LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

 nearring (también anillo de cerca o nearring ) es un algebraica estructura similar a un anillo , pero satisfactorio menos axiomas . Los anillos cercanos surgen naturalmente de funciones en grupos .

Definición [ editar ]

Un conjunto N junto con dos operaciones binarias + (llamada adición ) y ⋅ (llamada multiplicación ) se llama un círculo cercano (derecha) si:

A1: N es un grupo (no necesariamente abeliano ) bajo adición;

A2: la multiplicación es asociativa (por lo tanto, N es un semigrupo bajo multiplicación); y

A3: la multiplicación a la derecha se distribuye sobre la suma: para cualquier x , y , z en N , se mantiene que ( x + y ) ⋅ z = ( x ⋅ z ) + ( y ⋅ z ). ^[1]

De manera similar, es posible definir un anillo cercano izquierdo reemplazando la ley distributiva derecha A3 por la ley distributiva izquierda correspondiente. Tanto el anillo cercano derecho como el izquierdo aparecen en la literatura; por ejemplo, el libro de Pilz ^[2] usa anillos cercanos derechos, mientras que el libro de Clay ^[3] usa anillos cercanos izquierdos.

Una consecuencia inmediata de esta ley distributiva de un solo lado es que es cierto que 0⋅ x = 0, pero no es necesariamente cierto que x ⋅0 = 0 para cualquier x en N . Otra consecuencia inmediata es que (- x ) ⋅ y = - ( x ⋅ y) para cualquier x , y en N , pero no es necesario que x ⋅ (- y ) = - ( x ⋅ y ). Un anillo cercano es un anillo (no necesariamente con unidad) si y solo sila suma es conmutativa y la multiplicación también es distributiva sobre la suma a la izquierda . Si el anillo cercano está con la unidad (es decir, existe una identidad multiplicativa), entonces la distributividad en ambos lados es suficiente, y la conmutación de la suma sigue automáticamente.

Asignaciones de un grupo a sí mismo [ editar ]

Sea G un grupo, escrito de forma aditiva pero no necesariamente abeliana , y sea M ( G ) el conjunto { f | f  : G → G } de todas las funciones de G a G . Una operación de adición se puede definir en M ( G ): dado f , g en M ( G ), entonces el mapeo f + g de G a G viene dado por ( f + g) ( X ) = f ( x ) + g ( x ) para todas las x en G . Entonces ( M ( G ), +) también es un grupo, que es abeliano si y solo si G es abeliano. Tomando la composición de las asignaciones como el producto ⋅, M ( G ) se convierte en un anillo cercano.

El elemento 0 de la cerca tórica M ( G ) es el mapa de cero , es decir, el mapeo que se lleva cada elemento de Gal elemento identidad de G . El inverso aditivo - f de f en M ( G ) coincide con lo natural puntual definición, es decir, (- f ) ( x ) = - ( f ( x )) para todo x en G .

Si G tiene al menos 2 elementos, M ( G ) no es un anillo, incluso si G es abeliano. (Considere un mapeo constante g de G a un elemento fijo g ≠ 0 de G ; luego g ⋅0 = g ≠ 0.) Sin embargo, hay un subconjunto E ( G ) de M ( G ) que consiste en todos los endomorfismos de grupo de G , es decir, todos los mapas f  : G → G tal que f ( x +y ) = f ( x ) + f ( y ) para todas las x , y en G . Si ( G , +) es abeliano, ambas operaciones de anillo cercano en M ( G ) se cierran en E ( G ), y ( E ( G ), +, ⋅) es un anillo. Si ( G , +) es nonabeliano, E ( G ) generalmente no está cerrado en las operaciones de cerca del anillo; pero el cierre de E ( G ) bajo las operaciones de anillo cercano es un anillo cercano.

Muchos subconjuntos de M ( G ) forman cerca de anillos interesantes y útiles. Por ejemplo: ^[1]

• Las asignaciones para las cuales f (0) = 0.
• Las asignaciones constantes, es decir, aquellas que asignan cada elemento del grupo a un elemento fijo.
• El conjunto de mapas generados por adición y negación a partir de los endomorfismos del grupo (el "cierre aditivo" del conjunto de endomorfismos). Si G es abeliano, el conjunto de endomorfismos ya está cerrado de manera aditiva, de modo que el cierre aditivo es solo el conjunto de endomorfismos de G, y no forma solo un anillo cercano, sino un anillo.

