LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

anillo polinomial o un álgebra polinomial es un anillo (que también es un álgebra conmutativa ) formado a partir del conjunto de polinomios en uno o más indeterminados (también denominados variables ) con coeficientes en otro anillo , a menudo un campo .

Los anillos polinomiales ocurren en muchas partes de las matemáticas, y el estudio de sus propiedades fue una de las principales motivaciones para el desarrollo de álgebra conmutativa y teoría de anillos . Los anillos polinomiales y sus ideales son fundamentales en la geometría algebraica . Muchas clases de anillos, tales como dominios únicos de factorización , anillos regulares , anillos de grupo , anillos de series formales , polinomios Ore, álgebra graduada , son generalizaciones de anillos de polinomios.

Una noción estrechamente relacionada es la del anillo de funciones polinomiales en un espacio vectorial , y, más generalmente, el anillo de funciones regulares en una variedad algebraica .

El anillo polinomial K [ X ] [ editar ]

Definición [ editar ]

El anillo polinomial , K [ X ], en X sobre un campo K se define ^[1] como el conjunto de expresiones, llamadas polinomios en X , de la forma

$${\ displaystyle p = p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + \ cdots + p_ {m-1} X ^ {m-1} + p_ {m} X ^ { metro},}

donde p ₀ , p ₁ , ..., p _m , los coeficientes de p , son elementos de K , y X , X ² , son símbolos, que se consideran como "potencias de X " y, por convención, siguen la reglas usuales de exponenciación : X ⁰ = 1 , X ¹ = X , y$${\ displaystyle X ^ {k} \, X ^ {l} = X ^ {k + l}}para cualquier número entero no negativo k y l . El símbolo X se llama un indeterminado ^[2] o variable. ^[3]

Dos polinomios se definen como iguales cuando el coeficiente correspondiente de cada X ^k es igual.

Esta terminología es sugerida por funciones polinomiales reales o complejas . Sin embargo, en general, X y sus poderes, X ^k , se tratan como símbolos formales, no como elementos del campo K o funciones sobre él. Uno puede pensar en el anillo K [ X ] como el resultado de K mediante la adición de un nuevo elemento de X que es externo a K y requiriendo que X conmutan con todos los elementos de K .

El anillo polinomial en X sobre K está equipado con una suma, una multiplicación y una multiplicación escalar que lo convierten en un álgebra conmutativa . Estas operaciones se definen de acuerdo con las reglas ordinarias para manipular expresiones algebraicas. Específicamente, si

$${\ displaystyle p = p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + \ cdots + p_ {m} X ^ {m},}

y

$${\ displaystyle q = q_ {0} + q_ {1} X + q_ {2} X ^ {2} + \ cdots + q_ {n} X ^ {n},}

entonces

$${\ displaystyle p + q = r_ {0} + r_ {1} X + r_ {2} X ^ {2} + \ cdots + r_ {k} X ^ {k},}

y

$${\ displaystyle pq = s_ {0} + s_ {1} X + s_ {2} X ^ {2} + \ cdots + s_ {l} X ^ {l},}

donde k = max ( m , n ), l = m + n ,

$${\ displaystyle r_ {i} = p_ {i} + q_ {i}}

y

$${\ displaystyle s_ {i} = p_ {0} q_ {i} + p_ {1} q_ {i-1} + \ cdots + p_ {i} q_ {0}.}

Si es necesario, los polinomios p y q son extendidas mediante la adición de "términos ficticios" con coeficientes cero, de modo que las expresiones para r _i y s _i siempre se definen. Específicamente, si m < n , entonces p _i = 0 para m < i ≤ n .

La multiplicación escalar es el caso especial de la multiplicación donde p = p ₀ se reduce a su término que es independiente de X , es decir

$${\ displaystyle p_ {0} (q_ {0} + q_ {1} X + \ dots q_ {n} X ^ {n}) = p_ {0} q_ {0} + (p_ {0} q_ {1}) X + \ cdots + (p_ {0} q_ {n}) X ^ {n}}

Es fácil verificar que estas tres operaciones satisfacen los axiomas de un álgebra conmutativa. Por lo tanto, los anillos polinomiales también se llaman álgebras polinomiales .

