LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

álgebra de Clifford es un álgebra generada por un espacio vectorial con una forma cuadrática , y es un álgebra asociativa unital . Como K -algebras , generalizan los números reales , los números complejos , los cuaterniones y varios otros sistemas de números hipercomplejos . ^[1] [2] La teoría de las álgebras de Clifford está íntimamente relacionada con la teoría de las formas cuadráticas y las transformaciones ortogonales . Las álgebras de Clifford tienen aplicaciones importantes en una variedad de campos, incluidosGeometría , física teórica y procesamiento digital de imágenes . Se nombran después del matemático inglés William Kingdon Clifford .

Las álgebras de Clifford más conocidas, las álgebras de Clifford ortogonales , también se conocen como álgebras de Clifford (pseudo-) riemannianas , a diferencia de las álgebras de Clifford simplécticas .

Introducción y propiedades básicas [ editar ]

Un álgebra de Clifford es un unital álgebra asociativa que contiene y se genera por un espacio vectorial V sobre un campo K , donde V está equipado con una forma cuadrática Q  : V → K . El álgebra de Clifford Cℓ ( V , Q ) es el álgebra "más libre" generado por V sujeto a la condición ^[4]

$${\ displaystyle v ^ {2} = Q (v) 1 \ {\ text {para todos}} v \ en V,}

donde el producto de la izquierda es el del álgebra, y el 1 es su identidad multiplicativa . La idea de ser el álgebra "más libre" o "más general" sujeta a esta identidad se puede expresar formalmente a través de la noción de una propiedad universal , como se hace a continuación .

El álgebra libre generado por V se puede escribir como el tensor de álgebra ⊕ _n ≥0 V ⊗ ⊗ ... V , es decir, la suma del producto tensorial de n copias de V sobre toda n , y por lo tanto un álgebra de Clifford serían el cocientede este álgebra tensorial por el ideal de dos lados generado por elementos de la forma v ⊗ v - Q ( v ) 1 para todos los elementos v ∈ V. El producto inducido por el producto tensorial en el álgebra de cociente se escribe utilizando la yuxtaposición (por ejemplo, uv ). Su asociatividad se deriva de la asociatividad del producto tensorial.

El álgebra de Clifford tiene un subespacio distinguida V . ^[5] Un subespacio de este tipo no puede, en general, determinarse de manera única dado solo un K -algebra isomorfo al álgebra de Clifford.

Si la característica del campo de tierra K no es 2, entonces se puede reescribir esta identidad fundamental en la forma

$${\ displaystyle uv + vu = 2 \ langle u, v \ rangle 1 \ {\ text {para todos}} u, v \ en V,}

dónde

$${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = {\ frac {1} {2}} \ left (Q (u + v) -Q (u) -Q (v) \ right)}

Es la forma bilineal simétrica asociada con Q , a través de la identidad de polarización .

Las formas cuadráticas y las álgebras de Clifford en la característica 2 forman un caso excepcional. En particular, si char ( K ) = 2 no es cierto que una forma cuadrática determina de forma única una forma bilineal simétrica satisfactorio Q ( v ) = ⟨ v , v ⟩ , ni que cada forma cuadrática admite una base ortogonal. Muchas de las declaraciones en este artículo incluyen la condición de que la característica no es 2, y son falsas si se elimina esta condición.

Como una cuantización del álgebra exterior [ editar ]

Las álgebras de Clifford están estrechamente relacionadas con las álgebras exteriores . De hecho, si Q = 0,entonces el álgebra de Clifford Cℓ ( V , Q ) es solo el álgebra exterior ⋀ ( V ). Para un Q distinto de cero, existe un isomorfismo lineal canónico entre ⋀ ( V ) y Cℓ ( V , Q ) siempre que el campo de tierra K no tenga la característica dos. Es decir, son naturalmente isomorfos.como espacios vectoriales, pero con diferentes multiplicaciones (en el caso de la característica dos, todavía son isomorfos como espacios vectoriales, pero no de forma natural). Clifford multiplicación junto con el distinguido subespacio es estrictamente más rico que el producto exterior , ya que hace uso de la información adicional proporcionada por Q .

El álgebra de Clifford es un álgebra filtrada , el álgebra graduada asociada es el álgebra exterior.

Más precisamente, las álgebras de Clifford se pueden considerar como cuantizaciones (cf. Grupo cuántico ) del álgebra exterior, de la misma manera que el álgebra de Weyl es una cuantización del álgebra simétrica .

Las álgebras de Weyl y las álgebras de Clifford admiten una estructura adicional de una * -algebra , y se pueden unificar como términos pares e impares de una superalgebra , como se analiza en las álgebras CCR y CAR .

Propiedad universal y construcción [ editar ]

Deje V ser un espacio vectorial sobre un campo K , y dejar Q  : V → K sea una forma cuadrática en V . En la mayoría de los casos de interés, el campo K es el campo de los números reales R , o el campo de los números complejos C , o un campo finito .

Un álgebra de Clifford Cℓ ( V , Q ) es un álgebra asociativa unital sobre K junto con un mapa lineal i  : V → Cℓ ( V , Q ) ^{[6] que} satisface i ( v ) ² = Q ( v ) 1 para todos v ∈ V , definido por la siguiente propiedad universal : dada cualquier álgebra asociativa unital A sobre K y cualquier mapa lineal j : V → A tal que

$${\ displaystyle j (v) ^ {2} = Q (v) 1_ {A} {\ text {para todos}} v \ en V}

(donde 1 _A denota la identidad multiplicativa de A ), hay un homomorfismo de álgebra único f  : Cℓ ( V , Q ) → Atal que el siguiente diagrama conmuta (es decir, que f ∘ i = j ):

En la característica no 2, la forma cuadrática Q puede reemplazarse por una forma bilineal simétrica $${\ displaystyle \ langle {\ cdot}, {\ cdot} \ rangle}, en cuyo caso un requisito equivalente en j es

$${\ displaystyle j (v) j (w) + j (w) j (v) = 2 \ langle v, w \ rangle 1_ {A} \ quad {\ text {para todos}} v, w \ en V \ .}

Un álgebra de Clifford como se describió anteriormente siempre existe y se puede construir de la siguiente manera: comience con el álgebra más general que contiene V , a saber, el álgebra tensorial T ( V ), y luego aplique la identidad fundamental tomando un cociente adecuado . En nuestro caso, queremos tomar el ideal de doble cara I _Q en T ( V ) generado por todos los elementos de la forma.

$${\ displaystyle v \ otimes vQ (v) 1} para todos $${\ displaystyle v \ en V}

y define Cℓ ( V , Q ) como el álgebra de cociente

$${\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} (V, Q) = T (V) / I_ {Q}.}

El producto de anillo heredado por este cociente a veces se denomina producto de Clifford ^[7] para distinguirlo del producto exterior y del producto escalar.

