LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

 serie de poder formal es una generalización de un polinomio , donde se permite que el número de términos sea infinito; esto implica renunciar a la posibilidad de reemplazar la variable en el polinomio con un número arbitrario. Por lo tanto, una serie de poder formal se diferencia de un polinomio en que puede tener infinitos términos, y difiere de una serie de poder , cuyas variables pueden tomar valores numéricos. Una forma de ver una serie de poder formal es como una secuencia ordenada infinita de números. En este caso, las potencias de la variable se utilizan solo para indicar el orden de los coeficientes, de modo que el coeficiente de$${\ displaystyle x ^ {5}}Es el quinto término en la secuencia. En combinatoria , las series formales de poder proporcionan representaciones de secuencias numéricas y de conjuntos múltiples , y por ejemplo permiten expresiones concisas para secuencias definidas recursivamente , independientemente de si la recursión puede resolverse explícitamente; Esto se conoce como el método de generar funciones . Más generalmente, las series de poder formales pueden incluir series con cualquier número finito de variables y con coeficientes en un anillo arbitrario . Se pueden crear series formales de poder a partir de polinomios de Taylor usando módulos formales .

Introducción [ editar ]

Una serie de poder formal puede considerarse libremente como un objeto que es como un polinomio , pero con infinitos términos. Alternativamente, para aquellos familiarizados con las series de potencias (o series de Taylor ), se puede pensar en una serie de potencias formal como una serie de potencias en la que ignoramos las cuestiones de convergencia al no suponer que la variable X denota ningún valor numérico (ni siquiera un valor desconocido). ). Por ejemplo, considere la serie

$${\ displaystyle A = 1-3X + 5X ^ {2} -7X ^ {3} + 9X ^ {4} -11X ^ {5} + \ cdots.}

Si estudiamos esto como una serie de potencias, sus propiedades incluirían, por ejemplo, que su radio de convergencia es 1. Sin embargo, como una serie de potencias formal, podemos ignorarlo por completo; todo lo que es relevante es la secuencia de coeficientes [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. En otras palabras, una serie de poder formal es un objeto que simplemente registra una secuencia de coeficientes. Es perfectamente aceptable que considerar una serie de potencias formal con los factoriales [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...] como coeficientes, a pesar de que la serie de potencias correspondiente diverge para cualquier valor distinto de cero de X .

La aritmética en series de poder formal se lleva a cabo simplemente simulando que las series son polinomios. Por ejemplo, si

$${\ displaystyle B = 2X + 4X ^ {3} + 6X ^ {5} + \ cdots,}

luego sumamos A y B término por término:

$${\ displaystyle A + B = 1-X + 5X ^ {2} -3X ^ {3} + 9X ^ {4} -5X ^ {5} + \ cdots.}

Podemos multiplicar las series de poder formales, de nuevo solo tratándolos como polinomios (ver en particular el producto de Cauchy ):

$${\ displaystyle AB = 2X-6X ^ {2} + 14X ^ {3} -26X ^ {4} + 44X ^ {5} + \ cdots.}

Observe que cada coeficiente en el producto AB solamente depende de un finito número de coeficientes de A y B. Por ejemplo, el término X ⁵ está dado por

$${\ displaystyle 44X ^ {5} = (1 \ veces 6X ^ {5}) + (5X ^ {2} \ veces 4X ^ {3}) + (9X ^ {4} \ veces 2X).}

Por esta razón, uno puede multiplicar las series de poder formales sin preocuparse por las cuestiones habituales de convergencia absoluta , condicional y uniforme que surgen al tratar con las series de poder en el contexto del análisis .

Una vez que hemos definido la multiplicación para series de poder formales, podemos definir los inversos multiplicativos de la siguiente manera. El inverso multiplicativo de una serie de poder formal A es una serie de poder formal C tal que AC = 1, siempre que exista tal serie de poder formal. Resulta que si A tiene un inverso multiplicativo, es único y lo denotamos por A ⁻¹ . Ahora podemos definir la división de series formales de potencia definiendo B / A como el producto BA ⁻¹ , siempre que exista la inversa de A. Por ejemplo, uno puede usar la definición de multiplicación anterior para verificar la fórmula familiar

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1 + X}} = 1-X + X ^ {2} -X ^ {3} + X ^ {4} -X ^ {5} + \ cdots.}

Una operación importante en series formales de potencia es la extracción de coeficientes. En su forma más básica, el operador de extracción de coeficientes.$${\ displaystyle [X ^ {n}]} Aplicado a una serie de poder formal. $${\ displaystyle A} en una variable extrae el coeficiente de la $${\ displaystyle n}El poder de la variable, para que $${\ displaystyle [X ^ {2}] A = 5} y $${\ displaystyle [X ^ {5}] A = -11}. Otros ejemplos incluyen

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left [X ^ {3} \ right] (B) & = 4, \\\ left [X ^ {2} \ right] (X + 3X ^ {2} Y ^ {3} + 10Y ^ {6}) & = 3Y ^ {3}, \\\ izquierda [X ^ {2} Y ^ {3} \ derecha] (X + 3X ^ {2} Y ^ {3} + 10Y ^ {6}) & = 3, \\\ izquierda [X ^ {n} \ derecha] \ izquierda ({\ frac {1} {1 + X}} \ derecha) & = (- 1) ^ {n }, \\\ izquierda [X ^ {n} \ derecha] \ izquierda ({\ frac {X} {(1-X) ^ {2}}} \ derecha) & = n. \ end {alineado}}}

De manera similar, muchas otras operaciones que se llevan a cabo en polinomios pueden extenderse a la configuración de la serie de poder formal, como se explica a continuación.

El anillo de series formales [ editar ]

El conjunto de todas las series de potencias formales en X con coeficientes en un anillo conmutativo R forma otro anillo que se escribe$${\ displaystyle R [[X]],}y llamado el anillo de series formales en la variable  X sobre R .

Definición del anillo de la serie de poder formal [ editar ]

Se puede caracterizar $${\ displaystyle R [[X]]}De forma abstracta como la terminación del anillo polinomial.$${\ displaystyle R [X]}Equipado con una métrica particular . Esto da automáticamente$${\ displaystyle R [[X]]}la estructura de un anillo topológico (e incluso de un espacio métrico completo). Pero la construcción general de una terminación de un espacio métrico es más complicada que lo que se necesita aquí, y haría que las series de poder formal parezcan más complicadas de lo que son. Es posible describir$${\ displaystyle R [[X]]} de forma más explícita, y defina la estructura de anillo y la estructura topológica por separado, de la siguiente manera.