A menudo se prefiere otra definición equivalente, aunque menos intuitiva, porque es más fácil hacerla completamente rigurosa, que consiste en definir un polinomio como una secuencia infinita de elementos de K , ( p ₀ , p ₁ , p ₂ , ...) teniendo la propiedad de que solo un número finito de los elementos son distintos de cero, o equivalentemente, una secuencia para la que hay algunos m, de modo que p _n = 0 para n > m . En este caso, la expresión.

$${\ displaystyle p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + \ cdots + p_ {m} X ^ {m}}

se considera una notación alternativa para la secuencia ( p ₀ , p ₁ , p ₂ , ..., p _m , 0, 0, ...) .

Más generalmente, el campo K puede ser reemplazado por cualquier anillo conmutativo R cuando toma la misma construcción que arriba, dando lugar al anillo polinomial sobre R , que se denota como R [ X ].

Grado de un polinomio [ editar ]

El grado de un polinomio p , escrito deg ( p ) es el k mayor, de modo que el coeficiente de X ^k no es cero. ^[4] En este caso el coeficiente p _k es llamado el coeficiente principal . ^[5] En el caso especial de polinomio cero, todos cuyos coeficientes son cero, el grado se ha dejado indefinido, ^[6] definido como −1, ^[7] o definido como un símbolo especial −∞. ^[8]

Si K es un campo, o más generalmente un dominio integral , entonces de la definición de multiplicación, ^[9]

$${\ displaystyle \ operatorname {deg} (pq) = \ operatorname {deg} (p) + \ operatorname {deg} (q).}

Se deduce inmediatamente que si K es un dominio integral, entonces K también es [ X ]. ^[10]

Propiedades de K [ X ] [ editar ]

Factorización en K [ X ] [ editar ]

La siguiente propiedad del anillo polinomial es mucho más profunda. Ya Euclid observó que cada entero positivo puede ser factorizado de manera única en un producto de números primos ; esta declaración ahora se denomina teorema fundamental de la aritmética . La prueba se basa en el algoritmo de Euclid para encontrar el mayor divisor común de números naturales . En cada paso de este algoritmo, un par ( a , b ) , a > b , de números naturales se reemplaza por un nuevo par ( b , r ) , donde res el resto de la división de a por b , y los nuevos números son más pequeños . Gauss observó que el procedimiento de división con el resto también se puede definir para polinomios: dados dos polinomios p y q , donde q ≠ 0 , se puede escribir

$${\ displaystyle p = uq + r,}

donde el cociente u y el resto r son polinomios, el grado de r es menor que el grado de q , y una descomposición con estas propiedades es única. El cociente y el resto se encuentran utilizando la división larga polinomial . El grado del polinomio ahora desempeña un papel similar al valor absoluto de un entero: es estrictamente menor en el resto r que en q, y cuando se repite este paso, tal disminución no puede continuar indefinidamente. Por lo tanto, eventualmente alguna división será exacta, momento en el que el último resto distinto de cero es el mayor divisor común de los dos polinomios iniciales. Usando la existencia de los mayores divisores comunes, Gauss pudo probar simultáneamente el teorema fundamental de la aritmética para los enteros y su generalización a los polinomios. De hecho, existen otros anillos conmutativos distintos de Z y K [ X ] que admiten de manera similar un análogo del algoritmo euclidiano; Todos estos anillos se llaman anillos euclidianos . Los anillos para los cuales existe una factorización única (en un sentido apropiado) de elementos distintos de cero en factores irreductiblesse denominanDominios de factorización únicos o anillos factoriales ; la construcción dada muestra que todos los anillos euclidianos, y en particular Z y K [ X ], son dominios de factorización únicos.