Entonces es sencillo mostrar que Cℓ ( V , Q ) contiene V y satisface la propiedad universal anterior, de modo que Cℓ es único hasta un isomorfismo único; así se habla de "el" álgebra de Clifford Cℓ ( V , Q ) . También se desprende de esta construcción que i es inyectiva . Por lo general, uno deja caer la i y considera V como un subespacio lineal de Cℓ ( V , Q ) .

La caracterización universal de la álgebra de Clifford muestra que la construcción de Cℓ ( V , Q ) es funtorial en la naturaleza. Es decir, Cℓ se puede considerar como un funtor de la categoría de espacios vectoriales con formas cuadráticas (cuyos morfismos son mapas lineales que preservan la forma cuadrática) a la categoría de álgebras asociativas. La propiedad universal garantiza que los mapas lineales entre espacios vectoriales (preservando la forma cuadrática) se extiendan únicamente a los homomorfismos de álgebra entre las álgebras de Clifford asociadas.

Base y dimensión [ editar ]

Dado que V viene equipado con una forma cuadrática, en la característica no 2 hay un conjunto de bases privilegiadas para V : las que son ortogonales . Una base ortogonal es una tal que

$${\ displaystyle \ langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle = 0} para $${\ displaystyle i \ neq j}y $${\ displaystyle \ langle e_ {i}, e_ {i} \ rangle = Q (e_ {i})}

dónde $${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}es la forma bilineal simétrica asociada a Q . La identidad fundamental de Clifford implica que para una base ortogonal

$${\ displaystyle e_ {i} e_ {j} = - e_ {j} e_ {i}} para $${\ displaystyle i \ neq j}y $${\ displaystyle e_ {i} ^ {2} = Q (e_ {i}) \,}.

Esto hace que la manipulación de vectores de base ortogonal sea bastante simple. Dado un producto$${\ displaystyle e_ {i_ {1}} e_ {i_ {2}} \ cdots e_ {i_ {k}}}De distintos vectores de base ortogonal de V , uno puede colocarlos en un orden estándar mientras incluye un signo global determinado por el número de swaps de pares necesarios para hacerlo (es decir, la firmade la permutación del pedido ).

Si la dimensión de V sobre K es n y { e ₁ , ..., e _n } es una base ortogonal de ( V , Q ) , entonces Cℓ ( V , Q ) está libre sobre K con una base

{\ displaystyle \ {e_ {i_ {1}} e_ {i_ {2}} \ cdots e_ {i_ {k}} \ mid 1 \ leq i_ {1} .

El producto vacío ( k = 0 ) se define como el elemento de identidad multiplicativo . Para cada valor de k hay nelementos de elección k base, por lo que la dimensión total del álgebra de Clifford es

$${\ displaystyle \ dim \ operatorname {C \ ell} (V, Q) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ begin {pmatrix} n \\ k \ end {pmatrix}} = 2 ^ { norte}.}

Ejemplos: álgebras de Clifford reales y complejas [ editar ]

Los álgebras de Clifford más importantes son aquellos sobre espacios vectoriales reales y complejos equipados con formas cuadráticas no degeneradas .

Cada una de las álgebras Cℓ _p , q ( R ) y Cℓ _n ( C ) es isomorfo a A o A ⊕ A , donde A es un anillo de matriz completa con las entradas de R , C o H . Para una clasificación completa de estas álgebras vea la clasificación de álgebras de Clifford .

Números reales [ editar ]

Artículo principal: Álgebra geométrica.

Las álgebras de Clifford encuentran aplicación en álgebra geométrica .

Cada forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial real finito-dimensional es equivalente a la forma diagonal estándar:

$${\ displaystyle Q (v) = v_ {1} ^ {2} + \ cdots + v_ {p} ^ {2} -v_ {p + 1} ^ {2} - \ cdots -v_ {p + q} ^ {2}

donde n = p + q es la dimensión del espacio vectorial. El par de enteros ( p , q ) se llama la firma de la forma cuadrática. El espacio vectorial real con esta forma cuadrática a menudo se denota R ^p , q . El álgebra de Clifford en R ^p , q se denota Cℓ _p , q ( R ). El símbolo Cℓ _n ( R ) significa Cℓ _{n , 0} ( R ) o Cℓ _0, n (R ) dependiendo de si el autor prefiere espacios positivos-definidos o negativos-definidos.

Una base estándar { e ₁ , ..., e _n } para R ^p , q consiste en n = p + q vectores ortogonales entre sí, p de los cuales cuadrado para +1 y q de que cuadrado para −1. De tal base, el álgebra Cℓ _p , q ( R ) tendrá p vectores que cuadran a +1 y q vectores que cuadran a −1.

Algunos casos de baja dimensión son:

Cℓ _0,0 ( R ) es naturalmente isomorfo a R ya que no hay vectores distintos de cero.

Cℓ _0,1 ( R ) es un álgebra bidimensional generada por e ₁ que cuadra a −1, y es un álgebra-isomorfa a C , el campo de los números complejos .

Cℓ _0,2 ( R ) es un álgebra de cuatro dimensiones que abarca {1, e ₁ , e ₂ , e ₁ e ₂ }. Los tres últimos elementos de todos los cuadrados a -1 y anticonmutan, y por lo que el álgebra es isomorfo al cuaterniones H .

Cℓ _0,3 ( R ) es un álgebra isomorfa de 8 dimensiones a la suma directa H ⊕ H , los biquaterniones divididos .

Números complejos [ editar ]

También se pueden estudiar las álgebras de Clifford en espacios vectoriales complejos. Cada forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial complejo de dimensión n es equivalente a la forma diagonal estándar

$${\ displaystyle Q (z) = z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + \ cdots + z_ {n} ^ {2}}.

Por lo tanto, para cada dimensión n , hasta el isomorfismo, solo hay un álgebra de Clifford de un espacio vectorial complejo con una forma cuadrática no degenerada. Denotaremos el álgebra de Clifford en C ⁿ con la forma cuadrática estándar de Cℓ _n ( C ).

En los primeros casos uno encuentra que

Cℓ ₀ ( C ) ≅ C , los números complejos

Cℓ ₁ ( C ) ≅ C ⊕ C , los números bicomplejos

Cℓ ₂ ( C ) ≅ M ₂ ( C ), los biquaterniones

donde M _n ( C ) indica la álgebra de n × n matrices más de C .

