones de los grupos de Galois y de grupos relacionados, como el grupo de Weil, son fundamentales en muchas ramas de la aritmética, como el programa Langlands . El estudio cohomológico de tales representaciones se realiza utilizando la cohomología de Galois . ^[52] Por ejemplo, el grupo Brauer , que se define clásicamente como el grupo de las F -algebras simples centrales , se puede reinterpretar como un grupo de cohomología de Galois, a saber:

Br ( F ) = H ² ( F , G _m ) .

Teoria K [ editar ]

La teoría K de Milnor se define como

$${\ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) = F ^ {\ times} \ otimes \ cdots \ otimes F ^ {\ times} / \ langle x \ otimes (1-x) \ mid x \ en F \ smallsetminus \ {0,1 \} \ rangle.}

El teorema del isomorfismo de residuos de la norma , probado alrededor de 2000 por Vladimir Voevodsky , relaciona esto con la cohomología de Galois por medio de un isomorfismo.

$${\ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) / p = H ^ {n} (F, \ mu _ {l} ^ {\ otimes n}).}

La teoría K algebraica se relaciona con el grupo de matrices invertibles con coeficientes del campo dado. Por ejemplo, el proceso de tomar el determinante de una matriz invertible conduce a un isomorfismo K ₁ ( F ) = F ^× . El teorema de Matsumoto muestra que K ₂ ( F ) está de acuerdo con K ₂ ^M ( F ). En los grados superiores, la teoría K difiere de la teoría K de Milnor y sigue siendo difícil de calcular en general.

Aplicaciones [ editar ]

Álgebra lineal y álgebra conmutativa [ editar ]

Los ángulos de Euler expresan la relación de diferentes sistemas de coordenadas, es decir, las bases de R ³ . Se utilizan en gráficos por ordenador.

Si a ≠ 0 , entonces la ecuación

ax = b

tiene una solución única x en F , es decir, x = b / a . Esta observación, que es una consecuencia inmediata de la definición de un campo, es el ingrediente esencial utilizado para mostrar que cualquier espacio vectorial tiene una base . ^[53] En términos generales, esto permite elegir un sistema de coordenadas en cualquier espacio vectorial, lo cual es de importancia central en el álgebra lineal desde un punto de vista teórico y también para aplicaciones prácticas.

Los módulos (el análogo de los espacios vectoriales) en la mayoría de los anillos , incluido el anillo Z de los enteros, tienen una estructura más complicada. Una situación particular surge cuando un anillo R es un espacio vectorial sobre un campo F por derecho propio. Tales anillos se llaman F -algebras y se estudian en profundidad en el área del álgebra conmutativa . Por ejemplo, Noether normalización afirma que cualquier tipo finito F -algebra está estrechamente relacionado con (más precisamente, finitamente generado como un módulo de más de) un anillo polinomio F [ x ₁, ..., x _n ] . ^[54]

Campos finitos: criptografía y teoría de la codificación [ editar ]

La suma de los tres puntos P , Q y R en una curva elíptica E (rojo) es cero si hay una línea (azul) que pasa por estos puntos.

Una rutina criptográfica ampliamente aplicada utiliza el hecho de que la exponenciación discreta, es decir, la computación

a ⁿ = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a ( n factores, para un entero n ≥ 1 )

en un campo finito (grande) F _q puede realizarse de manera mucho más eficiente que el logaritmo discreto , que es la operación inversa, es decir, determinar la solución n a una ecuación

a ⁿ = b .

En la criptografía de curva elíptica , la multiplicación en un campo finito se reemplaza por la operación de agregar puntos en una curva elíptica , es decir, las soluciones de una ecuación de la forma

y ² = x ³ + ax + b .

Los campos finitos también se utilizan en la codificación de la teoría y la combinatoria .

Geometría: campo de funciones [ editar ]

Una superficie compacta de Riemann del género dos (dos asas). El género se puede leer fuera del campo de las funciones meromorfas en la superficie.

Las funciones en un espacio topológico adecuado X en un campo k se pueden agregar y multiplicar puntualmente, por ejemplo, el producto de dos funciones se define por el producto de sus valores dentro del dominio:

( F ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) .

Esto hace que estas funciones sean un k - álgebra conmutativa .

Para tener un campo de funciones, se deben considerar las álgebras de funciones que son dominios integrales . En este caso las relaciones de dos funciones, es decir, expresiones de la forma

$${\ displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}},}

formar un campo, llamado campo de funciones.

Esto ocurre en dos casos principales. Cuando X es un complejo Xmúltiple . En este caso, se considera el álgebra de funciones holomorfas, es decir, funciones diferenciables complejas. Sus proporciones forman el campo de funciones meromorfas en X .

El campo de función de una variedad algebraica X (un objeto geométrico definido como los ceros comunes de las ecuaciones polinomiales) consiste en relaciones de funciones regulares , es decir, relaciones de funciones polinómicas en la variedad. El campo de función del espacio n - dimensional sobre un campo k es k ( x ₁ , ..., x _n ) , es decir, el campo que consiste en relaciones de polinomios en n indeterminados. El campo de función de X es el mismo que el de cualquier abierto.subvariedad densa. En otras palabras, el campo de función es insensible a la sustitución de X por una subvariedad (ligeramente) más pequeña.