Aunque el algoritmo euclidiano permite probar la propiedad de factorización única, no proporciona un algoritmo para calcular la factorización. Para los enteros, hay algoritmos de factorización . Sin embargo, incluso las computadoras más rápidas no pueden factorizar enteros grandes con solo unos pocos factores primos grandes. Esta es la base del sistema de cifrado RSA , ampliamente utilizado para comunicaciones de Internet seguras. Para polinomios sobre enteros, sobre números racionales o sobre un campo finito , existen algoritmos eficientes que se implementan en sistemas de álgebra computacional (ver Factorización de polinomios ). Por otro lado, hay un ejemplo de un campo Fde tal manera que existen algoritmos para las operaciones de F , pero no puede existir ningún algoritmo para decidir si un polinomio de la forma$${\ displaystyle X ^ {p} -a}Es irreducible o es producto de polinomios de menor grado. ^[11]

Otro corolario de la división polinomial con el resto es el hecho de que todo ideal propio I de K [ X ] es principal , es decir, I consiste en los múltiplos de un solo polinomio f . Por lo tanto, el anillo polinomial K [ X ] es un dominio ideal principal , y por la misma razón, cada dominio euclidiano es un dominio ideal principal. Además, cada dominio ideal principal es un dominio de factorización único. Estas deducciones hacen uso esencial del hecho de que los coeficientes polinomiales se encuentran en un campo , es decir, en el paso de división polinomial, que requiere el coeficiente principal deq , que solo se sabe que es distinto de cero, tiene un inverso. Si R es un dominio integral que no es un campo, entonces R [ X ] no es un dominio euclidiano ni un dominio ideal principal; sin embargo, aún podría ser un dominio de factorización único (y lo será si y solo si R en sí es un dominio de factorización único, por ejemplo, si es Z u otro anillo polinómico).

Anillo cociente de K [ X ] [ editar ]

El anillo K [ X ] de polinomios sobre K se obtiene a partir K por contigua un elemento, X . Resulta que cualquier anillo conmutativo L que contiene K y generado como un anillo por un solo elemento además de K puede describirse utilizando K [ X ]. En particular, esto se aplica a finitas extensiones de campo de K .

Consideremos un elemento θ en un anillo conmutativo L que contiene K . Existe un homomorfismo de anillo único φ de K [ X ] a L que mapea X a θ y no afecta a los elementos de K en sí (es el mapa de identidad en K ). Este homomorfismo es único, ya que debe asignar cada potencia de X a la misma potencia de θ y cualquier combinación lineal de potencias de X con coeficientes en K a la misma combinación lineal de potencias deX . Consiste así en "reemplazar X con θ " en cada polinomio.

$${\ displaystyle \ varphi (a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0}) = a_ {m} \ theta ^ {m} + a_ {m-1} \ theta ^ {m-1} + \ cdots + a_ {1} \ theta + a_ {0}.}

Si L es generado como un anillo mediante la adición de θ a K , cualquier elemento de L aparece como el lado derecho de la última expresión para adecuado m y elementos de un ₀ , ..., un _m de K . Por lo tanto, φ es sobreyectiva y L es una imagen homomorphic de K [ X ]. Más formalmente, sea Ker φ el núcleo de φ . Es un ideal de K [ X ] y por el primero.teorema de isomorfismo para anillos, L es isomorfo al cociente del anillo polinomial K [ X ] por el ideal Ker φ . Dado que el anillo polinomial es un dominio ideal principal, este ideal es principal : existe un polinomio p ∈ K [ X ] tal que

$${\ displaystyle L \ simeq K [X] / (p),}

dónde $${\ displaystyle (p)} denota el ideal generado por $${\ displaystyle p.}

Una aplicación particularmente importante es el caso cuando el anillo más grande L es un campo . Entonces el polinomio p debe ser irreducible . A la inversa, el teorema del elemento primitivo establece que cualquier extensión de campo separable finita L / K puede ser generada por un solo elemento θ ∈ L y la teoría anterior proporciona una descripción concreta del campo L como el cociente del anillo polinomial K [ X ] por un ideal principal generado por un polinomio irreducible p . Como ilustración, el campo Cde números complejos es una extensión del campo R de números reales generados por un solo elemento i tal que i ² + 1 = 0. En consecuencia, el polinomio X ² + 1 es irreductible sobre R y

$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ simeq \ mathbb {R} [X] / (X ^ {2} +1).}