Ejemplos: construcción de cuaterniones y cuaterniones duales [ editar ]

Cuaterniones [ editar ]

En esta sección, los cuaterniones de Hamilton se construyen como el sub álgebra uniforme del álgebra de Clifford Cℓ _0,3 ( R ).

Deje que el espacio vectorial V sea ​​real espacio tridimensional R ³ , y la forma cuadrática Q se derive de la métrica euclidiana habitual. Entonces, para v , w en R ³ tenemos la forma bilineal (o producto escalar)

$${\ displaystyle v \ cdot w = v_ {1} w_ {1} + v_ {2} w_ {2} + v_ {3} w_ {3}.}

Ahora introduzca el producto Clifford de los vectores v y w dado por

$${\ displaystyle vw + wv = -2 (v \ cdot w).}

Esta formulación usa el signo negativo para que la correspondencia con los cuaterniones se muestre fácilmente.

Denota un conjunto de vectores de unidades ortogonales de R ³ como e ₁ , e ₂ y e ₃ , luego el producto Clifford produce las relaciones

$${\ displaystyle e_ {2} e_ {3} = - e_ {3} e_ {2}, \, \, \, e_ {3} e_ {1} = - e_ {1} e_ {3}, \, \ , \, e_ {1} e_ {2} = - e_ {2} e_ {1},}

y

$${\ displaystyle e_ {1} ^ {2} = e_ {2} ^ {2} = e_ {3} ^ {2} = - 1.}

El elemento general del álgebra de Clifford Cℓ _0,3 ( R ) está dado por

$${\ displaystyle A = a_ {0} + a_ {1} e_ {1} + a_ {2} e_ {2} + a_ {3} e_ {3} + a_ {4} e_ {2} e_ {3} + a_ {5} e_ {3} e_ {1} + a_ {6} e_ {1} e_ {2} + a_ {7} e_ {1} e_ {2} e_ {3}.}

La combinación lineal de los elementos de grado parejo de Cℓ _0,3 ( R ) define la subalgebra pareada Cℓ [0] 
0,3 ( R ) con el elemento general

$${\ displaystyle q = q_ {0} + q_ {1} e_ {2} e_ {3} + q_ {2} e_ {3} e_ {1} + q_ {3} e_ {1} e_ {2}.}

Los elementos de base se pueden identificar con los elementos de base de cuaternión i , j , k como

$${\ displaystyle i = e_ {2} e_ {3}, j = e_ {3} e_ {1}, k = e_ {1} e_ {2},}

lo que demuestra que la subalgebra paritaria Cℓ [0] 
0,3 ( R ) es el álgebra de cuaternión real de Hamilton .

Para ver esto, calcula

$${\ displaystyle i ^ {2} = (e_ {2} e_ {3}) ^ {2} = e_ {2} e_ {3} e_ {2} e_ {3} = - e_ {2} e_ {2} e_ {3} e_ {3} = - 1,}

y

$${\ displaystyle ij = e_ {2} e_ {3} e_ {3} e_ {1} = - e_ {2} e_ {1} = e_ {1} e_ {2} = k.}

Finalmente,

$${\ displaystyle ijk = e_ {2} e_ {3} e_ {3} e_ {1} e_ {1} e_ {2} = - 1.}

Cuaterniones duales [ editar ]

En esta sección, los cuaterniones duales se construyen como el álgebra de Clifford del espacio cuatridimensional real con una forma cuadrática degenerada. ^[8] [9]

Deje que el espacio vectorial V sea ​​el espacio real tridimensional R ⁴ , y que la forma cuadrática Q sea ​​una forma degenerada derivada de la métrica euclidiana en R ³ . Para v , w en R ⁴ introduce la forma bilineal degenerada

$${\ displaystyle d (v, w) = v_ {1} w_ {1} + v_ {2} w_ {2} + v_ {3} w_ {3}.}

Este producto escalar degenerado proyecta medidas de distancia en R ⁴ en el hiperplano R ³ .

El producto Clifford de los vectores v y w está dado por

$${\ displaystyle vw + wv = -2 \, d (v, w).}

Tenga en cuenta que el signo negativo se introduce para simplificar la correspondencia con los cuaterniones.

Denote un conjunto de vectores de unidades ortogonales de R ⁴ como e ₁ , e ₂ , e ₃ y e ₄ , luego el producto Clifford produce las relaciones

$${\ displaystyle e_ {m} e_ {n} = - e_ {n} e_ {m}, \, \, \, m \ neq n,}

y

$${\ displaystyle e_ {1} ^ {2} = e_ {2} ^ {2} = e_ {3} ^ {2} = - 1, \, \, e_ {4} ^ {2} = 0.}

El elemento general del álgebra de Clifford Cℓ ( R ⁴ , d ) tiene 16 componentes. La combinación lineal de los elementos de grado par define la subálgebra par Cℓ [0]
( R ⁴ , d ) con el elemento general

$${\ displaystyle H = h_ {0} + h_ {1} e_ {2} e_ {3} + h_ {2} e_ {3} e_ {1} + h_ {3} e_ {1} e_ {2} + h_ {4} e_ {4} e_ {1} + h_ {5} e_ {4} e_ {2} + h_ {6} e_ {4} e_ {3} + h_ {7} e_ {1} e_ {2} e_ {3} e_ {4}.}

Los elementos de base se pueden identificar con los elementos de base de cuaternión i , j , k y la unidad dual εcomo

$${\ displaystyle i = e_ {2} e_ {3}, j = e_ {3} e_ {1}, k = e_ {1} e_ {2}, \, \, \ varepsilon = e_ {1} e_ {2 } e_ {3} e_ {4}.}

Esto proporciona la correspondencia de Cℓ [0] 
0,3,1 ( R ) con álgebra de cuaternión dual .

Para ver esto, calcula

$${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = (e_ {1} e_ {2} e_ {3} e_ {4}) ^ {2} = e_ {1} e_ {2} e_ {3} e_ {4} e_ {1} e_ {2} e_ {3} e_ {4} = - e_ {1} e_ {2} e_ {3} (e_ {4} e_ {4}) e_ {1} e_ {2} e_ {3 } = 0,}

y

$${\ displaystyle \ varepsilon i = (e_ {1} e_ {2} e_ {3} e_ {4}) e_ {2} e_ {3} = e_ {1} e_ {2} e_ {3} e_ {4} e_ {2} e_ {3} = e_ {2} e_ {3} (e_ {1} e_ {2} e_ {3} e_ {4}) = i \ varepsilon.}

Los intercambios de e ₁ y e ₄ alternan los signos un número par de veces, y muestran que la unidad dual εconmuta con los elementos de base de cuaternión i , j y k .