El campo de función es invariante bajo isomorfismo y equivalencia birracional de variedades. Por lo tanto, es una herramienta importante para el estudio de variedades algebraicas abstractas y para la clasificación de variedades algebraicas. Por ejemplo, la dimensión , que es igual al grado de trascendencia de k ( X ) , es invariante bajo la equivalencia biracional. ^[55] Para las curvas (es decir, la dimensión es una), el campo de función k ( X ) está muy cerca de X : si X es suave y adecuada(el análogo de ser compacto ), X puede reconstruirse, hasta el isomorfismo, desde su campo de funciones. ^{[nb 6]} En dimensión mayor sea el campo de función recuerda menos, pero todavía información, decisiva sobre X . El estudio de los campos de función y su significado geométrico en dimensiones más altas se conoce como geometría biracional . El programa modelo mínimo intenta identificar las variedades algebraicas más simples (en cierto sentido preciso) con un campo de función prescrito.

Teoría de números: campos globales [ editar ]

Los campos globales están en el centro de atención en la teoría de números algebraicos y la geometría aritmética . Son, por definición, campos numéricos (extensiones finitas de Q ) o campos de función sobre F _q(extensiones finitas de F _q ( t ) ). En cuanto a los campos locales, estos dos tipos de campos comparten varias características similares, aunque son de característica 0 y característica positiva, respectivamente. Esta función de analogía campo.puede ayudar a dar forma a las expectativas matemáticas, a menudo primero mediante la comprensión de las preguntas sobre los campos de función y luego el tratamiento del caso del campo numérico. Este último suele ser más difícil. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta de Riemann (abierta a partir de 2017) puede considerarse paralela a las conjeturas de Weil (probada en 1974 por Pierre Deligne ).

Las quintas raíces de la unidad forman un pentágono regular .

Los campos ciclotómicos se encuentran entre los campos numéricos más estudiados. Son de la forma Q (ζ _n ) , donde ζ _n es una raíz n-ésima primitiva de la unidad , es decir, un número complejo que satisface ζ ⁿ = 1 y ζ ^m ≠ 1 para todos m < n . ^[56] Como n es un primo regular , Kummer usó campos ciclotómicos para probar el último teorema de Fermat , que afirma la no existencia de soluciones racionales distintas de la ecuación.

x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ .

Los campos locales son completaciones de campos globales. El teorema de Ostrowski afirma que las únicas terminaciones de Q , un campo global, son los campos locales Q _P y R . El estudio de las preguntas aritméticas en campos globales a veces se puede hacer mirando las preguntas correspondientes a nivel local. Esta técnica se llama el principio local-global . Por ejemplo, el teorema de Hasse-Minkowski reduce el problema de encontrar soluciones racionales de ecuaciones cuadráticas para resolver estas ecuaciones en R y Q _p , cuyas soluciones pueden describirse fácilmente. ^[57]

A diferencia de los campos locales, los grupos de campos globales de Galois no se conocen. Teoría de Galois inversa estudios de la (sin resolver) problemas si algún grupo finito es el grupo de Galois Gal ( F / Q ) por algún campo de número F . ^[58] La teoría de los campos de clase describe las extensiones abelianas , es decir, aquellas con el grupo Galois abeliano, o equivalentemente los grupos Galois abelianizados de campos globales. Una declaración clásica, el teorema de Kronecker-Weber , describe la máxima extensión abeliana de Q ^ab de Q : es el campo

Q (ζ _n , n ≥ 2)

obtenido al unir todas las raíces primitivas n -ésimas de la unidad. Jugendtraum de Kronecker pide una descripción explícita de manera similar F ^ab del número general de los campos F . Para campos cuadráticos imaginarios ,$${\ displaystyle F = \ mathbf {Q} ({\ sqrt {-d}})}, d > 0 , la teoría de la multiplicación compleja describe F ^ab usando curvas elípticas. Para los campos numéricos generales, no se conoce tal descripción explícita.

Nociones relacionadas [ editar ]

Además de la estructura adicional que los campos pueden disfrutar, los campos admiten otras nociones relacionadas. Como en cualquier campo 0 ≠ 1, cualquier campo tiene al menos dos elementos. No obstante, existe un concepto de campo con un elemento , que se sugiere que es un límite de los campos finitos F _p , ya que p tiende a 1. ^[59] Además de los anillos de división, existen otras estructuras algebraicas más débiles relacionadas con campos como quasifields , near-fields y semifields .

También hay clases adecuadas con estructura de campo, que a veces se denominan Campos , con una F mayúscula. Los números surrealistas forman un Campo que contiene los reales, y serían un campo excepto por el hecho de que son una clase adecuada, no un conjunto. Los nimbers , un concepto de la teoría de juegosforman un campo. ^[60]

Anillos de la división [ editar ]

Eliminar uno o varios axiomas en la definición de un campo conduce a otras estructuras algebraicas. Como se mencionó anteriormente, los anillos conmutativos satisfacen todos los axiomas de los campos, a excepción de los inversos multiplicativos. Al descartar, la condición de que la multiplicación sea conmutativa conduce al concepto de un anillo de división o un campo de sesgo . ^{[nb 7]} Los únicos anillos de división que son espacios de vectores R de dimensión finita son R en sí, C (que es un campo), los cuaterniones H (en los que la multiplicación no es conmutativa) y los octoniones O(en el que la multiplicación no es conmutativa ni asociativa). Este hecho se probó utilizando métodos de topología algebraica en 1958 por Michel Kervaire , Raoul Bott y John Milnor . ^[61] La no existencia de un álgebra de división de dimensión impar es más clásica. Se puede deducir del teorema de la bola peludailustrado a la derecha.