LISTAS RELACIONADAS CON LAS MATEMÁTICAS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

álgebra tensorial de un espacio vectorial V , denotado con T ( V ) o T ^• ( V ), es el álgebrade tensores en V (de cualquier rango) con multiplicación como el producto tensorial . Es el álgebra libre en V , en el sentido de quedar unido al funtor olvidadizo de las álgebras a los espacios vectoriales: es el álgebra "más general" que contiene V , en el sentido de la propiedad universal correspondiente.(ver abajo ).

El álgebra tensorial es importante porque muchos otros álgebras surgen como álgebras cocientes de T ( V ). Estos incluyen el álgebra exterior , el álgebra simétrica , las álgebras de Clifford , el álgebra de Weyl y las álgebras de envoltura universal .

El álgebra tensorial también tiene dos estructuras de coalgebra ; una simple, que no la convierte en una bialgebra, sino que conduce al concepto de cgree coalgebra , y otra más complicada, que produce una bialgebra, y se puede extender al proporcionar una antípoda para crear una estructura de álgebra de Hopf .

Nota : En este artículo, se supone que todos los álgebras son unitales y asociativos . La unidad se requiere explícitamente para definir el coproducto.

Construcción [ editar ]

Deje que V sea un espacio vectorial sobre un campo K . Para cualquier entero no negativo k , definimos la potencia de tensor k th de V como el producto tensorial de V consigo mismo k veces:

$${\ displaystyle T ^ {k} V = V ^ {\ otimes k} = V \ otimes V \ otimes \ cdots \ otimes V.}

Es decir, T ^k V consta de todos los tensores en V de orden k . Por convención, T ⁰ V es el campo de tierra K(como un espacio vectorial unidimensional sobre sí mismo).

Luego construimos T ( V ) como la suma directa de T ^k V para k = 0,1,2, ...

$${\ displaystyle T (V) = \ bigoplus _ {k = 0} ^ {\ infty} T ^ {k} V = K \ oplus V \ oplus (V \ otimes V) \ oplus (V \ otimes V \ otimes V ) \ oplus \ cdots.}

La multiplicación en T ( V ) está determinada por el isomorfismo canónico.

$${\ displaystyle T ^ {k} V \ otimes T ^ {\ ell} V \ a T ^ {k + \ ell} V}

dado por el producto tensorial, que luego se extiende por la linealidad a todo T ( V ). Esta regla de la multiplicación implica que el tensor álgebra T ( V ) es, naturalmente, un álgebra graduada con T ^k V que sirve como el de grado k subespacio. Esta calificación se puede extender a una calificación de Z agregando subespacios$${\ displaystyle T ^ {k} V = \ {0 \}}para enteros negativos k .

La construcción generaliza de manera directa el álgebra tensorial de cualquier módulo M sobre un anillo conmutativo . Si R es un anillo no conmutativo , todavía se puede realizar la construcción para cualquier R - R bimodule M . (No funciona para los módulos R ordinarios porque los productos tensoriales iterados no pueden formarse).

Adjunción y propiedad universal [ editar ]

El tensor de álgebra T ( V ) también se conoce como álgebra libre en el espacio vectorial V , y es funcional. Al igual que con otras construcciones libres , el functor T se deja unido a algún funtor olvidadizo . En este caso, es el funtor que envía cada K -algebra a su espacio vectorial subyacente.

Explícitamente, el álgebra tensorial satisface la siguiente propiedad universal , que expresa formalmente la afirmación de que es el álgebra más general que contiene V :

Cualquier transformación lineal f  : V → A de V a un álgebra A sobre K puede extenderse de manera única a un homomorfismo de álgebra de T ( V ) a A como se indica en el siguiente diagrama conmutativo :

Aquí i es la inclusión canónica de V en T ( V ) (la unidad de la unión). De hecho, se puede definir el álgebra tensorial T ( V ) como el álgebra única que satisface esta propiedad (específicamente, es única hasta un isomorfismo único), pero aún se debe probar que existe un objeto que satisface esta propiedad.