Ejemplos: en pequeña dimensión [ editar ]

Sea K cualquier campo de característica no 2.

Dimensión 1 [ editar ]

Para dim V = 1 , si Q tiene diagonalización diag ( a ), es decir, hay un vector x distinto de cero tal que Q ( x ) = a , entonces Cℓ ( V , Q ) es una K -algebra generada por un elemento x satisfaciendo x ² = a , entonces es el álgebra cuadrática étale K [ X ] / ( X ² - a ) .

En particular, si un = 0 (es decir, Q es la forma cuadrática cero), entonces Cℓ ( V , Q ) es el número de dobleálgebra sobre K .

Si una es un no-cero cuadrado en K , entonces Cℓ ( V , Q ) ≃ K ⊕ K .

De lo contrario, Cℓ ( V , Q ) es la extensión campo cuadrática K ( √ una ) de K .

Dimensión 2 [ editar ]

Para dim V = 2 , si Q tiene diagonalización diag ( a , b ) con no a cero a y b (que siempre existe si Q no es degenerado), entonces Cℓ ( V , Q ) es una K -algebra generada por elementos x e y satisfaciendo x ² = a , y ² = by xy = - yx .

Así, Cℓ ( V , Q ) es el álgebra de cuaterniones ( a , b ) _K (generalizada) . Recuperamos cuaterniones de Hamilton cuando un = b = -1 , ya que H = (-1, -1) _R .

Como caso especial, si alguna x en V satisface Q ( x ) = 1 , entonces Cℓ ( V , Q ) = M ₂ ( K ) .

Propiedades [ editar ]

Relación con el álgebra exterior [ editar ]

Dado un espacio vectorial V se puede construir el álgebra exterior ⋀ ( V ), cuya definición es independiente de cualquier forma cuadrática en V . Resulta que si K no tiene la característica 2, entonces hay un isomorfismo natural entre ⋀ ( V ) y Cℓ ( V , Q ) considerado como espacios vectoriales (y existe un isomorfismo en la característica dos, que puede no ser natural). Este es un isomorfismo de álgebra si y solo si Q = 0 . Por lo tanto, se puede considerar el álgebra de Clifford Cℓ ( V , Q )como un enriquecimiento (o más precisamente, una cuantificación, véase la Introducción) del álgebra exterior en V con una multiplicación que depende de Q (aún se puede definir el producto exterior independientemente de Q ).

La forma más fácil de establecer el isomorfismo es elegir una base ortogonal { e ₁ , ..., e _n } para V y extenderla a una base para Cℓ ( V , Q ) como se describe anteriormente . El mapa Cℓ ( V , Q ) → ⋀ ( V ) está determinado por

$${\ displaystyle e_ {i_ {1}} e_ {i_ {2}} \ cdots e_ {i_ {k}} \ mapsto e_ {i_ {1}} \ wedge e_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}}.}

Tenga en cuenta que esto solo funciona si la base { e ₁ , ..., e _n } es ortogonal. Se puede demostrar que este mapa es independiente de la elección de la base ortogonal y, por lo tanto, proporciona un isomorfismo natural.

Si la característica de K es 0, también se puede establecer el isomorfismo por antisimetrización. Definir funciones f _k : V × ... × V → Cℓ ( V , Q ) mediante

$${\ displaystyle f_ {k} (v_ {1}, \ cdots, v_ {k}) = {\ frac {1} {k!}} \ sum _ {\ sigma \ en S_ {k}} {\ rm { sgn}} (\ sigma) \, v _ {\ sigma (1)} \ cdots v _ {\ sigma (k)}}

donde la suma se toma sobre el grupo simétrico en k elementos. Desde f _k se alterna induce un mapa único lineal ⋀ ^k ( V ) → Cℓ ( V , Q ) . La suma directa de estos mapas proporciona un mapa lineal entre ⋀ ( V ) y Cℓ ( V , Q ) . Este mapa puede mostrarse como un isomorfismo lineal, y es natural.

Una forma más sofisticada de ver la relación es construir una filtración en Cℓ ( V , Q ) . Recuerde que el tensor de álgebra T ( V ) tiene una filtración natural: F ⁰ ⊂ F ¹ ⊂ F ² ⊂ ... , donde F ^k contiene sumas de tensores con un orden ≤ k . Al proyectar esto en el álgebra de Clifford, se filtra Cℓ ( V , Q ) . El álgebra graduada asociada.

$${\ displaystyle Gr_ {F} \ operatorname {C \ ell} (V, Q) = \ bigoplus _ {k} F ^ {k} / F ^ {k-1}}

Es naturalmente isomorfo al álgebra exterior ⋀ ( V ). Dado que el álgebra graduada asociada de un álgebra filtrada es siempre isomorfo al álgebra filtrada como espacios vectoriales filtrados (por la elección de complementos de F ^k en F ^k 1 para todos k ), esto proporciona un isomorfismo (aunque no natural) en cualquier Característica, incluso dos.

Calificacion [ editar ]

En lo siguiente, supongamos que la característica no es 2. ^[10]

Álgebra de Clifford son Z ₂ - álgebras graduadas (también conocidos como superálgebras ). De hecho, el mapa lineal en V definido por v ↦ - v ( reflexión a través del origen ) conserva la forma cuadrática Q y, por lo tanto, la propiedad universal de las álgebras de Clifford se extiende a un automorfismo de álgebra

$${\ displaystyle \ alpha: \ operatorname {C \ ell} (V, Q) \ to \ operatorname {C \ ell} (V, Q).}

Dado que α es una involución (es decir, se relaciona con la identidad ), se puede descomponer Cℓ ( V , Q ) en espacios propios positivos y negativos de α

$${\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} (V, Q) = \ operatorname {C \ ell} ^ {[0]} (V, Q) \ oplus \ operatorname {C \ ell} ^ {[1]} ( V, Q)}

dónde

$${\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} ^ {[i]} (V, Q) = \ left. \ left \ {x \ in \ operatorname {C \ ell} (V, Q) \ right | \ alpha ( x) = (- 1) ^ {i} x \ right \}.}

Dado que α es un automorfismo se deduce que:

$${\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} ^ {[i]} (V, Q) \ operatorname {C \ ell} ^ {[j]} (V, Q) = \ operatorname {C \ ell} ^ {[ i + j]} (V, Q)}

donde los superíndices entre corchetes se leen de módulo 2. Esto da Cℓ ( V , Q ) la estructura de un Z ₂ - graduada álgebra . El subespacio Cℓ ^[0] ( V , Q ) forma una subalgebra de Cℓ ( V , Q ) , llamada subalgebra par . El subespacio Cℓ ^[1] ( V , Q ) se llama la parte impar de Cℓ ( V , Q )(no es una subalgebra). Esta calificación de Z ₂juega un papel importante en el análisis y la aplicación de las álgebras de Clifford. El automorfismo α se denomina involución principal o involución de grado . Se dice que los elementos que son puros en esta clasificación de Z ₂ son pares o impares.