Estructura del anillo [ editar ]

Como conjunto, $${\ displaystyle R [[X]]} se puede construir como el conjunto $${\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}} De todas las secuencias infinitas de elementos de $${\ displaystyle R}, indexados por los números naturales (tomados para incluir 0). Designando una secuencia cuyo término en índice$${\ displaystyle n} es $${\ displaystyle a_ {n}} por $${\ displaystyle (a_ {n})}, una define la suma de dos de tales secuencias por

$${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} + (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} = \ left (a_ {n} + b_ {n } \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

y multiplicación por

$${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ times (b_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} = \ left (\ sum _ {k = 0 } ^ {n} a_ {k} b_ {nk} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}.}

Este tipo de producto se llama el producto de Cauchy de las dos secuencias de coeficientes, y es una especie de convolución discreta . Con estas operaciones,$${\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}} Se convierte en un anillo conmutativo con elemento cero. $${\ displaystyle (0,0,0, \ ldots)} y la identidad multiplicativa $${\ displaystyle (1,0,0, \ ldots)}.

El producto es, de hecho, el mismo que se usó para definir el producto de polinomios en un indeterminado, lo que sugiere el uso de una notación similar. Uno encaja$${\ displaystyle R} dentro $${\ displaystyle R [[X]]} enviando cualquier (constante) $${\ displaystyle a \ in R} a la secuencia $${\ displaystyle (a, 0,0, \ ldots)} y designa la secuencia $${\ displaystyle (0,1,0,0, \ ldots)} por $${\ displaystyle X}; luego, utilizando las definiciones anteriores, cada secuencia con solo un número finito de términos distintos de cero puede expresarse en términos de estos elementos especiales como

$${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}, 0,0, \ ldots) = a_ {0} + a_ {1} X + \ cdots + a_ { n} X ^ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} X ^ {i};}

estos son precisamente los polinomios en $${\ displaystyle X}. Dado esto, es bastante natural y conveniente designar una secuencia general$${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} por la expresion formal $${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i}}Aunque esta última no es una expresión formada por las operaciones de suma y multiplicación definidas anteriormente (a partir de las cuales solo se pueden construir sumas finitas). Esta convención de notación permite la reformulación de las definiciones anteriores como

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ right) + \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} b_ { i} X ^ {i} \ right) = \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} (a_ {i} + b_ {i}) X ^ {i}}

y

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ right) \ times \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} b_ {i} X ^ {i} \ right) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b_ {nk} \ right ) X ^ {n}.}

lo cual es bastante conveniente, pero uno debe ser consciente de la distinción entre la suma formal (una mera convención) y la suma real.

Estructura topológica [ editar ]

Habiendo estipulado convencionalmente que

$${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i} , \ qquad (1)}

a uno le gustaría interpretar el lado derecho como una suma infinita bien definida. Para ello, una noción de convergencia en$${\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}Se define y una topología en$${\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}esta construido. Hay varias formas equivalentes de definir la topología deseada.

• Podemos dar $${\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}la topología del producto , donde cada copia de$${\ displaystyle R}Se le da la topología discreta .

• Podemos dar $${\ displaystyle R ^ {\ mathbb {N}}}la topología I-adic , donde$${\ displaystyle I = (X)} es el ideal generado por $${\ displaystyle X}, que consiste en todas las secuencias cuyo primer término $${\ displaystyle a_ {0}} es cero

• La topología deseada también podría derivarse de la siguiente métrica . La distancia entre distintas secuencias.$${\ displaystyle (a_ {n}), (b_ {n}) \ en R ^ {\ mathbb {N}},} se define para ser

$${\ displaystyle d ((a_ {n}), (b_ {n})) = 2 ^ {- k},}

dónde $${\ displaystyle k}es el número natural más pequeño tal que$${\ displaystyle a_ {k} \ neq b_ {k}}; la distancia entre dos secuencias iguales es, por supuesto, cero.

Informalmente, dos secuencias. $${\ displaystyle \ {a_ {n} \}} y $${\ displaystyle \ {b_ {n} \}}cada vez más cerca si cada vez más de sus términos concuerdan exactamente. Formalmente, la secuencia de sumas parciales de una suma infinita converge si para cada poder fijo de$${\ displaystyle X}el coeficiente se estabiliza: hay un punto más allá del cual todas las sumas parciales adicionales tienen el mismo coeficiente. Este es claramente el caso del lado derecho de (1), independientemente de los valores$${\ displaystyle a_ {n}}, desde la inclusión del término para $${\ displaystyle i = n} da el último (y de hecho solo) el cambio al coeficiente de $${\ displaystyle X ^ {n}}. También es obvio que el límite de la secuencia de sumas parciales es igual al lado izquierdo.

Esta estructura topológica, junto con las operaciones de anillo descritas anteriormente, forman un anillo topológico . Esto se llama el anillo de la serie de poder formal sobre$${\ displaystyle R} y se denota por $${\ displaystyle R [[X]]}. La topología tiene la propiedad útil de que una suma infinita converge si y solo si la secuencia de sus términos converge a 0, lo que simplemente significa que cualquier poder fijo de$${\ displaystyle X} Ocurre sólo en muchos términos finitos.

La estructura topológica permite un uso mucho más flexible de sumas infinitas. Por ejemplo, la regla para la multiplicación se puede reformular simplemente como

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} a_ {i} X ^ {i} \ right) \ times \ left (\ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} b_ {i} X ^ {i} \ right) = \ sum _ {i, j \ in \ mathbb {N}} a_ {i} b_ {j} X ^ {i + j},}

ya que solo finamente muchos términos a la derecha afectan a cualquier fijo $${\ displaystyle X ^ {n}}. Los productos infinitos también se definen por la estructura topológica; se puede ver que un producto infinito converge si y solo si la secuencia de sus factores converge a 1.

Topologías alternativas [ editar ]

La topología anterior es la topología más fina para la cual

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} X ^ {i}}

siempre converge como una suma a la serie de poder formal designada por la misma expresión, y con frecuencia es suficiente para dar un significado a sumas y productos infinitos, u otros tipos de límites que uno desea usar para designar series de poder formal particulares. Sin embargo, puede suceder ocasionalmente que se desee usar una topología más gruesa, de modo que ciertas expresiones se vuelvan convergentes que de otra manera divergirían. Esto se aplica en particular cuando el anillo base$${\ displaystyle R} ya viene con una topología diferente a la discreta, por ejemplo, si también es un anillo de series de poder formales.