La propiedad universal anterior muestra que la construcción de la álgebra del tensor es funtorial en la naturaleza. Es decir, T es un functor de K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre K , a K -Alg , la categoría de K -algebras. La funcionalidad de T significa que cualquier mapa lineal de V a W se extiende únicamente a un homomorfismo de álgebra de T ( V ) a T ( W ).

Polinomios no conmutativos [ editar ]

Si V tiene dimensión finita n , otra forma de ver el álgebra tensorial es como el "álgebra de polinomios sobre K en n variables que no se conmutan". Si tomamos vectores de base para V , esas variables se convierten en variables sin conmutación (o indeterminadas ) en T ( V ), sin restricciones más allá de la asociatividad , la ley distributiva y la linealidad K.

Tenga en cuenta que el álgebra de polinomios en V no es$${\ displaystyle T (V)}pero mas bien $${\ displaystyle T (V ^ {*})}: una función lineal (homogénea) en V es un elemento de$${\ displaystyle V ^ {*},} por ejemplo coordenadas $${\ displaystyle x ^ {1}, \ dots, x ^ {n}} en un espacio vectorial son covectores, ya que toman un vector y dan un escalar (la coordenada dada del vector).

Cocientes [ editar ]

Debido a la generalidad del álgebra tensorial, se pueden construir muchas otras álgebras de interés comenzando con el álgebra tensorial y luego imponiendo ciertas relaciones en los generadores, es decir, construyendo ciertas álgebras de cociente de T ( V ). Ejemplos de esto son el álgebra exterior , el álgebra simétrica , las álgebras de Clifford , el álgebra de Weyl y las álgebras de envoltura universal .

Coalgebra [ editar ]

El álgebra tensorial tiene dos estructuras de carbón de cebra diferentes . Uno es compatible con el producto tensorial y, por lo tanto, se puede extender a una bialgebra y se puede extender con una antípoda a una estructura de álgebra de Hopf . La otra estructura, aunque más simple, no se puede extender a una bialgebra. La primera estructura se desarrolla inmediatamente a continuación; la segunda estructura se da en la sección del cofree coalgebra , más abajo.

El desarrollo que se proporciona a continuación se puede aplicar igualmente al álgebra exterior , usando el símbolo de cuña$${\ displaystyle \ wedge} en lugar del símbolo tensor $${\ displaystyle \ otimes}; también se debe mantener un registro de una señal al permutar elementos del álgebra exterior. Esta correspondencia también dura a través de la definición del bialgebra y de la definición de un álgebra de Hopf. Es decir, al álgebra exterior también se le puede dar una estructura de álgebra de Hopf.

De manera similar, al álgebra simétrica también se le puede dar la estructura de un álgebra de Hopf, exactamente de la misma manera, al reemplazar en todas partes el producto tensorial.$${\ displaystyle \ otimes} por el producto tensor simetrizado $${\ displaystyle \ otimes _ {\ mathrm {Sym}}}, es decir, ese producto donde $${\ displaystyle v \ otimes _ {\ mathrm {Sym}} w = w \ otimes _ {\ mathrm {Sym}} v.}

En cada caso, esto es posible porque el producto alterno $${\ displaystyle \ wedge} y el producto simétrico $${\ displaystyle \ otimes _ {\ mathrm {Sym}}}obedezca las condiciones de consistencia requeridas para la definición de bialgebra y álgebra de Hopf; Esto puede comprobarse explícitamente de la siguiente manera. Cada vez que uno tiene un producto que obedece a estas condiciones de consistencia, la construcción es exhaustiva; En la medida en que tal producto dio lugar a un espacio de cociente, el espacio de cociente hereda la estructura del álgebra de Hopf.

En el lenguaje de la teoría de categorías , se dice que existe un functor T desde la categoría de espacios K -vector a la categoría de álgebras de K- asociados. Pero también hay un functor Λ que lleva espacios vectoriales a la categoría de álgebras exteriores, y un functor Sym que lleva espacios vectoriales a álgebras simétricas. Hay un mapa natural de T a cada uno de estos. Verificar que la cocción conserve la estructura del álgebra de Hopf es lo mismo que verificar que los mapas son realmente naturales.