Más generalmente, dado un anillo A (no necesariamente conmutativo) que contiene K y un elemento a de A que conmuta con todos los elementos de K , existe un homomorfismo de anillo único del anillo polinomial K [X] a Aque mapea X a a :

$${\ displaystyle \ phi: K [X] \ a A, \ quad \ phi (X) = a.}

Este homomorfismo viene dado por la misma fórmula que antes, pero en general no es sobreyectivo. La existencia y singularidad de tal homomorfismo ph expresa una cierta propiedad universal del anillo de polinomios en una variable y explica la ubicuidad de los anillos polinomiales en varias preguntas y construcciones de la teoría del anillo y el álgebra conmutativa .

Modulos [ editar ]

El teorema de estructura para los módulos generados de manera finita sobre un dominio ideal principal se aplica a K [ X ]. Esto significa que cada módulo generado finamente sobre K [ X ] se puede descomponer en una suma directa de un módulo libre y, finalmente, muchos módulos de la forma$${\ displaystyle K [X] / \ langle P ^ {k} \ rangle}, donde P es un polinomio irreducible sobre K y k un entero positivo.

Evaluación polinomio [ editar ]

Deje que K sea un campo o, más en general, un anillo conmutativo , y R un anillo que contiene K . Para cualquier polinomio P en K [X] y cualquier elemento a en R , la sustitución de X por a en P define un elemento de R , que se denota como P ( a ) . Este elemento se obtiene mediante, después de la sustitución, llevando a cabo, en R , las operaciones indicadas por la expresión del polinomio. Este cálculo se denomina evaluación de Pen una . Por ejemplo, si tenemos

$${\ displaystyle P = X ^ {2} -1,}

tenemos

$${\ displaystyle P (3) = 3 ^ {2} -1 = 8,}

$${\ displaystyle P (X ^ {2} +1) = (X ^ {2} +1) ^ {2} -1 = X ^ {4} + 2X ^ {2}}

(en el primer ejemplo R = K , y en el segundo R = K [ X ]). Sustituyendo X por sí mismo resulta en

$${\ displaystyle P = P (X),}

explicando por qué las oraciones " Sea P un polinomio " y " Sea P ( X ) un polinomio " son equivalentes.

Para cada una en R , el mapa$${\ displaystyle P \ mapsto P (a)}define un homomorfismo de anillos de K [ X ] en R .

La función polinomial definida por un polinomio P es la función de K a K que se define por$${\ displaystyle x \ mapsto P (x).}Si K es un campo infinito, dos polinomios diferentes definen diferentes funciones polinomiales, pero esta propiedad es falsa para campos finitos. Por ejemplo, si K es un campo con elementos q , entonces los polinomios 0 y X ^q - X definen la función cero.

El anillo polinomial en varias variables [ editar ]

Polinomios [ editar ]

Un polinomio en n variables X ₁ , ..., X _n con coeficientes en un campo K se define de manera análoga a un polinomio en una variable, pero la notación es más complicada. Para cualquier multi-índice α = ( α ₁ ,…, α _n ), donde cada α _i es un entero no negativo, deje

$${\ displaystyle X ^ {\ alpha} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} = X_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ ldots X_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}.}

El producto X ^α se llama el monomio de multidegree α . Un polinomio es una combinación lineal finita de monomios con coeficientes en K

$${\ displaystyle p = \ sum _ {\ alpha} p _ {\ alpha} X ^ {\ alpha},}

dónde $${\ displaystyle p _ {\ alpha} = p _ {\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}} \ en {K},} y solo finamente, muchos coeficientes p _α son diferentes de 0. El grado de un monomio X ^α , frecuentemente indicado | α |, se define como

$${\ displaystyle | \ alpha | = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i}, \}

y el grado de un polinomio p es el mayor grado de un monomio que ocurre con un coeficiente distinto de cero en la expansión de p .