Considere el anillo de la serie de poder formal: $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [[X]] [[Y]],} entonces la topología de la construcción anterior solo se relaciona con lo indeterminado $${\ displaystyle Y}, desde la topología que se puso en $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [[X]]}ha sido reemplazado por la topología discreta al definir la topología de todo el anillo. Asi que

$${\ displaystyle \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} XY ^ {i}}

converge a la serie de potencias sugerida, que puede escribirse como $${\ displaystyle {\ tfrac {X} {1-Y}}}; sin embargo la suma

$${\ displaystyle \ sum _ {i \ in \ mathbb {N}} X ^ {i} Y}

sería considerado divergente, ya que cada término afecta el coeficiente de $${\ displaystyle Y} (cuyo coeficiente es en sí mismo una serie de potencias en $${\ displaystyle X}). Esta asimetría desaparece si suena la serie de potencias.$${\ displaystyle Y} Se le da la topología del producto donde cada copia de $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [[X]]}recibe su topología como un anillo de series de poder formales en lugar de la topología discreta. Como consecuencia, para la convergencia de una secuencia de elementos de$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [[X]] [[Y]]} entonces basta con que el coeficiente de cada poder de $${\ displaystyle Y} converge a una serie de poder formal en $${\ displaystyle X}, una condición más débil que se estabiliza por completo; por ejemplo, en el segundo ejemplo dado aquí el coeficiente de$${\ displaystyle Y}converge a $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-X}}}, así que toda la suma converge a $${\ displaystyle {\ tfrac {Y} {1-X}}}.

Esta forma de definir la topología es, de hecho, la estándar para construcciones repetidas de anillos de series de poder formales, y proporciona la misma topología que se obtendría al tomar series de poder formales en todos los indeterminados a la vez. En el ejemplo anterior eso significaría construir$${\ displaystyle \ mathbb {Z} [[X, Y]],} y aquí una secuencia converge si y solo si el coeficiente de cada monomio $${\ displaystyle X ^ {i} Y ^ {j}}se estabiliza. Esta topología, que es también la$${\ displaystyle I}-dogia topologica, donde $${\ displaystyle I = (X, Y)} es el ideal generado por $${\ displaystyle X} y $${\ displaystyle Y}, todavía disfruta de la propiedad de que una suma converge si y solo si sus términos tienden a 0.

El mismo principio podría usarse para hacer que otros límites divergentes converjan. Por ejemplo en$${\ displaystyle \ mathbb {R} [[X]]} el límite

$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {X} {n}} \ right) ^ {n}}

no existe, por lo que en particular no converge a

$${\ displaystyle \ exp (X) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {X ^ {n}} {n!}}.}

Esto es porque para $${\ displaystyle i \ geq 2} el coeficiente $${\ displaystyle {\ tbinom {n} {i}} / n ^ {i}} de $${\ displaystyle X ^ {i}} no se estabiliza como $${\ displaystyle n \ to \ infty}. Sin embargo, converge en la topología habitual de$${\ displaystyle \ mathbb {R}}, y de hecho al coeficiente. $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {i!}}} de $${\ displaystyle \ exp (X)}. Por lo tanto, si uno diera$${\ displaystyle \ mathbb {R} [[X]]} la topología del producto de $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}} donde la topología de $${\ displaystyle \ mathbb {R}} es la topología habitual en lugar de la discreta, entonces el límite anterior converge a $${\ displaystyle \ exp (X)}. Sin embargo, este enfoque más permisivo no es el estándar cuando se consideran series formales de poder, ya que conduciría a consideraciones de convergencia que son tan sutiles como lo son en el análisis , mientras que la filosofía de las series formales de poder es, por el contrario, hacer preguntas de convergencia tan triviales como posiblemente pueden ser. Con esta topología, no sería el caso de que una suma converja si y solo si sus términos tienden a 0.

Propiedad universal [ editar ]

El anillo $${\ displaystyle R [[X]]}Puede caracterizarse por la siguiente propiedad universal . Si$${\ displaystyle S} es un álgebra asociativa conmutativa sobre $${\ displaystyle R}, Si $${\ displaystyle I} es un ideal de $${\ displaystyle S} tal que el $${\ displaystyle I}topología errática $${\ displaystyle S} está completo, y si $${\ displaystyle x} es un elemento de $${\ displaystyle I}, entonces hay un único $${\ displaystyle \ Phi: R [[X]] \ to S} con las siguientes propiedades:

• $${\ displaystyle \ Phi} es un $${\ displaystyle R}-alomebra homomorfismo

• $${\ displaystyle \ Phi} es continuo

• $${\ displaystyle \ Phi (X) = x}.

Las operaciones en las series formales [ editar ]

Uno puede realizar operaciones algebraicas en series de potencia para generar nuevas series de potencia. ^[1] [2]Además de las operaciones de estructura de anillo definidas anteriormente, tenemos lo siguiente.

Serie de potencias elevadas a potencias [ editar ]

Si n es un número natural tenemos

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} X ^ {k} \ right) ^ {n} = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} c_ {m} X ^ {m},}

dónde:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} c_ {0} & = a_ {0} ^ {n} \\ c_ {m} & = {\ frac {1} {ma_ {0}}} \ sum _ {k = 1} ^ {m} (kn-m + k) a_ {k} c_ {mk} && m \ geq 1 \ end {alineado}}}

(Esta fórmula sólo puede usarse si m y un ₀ son invertible en el anillo de escalares.)

En el caso de series formales de potencia con coeficientes complejos, las potencias complejas están bien definidas al menos para la serie f con un término constante igual a 1. En este caso,$${\ displaystyle f ^ {\ alpha}}se puede definir por composición con la serie binomial (1+ x ) ^α , o por composición con la serie exponencial y logarítmica,$${\ displaystyle f ^ {\ alpha} = \ exp (\ alpha \ log (f)),} o como la solución de la ecuación diferencial. $${\ displaystyle f (f ^ {\ alpha}) '= \ alpha f ^ {\ alpha} f'}con el término constante 1, las tres definiciones son equivalentes. Las reglas del cálculo.$${\ displaystyle (f ^ {\ alpha}) ^ {\ beta} = f ^ {\ alpha \ beta}} y $${\ displaystyle f ^ {\ alpha} g ^ {\ alpha} = (fg) ^ {\ alpha}} seguir fácilmente

Invertir series [ editar ]