Coproducto [ editar ]

La coalgebra se obtiene definiendo un coproducto o un operador diagonal.

$${\ displaystyle \ Delta: TV \ to TV \ boxtimes TV}

Aquí, $${\ displaystyle TV} se usa como mano corta para $${\ displaystyle T (V)}Para evitar una explosión de paréntesis. los$${\ displaystyle \ boxtimes}El símbolo se utiliza para denotar el producto tensor "externo", necesario para la definición de una coalgebra. Se está utilizando para distinguirlo del producto tensor "interno".$${\ displaystyle \ otimes}, que ya está "tomado" y se utiliza para denotar la multiplicación en el álgebra tensorial (consulte la sección Multiplicación , a continuación, para obtener más información sobre este tema). Para evitar confusiones entre estos dos símbolos, la mayoría de los textos reemplazarán$${\ displaystyle \ otimes}por un punto liso, o incluso descárguelo por completo, con el entendimiento de que está implícito en el contexto. Esto permite entonces$${\ displaystyle \ otimes} símbolo que se utilizará en lugar de la $${\ displaystyle \ boxtimes}símbolo. Esto no se hace a continuación, y los dos símbolos se usan de forma independiente y explícita, para mostrar la ubicación correcta de cada uno. El resultado es un poco más detallado, pero debería ser más fácil de comprender.

La definición del operador. $${\ displaystyle \ Delta} es más fácil de construir en etapas, primero definiéndolo para elementos $${\ displaystyle v \ en V \ subset TV}y luego extendiéndolo homomórficamente a todo el álgebra. Una opción adecuada para el coproducto es entonces.

$${\ displaystyle \ Delta: v \ mapsto v \ boxtimes 1 + 1 \ boxtimes v}

y

$${\ displaystyle \ Delta: 1 \ mapsto 1 \ boxtimes 1}

dónde $${\ displaystyle 1 \ en K = T ^ {0} V \ subset TV} es la unidad del campo $${\ displaystyle K}. Por linealidad, uno obviamente tiene

$${\ displaystyle \ Delta (k) = k (1 \ boxtimes 1) = k \ boxtimes 1 = 1 \ boxtimes k}

para todos $${\ displaystyle k \ en K.} Es sencillo verificar que esta definición satisface los axiomas de una coalgebra: es decir, que

$${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {TV} \ boxtimes \ Delta) \ circ \ Delta = (\ Delta \ boxtimes \ mathrm {id} _ {TV}) \ circ \ Delta}

dónde $${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {TV}: x \ mapsto x} es el mapa de identidad en $${\ displaystyle TV}. De hecho, uno consigue

$${\ displaystyle ((\ mathrm {id} _ {TV} \ boxtimes \ Delta) \ circ \ Delta) (v) = v \ boxtimes 1 \ boxtimes 1 + 1 \ boxtimes v \ boxtimes 1 + 1 \ boxtimes 1 \ boxtimes v}

Y lo mismo para el otro lado. En este punto, uno podría invocar un lema, y ​​decir que$${\ displaystyle \ Delta} Se extiende trivialmente, por linealidad, a todos. $${\ displaystyle TV}, porque $${\ displaystyle TV}es un objeto libre y$${\ displaystyle V}es un generador del álgebra libre, y$${\ displaystyle \ Delta}Es un homomorfismo. Sin embargo, es perspicaz proporcionar expresiones explícitas. Entonces para$${\ displaystyle v \ otimes w \ in T ^ {2} V}, uno tiene (por definición) el homomorfismo

$${\ displaystyle \ Delta: v \ otimes w \ mapsto \ Delta (v) \ otimes \ Delta (w)}

En expansión, uno tiene

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta (v \ otimes w) & = (v \ boxtimes 1 + 1 \ boxtimes v) \ otimes (w \ boxtimes 1 + 1 \ boxtimes w) \\ & = (v \ otimes w) \ boxtimes 1 + v \ boxtimes w + w \ boxtimes v + 1 \ boxtimes (v \ otimes w) \ end {alineado}}}

En la expansión anterior, no hay necesidad de escribir $${\ displaystyle 1 \ otimes v}ya que esto es una simple multiplicación escalar en el álgebra; es decir, uno tiene trivialmente eso$${\ displaystyle 1 \ otimes v = 1 \ cdot v = v.}