El anillo polinomial [ editar ]

Los polinomios en n variables con coeficientes en K forman un anillo conmutativo denominado K [ X ₁ , ..., X _n ], o algunas veces K [ X ], donde X es un símbolo que representa el conjunto completo de variables, X = ( X ₁ , ..., X _n), y se llama el anillo polinomial en n variables . El anillo polinomial en n variables se puede obtener mediante la aplicación repetida de K [ X ] (el orden por el cual es irrelevante). Por ejemplo,K [ X ₁ , X ₂ ] es isomorfo a K [ X ₁ ] [ X ₂ ].

Los polinomios en varias variables juegan un papel fundamental en la geometría algebraica . Muchos resultados en álgebra conmutativa y homológica se originaron en el estudio de ideales y módulos sobre anillos polinomiales.

Los anillos polinomiales también pueden denominarse álgebras conmutativas libres , ya que son los objetos libres en la categoría de álgebras conmutativas . De manera similar, un anillo polinomial con coeficientes en los enteros es el anillo conmutativo libre sobre su conjunto de variables.

Hilstellensatz de Hilbert [ editar ]

Artículo principal: Hilbert's Nullstellensatz

Un grupo de resultados fundamentales relacionados con la relación entre los ideales del anillo polinomial K [ X ₁ , ..., X _n ] y los subconjuntos algebraicos de K ⁿ originados con David Hilbert se conoce con el nombre de Nullstellensatz (literalmente: "teorema del locus cero") .

• ( Forma débil, campo de coeficientes algebraicamente cerrado ). Sea K un campo algebraicamente cerrado . Entonces, cada ideal máximo m de K [ X ₁ , ..., X _n ] tiene la forma

$${\ displaystyle m = (X_ {1} -a_ {1}, \ ldots, X_ {n} -a_ {n}), \ quad a = (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ in {K} ^ {n}.}

• ( Forma débil, cualquier campo de coeficientes ). Sea k un campo, K sea ​​una extensión de campo algebraicamente cerrado de k y yo un ideal en el anillo polinomial k [ X ₁ , ..., X _n ]. Entonces I contiene 1 si y sólo si los polinomios en I no tienen ningún cero común en K ⁿ .
• ( Forma fuerte ). Sea k un campo, K sea ​​una extensión de campo algebraicamente cerrado de k , I sea ​​un ideal en el anillo polinomial k [ X ₁ , ..., X _n ] y V ( I ) sea el subconjunto algebraico de K ⁿ definido por I . Supongamos que f es un polinomio que desaparece en todos los puntos de V ( I ). Entonces, algún poder de fpertenece al ideal I :

$${\ displaystyle f ^ {m} \ en I, {\ text {para algunos}} m \ en \ mathbb {N}. \,}

El uso de la noción de radical de un ideal , la conclusión dice que f pertenece al radical de I . Como corolario de esta forma de Nullstellensatz, existe una correspondencia biyectiva entre los ideales radicales de K [ X ₁ , ..., X _n ] para un campo K algebraicamente cerrado y los subconjuntos algebraicos del espacio afín n-dimensional K ⁿ . Surge del mapa.

$${\ displaystyle I \ mapsto V (I), \ quad I \ subconjunto K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}], \ quad V (I) \ subconjunto K ^ {n}.}

Los ideales primarios del anillo polinomial corresponden a subvariedades irreductibles de K ⁿ .

Propiedades de la extensión del anillo R ⊂ R [ X ] [ editar ]

Una de las técnicas básicas en álgebra conmutativa es relacionar las propiedades de un anillo con las propiedades de sus subordenes . La notación R ⊂ S indica que un anillo R es un subanillo de un anillo de S . En este caso, S se llama una superposición de R y se habla de una extensión de anillo . Esto funciona particularmente bien para los anillos polinomiales y permite establecer muchas propiedades importantes del anillo de polinomios en varias variables sobre un campo, K [ X ₁ , ..., X _n ], por inducción en n.

Resumen de los resultados [ editar ]

En las siguientes propiedades, R es un anillo conmutativo y S = R [ X ₁ , ..., X _n ] es el anillo de polinomios en nvariables de más de R . La extensión de anillo R ⊂ S se puede construir a partir de R en n pasos, adjuntando sucesivamente X ₁ , ..., X _n . Por lo tanto, para establecer cada una de las propiedades a continuación, es suficiente considerar el caso n = 1.