Otros ejemplos ocurren si el grupo tiene más estructura, por ejemplo:

• Los mapeos continuos en un grupo topológico .
• El polinomio funciona en un anillo con identidad bajo adición y composición polinomial.
• Los mapas afines en un espacio vectorial .

Cada cerca-anillo es isomorfo a un subnear-anillo de M ( G ) para algunos G .

Aplicaciones [ editar ]

Muchas aplicaciones involucran la subclase de anillos cercanos conocida como campos cercanos ; Para estos ver el artículo sobre campos cercanos.

Existen varias aplicaciones de anillos cercanos apropiados, es decir, aquellos que no son anillos ni campos cercanos.

Lo más conocido es equilibrar los diseños de bloques incompletos ^[2] utilizando anillos cercanos planares. Esta es una forma de obtener familias diferentes utilizando las órbitas de un grupo de automorfismos libres de punto fijo de un grupo. Clay y otros han extendido estas ideas a construcciones geométricas más generales ^[3] .

semiringuito es una estructura algebraica similar a un anillo , pero sin el requisito de que cada elemento debe tener un inverso aditivo .

El término equipo de perforación también se utiliza de vez en cuando ^[1] -Este originó como una broma, lo que sugiere que las plataformas son ri n gs sin n elementos egative, similar a la utilización de rng para significan ar ing sin un multiplicativo i dentity.

Definición [ editar ]

Un semiringuito es un conjunto R equipado con dos operaciones binarias + y called, llamadas suma y multiplicación, de manera que: ^{[2] [3] [4]}

• ( R , +) es un monoide conmutativo con elemento de identidad 0:
  • ( a + b ) + c = a + ( b + c )
  • 0 + a = a + 0 = a
  • a + b = b + a
• ( R , ⋅) es un monoide con elemento de identidad 1:
  • ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )
  • 1⋅ a = a ⋅1 = a
• Multiplicación izquierda y derecha distribuye sobre la suma:
  • a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c )
  • ( a + b ) ⋅ c = ( a ⋅ c ) + ( b ⋅ c )
• Multiplicación por 0 aniquilados R :
  • 0⋅ a = a ⋅0 = 0

En comparación con un anillo , un semiring omite el requisito de inversos bajo la suma; es decir, solo requiere un monoide conmutativo , no un grupo conmutativo . En un anillo, esto implica la existencia de un cero multiplicativo, por lo que aquí debe especificarse explícitamente.

El símbolo ⋅ se suele omitir de la notación; es decir, a ⋅ b se acaba de escribir ab . De manera similar, se acepta un orden de operaciones , según el cual applied se aplica antes de +; es decir, a + bc es a + ( bc ).

Hay algunos autores que prefieren omitir el requisito de que un semiringuito tenga un 0 o 1. Esto hace que la analogía entre timbre y semiring por un lado y el grupo y el semigrupo por otro lado funcionen sin problemas. Estos autores a menudo usan rig para el concepto definido aquí. ^{[nota 1]}

Teoría [ editar ]

Gran parte de la teoría de los anillos sigue teniendo sentido cuando se aplica a semirings arbitrarios ^{[ cita requerida ]}. En particular, se puede generalizar la teoría de álgebras sobre anillos conmutativos directamente a una teoría de álgebras sobre semirremutativos conmutativos. Entonces, un anillo es simplemente un álgebra sobre la semirruta conmutativa Z de enteros .

Los semirrentamientos idempotentes son especiales a la teoría de semired ya que cualquier anillo que sea idempotente bajo adición es trivial. Uno puede definir un orden parcial ≤ en un semiringuito identivo estableciendo a ≤ b cuando a + b = b (o, de manera equivalente, si existe una x tal que a + x = b ). Es fácil ver que 0 es el elemento mínimo con respecto a este orden: 0 ≤ a para todos a . La suma y la multiplicación respetan el ordenamiento en el sentido de que a ≤ b implicaac ≤ bc y ca ≤ cb y ( a + c ) ≤ ( b + c ) .