La extensión anterior conserva la calificación de álgebra. Es decir,

$${\ displaystyle \ Delta: T ^ {2} V \ to \ bigoplus _ {k = 0} ^ {2} T ^ {k} V \ boxtimes T ^ {(2-k)} V}

Continuando de esta manera, se puede obtener una expresión explícita para el coproducto que actúa sobre un elemento homogéneo de orden m :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ Delta (v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {m}) & = \ Delta (v_ {1}) \ otimes \ cdots \ otimes \ Delta (v_ {m} ) \\ & = \ sum _ {p = 0} ^ {m} \ left (v_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {p} \ right) \; \ omega \; \ left (v_ {p + 1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {m} \ right) \\ & = \ sum _ {p = 0} ^ {m} \; \ sum _ {\ sigma \ in \ mathrm {Sh} (p, m -p + 1)} \; \ left (v _ {\ sigma (0)} \ otimes \ dots \ otimes v _ {\ sigma (p)} \ right) \ boxtimes \ left (v _ {\ sigma (p + 1) } \ otimes \ dots \ otimes v _ {\ sigma (m)} \ right) \ end {alineado}}}

donde el $${\ displaystyle \ omega}El símbolo, que debe aparecer como ш, el sha, denota el producto aleatorio . Esto se expresa en la segunda suma, que se toma sobre todas las combinaciones (p, m-p + 1) . Lo anterior está escrito con un truco de notación, para realizar un seguimiento del elemento de campo 1: el truco es escribir$${\ displaystyle v_ {0} = 1}, y esto se baraja en varias ubicaciones durante la expansión de la suma sobre las barajadas. El orden aleatorio sigue directamente desde el primer axioma de un co-álgebra: el orden relativo de los elementos$${\ displaystyle v_ {k}}se conserva en el orden aleatorio: el orden aleatorio simplemente divide la secuencia ordenada en dos secuencias ordenadas, una a la izquierda y otra a la derecha. Cualquiera dado la baraja obedece

{\ displaystyle \ sigma (0) <\ cdots <\ sigma (p) \ quad {\ mbox {y}} \ quad \ sigma (p + 1) <\ cdots <\ sigma (m)}

Como antes, se conserva la calificación de álgebra:

$${\ displaystyle \ Delta: T ^ {m} V \ to \ bigoplus _ {k = 0} ^ {m} T ^ {k} V \ boxtimes T ^ {(mk)} V}

Contable [ editar ]

El conde $${\ displaystyle \ epsilon: TV \ to K}viene dada por la proyección del componente de campo desde el álgebra. Esto se puede escribir como$${\ displaystyle \ epsilon: v \ mapsto 0} para $${\ displaystyle v \ en V} y $${\ displaystyle \ epsilon: k \ mapsto k} para $${\ displaystyle k \ en K = T ^ {0} V}. Por homomorfismo bajo el producto tensorial.$${\ displaystyle \ otimes}, esto se extiende a

$${\ displaystyle \ epsilon: x \ mapsto 0}

para todos $${\ displaystyle x \ en T ^ {1} V \ oplus T ^ {2} V \ oplus \ cdots} Es un asunto directo verificar que este consejo satisface el axioma necesario para la coalgebra:

$${\ displaystyle (\ mathrm {id} \ boxtimes \ epsilon) \ circ \ Delta = \ mathrm {id} = (\ epsilon \ boxtimes \ mathrm {id}) \ circ \ Delta.}

Trabajando explícitamente, uno tiene

{\ displaystyle {\ begin {alineado} ((\ mathrm {id} \ boxtimes \ epsilon) \ circ \ Delta) (x) & = (\ mathrm {id} \ boxtimes \ epsilon) (1 \ boxtimes x + x \ tiempos de recuadro 1) \\ & = 1 \ boxtimes \ epsilon (x) + x \ boxtimes \ epsilon (1) \\ & = 0 + x \ boxtimes 1 \\ & \ cong x \ end {alineado}}}

Donde, para el último paso, se ha utilizado el isomorfismo. $${\ displaystyle TV \ boxtimes K \ cong TV}, según corresponda para el axioma definitorio del país.