Observación . En la característica no 2, el espacio vectorial subyacente de Cℓ ( V , Q ) hereda una calificación de N y una calificación de Z del isomorfismo canónico con el espacio vectorial subyacente del álgebra exterior V ( V). ^[11] Es importante tener en cuenta, sin embargo, que esto es solo una clasificación de espacio vectorial . Es decir, la multiplicación de Clifford no respeta la calificación de N o la calificación de Z , solo la calificación de Z ₂ : por ejemplo, si Q ( v ) ≠ 0 , entonces v ∈ Cℓ ¹( V , Q ) , pero v ² ∈ Cℓ ⁰ ( V , Q ) , no en Cℓ ² ( V , Q ) . Felizmente, las gradaciones se relacionan en la forma natural: Z ₂ ≅ N / 2 N ≅ Z / 2 Z . Además, el álgebra de Clifford es Z - filtrada :

$${\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} ^ {\ leqslant i} (V, Q) \ cdot \ operatorname {C \ ell} ^ {\ leqslant j} (V, Q) \ subset \ operatorname {C \ ell} ^ {\ leqslant i + j} (V, Q).}

El grado de un número de Clifford generalmente se refiere al grado en la calificación de N.

La subalgebra uniforme Cℓ ^[0] ( V , Q ) de un álgebra de Clifford es en sí misma isomorfa a un álgebra de Clifford. ^[12] [13] Si V es la suma directa ortogonal de un vector a de norma no nula Q ( a ) y un subespacio U , entonces Cℓ ^[0] ( V , Q ) es isomorfo a Cℓ ( U , - Q ( a ) Q ) , donde - Q ( a )Q es la forma Q restringida a U y multiplicada por - Q ( a ). En particular sobre los reales esto implica que:

{\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} _ {p, q} ^ {[0]} (\ mathbf {R}) \ cong {\ begin {cases} \ operatorname {C \ ell} _ {p, q- 1} (\ mathbf {R}) & q> 0 \\ operatorname {C \ ell} _ {q, p-1} (\ mathbf {R}) & p> 0 \ end {cases}}}

En el caso negativo-definido, esto da una inclusión Cℓ _0, n −1 ( R ) ⊂ Cℓ _0, n ( R ) , que extiende la secuencia

R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ...

Del mismo modo, en el caso complejo, se puede mostrar que la subálgebra par de Cℓ _n ( C ) es isomorfa a Cℓ _n −1( C ).

Antiautomorfismos [ editar ]

Además del automorfismo α , hay dos antiautomorfismos que juegan un papel importante en el análisis de las álgebras de Clifford. Recordemos que el tensor de álgebra T ( V ) viene con un antiautomorfismo que invierte el orden en todos los productos de vectores:

$${\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {k} \ mapsto v_ {k} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {2} \ otimes v_ {1}.}

Dado que el ideal I _Q es invariante bajo esta inversión, esta operación desciende a un antiautomorfismo de Cℓ ( V , Q ) llamado transposición o operación de inversión , denotada por x ^t . La transposición es un antiautomorfismo: ( xy ) ^t = y ^t x ^t . La operación de transposición no hace uso de la clasificación de Z _2, por lo que definimos un segundo antiautomorfismo al componer α y la transposición. Llamamos a esta operación la conjugación de Clifford denotada.$${\ displaystyle {\ bar {x}}}

$${\ displaystyle {\ bar {x}} = \ alpha (x ^ {\ mathrm {t}}) = \ alpha (x) ^ {\ mathrm {t}}.}

De los dos antiautomorfismos, la transposición es la más fundamental. ^[14]

Tenga en cuenta que todas estas operaciones son involuciones . Se puede demostrar que actúan como ± 1 en elementos que son puros en la clasificación Z. De hecho, las tres operaciones dependen solo del grado módulo 4. Es decir, si x es puro con grado k entonces

$${\ displaystyle \ alpha (x) = \ pm x \ qquad x ^ {\ mathrm {t}} = \ pm x \ qquad {\ bar {x}} = \ pm x}

donde los signos están dados por la siguiente tabla:

k mod 4	0	1	2	3
$${\ displaystyle \ alpha (x) \,}	+	-	+	-	(−1) k
$${\ displaystyle x ^ {\ mathrm {t}} \,}	+	+	-	-	(−1) k ( k −1) / 2
$${\ displaystyle {\ bar {x}}}	+	-	-	+	(−1) k ( k +1) / 2

Producto escalar de Clifford [ editar ]

Cuando la característica no es 2, la forma cuadrática Q en V se puede extender a una forma cuadrática en todo Cℓ ( V , Q ) (que también se denota por Q ). Una definición independiente de la base de una de tales extensiones es

$${\ displaystyle Q (x) = \ langle x ^ {\ mathrm {t}} x \ rangle}

donde ⟨ un ⟩ denota la parte escalar de una (la parte grado 0 en el Z -grading). Uno puede mostrar que

$${\ displaystyle Q (v_ {1} v_ {2} \ cdots v_ {k}) = Q (v_ {1}) Q (v_ {2}) \ cdots Q (v_ {k})}

donde v _i son elementos de V , esta identidad no es cierta para elementos arbitrarios de Cℓ ( V , Q ) .

La forma bilineal simétrica asociada en Cℓ ( V , Q ) está dada por

$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle x ^ {\ mathrm {t}} y \ rangle.}

Se puede comprobar que este reduce a la forma bilineal original cuando restringido a V . La forma bilineal en todos Cℓ ( V , Q ) es no degenerada si y sólo si es no degenerada en V .

No es difícil verificar que el operador de la multiplicación izquierda / derecha de Clifford por la transposición $${\ displaystyle a ^ {\ mathrm {t}}} de un elemento $${\ displaystyle a}es el adjunto de la multiplicación izquierda / derecha de Clifford por$${\ displaystyle a}Se con respecto a este producto interior. Es decir,

$${\ displaystyle \ langle ax, y \ rangle = \ langle x, a ^ {\ mathrm {t}} y \ rangle,}

y

$${\ displaystyle \ langle xa, y \ rangle = \ langle x, ya ^ {\ mathrm {t}} \ rangle.}

Estructura de álgebras de Clifford [ editar ]

En esta sección asumimos que la característica no es 2, el espacio vectorial V es de dimensión finita y que la forma bilineal simétrica asociada de Q no es singular. Un álgebra simple central sobre K es un álgebra de matrices sobre una (de dimensión finita) álgebra de división con el centro K . Por ejemplo, los álgebras simples centrales sobre los reales son álgebras matriciales sobre los reales o los cuaterniones.