Aplicaciones [ editar ]

Los semirings tropicales (max, +) y (min, +) en los reales, se utilizan a menudo en la evaluación del rendimientoen sistemas de eventos discretos. Los números reales son los "costos" o "tiempo de llegada"; la operación "máxima" corresponde a tener que esperar todos los requisitos previos de un evento (por lo tanto, tomar el tiempo máximo), mientras que la operación "mínima" corresponde a poder elegir la mejor opción, menos costosa; y + corresponde a la acumulación a lo largo del mismo camino.

El algoritmo Floyd-Warshall para las rutas más cortas se puede reformular como un cálculo sobre un álgebra (min, +) . De manera similar, el algoritmo de Viterbi para encontrar la secuencia de estado más probable correspondiente a una secuencia de observación en un modelo de Markov oculto también se puede formular como un cálculo sobre un álgebra (máx, ×) de probabilidades. Estos algoritmos de programación dinámica sebasan en la propiedad distributiva de sus semirings asociados para calcular cantidades en un gran número de términos (posiblemente exponencial) más eficientemente que enumerar cada uno de ellos. ^[5] [6]

Ejemplos [ editar ]

Por definición, cualquier anillo es también semired. Un ejemplo motivador de un semiringuito es el conjunto de números naturales N (incluido el cero ) en la suma y multiplicación ordinarias. Del mismo modo, los números racionales no negativos y los números reales no negativos forman semirrematos. Todos estos semirings son conmutativos. ^{[7] [8] [9]}

En general [ editar ]

• El conjunto de todos los ideales de un anillo dado forma un semiringuito bajo la suma y multiplicación de ideales.
• Cualquier quantale unital es un semiringuito idempotente, o dioido, bajo unión y multiplicación.
• Cualquier celosía distributiva acotada es un semiringuito conmutativo, idempotente bajo unirse y reunirse.
• En particular, un álgebra de Boole es tal semired. Un anillo booleano es también un semicerrado, de hecho, un anillo, pero no es idempotente bajo la adición . Un semiringuito booleano es un islamorfo semired para un subconjunto de un álgebra booleana. ^[7]
• Una red de desvío normal en un anillo R es una semigente idempotente para la multiplicación de operaciones y nabla, donde esta última operación se define por$${\ displaystyle a \ nabla b = a + b + ba-aba-bab}.
• Cualquier c-semiring es también un semiring, donde la adición es idempotente y se define sobre conjuntos arbitrarios.
• Las clases de isomorfismo de objetos en cualquier categoría distributiva , bajo operaciones de coproducto y producto , forman un semiringuito conocido como una plataforma Burnside. ^[10] Una plataforma de Burnside es un anillo si la categoría es trivial .

Semiring de conjuntos [ editar ]

Un semiring ( de conjuntos ) ^[11] es una colección S no vacía de conjuntos de tal manera que

1. $${\ displaystyle \ emptyset \ en S}
2. Si $${\ displaystyle E \ en S} y $${\ displaystyle F \ en S} entonces $${\ displaystyle E \ cap F \ en S}.
3. Si $${\ displaystyle E \ en S} y $${\ displaystyle F \ en S}entonces existe un número finito de conjuntos mutuamente desunidos $${\ displaystyle C_ {i} \ en S} para $${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n} tal que $${\ displaystyle E \ setminus F = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} C_ {i}}.

Tales semirings se usan en la teoría de la medida. Un ejemplo de un semiring de conjuntos es la colección de intervalos reales semicerrados, semicerrados $${\ displaystyle [a, b) \ subset \ mathbb {R}}.

Ejemplos específicos [ editar ]