• Si R es un dominio de integridad , entonces el mismo es válido para S .
• Si R es un dominio de factorización única continuación, lo mismo vale para S . La prueba se basa en el lema de Gauss .
• Teorema de la base de Hilbert : Si R es un anillo noetheriano , a continuación, lo mismo vale para S .
• Supongamos que R es un anillo noetheriano de dimensión global finita . Entonces

$${\ displaystyle \ operatorname {gl} \, \ dim R [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] = \ operatorname {gl} \, \ dim R + n.

Un resultado análogo es válido para la dimensión de Krull .

Generalizaciones [ editar ]

Los anillos polinomiales se pueden generalizar de muchas maneras, incluidos los anillos polinomiales con exponentes generalizados, los anillos de series de potencias, los anillos polinomiales no conmutativos y los anillos de polinomios sesgados.

Infinitamente muchas variables [ editar ]

Esta sección necesita expansión. Puedes ayudar añadiéndolo . ( Julio 2017 )

Una ligera generalización de los anillos polinomiales es permitir infinitos indeterminados. Cada monomio aún involucra solo un número finito de indeterminados (de modo que su grado permanece finito), y cada polinomio es una combinación lineal (finita) de monomios. Por lo tanto, cualquier polinomio individual involucra solo muchos indeterminados, y cualquier cálculo finito que involucre polinomios permanece dentro de algunos subgrupos de polinomios en muchos indeterminados. Esta generalización tiene la misma propiedad de los anillos polinomiales habituales, de ser el álgebra conmutativa libre , la única diferencia es que es un objeto libre sobre un conjunto infinito.

También se puede considerar un anillo estrictamente más grande, definiendo como un polinomio generalizado una suma infinita (o finita) de monomios con un grado acotado. Este anillo es más grande que el anillo polinomial habitual, ya que incluye infinitas sumas de variables. Sin embargo, es más pequeño que el anillo de la serie de poder en infinitas variables . Dicho anillo se utiliza para construir el anillo de funciones simétricas sobre un conjunto infinito.

Exponentes generalizados [ editar ]

Artículo principal: Anillo monoide.

Una simple generalización solo cambia el conjunto del cual se dibujan los exponentes de la variable. Las fórmulas para la suma y la multiplicación tienen sentido siempre que se puedan agregar exponentes: X ⁱ · X ^j = X ^i + j . Un conjunto para el cual la adición tiene sentido (es cerrado y asociativo) se llama monoide . El conjunto de funciones de un monoide N a un anillo R que son distintos de cero en un número finito de lugares puede recibir la estructura de un anillo conocido como R [ N ], el anillo monoide de N con coeficientes en R. La adición se define componente a componente, de modo que si c = un + b , a continuación, c _n = un _n + b _n para cada n en N . La multiplicación se define como el producto de Cauchy, de modo que si c = a · b , entonces para cada n en N , c _nes la suma de todos a _i b _j donde i , j se extiende sobre todos los pares de elementos de N que suma an .

Cuando N es conmutativo, es conveniente denotar la función a en R [ N ] como la suma formal:

$${\ displaystyle \ sum _ {n \ en N} a_ {n} X ^ {n}}

y luego las fórmulas para sumar y multiplicar son las familiares:

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {n \ en N} a_ {n} X ^ {n} \ right) + \ left (\ sum _ {n \ in N} b_ {n} X ^ {n} \ derecha) = \ sum _ {n \ en N} (a_ {n} + b_ {n}) X ^ {n}}

y

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {n \ en N} a_ {n} X ^ {n} \ right) \ cdot \ left (\ sum _ {n \ in N} b_ {n} X ^ {n} \ right) = \ sum _ {n \ en N} \ left (\ sum _ {i + j = n} a_ {i} b_ {j} \ right) X ^ {n}}

donde la última suma se toma sobre todo i , j en N que suma a n .