• Si V incluso ha dimensionar entonces Cℓ ( V , Q ) es un álgebra sencilla central sobre K .
• Si V incluso ha dimensionar entonces Cℓ ^[0] ( V , Q ) es un álgebra simple central a través de una extensión cuadrática de K o una suma de dos álgebra simple central isomorfas sobre K .
• Si V tiene dimensión impar entonces Cℓ ( V , Q ) es un álgebra simple central a través de una extensión cuadrática de K o una suma de dos álgebra simple central isomorfas sobre K .
• Si V tiene dimensión impar entonces Cℓ ^[0] ( V , Q ) es un álgebra sencilla central sobre K .

La estructura de las álgebras de Clifford se puede elaborar explícitamente utilizando el siguiente resultado. Supongamos que U tiene una dimensión uniforme y una forma bilineal no singular con discriminante d , y supongamos que V es otro espacio vectorial con una forma cuadrática. El álgebra de Clifford de U + V es isomorfo al producto tensorial de las álgebras de Clifford de U y (−1) ^{dim ( U ) / 2} dV , que es el espacio V con su forma cuadrática multiplicada por (−1) ^{dim ( U ) / 2} d . Sobre lo real, esto implica en particular que

$${\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} _ {p + 2, q} (\ mathbf {R}) = \ mathrm {M} _ {2} (\ mathbf {R}) \ otimes \ operatorname {C \ ell } _ {q, p} (\ mathbf {R})}

$${\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} _ {p + 1, q + 1} (\ mathbf {R}) = \ mathrm {M} _ {2} (\ mathbf {R}) \ otimes \ operatorname {C \ ell} _ {p, q} (\ mathbf {R})}

$${\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} _ {p, q + 2} (\ mathbf {R}) = \ mathbf {H} \ otimes \ operatorname {C \ ell} _ {q, p} (\ mathbf { R}).

Estas fórmulas se pueden usar para encontrar la estructura de todas las álgebras de Clifford reales y todas las álgebras de Clifford complejas; Ver la clasificación de álgebras de Clifford .

En particular, la clase de equivalencia Morita de un álgebra de Clifford (su teoría de representación: la clase de equivalencia de la categoría de módulos sobre ella) depende solo de la firma ( p - q ) mod 8 . Esta es una forma algebraica de periodicidad de Bott .

Grupo de Clifford [ editar ]

La clase de grupos Clifford ( también conocidos como grupos Clifford-Lipschitz ^[15] ) fue descubierta por Rudolf Lipschitz . ^[dieciséis]

En esta sección asumimos que V es de dimensión finita y la forma cuadrática Q no es generada .

Una acción sobre los elementos de un álgebra de Clifford por su grupo de unidades puede ser definida en términos de una conjugación twisted: conjugación trenzado por x mapas y ↦ α xy ( x ) ^-1 , donde α es el principal involución definido anteriormente .

El grupo Clifford Γ se define como el conjunto de elementos invertibles x que estabilizan el conjunto de vectoresbajo esta acción, ^[17] lo que significa que para toda v en V tenemos:

$${\ displaystyle \ alpha (x) vx ^ {- 1} \ en V.}

Esta fórmula también define una acción del grupo de Clifford sobre el espacio vectorial V que preserva la forma cuadrática Q , y así da un homomorfismo del grupo de Clifford al grupo ortogonal. El grupo Clifford contiene todos los elementos r de V para los que Q ( r ) es invertible en K , y éstos actúan en V por las reflexiones correspondientes que tienen v a v - 2 ⟨ v , r ⟩ r / Q ( r ). (En la característica 2, estas se llaman transvecciones ortogonales en lugar de reflexiones).

Si V es un espacio vectorial real finito-dimensional con una forma cuadrática no degenerada, entonces el grupo de Clifford se mapea en el grupo ortogonal de V con respecto a la forma (por el teorema de Cartan-Dieudonné ) y el núcleo está formado por elementos no nulos de el campo k . Esto conduce a secuencias exactas.

$${\ displaystyle 1 \ rightarrow K ^ {*} \ rightarrow \ Gamma \ rightarrow {\ mbox {O}} _ {V} (K) \ rightarrow 1, \,}

$${\ displaystyle 1 \ rightarrow K ^ {*} \ rightarrow \ Gamma ^ {0} \ rightarrow {\ mbox {SO}} _ {V} (K) \ rightarrow 1. \,}

Sobre otros campos o con formas indefinidas, el mapa no está en general, y la falla es capturada por la norma de giro.

Norma Spinor [ editar ]

Más información: Norma Spinor § Cohoromología de Galois y grupos ortogonales.

En una característica arbitraria, la norma de giro Q se define en el grupo Clifford por

$${\ displaystyle Q (x) = x ^ {\ mathrm {t}} x.}

Es un homomorfismo del grupo Clifford al grupo K ^× de elementos no nulos de K . Coincide con la forma cuadrática Q de V cuando V se identifica con un subespacio del álgebra de Clifford. Varios autores definen la norma de espinor de manera ligeramente diferente, de modo que difiere de la que aquí en un factor de −1, 2 o −2 en Γ ¹ . La diferencia no es muy importante en la característica distinta de 2.

Los elementos distintos de cero de K tienen norma spinor en el grupo ( K ^× ) ² de los cuadrados de los elementos distintos de cero del campo K . Entonces, cuando V es de dimensión finita y no singular, obtenemos un mapa inducido del grupo ortogonal de V al grupo K ^× / ( K ^× ) ² , también llamado norma de giro. La norma de giro de la reflexión sobre r ^⊥ , para cualquier vector r , tiene la imagen Q ( r ) en K ^× / ( K ^× ) ², y esta propiedad la define de forma única en el grupo ortogonal. Esto da secuencias exactas:

$${\ displaystyle 1 \ to \ {\ pm 1 \} \ to {\ mbox {Pin}} _ {V} (K) \ to {\ mbox {O}} _ {V} (K) \ to K ^ { \ times} / (K ^ {\ times}) ^ {2},}

$${\ displaystyle 1 \ to \ {\ pm 1 \} \ to {\ mbox {Spin}} _ {V} (K) \ to {\ mbox {SO}} _ {V} (K) \ to K ^ { \ times} / (K ^ {\ times}) ^ {2}.}

Tenga en cuenta que en la característica 2 el grupo {± 1} tiene un solo elemento.