Las series

$${\ displaystyle A = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n} \ en R [[X]]}

es invertible en $${\ displaystyle R [[X]]} Si y solo si su coeficiente constante. $${\ displaystyle a_ {0}} es invertible en $${\ displaystyle R}. Esta condición es necesaria, por el siguiente motivo: si suponemos que$${\ displaystyle A} tiene un inverso $${\ displaystyle B = b_ {0} + b_ {1} x + \ cdots}entonces el término constante$${\ displaystyle a_ {0} b_ {0}} de $${\ displaystyle A \ cdot B}es el término constante de la serie de identidad, es decir, es 1. Esta condición también es suficiente; Podemos calcular los coeficientes de la serie inversa.$${\ displaystyle B} a través de la fórmula recursiva explícita

{\ displaystyle {\ begin {alineado} b_ {0} & = {\ frac {1} {a_ {0}}} \\ b_ {n} & = - {\ frac {1} {a_ {0}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {ni} && {\ text {for}} n \ geq 1. \ end {alineado}}}

Un caso especial importante es que la fórmula de la serie geométrica es válida en$${\ displaystyle K [[X]]}:

$${\ displaystyle (1-X) ^ {- 1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} X ^ {n}.}

Si $${\ displaystyle R = K} es un campo, entonces una serie es invertible si y solo si el término constante no es cero, es decir, si y solo si la serie no es divisible por $${\ displaystyle X}. Esto dice que$${\ displaystyle K [[X]]}Es un anillo de valoración discreto con parámetro de uniformización.$${\ displaystyle X}.

Dividiendo series [ editar ]

El cálculo de un cociente. $${\ displaystyle f / g = h}

$${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} X ^ {n}} {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} X ^ {n},}

asumiendo que el denominador es invertible (es decir, $${\ displaystyle a_ {0}} es invertible en el anillo de los escalares), se puede realizar como un producto $${\ displaystyle f} y el inverso de $${\ displaystyle g}, o igualando directamente los coeficientes en $${\ displaystyle f = gh}:

$${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {a_ {0}}} \ left (b_ {n} - \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} c_ {nk} \ Correcto).}

Coeficientes de extracción [ editar ]

El operador de extracción de coeficiente aplicado a una serie de potencia formal.

$${\ displaystyle f (X) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n}}

en X esta escrito

$${\ displaystyle \ left [X ^ {m} \ right] f (X)}

y extrae el coeficiente de X ^m , para que

$${\ displaystyle \ left [X ^ {m} \ right] f (X) = \ left [X ^ {m} \ right] \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ { n} = a_ {m}.}

Composición de la serie [ editar ]

Serie de poder formal dada.

$${\ displaystyle f (X) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} X ^ {n} = a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + \ cdots}

$${\ displaystyle g (X) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} X ^ {n} = b_ {0} + b_ {1} X + b_ {2} X ^ {2 } + \ cdots,}

uno puede formar la composicion

$${\ displaystyle g (f (X)) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (f (X)) ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} X ^ {n},}

donde los coeficientes c _n se determinan "expandiendo" las potencias de f ( X ):

$${\ displaystyle c_ {n}: = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}, | j | = n} b_ {k} a_ {j_ {1}} a_ {j_ {2}} \ cdots a_ { j_ {k}}.}

Aquí la suma se extiende sobre todo ( k , j ) con$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}} y $${\ displaystyle j \ in \ mathbb {N} _ {+} ^ {k}} con $${\ displaystyle | j |: = j_ {1} + \ cdots + j_ {k} = n.}

La fórmula de Faà di Bruno proporciona una descripción más explícita de estos coeficientes , al menos en el caso de que el anillo de coeficientes sea un campo de característica 0 .

Un punto aquí es que esta operación solo es válida cuando $${\ displaystyle f (X)}no tiene término constante , por lo que cada$${\ displaystyle c_ {n}}depende solo de un número finito de coeficientes de $${\ displaystyle f (X)} y $${\ displaystyle g (X)}. En otras palabras la serie para$${\ displaystyle g (f (X))}converge en la topología de$${\ displaystyle R [[X]]}.

Ejemplo [ editar ]

Supongamos que el anillo $${\ displaystyle R} Tiene característica 0. Si lo denotamos por $${\ displaystyle \ exp (X)} la serie de poder formal

$${\ displaystyle \ exp (X) = 1 + X + {\ frac {X ^ {2}} {2!}} + {\ frac {X ^ {3}} {3!}} + {\ frac {X ^ {4}} {4!}} + \ Cdots,}

entonces la expresión

$${\ displaystyle \ exp (\ exp (X) -1) = 1 + X + X ^ {2} + {\ frac {5X ^ {3}} {6}} + {\ frac {5X ^ {4}} {8}} + \ cdots}

Tiene perfecto sentido como una serie de poder formal. Sin embargo, la declaración

$${\ displaystyle \ exp (\ exp (X)) = e \ exp (\ exp (X) -1) = e + eX + eX ^ {2} + {\ frac {5eX ^ {3}} {6}} + \ cdots}

No es una aplicación válida de la operación de composición para series formales de poder. Más bien, es confuso las nociones de convergencia en$${\ displaystyle R [[X]]} y convergencia en $${\ displaystyle R}; de hecho, el anillo$${\ displaystyle R} ni siquiera puede contener ningún número $${\ displaystyle e} Con las propiedades adecuadas.

Composición inversa [ editar ]

Siempre que una serie formal.

$${\ displaystyle f (X) = \ sum _ {k} f_ {k} X ^ {k} \ en R [[X]]}

tiene f ₀ = 0 y f ₁ es un elemento invertible de R , existe una serie

$${\ displaystyle g (X) = \ sum _ {k} g_ {k} X ^ {k}}

Esa es la composición inversa de$${\ displaystyle f}, lo que significa que componer $${\ displaystyle f} con $${\ displaystyle g}da la serie que representa la función de identidad (cuyo primer coeficiente es 1 y todos los demás coeficientes son cero). Los coeficientes de$${\ displaystyle g}se puede encontrar recursivamente utilizando la fórmula anterior para los coeficientes de una composición, equiparándolos con los de la identidad de la composición X (que es 1 en el grado 1 y 0 en cada grado mayor que 1). En el caso de que el anillo de coeficientes sea un campo de la característica 0, la fórmula de inversión de Lagrange proporciona una herramienta poderosa para calcular los coeficientes de g , así como los coeficientes de las potencias (multiplicativas) de g .

La diferenciación formal de la serie [ editar ]

Dada una serie de poder formal.

$${\ displaystyle f = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} X ^ {n} \ en R [[X]],

Definimos su derivado formal , denotado Df o f ′, por

$${\ displaystyle Df = \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} nX ^ {n-1}.}

El símbolo D se llama operador de diferenciación formal . La motivación detrás de esta definición es que simplemente imita la diferenciación término por término de un polinomio.