• Las fracciones de terminación (no negativas) $${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}}: = \ left \ {mb ^ {- n} \ mid m \ in \ mathbb {N} _ {0} \ wedge n \ in \ mathbb {N} _ {0} \ right \}}en un sistema numérico posicional a una base dada$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {N}}.
  Además, tenemos $${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}} \ subseteq {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} { c ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}}}Si $${\ displaystyle b \ mid c}. Además,$${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {Z} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {Z} _ {0}}}}: = {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} { b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}} \ cup \ left (- {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}} }\Correcto)} Es el anillo de todas las fracciones de terminación a base. $${\ displaystyle b}que es denso en$${\ displaystyle \ mathbb {Q}} para {\ displaystyle | b |> 1}.
• Los números naturales extendidos N ∪ {∞} con suma y multiplicación extendidos (y 0⋅∞ = 0 ). ^[8]
• Dada una semired S , la matriz semiring $${\ displaystyle M_ {n} (S)}de la cuadrícula n- por- n las matrices forman un semiring bajo la suma y multiplicación ordinarias de matrices, y este semiring de matrices generalmente no es conmutativo aunque S puede ser conmutativo. Por ejemplo, las matrices con entradas no negativas,$${\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {N})}, formar una matriz semiring. ^[7]
• Si A es un monoide conmutativo, el Fin establecido ( A ) de los endomorfismos f  : A → A casi forma un semiaje, donde la adición es una adición puntual y la multiplicación es la composición de la función . El morfismo cero y la identidad son los elementos neutrales respectivos. Esto no es un verdadero semiaje, ya que la composición no se distribuye por la suma puntual: a · ( b + c ) ≠ ( a · b ) + ( a · c ) . Si unes el monoide aditivo de los números naturales que obtenemos la semiringulación de los números naturales como Fin ( A ), y si A = S ^ n con S a semiring, obtenemos (después de asociar cada morfismo a una matriz) la semiringura del cuadrado n -by - n matrices con coeficientes en s .
• La semilación booleana : la semirruta conmutativa B formada por el álgebra booleana de dos elementos y definida por 1 + 1 = 1 : ^{[3] [8] [9]} esto es idempotente ^[12] y es el ejemplo más simple de un semiring que es no un anillo Dados dos conjuntos X e Y , las relaciones binarias entre X e Y corresponden a matrices indexadas por X e Y con entradas en el semiring Booleano, la suma de matrices corresponde a la unión de relaciones y la multiplicación de matricesCorresponde a la composición de las relaciones . ^[13]
• Dado un conjunto U , el conjunto de relaciones binarias sobre U es un semiringuito con la unión (de relaciones como conjuntos) y la multiplicación de la composición de las relaciones . El cero de semiring es la relación vacía y su unidad es la relación de identidad . ^[14] Estas relaciones corresponden a la matriz semired(de hecho, matriz semialgebra) de matrices cuadradas indexadas por U con entradas en la semiringura booleana, y luego la suma y la multiplicación son las operaciones habituales de la matriz, mientras que cero y la unidad son la matriz cero usual y matriz de identidad .
• N [ x ], los polinomios con coeficientes de número natural forman un semiring conmutativo. De hecho, este es el libre semiring conmutativa en un solo generador { x }.
• Semirings tropicales se definen de diversas maneras. La semired máxima + R ∪ {−∞}, es una semiringuilla conmutativa, idempotente con max ( a , b ) que sirve como suma semiring (identidad −∞) y suma ordinaria (identidad 0) que sirve como multiplicación semiring. En una formulación alternativa, el semisado tropical es R ∪ {∞}, y min reemplaza a max como la operación de adición. ^[15] Una versión relacionada tiene R ∪ {± ∞}como conjunto subyacente. ^[3] [16]
• El conjunto de números cardinales más pequeños que cualquier cardinal infinito dado forman un semiringuito bajo suma y multiplicación cardinales. La clase de todos los cardenales de un modelo interno forma una semired (clase) bajo la suma y multiplicación cardinal (modelo interno).
• La probabilidad de conexión de números reales no negativos bajo la suma y multiplicación habituales. ^[3]
• El registro semiring en R ∪ ± ∞ con la adición dada por