Algunos autores como ( Lang 2002 , II, §3) llegan a tomar esta definición de monoide como punto de partida, y los polinomios de variable única regular son el caso especial donde N es el monoide de los enteros no negativos. Los polinomios en varias variables simplemente toman N como el producto directo de varias copias del monoide de enteros no negativos.

Varios ejemplos interesantes de anillos y grupos se forman tomando N como el monoide aditivo de los números racionales no negativos, ( Osbourne 2000 , §4.4). Ver también la serie Puiseux .

Series de potencia [ editar ]

Artículo principal: serie de poder formal

Las series de potencias generalizan la elección del exponente en una dirección diferente permitiendo infinitos términos distintos de cero. Esto requiere varias hipótesis sobre el monoide N utilizado para los exponentes, para asegurar que las sumas en el producto de Cauchy sean sumas finitas. Alternativamente, se puede colocar una topología en el anillo, y luego una se restringe a sumas infinitas convergentes. Para la elección estándar de N , los enteros no negativos, no hay problema, y ​​el anillo de la serie de poder formal se define como el conjunto de funciones de N a un anillo R con adición de componentes, y multiplicación dada por Cauchy producto. La serie de anillos de poder se puede ver como la terminación del anillo polinomial.

Anillos polinomiales no conmutativos [ editar ]

Artículo principal: Álgebra libre.

Para anillos polinomiales de más de una variable, los productos X · Y e Y · X simplemente se definen como iguales. Se obtiene una noción más general de anillo polinomial cuando se mantiene la distinción entre estos dos productos formales. Formalmente, el anillo polinomial en n variables no mutantes con coeficientes en el anillo Res el anillo monoide R [ N ], donde el monoide N es el monoide libre en n letras, también conocido como el conjunto de todas las cadenas sobre un alfabeto de nSímbolos, con multiplicación dada por concatenación. Ni los coeficientes ni las variables necesitan conmutar entre sí, pero los coeficientes y las variables conmutan entre sí.

Del mismo modo que el anillo polinomial en n variables con coeficientes en el anillo conmutativo R es el álgebra R conmutativa libre del rango n , el anillo polinomial no conmutativo en n variables con coeficientes en el anillo conmutativo R es el R -algebra asociativa libre unital en n generadores, que no es conmutativo cuando n  > 1.

Anillos diferenciales y sesgados polinomiales [ editar ]

Artículo principal: Extensión de mineral

Otras generalizaciones de los polinomios son los anillos diferenciales y los polinomios sesgados.

Un anillo de polinomios diferencial es un anillo de operadores diferenciales formados a partir de un anillo R y una derivación δ de R en R . Esta derivación opera en R , y se denotará como X , cuando se vea como un operador. Los elementos de R también operan en R por multiplicación. La composición de los operadores se denota como la multiplicación habitual. Se sigue que la relación δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b puede ser reescrito como

$${\ displaystyle X \ cdot a = a \ cdot X + \ delta (a).}

Esta relación puede extenderse para definir una multiplicación sesgada entre dos polinomios en X con coeficientes en R , lo que los convierte en un anillo no conmutativo.

El ejemplo estándar, llamado álgebra de Weyl , toma a R como un anillo polinomial k [ Y ], y δ como el derivado polinomial estándar$${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial} {\ partial Y}}}. Tomando a = Y en la relación anterior, uno obtiene la relación de conmutación canónica , X · Y - Y · X = 1. Extendiendo esta relación por asociatividad y distributividad permite construir explícitamente el álgebra de Weyl ( Lam 2001 , §1, ex1.9 ).

El anillo de sesgo-polinomio se define de manera similar para un anillo R y un anillo endomorfismo f de R , al extender la multiplicación de la relación X · r = f ( r ) · X para producir una multiplicación asociativa que se distribuye sobre la adición estándar. Más generalmente, dado un homomorfismo F del monoide N de los enteros positivos en el anillo endomorfismo de R , la fórmula X ⁿ · r = F ( n ) ( r ) ·X ⁿ permite construir un anillo de polinomio sesgado ( Lam 2001 , §1, ej. 1.11) Los anillos de polinomio sesgado están estrechamente relacionados con álgebras de productos cruzados .