Bialgebra [ editar ]

Una bialgebra define tanto la multiplicación como la multiplicación, y requiere que sean compatibles.

Multiplicación [ editar ]

La multiplicación es dada por un operador

$${\ displaystyle \ nabla: TV \ boxtimes TV \ to TV}

el cual, en este caso, ya fue dado como el producto tensorial "interno". Es decir,

$${\ displaystyle \ nabla: x \ boxtimes y \ mapsto x \ otimes y}

Es decir, $${\ displaystyle \ nabla (x \ boxtimes y) = x \ otimes y.} Lo anterior debería dejar claro por qué el $${\ displaystyle \ boxtimes} símbolo debe ser utilizado: el $${\ displaystyle \ otimes} En realidad era uno y lo mismo que $${\ displaystyle \ nabla}; y el descuido notatorio aquí conduciría a un caos total. Para reforzar esto: el producto tensorial.$${\ displaystyle \ otimes} Del álgebra tensorial corresponde a la multiplicación. $${\ displaystyle \ nabla} utilizado en la definición de un álgebra, mientras que el producto tensorial $${\ displaystyle \ boxtimes}es el que se requiere en la definición de comultiplicación en una coalgebra. ¡Estos dos productos tensoriales no son lo mismo!

Unidad [ editar ]

La unidad para el álgebra.

$${\ displaystyle \ eta: K \ to TV}

es solo la incrustación, para que

$${\ displaystyle \ eta: k \ mapsto k}

Que la unidad sea compatible con el producto tensor. $${\ displaystyle \ otimes}es "trivial": es solo parte de la definición estándar del producto tensorial de los espacios vectoriales. Es decir,$${\ displaystyle k \ otimes x = kx}para el elemento de campo k y cualquier$${\ displaystyle x \ en TV.} Más verbalmente, los axiomas para un álgebra asociativa requieren los dos homomorfismos (o diagramas de conmutación):

$${\ displaystyle \ nabla \ circ (\ eta \ boxtimes \ mathrm {id} _ {TV}) = \ eta \ otimes \ mathrm {id} _ {TV} = \ eta \ cdot \ mathrm {id} _ {TV} }

en $${\ displaystyle K \ boxtimes TV}, y que simétricamente, en $${\ displaystyle TV \ boxtimes K}, ese

$${\ displaystyle \ nabla \ circ (\ mathrm {id} _ {TV} \ boxtimes \ eta) = \ mathrm {id} _ {TV} \ otimes \ eta = \ mathrm {id} _ {TV} \ cdot \ eta }

donde el lado derecho de estas ecuaciones debe entenderse como el producto escalar.

Compatibilidad [ editar ]

La unidad y el país, y la multiplicación y la multiplicación, todos tienen que satisfacer condiciones de compatibilidad. Es sencillo ver que

$${\ displaystyle \ eta \ circ \ epsilon = \ mathrm {id} _ {K}.}

Del mismo modo, la unidad es compatible con comultiplication:

$${\ displaystyle \ Delta \ circ \ eta = \ eta \ boxtimes \ eta \ cong \ eta}

Lo anterior requiere el uso del isomorfismo. $${\ displaystyle K \ boxtimes K \ cong K}para que funcione; Sin esto, uno pierde linealidad. En cuanto a los componentes,

$${\ displaystyle (\ Delta \ circ \ eta) (k) = \ Delta (k) = k (1 \ boxtimes 1) \ cong k \ boxtimes k}

con el lado derecho haciendo uso del isomorfismo.