  $${\ displaystyle x \ oplus y = - \ log (e ^ {- x} + e ^ {- y}) \,}

  con multiplicación +, elemento cero + ∞ y elemento unitario 0. ^[3]
• La familia de (clases de equivalencia de isomorfismo de) clases combinatorias (conjuntos de contables muchos objetos con tamaños enteros no negativos de manera que hay un número infinito de objetos de cada tamaño) con la clase vacía como el objeto cero, la clase que consiste solo en el vacío establecido como la unidad, unión desunida de clases como adición, y producto cartesiano de clases como multiplicación. ^[17]
• El semiringuito de Łukasiewicz : el intervalo cerrado [0, 1] con la suma dada al tomar el máximo de los argumentos ( a + b = max ( a , b ) ) y la multiplicación ab dada por max (0, a + b - 1) aparece En la lógica multivalor . ^[14]
• El semiringuito de Viterbi también está sobre el conjunto base [0, 1] y la suma por máximo, pero con la multiplicación como la multiplicación usual de reales; aparece en el análisis probabilístico . ^[14]
• Dado un alfabeto (conjunto finito) Σ, el conjunto de lenguajes formales sobre Σ (subconjuntos de Σ ^∗ ) es un semiring con producto inducido por concatenación de cadenas $${\ displaystyle L_ {1} \ cdot L_ {2} = \ left \ {w_ {1} w_ {2} \ mid w_ {1} \ en L_ {1}, w_ {2} \ en L_ {2} \ Correcto\}}y la adición como la unión de idiomas (es decir, simplemente la unión como conjuntos). El cero de este semiring es el conjunto vacío (idioma vacío) y la unidad de semiring es el idioma que contiene como único elemento la cadena vacía . ^[14]
• Generalizando el ejemplo anterior (al ver Σ ^∗ como el monoide libre sobre Σ), tome M como cualquier monoide; el conjunto de potencias P M de todos los subconjuntos de M forma una semired bajo una unión teórica de conjuntos como suma y multiplicación por setos:$${\ displaystyle U \ cdot V = \ {u \ cdot v: u \ en U, \ v \ en V \}}. ^[9]
• Del mismo modo, si $${\ displaystyle (M, e, \ cdot)}es un monoide, entonces el conjunto de multisets finitos en$${\ displaystyle M}Forma un semiringuito. Es decir, un elemento es una función.$${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {N}}; dado un elemento de$${\ displaystyle M}, la función le dice cuántas veces ese elemento ocurre en el multiset que representa. La unidad aditiva es la función de cero constante. La unidad multiplicativa es la función de mapeo.$${\ displaystyle e} a 1, y todos los demás elementos de $${\ displaystyle M} a 0. La suma viene dada por $${\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)} y el producto viene dado por $${\ displaystyle (fg) (x) = \ sum \ {f (y) g (z) \ mid y \ cdot z = x \}}.

Variaciones [ editar ]

Un semiring conmutativo es aquel cuya multiplicación es conmutativa . ^[18]

Un semiringuito idempotente es aquel cuya adición es idempotente : a + a = a , ^[12] es decir, ( R , +, 0) es una semilattice de unión con cero .

Semirings completos y continuos [ editar ]

Un semiringuito completo es un semiringuito para el que el monoide de adición es un monoide completo , lo que significa que tiene una operación de suma infinita Σ _I para cualquier conjunto de índices I y que deben cumplir las siguientes leyes distributivas (infinitas): ^{[16] [14] [ 19]}

$${\ displaystyle \ sum _ {i \ en I} {\ left (a \ cdot a_ {i} \ right)} = a \ cdot \ left (\ sum _ {i \ in I} {a_ {i}} \ derecha); \ quad \ sum _ {i \ en I} {\ left (a_ {i} \ cdot a \ right)} = \ left (\ sum _ {i \ en I} {a_ {i}} \ right ) \ cdot a.}

Los ejemplos de semirings completos incluyen el conjunto de potencias de un monoide en unión; La matriz semired sobre un semiring completo está completa. ^[20]

Una semigrabación continua se define de manera similar como aquella para la cual el monoide de adición es un monoide continuo : es decir, parcialmente ordenado con la propiedad de los límites mínimos superiores, y para la cual la suma y la multiplicación respetan el orden y el suprema. El semiring N ∪ {∞} con la suma, multiplicación y orden extendidos, es un semiring continuo. ^[21]

Cualquier semiringuito continuo está completo: ^[16] esto puede tomarse como parte de la definición. ^[20]

Semirings estrella [ editar ]

Un semiringeado de estrellas (a veces escrito como un emblema de estrellas ) es un semiringuito con un operador unario adicional ^∗ , ^{[12] [14] [22] [23]} satisfactorio

$${\ displaystyle a ^ {*} = 1 + aa ^ {*} = 1 + a ^ {*} a.}

Un álgebra de Kleene es una estrella en semired con una adición idempotente: son importantes en la teoría de los lenguajes formales y las expresiones regulares . ^[14]

Completas semirings estrella [ editar ]

Definimos una noción de semired completa de estrellas en la que el operador estrella se comporta más como la estrella Kleene habitual : para una semiringura completa usamos el operador de suma infinita para dar la definición habitual de la estrella Kleene: ^[14]