Esta operación es R - lineal :

$${\ displaystyle D (af + bg) = a \ cdot Df + b \ cdot Dg}

para cualquier a , b en R y cualquier f , g en$${\ displaystyle R [[X]].}Además, el derivado formal tiene muchas de las propiedades del derivado habitual del cálculo. Por ejemplo, la regla del producto es válida:

$${\ displaystyle D (fg) = f \ cdot (Dg) + (Df) \ cdot g,}

y la regla de la cadena también funciona:

$${\ displaystyle D (f \ circ g) = (Df \ circ g) \ cdot Dg,}

siempre que se definan las composiciones apropiadas de la serie (ver más arriba en la composición de la serie ).

Por lo tanto, en estos aspectos, las series de poder formales se comportan como las series de Taylor . De hecho, para la f definida anteriormente, encontramos que

$${\ displaystyle (D ^ {k} f) (0) = k! a_ {k},}

donde D ^k denota el k th derivado formal (es decir, el resultado de diferenciar formalmente k veces).

Propiedades [ editar ]

Propiedades algebraicas del anillo de la serie de poder formal [ editar ]

$${\ displaystyle R [[X]]}es un álgebra asociativa sobre$${\ displaystyle R} que contiene el anillo $${\ displaystyle R [X]} de polinomios sobre $${\ displaystyle R}; Los polinomios corresponden a las secuencias que terminan en ceros.

El radical jacobson de$${\ displaystyle R [[X]]}es el ideal generado por$${\ displaystyle X} y el radical jacobson de $${\ displaystyle R}; esto está implícito en el criterio de invertibilidad del elemento discutido anteriormente.

Los ideales máximos de$${\ displaystyle R [[X]]} todos surgen de aquellos en $${\ displaystyle R} de la siguiente manera: un ideal $${\ displaystyle M} de $${\ displaystyle R [[X]]} es máximo si y solo si $${\ displaystyle M \ cap R} es un ideal maximo de $${\ displaystyle R} y $${\ displaystyle M} Se genera como ideal por $${\ displaystyle X} y $${\ displaystyle M \ cap R}.

Varias propiedades algebraicas de $${\ displaystyle R} son heredados por $${\ displaystyle R [[X]]}:

• Si $${\ displaystyle R}Es un anillo local , entonces también lo es.$${\ displaystyle R [[X]]};

• Si $${\ displaystyle R}es noetherian , entonces también lo es$${\ displaystyle R [[X]]}; esta es una versión del teorema de base de Hilbert ;

• Si $${\ displaystyle R}Es un dominio integral , entonces también lo es.$${\ displaystyle R [[X]]};

• Si $${\ displaystyle K}es un campo , entonces$${\ displaystyle K [[X]]}Es un anillo de valoración discreto .

Propiedades topológicas del anillo de la serie de poder formal [ editar ]

El espacio métrico $${\ displaystyle (R [[X]], d)}es completa .

El anillo $${\ displaystyle R [[X]]}es compacto si y solo si R es finito . Esto se deduce del teorema de Tychonoff y la caracterización de la topología en$${\ displaystyle R [[X]]} Como topología de producto.

Preparación Weierstrass [ editar ]

Artículo principal: Teorema de preparación de Weierstrass § Series de poder formales en anillos locales completos

El anillo de la serie de poder formal con coeficientes en un anillo local completo satisface el teorema de preparación de Weierstrass .

Aplicaciones [ editar ]

Las series de poder formal se pueden usar para resolver las recurrencias que ocurren en la teoría de números y la combinatoria. Para un ejemplo que involucra encontrar una expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci , vea el artículo sobre ejemplos de funciones de generación .

Uno puede usar series de poder formales para probar varias relaciones familiares a partir del análisis en un entorno puramente algebraico. Consideremos por ejemplo los siguientes elementos de$${\ displaystyle \ mathbb {Q} [[X]]}:

$${\ displaystyle \ sin (X): = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} X ^ {2n + 1}}

$${\ displaystyle \ cos (X): = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {2n}}

Entonces uno puede mostrar que

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} (X) + \ cos ^ {2} (X) = 1,}

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial X}} \ sin (X) = \ cos (X),}

$${\ displaystyle \ sin (X + Y) = \ sin (X) \ cos (Y) + \ cos (X) \ sin (Y).}

El último siendo válido en el ring. $${\ displaystyle \ mathbb {Q} [[X, Y]].}

Para K un campo, el anillo.$${\ displaystyle K [[X_ {1}, \ ldots, X_ {r}]}a menudo se utiliza como el anillo local completo "más estándar" sobre K en el álgebra.

Interpretando series de poder formales como funciones [ editar ]

En el análisis matemático , cada serie de poder convergente define una función con valores en los números reales o complejos . Las series de poder formales también pueden interpretarse como funciones, pero hay que tener cuidado con el dominio y el dominio de código . Dejar

$${\ displaystyle f = \ sum a_ {n} X ^ {n} \ en R [[X]],

y supongamos S es un álgebra asociativa conmutativa sobre R , I es un ideal en S tal que la topología I-adic en Sse ha completado, y x es un elemento de I . Definir:

$${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} x ^ {n}.}

Se garantiza que esta serie converge en S dadas las suposiciones anteriores en x . Además, tenemos

$${\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)}

y

$${\ displaystyle (fg) (x) = f (x) g (x).}

A diferencia del caso de las funciones de buena fe, estas fórmulas no son definiciones, sino que deben probarse.

Desde la topología en $${\ displaystyle R [[X]]}es la ( X ) topología errática y$${\ displaystyle R [[X]]}está completo, en particular podemos aplicar series de potencias a otras series de potencias, siempre que los argumentos no tengan coeficientes constantes(de modo que pertenezcan al ideal ( X )): f (0), f ( X ² - X ) y f ((1− X ) ⁻¹  - 1) están bien definidos para cualquier serie de poder formal$${\ displaystyle f \ en R [[X]].}

Con este formalismo, podemos dar una fórmula explícita para el inverso multiplicativo de una serie de potencias fcuyo coeficiente constante a = f (0) es invertible en R :

$${\ displaystyle f ^ {- 1} = \ sum _ {n \ geq 0} a ^ {- n-1} (af) ^ {n}.}

Si la serie formal de potencias g con g (0) = 0 se da implícitamente mediante la ecuación

$${\ displaystyle f (g) = X}

donde f es una serie de potencias conocida con f (0) = 0, entonces los coeficientes de g pueden calcularse explícitamente utilizando la fórmula de inversión de Lagrange .