Desde el punto de vista de la cohomología de Galois de los grupos algebraicos , la norma espinor es un homomorfismo de conexión en la cohomología. Escribir μ ₂ para el grupo algebraico de raíces cuadradas de 1(sobre un campo de característica no 2 es más o menos lo mismo que un grupo de dos elementos con acción de Galois trivial), la secuencia exacta corta

$${\ displaystyle 1 \ to \ mu _ {2} \ rightarrow {\ mbox {Pin}} _ {V} \ rightarrow {\ mbox {O}} _ {V} \ rightarrow 1}

produce una secuencia larga y exacta en la cohomología, que comienza

$${\ displaystyle 1 \ to H ^ {0} (\ mu _ {2}; K) \ to H ^ {0} ({\ mbox {Pin}} _ {V}; K) \ to H ^ {0} ({\ mbox {O}} _ {V}; K) \ to H ^ {1} (\ mu _ {2}; K).}

El 0º grupo de cohomología de Galois de un grupo algebraico con coeficientes en K es solo el grupo de puntos K-valorados: H ⁰ ( G ; K ) = G ( K ) , y H ¹ (μ ₂ ; K ) ≅ K ^× / ( K ^× ) ² , que recupera la secuencia anterior.

$${\ displaystyle 1 \ to \ {\ pm 1 \} \ to {\ mbox {Pin}} _ {V} (K) \ to {\ mbox {O}} _ {V} (K) \ to K ^ { \ times} / (K ^ {\ times}) ^ {2},}

donde la norma del espinor es el homomorfismo de conexión H ⁰ (O _V ; K ) → H ¹ (μ ₂ ; K ) .

Spin and Pin groups [ editar ]

Más información: Spin group , Pin group y Spinor.

En esta sección, asumimos que V es de dimensión finita y su forma bilineal es no singular. (Si K tiene la característica 2, esto implica que la dimensión de V es par).

El grupo Pin Pin _V ( K ) es el subgrupo del grupo Clifford Γ de elementos de la norma spinor 1, y de manera similar, el grupo Spin Spin _V ( K ) es el subgrupo de elementos de Dickson invariante 0 en el Pin _V ( K ). Cuando la característica no es 2, estos son los elementos del determinante 1. El grupo Spin generalmente tiene un índice 2 en el grupo Pin.

Recuerde de la sección anterior que hay un homomorfismo del grupo de Clifford en el grupo ortogonal. Definimos el grupo ortogonal especial como la imagen de Γ ⁰ . Si K no tiene la característica 2, este es solo el grupo de elementos del grupo ortogonal del determinante 1. Si K tiene la característica 2, entonces todos los elementos del grupo ortogonal tienen el determinante 1, y el grupo ortogonal especial es el conjunto de elementos de Dickson invariante 0.

Hay un homomorfismo del grupo Pin al grupo ortogonal. La imagen consta de los elementos de la norma de giro 1 ∈ K ^× / ( K ^× ) ² . El núcleo se compone de los elementos 1 y -1, y tiene orden 2 a menos que K tiene característica 2. Igualmente hay un homomorfismo del grupo de la vuelta al grupo ortogonal especial de V .

En el caso común cuando V es un espacio definido positivo o negativo sobre los reales, el grupo de giro se mapea en el grupo ortogonal especial, y se conecta simplemente cuando V tiene una dimensión al menos 3. Además, el núcleo de este homomorfismo consiste en 1 y 1. Entonces, en este caso, el grupo de giro, Spin ( n ), es una doble portada de SO ( n ). Tenga en cuenta, sin embargo, que la simple conexión del grupo de espín no es cierta en general: si V es R ^p , q para p y q al menos 2, entonces el grupo de espín no está simplemente conectado. En este caso el grupo algebraico Spin _p , qestá simplemente conectado como un grupo algebraico, aunque su grupo de puntos de valor real Spin _p , q ( R ) no está simplemente conectado. Este es un punto bastante sutil, que confundió completamente a los autores de al menos un libro estándar sobre grupos de spin.

Spinors [ editar ]

Las álgebras de Clifford Cℓ _p , q ( C ), con p + q = 2 n , son álgebra matriciales que tienen una representación compleja de la dimensión ²ⁿ . Al restringirnos al grupo Pin _p , q ( R ) obtenemos una representación compleja del grupo Pin de la misma dimensión, llamada representación de giro . Si restringimos esto al grupo de giro Spin _p , q( R ), entonces se divide como la suma de dos representaciones de medio giro (o representaciones de Weyl ) de dimensión 2 ⁿ⁻¹ .

Si p + q = 2 n + 1 es impar, entonces el álgebra de Clifford Cℓ _p , q ( C ) es una suma de dos álgebras matriciales, cada uno de los cuales tiene una representación de dimensión 2 ⁿ , y ambas son también representaciones del Pin grupo Pin _p , q ( R ). Al restringirse al grupo de spin Spin _p , q ( R ) se vuelven isomorfos, por lo que el grupo de spin tiene una representación de spinor compleja de dimensión 2 ⁿ .

Más generalmente, los grupos espinorales y los grupos de pines sobre cualquier campo tienen representaciones similares cuya estructura exacta depende de la estructura de las correspondientes álgebras de Clifford : siempre que un álgebra de Clifford tenga un factor que sea un álgebra de matriz sobre un álgebra de división, obtenemos una representación correspondiente de los grupos pin y spin sobre esa división de álgebra. Para ver ejemplos sobre los reales, vea el artículo sobre los espinores .

Espinores reales [ editar ]

Más información: spinor

Para describir las representaciones de giros reales, uno debe saber cómo el grupo de giros se sienta dentro de su álgebra de Clifford. El grupo Pin , Pin _p , q es el conjunto de elementos invertibles en Cℓ _p , q que se pueden escribir como un producto de vectores unitarios:

$${\ displaystyle {\ mbox {Pin}} _ {p, q} = \ {v_ {1} v_ {2} \ dots v_ {r} | \, \, \ forall i \, \ | v_ {i} \ | = \ pm 1 \}.}

Comparando con las realizaciones concretas anteriores de las álgebras de Clifford, el grupo Pin corresponde a los productos de muchas reflexiones arbitrarias: es una cubierta del grupo ortogonal completo O ( p , q ) . El grupo Spin consiste en aquellos elementos de Pin _p , q que son productos de un número par de vectores unitarios. Por lo tanto, según el teorema de Cartan-Dieudonné, Spin es una cubierta del grupo de rotaciones correctas SO ( p , q ) .