{\ displaystyle a ^ {*} = \ sum _ {j \ geq 0} {a ^ {j}} \ mid a ^ {j} = {\ begin {cases} 1 & j = 0 \\ a \ cdot a ^ { j-1} = a ^ {j-1} \ cdot a & j> 0 \ end {cases}}}

Conway semiring [ editar ]

Una semifinal de Conway es una semired que satisface las ecuaciones de suma-estrella y producto-estrella: ^[12] [24]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (a + b) ^ {*} & = \ left (a ^ {*} b \ right) ^ {*} a ^ {*}, \\ (ab) ^ {* } & = 1 + a (ba) ^ {*} b. \ End {alineado}}}

En general, cada semired star completo es también un semiring Conway, ^[25] pero lo contrario no se cumple. Un ejemplo de semiconificación de Conway que no está completo es el conjunto de números racionales no negativos extendidos ( {x ∈ Q | x ≥ 0} ∪ {∞} ) con la suma y multiplicación habituales (esta es una modificación del ejemplo con extensión reales no negativos dados en esta sección al eliminar números irracionales). ^[14]

Un semiring de iteración es un semiring Conway que satisface los axiomas del grupo de Conway, ^[12] asociado por John Conway a grupos en semirremios en estrella. ^[26]

Ejemplos [ editar ]

Ejemplos de semirings en estrella incluyen:

• el semired ( antes mencionado ) de relaciones binarias sobre algún conjunto de base U en el cual$${\ displaystyle R ^ {*} = \ bigcup _ {n \ geq 0} R ^ {n}} para todos $${\ displaystyle R \ subseteq U \ times U}. Esta operación en estrella es en realidad el cierre reflexivo y transitivo de R (es decir, la relación binaria reflexiva y transitiva más pequeña sobre U que contiene R ). ^[14]
• el semiring de los lenguajes formales es también una semired completa, con la operación star coincidiendo con la estrella de Kleene (para conjuntos / idiomas). ^[14]
• El conjunto de reales extendidos no negativos , [0, ∞] , junto con la suma y multiplicación de reales, es una semired completa de estrellas con la operación en estrella dada por a ^∗ = 1 / (1 - a ) para 0 ≤ a < 1 (es decir, la serie geométrica ) y a ^∗ = ∞ para a ≥ 1 . ^[14]
• El semiringuito booleano con 0 ^∗ = 1 ^∗ = 1 . ^[a] [14]
• El semiringeado en N ∪ {∞}, con suma y multiplicación extendidas, y 0 ^∗ = 1 , a ^∗ = ∞ para a ≥ 1 . ^[a] [14]

1. ^ ^a bSaltar a: es una semired completa de la estrella y, por lo tanto, una semiring Conway. ^[14]

Dioide [ editar ]

El término dioido (para "doble monoide") se ha utilizado para significar varios tipos de semirremolques:

• Fue utilizado por Kuntzman en 1972 para denotar lo que ahora se denomina semiring. ^[27]
• El uso para significar subgrupo idempotente fue introducido por Baccelli et al. en 1992. ^[28]
• El nombre "dioid" también se usa a veces para denotar semirings ordenados naturalmente . ^[29]

Generalizaciones [ editar ]

Una generalización de semirings no requiere la existencia de una identidad multiplicativa, por lo que la multiplicación es un semigrupo en lugar de un monoide. Tales estructuras se denominan dobladillos ^[30] o semirremolques . ^[31] Otra generalización son los pre-semirremolques a la izquierda , ^[32] que adicionalmente no requieren distributividad derecha (o los pre-semirratos a la derecha , que no requieren distributividad a la izquierda).

Sin embargo, otra generalización son las semirredes : además de no requerir un elemento neutro para el producto, o la distributividad de la derecha (o la distributividad de la izquierda), no requieren que la adición sea conmutativa. Así como los números cardinales forman una semiringulación (clase), los números ordinales forman un círculo cercano , cuando se tienen en cuenta la suma y la multiplicación ordinales estándar . Sin embargo, la clase de ordinales se puede convertir en un semiringuito considerando las llamadas operaciones naturales (o Hessenberg) en su lugar.

En la teoría de categorías , un 2-rig es una categoría con operaciones funcionales similares a las de un rig. El hecho de que los números cardinales formen una plataforma puede clasificarse para decir que la categoría de conjuntos (o más generalmente, cualquier topos ) es una plataforma 2.