Generalizaciones [ editar ]

Serie formal de Laurent [ editar ]

Una serie formal de Laurent sobre un anillo.$${\ displaystyle R}se define de manera similar a una serie de poder formal, excepto que también permitimos finamente muchos términos de grado negativo (esto es diferente de la serie clásica de Laurent ), que es una serie de la forma

$${\ displaystyle f = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} a_ {n} X ^ {n}}

dónde $${\ displaystyle a_ {n} = 0} Para todos, pero finamente muchos índices negativos. $${\ displaystyle n}. Se puede definir la multiplicación de tales series. De hecho, de manera similar a la definición para series formales de potencia, el coeficiente de X ^k de dos series con secuencias respectivas de coeficientes$${\ displaystyle \ {a_ {n} \}} y $${\ displaystyle \ {b_ {n} \}} es

$${\ displaystyle \ sum _ {i \ in \ mathbb {Z}} a_ {i} b_ {ki},}

cuya suma es efectivamente finita debido a la supuesta desaparición de los coeficientes en índices suficientemente negativos, y que suman cero para suficientemente negativos $${\ displaystyle k} por la misma razón.

Para una serie formal de Laurent distinta de cero, el entero mínimo $${\ displaystyle n} tal que $${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0} se llama el orden de $${\ displaystyle f}, denotado $${\ displaystyle \ operatorname {ord} (f).} (El orden de la serie cero es $${\ displaystyle + \ infty}.) La serie formal de Laurent forma el anillo de la serie formal de Laurent sobre$${\ displaystyle R}, denotado por $${\ displaystyle R ((X))}. Es igual a la localización de$${\ displaystyle R [[X]]} con respecto al conjunto de poderes positivos de $${\ displaystyle X}. Es un anillo topológico con la métrica:

$${\ displaystyle d (f, g) = 2 ^ {- \ operatorname {ord} (fg)}.}

Si $${\ displaystyle R = K}es un campo , entonces$${\ displaystyle K ((X))}es de hecho un campo, que puede obtenerse alternativamente como el campo de fracciones del dominio integral $${\ displaystyle K [[X]]}.

Uno puede definir la diferenciación formal para las series formales de Laurent de una manera natural (término por término). Precisamente, el derivado formal de la serie formal de Laurent.$${\ displaystyle f} arriba es

$${\ displaystyle f '= Df = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} na_ {n} X ^ {n-1}}

que es de nuevo un elemento de $${\ displaystyle K ((X))}. Note que si$${\ displaystyle f} es una serie formal no constante de Laurent, y K es un campo de característica 0, entonces uno tiene

$${\ displaystyle \ operatorname {ord} (f ') = \ operatorname {ord} (f) -1.}

Sin embargo, en general este no es el caso ya que el factor n para el término de orden más bajo podría ser igual a 0 en R .

Residuo formal [ editar ]

Asumir que $${\ displaystyle K}Es un campo de la característica 0. Entonces el mapa.

$${\ displaystyle D \ colon K ((X)) \ a K ((X))}

es un $${\ displaystyle K}- Derivación que satisface.

$${\ displaystyle \ ker D = K}

$${\ displaystyle \ operatorname {im} D = \ left \ {f \ en K ((X)): [X ^ {- 1}] f = 0 \ right \}.}

Este último muestra que el coeficiente de $${\ displaystyle X ^ {- 1}} en $${\ displaystyle f}es de particular interés; se llama residuo formal de$${\ displaystyle f} y denotado $${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f)}. El mapa

$${\ displaystyle \ operatorname {Res}: K ((X)) \ to K}

es $${\ displaystyle K}-lineal, y por la observación anterior se tiene una secuencia exacta

$${\ displaystyle 0 \ to K \ to K ((X)) {\ xrightarrow {D}} K ((X)) \; {\ xrightarrow {\ operatorname {Res}}} \; K \ to 0.}

Algunas reglas de cálculo . Como consecuencia directa de la definición anterior y de las reglas de derivación formal, uno tiene, para cualquier$${\ displaystyle f, g \ en K ((X))}

yo. $${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f ') = 0;}

ii. $${\ displaystyle \ operatorname {Res} (fg ') = - \ operatorname {Res} (f'g);}

iii. $${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f '/ f) = \ operatorname {ord} (f), \ qquad \ forall f \ neq 0;}

iv. $${\ displaystyle \ operatorname {Res} \ left ((f \ circ g) g '\ right) = \ operatorname {ord} (g) \ operatorname {Res} (f),} Si {\ displaystyle \ operatorname {ord} (g)> 0;}

v. $${\ displaystyle [X ^ {n}] f (X) = \ operatorname {Res} \ left (X ^ {- n-1} f (X) \ right).}

La propiedad (i) es parte de la secuencia exacta anterior. La propiedad (ii) se deriva de (i) como se aplica a$${\ displaystyle (fg) '= f'g + fg'}. Propiedad (iii): cualquiera$${\ displaystyle f} se puede escribir en el formulario $${\ displaystyle f = X ^ {m} g}, con $${\ displaystyle m = \ operatorname {ord} (f)}y $${\ displaystyle \ operatorname {ord} (g) = 0}: entonces $${\ displaystyle f '/ f = mX ^ {- 1} + g' / g.} $${\ displaystyle \ operatorname {ord} (g) = 0} implica $${\ displaystyle g} es invertible en $${\ displaystyle K [[X]] \ subset \ operatorname {im} (D) = \ ker (\ operatorname {Res}),} De dónde $${\ displaystyle \ operatorname {Res} (f '/ f) = m.} Propiedad (iv): Desde $${\ displaystyle \ operatorname {im} (D) = \ ker (\ operatorname {Res}),}podemos escribir $${\ displaystyle f = f _ {- 1} X ^ {- 1} + F ',} con $${\ displaystyle F \ en K [[X]]}. Por consiguiente,$${\ displaystyle (f \ circ g) g '= f _ {- 1} g ^ {- 1} g' + (F '\ circ g) g' = f _ {- 1} g '/ g + (F \ circ g ) '}y (iv) se desprende de (i) y (iii). La propiedad (v) está clara a partir de la definición.

La fórmula de inversión de Lagrange [ editar ]

Artículo principal: Teorema de inversión de Lagrange.