Sea α  : Cℓ → Cℓ el automorfismo dado por el mapeo v ↦ - v que actúa sobre vectores puros. Luego, en particular, Spin _p , q es el subgrupo de Pin _p , q cuyos elementos están fijados por α . Dejar

$${\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} _ {p, q} ^ {[0]} = \ {x \ in \ operatorname {C \ ell} _ {p, q} | \, \ alpha (x) = X\}.}

(Estos son precisamente los elementos de grado uniforme en Cℓ _p , q .) Luego el grupo de giro se encuentra dentro de Cℓ [0] 
p , q .

Las representaciones irreducibles de Cℓ _{p , q se} restringen para dar representaciones del grupo de pines. A la inversa, dado que el grupo de pines se genera por vectores unitarios, toda su representación irreducible se induce de esta manera. Así coinciden las dos representaciones. Por las mismas razones, las representaciones irreducibles del giro coinciden con las representaciones irreducibles de Cℓ [0] 
p , q .

Para clasificar las representaciones de los pines, solo hay que apelar a la clasificación de las álgebras de Clifford. Para encontrar las representaciones de espín (que son representaciones de la subalgebra par), primero se puede hacer uso de cualquiera de los isomorfismos (ver arriba)

{\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} _ {p, q} ^ {[0]} \ approx \ operatorname {C \ ell} _ {p, q-1}, {\ text {for}} q> 0 }

{\ displaystyle \ operatorname {C \ ell} _ {p, q} ^ {[0]} \ approx \ operatorname {C \ ell} _ {q, p-1}, {\ text {for}} p> 0 }

y realice una representación de giro en la firma ( p , q ) como una representación de pin en cualquiera de las firmas ( p , q - 1) o ( q , p - 1) .

Aplicaciones [ editar ]

Geometría diferencial [ editar ]

Una de las aplicaciones principales del álgebra exterior es la geometría diferencial, donde se utiliza para definir el conjunto de formas diferenciales en una variedad lisa . En el caso de una variedad ( pseudo ) Riemanniana , los espacios tangentes vienen equipados con una forma cuadrática natural inducida por la métrica . Por lo tanto, uno puede definir un paquete de Clifford en analogía con el paquete exterior . Esto tiene una serie de aplicaciones importantes en la geometría riemanniana . Quizás lo más importante es el enlace a una variedad de espín , sus asociadosspinor paquete y el giro ^c colectores.

Física [ editar ]

Las álgebras de Clifford tienen numerosas aplicaciones importantes en la física. Los físicos generalmente consideran que un álgebra de Clifford es un álgebra con una base generada por las matrices γ ₀ , ..., γ ₃ llamadas matrices de Dirac que tienen la propiedad de

$${\ displaystyle \ gamma _ {i} \ gamma _ {j} + \ gamma _ {j} \ gamma _ {i} = 2 \ eta _ {ij} \,}

donde η es la matriz de una forma cuadrática de firma (1, 3) (o (3, 1) correspondiente a las dos opciones equivalentes de firma métrica). Estas son exactamente las relaciones definitorias para el álgebra de Clifford Cℓ
1,3 ( R ), cuyacomplejificaciónesCℓ
1,3 ( R ) _C que, según laclasificación de las álgebras de Clifford, es isomorfo al álgebra de4 × 4matrices complejasCℓ ₄ ( C ) ≈ M ₄ ( C ). Sin embargo, lo mejor es conservar la notaciónCℓ.
1,3 ( R ) _C , ya que cualquier transformación que lleve la forma bilineal a la forma canónicanoesuna transformación de Lorentz del espacio-tiempo subyacente.

El álgebra de Clifford del espacio-tiempo utilizado en física tiene, por lo tanto, más estructura que Cℓ ₄ ( C ) . Tiene además un conjunto de transformaciones preferidas - transformaciones de Lorentz. Ya sea complejización es necesario empezar con depende en parte de las convenciones utilizadas y, en parte, de cuánto se quiere incorporar sin rodeos, pero complejización es lo más a menudo necesaria en la mecánica cuántica, donde la representación giro de la álgebra de Lie de modo (1, 3) sentado en el interior el álgebra de Clifford convencionalmente requiere un álgebra de Clifford compleja. Para referencia, el álgebra de Lie de espín está dado por

$${\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu \ nu} = - {\ frac {i} {4}} [\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu}],}

$${\ displaystyle [\ sigma ^ {\ mu \ nu}, \ sigma ^ {\ rho \ tau}] = i (\ eta ^ {\ tau \ mu} \ sigma ^ {\ rho \ nu} + \ eta ^ { \ nu \ tau} \ sigma ^ {\ mu \ rho} - \ eta ^ {\ rho \ mu} \ sigma ^ {\ tau \ nu} - \ eta ^ {\ nu \ rho} \ sigma ^ {\ mu \ tau}).}

Esto está en la convención (3, 1) , por lo tanto cabe en Cℓ
3,1 ( R ) _C . ^[18]

Paul Dirac escribió las matrices de Dirac por primera vez cuando intentaba escribir una ecuación de onda de primer orden relativista para el electrón , y dio un isomorfismo explícito del álgebra de Clifford al álgebra de matrices complejas. El resultado se utilizó para definir la ecuación de Dirac e introducir el operador de Dirac . Todo el álgebra de Clifford aparece en la teoría cuántica de campos en forma de campos de Dirac bilinear .

El uso de álgebras de Clifford para describir la teoría cuántica ha sido avanzado entre otros por Mario Schönberg, ^[19] por David Hestenes en términos de cálculo geométrico , por David Bohm y Basil Hiley y colaboradores en forma de una jerarquía de álgebras de Clifford , y por Elio Conte et al. ^[20] [21]

Visión por computador [ editar ]

Las álgebras de Clifford se han aplicado en el problema del reconocimiento de acciones y la clasificación en la visión artificial . Rodriguez et al. ^[22] proponen una incrustación de Clifford para generalizar los filtros MACH tradicionales al video (volumen espaciotemporal 3D) y datos vectoriales como el flujo óptico . Los datos de valores vectoriales se analizan utilizando la Transformada de Fourier de Clifford . En función de estos vectores, los filtros de acción se sintetizan en el dominio de Fourier de Clifford y el reconocimiento de las acciones se realiza mediante la correlación de Clifford. Los autores demuestran la efectividad de la integración de Clifford al reconocer acciones que normalmente se realizan en películas clásicas y programas de televisión de transmisión deportiva.

Generalizaciones [ editar ]

• Si bien este artículo se centra en un álgebra de Clifford de un espacio vectorial sobre un campo, la definición se extiende sin cambios a un módulo sobre cualquier anillo unital, asociativo y conmutativo. ^[3]
• Las álgebras de Clifford pueden generalizarse en una forma de grado superior a la cuadrática sobre un espacio vectorial.