Como se mencionó anteriormente, cualquier serie formal. $${\ displaystyle f \ en K [[X]]}con f ₀ = 0 y f ₁ ≠ 0 tiene una composición inversa$${\ displaystyle g \ en K [[X]].}Se mantiene la siguiente relación entre los coeficientes g ⁿ y f ^- k (" Fórmula de inversión de Lagrange "):

$${\ displaystyle k [X ^ {k}] g ^ {n} = n [X ^ {- n}] f ^ {- k}.}

En particular, para n  = 1 y todo k  ≥ 1,

$${\ displaystyle [X ^ {k}] g = {\ frac {1} {k}} \ operatorname {Res} \ left (f ^ {- k} \ right).}

Dado que la prueba de la fórmula de inversión de Lagrange es un cálculo muy corto, vale la pena informarlo aquí. Ya que$${\ displaystyle \ operatorname {ord} (f) = 1}, por las anteriores reglas de cálculo,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} k [X ^ {k}] g ^ {n} & = k \ operatorname {Res} \ left (g ^ {n} X ^ {- k-1} \ right) = k \ operatorname {Res} \ left (X ^ {n} f ^ {- k-1} f \, '\ right) = - \ operatorname {Res} \ left (X ^ {n} (f ^ {- k }) ^ {'} \ right) \\ & = \ operatorname {Res} \ left (\ left (X ^ {n} \ right)' f ^ {- k} \ right) = n \ operatorname {Res} \ izquierda (X ^ {n-1} f ^ {- k} \ derecha) = n [X ^ {- n}] f ^ {- k}. \ end {alineado}}}

Generalizaciones. Se puede observar que el cálculo anterior puede repetirse claramente en ajustes más generales que K (( X )): ya está disponible una generalización de la fórmula de inversión de Lagrange trabajando en el$${\ displaystyle \ mathbb {C} ((X))}-módulos $${\ displaystyle X ^ {\ alpha} \ mathbb {C} ((X)),}donde α es un exponente complejo. Como consecuencia, si f y g son como las anteriores, con$${\ displaystyle f_ {1} = g_ {1} = 1}, podemos relacionar las potencias complejas de f / X y g / X : precisamente, si α y β son números complejos no nulos con una suma entera negativa,$${\ displaystyle m = - \ alpha - \ beta \ in \ mathbb {N},} entonces

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ alpha}} [X ^ {m}] \ left ({\ frac {f} {X}} \ right) ^ {\ alpha} = - {\ frac {1} {\ beta}} [X ^ {m}] \ left ({\ frac {g} {X}} \ right) ^ {\ beta}.}

Por ejemplo, de esta manera uno encuentra la serie de potencias para los poderes complejos de la función de Lambert .

Series de potencias en varias variables [ editar ]

Se pueden definir series de poder formales en cualquier número de indeterminados (incluso infinitos). Si I es un conjunto de índices y X _I es el conjunto de indeterminados X _i para i ∈ I , a continuación, un monomio X ^α es cualquier producto finito de elementos de X _I (repeticiones permitidas); una serie de potencia formal en X _I con coeficientes en un anillo R se determina mediante cualquier mapeo del conjunto de monomios X ^α a un coeficiente c _α correspondiente , y se denota$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha}}. El conjunto de todas estas series de poder formales se denota$${\ displaystyle R [[X_ {I}]]} y se le da una estructura de anillo definiendo

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) + \ left (\ sum _ {\ alpha} d _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ derecha) = \ sum _ {\ alpha} (c _ {\ alpha} + d _ {\ alpha}) X ^ {\ alpha}}

y

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ times \ left (\ sum _ {\ beta} d _ {\ beta} X ^ {\ beta} \ right) = \ sum _ {\ alpha, \ beta} c _ {\ alpha} d _ {\ beta} X ^ {\ alpha + \ beta}}

Topologia [ editar ]

La topología en $${\ displaystyle R [[X_ {I}]]}es tal que una secuencia de sus elementos converge solo si para cada monomio X ^α el coeficiente correspondiente se estabiliza. Si I es finito, entonces esta es la topología J -adic, donde J es el ideal de$${\ displaystyle R [[X_ {I}]]}generada por todas las indeterminadas en X _I . Esto no se sostiene si yo es infinito. Por ejemplo, si$${\ displaystyle I = \ mathbb {N},} entonces la secuencia $${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} con $${\ displaystyle f_ {n} = X_ {n} + X_ {n + 1} + X_ {n + 2} + \ cdots}no converge con respecto a ninguna topología J -ádica en R , pero claramente para cada monomio el coeficiente correspondiente se estabiliza.

Como se señaló anteriormente, la topología en una serie de potencias formales repetidas suena como $${\ displaystyle R [[X]] [[Y]]}Generalmente se elige de tal manera que se convierta en isomorfo como un anillo topológico para$${\ displaystyle R [[X, Y]].}

Operaciones [ editar ]

Todas las operaciones definidas para series en una variable pueden extenderse al caso de varias variables.

• Una serie es invertible si y sólo si su término constante es invertible en R .

• La composición f ( g ( X )) de dos series f y g se define si f es una serie en un solo indeterminado, y el término constante de g es cero. Para una serie f en varios indeterminados, una forma de "composición" puede definirse de manera similar, con tantas series separadas en lugar de g como indeterminados.

En el caso de la derivada formal, ahora hay operadores derivados parciales separados , que se diferencian con respecto a cada uno de los indeterminados. Todos ellos viajan juntos.

Propiedad universal [ editar ]

En el caso de varias variables, la característica de caracterización universal. $${\ displaystyle R [[X_ {1}, \ ldots, X_ {r}]]se convierte en el siguiente. Si S es un álgebra asociativa conmutativa sobre R , si I es un ideal de S tal que la topología I -adic en S está completa, y si x ₁ , ..., x _r son elementos de I , entonces hay una única mapa$${\ displaystyle \ Phi: R [[X_ {1}, \ ldots, X_ {r}]] \ a S}con las siguientes propiedades:

• Φ es un homomorfismo de álgebra R

• Φ es continuo

• Φ ( X _i ) = x _i para i = 1, ..., r .

Variables sin conmutación [ editar ]

El caso variable de varios puede generalizarse adicionalmente mediante la adopción de las variables no de trayecto X _i para i ∈ I , donde I es un índice de conjuntos y luego un monomio X ^α es cualquier palabra en el X _I ; una serie de potencia formal en X _I con coeficientes en un anillo R se determina mediante cualquier mapeo del conjunto de monomios X ^α a un coeficiente c _α correspondiente , y se denota$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha}}. El conjunto de todas las series de poder formales se denota como R « X _I », y se le asigna una estructura de anillo al definir la suma a la manera puntual

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) + \ left (\ sum _ {\ alpha} d _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ derecha) = \ sum _ {\ alpha} (c _ {\ alpha} + d _ {\ alpha}) X ^ {\ alpha}}

y multiplicación por

$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {\ alpha} c _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ right) \ times \ left (\ sum _ {\ alpha} d _ {\ alpha} X ^ {\ alpha} \ right = = sum _ {\ alpha, \ beta} c _ {\ alpha} d _ {\ beta} X ^ {\ alpha} \ cdot X ^ {\ beta}}

donde · denota concatenacion de palabras. Estas series de potencias formal sobre R forman el anillo de Magnus sobre R . ^[3] [4]

En un semiring [ editar ]

Esta sección necesita expansióncon: suma, producto, ejemplos. Puedes ayudar añadiéndolo . ( Agosto 2014 )

Dado un alfabeto $${\ displaystyle \ Sigma}y un semiringuito $${\ displaystyle S}. La serie de poder formal sobre$${\ displaystyle S} apoyado en el idioma $${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}} se denota por $${\ displaystyle S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle}. Se compone de todas las asignaciones$${\ displaystyle r: \ Sigma ^ {*} \ to S}, dónde $${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}}es el monoide libre generado por el conjunto no vacío$${\ displaystyle \ Sigma}.

Los elementos de $${\ displaystyle S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle} Puede ser escrito como sumas formales

$${\ displaystyle r = \ sum _ {w \ in \ Sigma ^ {*}} (r, w) w.}

dónde $${\ displaystyle (r, w)} denota el valor de $${\ displaystyle r} en la palabra $${\ displaystyle w \ in \ Sigma ^ {*}}. Los elementos$${\ displaystyle (r, w) \ en S} se llaman los coeficientes de $${\ displaystyle r}.

por $${\ displaystyle r \ en S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle} el apoyo de $${\ displaystyle r} es el conjunto

$${\ displaystyle \ operatorname {supp} (r) = \ {w \ in \ Sigma ^ {*} | \ (r, w) \ neq 0 \}}

Una serie donde cada coeficiente es o bien $${\ displaystyle 0} o $${\ displaystyle 1} Se llama la serie característica de su soporte.

El subconjunto de $${\ displaystyle S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle} que consta de todas las series con un soporte finito se denota por $${\ displaystyle S \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle} y llamados polinomios.

por $${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2} \ en S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle} y $${\ displaystyle s \ en S}, la suma $${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2}} es definido por

$${\ displaystyle (r_ {1} + r_ {2}, w) = (r_ {1}, w) + (r_ {2}, w)}

El producto (Cauchy) $${\ displaystyle r_ {1} \ cdot r_ {2}} es definido por

$${\ displaystyle (r_ {1} \ cdot r_ {2}, w) = \ sum _ {w_ {1} w_ {2} = w} (r_ {1}, w_ {1}) (r_ {2}, w_ {2})}

El producto Hadamard. $${\ displaystyle r_ {1} \ odot r_ {2}} es definido por

$${\ displaystyle (r_ {1} \ odot r_ {2}, w) = (r_ {1}, w) (r_ {2}, w)}

Y los productos por un escalar. $${\ displaystyle sr_ {1}} y $${\ displaystyle r_ {1} s} por

$${\ displaystyle (sr_ {1}, w) = s (r_ {1}, w)} y $${\ displaystyle (r_ {1} s, w) = (r_ {1}, w) s}, respectivamente.

Con estas operaciones $${\ displaystyle (S \ langle \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle \ rangle, +, \ cdot, 0, \ varepsilon)} y $${\ displaystyle (S \ langle \ Sigma ^ {*} \ rangle, +, \ cdot, 0, \ varepsilon)} son semirings, donde $${\ displaystyle \ varepsilon} es la palabra vacía en $${\ displaystyle \ Sigma ^ {*}}.

Estas series de poder formales se utilizan para modelar el comportamiento de los autómatas ponderados , en ciencias de la computación teórica , cuando los coeficientes$${\ displaystyle (r, w)} De la serie se toma el peso de un camino con etiqueta. $${\ displaystyle w}en los autómatas. ^[5]

Reemplazando el índice establecido por un grupo abeliano ordenado [ editar ]

Artículo principal: Serie Hahn.

Suponer $${\ displaystyle G} es un grupo abeliano ordenado, es decir, un grupo abeliano con un orden total {\ displaystyle <} Respetando la adición del grupo, para que {\ displaystyle a  si y solo si {\ displaystyle a + c  para todos $${\ displaystyle c}. Sea yo un subconjunto bien ordenadode$${\ displaystyle G}, lo que significa que no contiene ninguna cadena descendente infinita. Considere el conjunto que consiste en

$${\ displaystyle \ sum _ {i \ en I} a_ {i} X ^ {i}}

por todo lo que yo , con$${\ displaystyle a_ {i}} en un anillo conmutativo $${\ displaystyle R}, donde asumimos que para cualquier conjunto de índices, si todos los $${\ displaystyle a_ {i}}son cero entonces la suma es cero. Entonces$${\ displaystyle R ((G))} es el anillo de la serie de poder formal en $${\ displaystyle G}; Debido a la condición de que el conjunto de indexación esté bien ordenado, el producto está bien definido y, por supuesto, asumimos que dos elementos que difieren por cero son los mismos. A veces la notación$${\ displaystyle [[R ^ {G}]]} se usa para denotar $${\ displaystyle R ((G))}. ^[6]

Varias propiedades de $${\ displaystyle R} transferir a $${\ displaystyle R ((G))}. Si$${\ displaystyle R} Es un campo, entonces también lo es. $${\ displaystyle R ((G))}. Si$${\ displaystyle R} Es un campo ordenado, podemos ordenar $${\ displaystyle R ((G))}estableciendo que cualquier elemento tenga el mismo signo que su coeficiente principal, definido como el elemento mínimo del conjunto de índices I asociado a un coeficiente distinto de cero. Finalmente si$${\ displaystyle G}es un grupo divisible y$${\ displaystyle R}Es un verdadero campo cerrado , entonces$${\ displaystyle R ((G))} es un campo cerrado real, y si $${\ displaystyle R}es algebraicamente cerrado , entonces también lo es$${\ displaystyle R ((G))}.

Esta teoría se debe a Hans Hahn , quien también demostró que se obtienen subcampos cuando el número de términos (distintos de cero) está limitado por alguna cardinalidad infinita fija.