La multiplicación y el país son compatibles:

$${\ displaystyle (\ epsilon \ circ \ nabla) (x \ boxtimes y) = \ epsilon (x \ otimes y) = 0}

siempre que x o y no sean elementos de$${\ displaystyle K}Y, de lo contrario, uno tiene multiplicación escalar en el campo: $${\ displaystyle k_ {1} \ otimes k_ {2} = k_ {1} k_ {2}.} Lo más difícil de verificar es la compatibilidad de la multiplicación y la multiplicación:

$${\ displaystyle \ Delta \ circ \ nabla = (\ nabla \ boxtimes \ nabla) \ circ (\ mathrm {id} \ boxtimes \ tau \ boxtimes \ mathrm {id}) \ circ (\ Delta \ boxtimes \ Delta)}

dónde $${\ displaystyle \ tau (x \ boxtimes y) = y \ boxtimes x}Intercambia elementos. La condición de compatibilidad solo necesita ser verificada en$${\ displaystyle V \ subset TV}; La compatibilidad completa sigue como una extensión homomórfica a todos$${\ displaystyle TV.}La verificación es verbosa pero directa; No se da aquí, excepto por el resultado final:

$${\ displaystyle (\ Delta \ circ \ nabla) (v \ boxtimes w) = \ Delta (v \ otimes w)}

por $${\ displaystyle v, w \ en V,} una expresión explícita para esto fue dada en la sección de coalgebra, arriba.

Álgebra de Hopf [ editar ]

El álgebra de Hopf agrega una antípoda a los axiomas de bialgebra. La antípoda$${\ displaystyle S} en $${\ displaystyle k \ en K = T ^ {0} V} es dado por

$${\ displaystyle S (k) = 1}

Esto a veces se llama la "anti-identidad". La antípoda en$${\ displaystyle v \ en V = T ^ {1} V} es dado por

$${\ displaystyle S (v) = - v}

y en $${\ displaystyle v \ otimes w \ in T ^ {2} V} por

$${\ displaystyle S (v \ otimes w) = S (w) \ otimes S (v) = w \ otimes v}

Esto se extiende homomorfamente a

{\ displaystyle {\ begin {alineado} S (v_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {m}) & = S (v_ {m}) \ otimes \ cdots \ otimes S (v_ {1}) \\ & = (- 1) ^ {m} v_ {m} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {1} \ end {alineado}}}

Compatibilidad [ editar ]

La compatibilidad de la antípoda con la multiplicación y la multiplicación requiere que

$${\ displaystyle \ nabla \ circ (S \ boxtimes \ mathrm {id}) \ circ \ Delta = \ eta \ circ \ epsilon = \ nabla \ circ (\ mathrm {id} \ boxtimes S) \ circ \ Delta}

Esto es sencillo de verificar por componentes en $${\ displaystyle k \ en K}:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (\ nabla \ circ (S \ boxtimes \ mathrm {id}) \ circ \ Delta) (k) & = (\ nabla \ circ (S \ boxtimes \ mathrm {id})) (k \ boxtimes k) \\ & = \ nabla (1 \ boxtimes k) \\ & = 1 \ otimes k \\ & = k \ end {alineado}}}

Del mismo modo, en $${\ displaystyle v \ en V}:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (\ nabla \ circ (S \ boxtimes \ mathrm {id}) \ circ \ Delta) (v) & = (\ nabla \ circ (S \ boxtimes \ mathrm {id})) (v \ boxtimes 1 + 1 \ boxtimes v) \\ & = \ nabla (-v \ boxtimes 1 + 1 \ boxtimes v) \\ & = - v \ otimes 1 + 1 \ otimes v \\ & = - v + v \\ & = 0 \ end {alineado}}}

Recordar que

$${\ displaystyle (\ eta \ circ \ epsilon) (k) = \ eta (k) = k}

y eso

$${\ displaystyle (\ eta \ circ \ epsilon) (x) = \ eta (0) = 0}

para cualquier $${\ displaystyle x \ en TV}eso no está en$${\ displaystyle K.}

Se puede proceder de manera similar, mediante homomorfismo, verificando que la antípoda inserta los signos de cancelación apropiados en la orden aleatoria, comenzando con la condición de compatibilidad en $${\ displaystyle T ^ {2} V} y procediendo por inducción.

Cofree coalgebra [ editar ]

Artículo principal: Cofree coalgebra

Uno puede definir un coproducto diferente en el álgebra tensorial, más simple que el dado anteriormente. Es dado por

$${\ displaystyle \ Delta (v_ {1} \ otimes \ dots \ otimes v_ {k}): = \ sum _ {j = 0} ^ {k} (v_ {0} \ otimes \ dots \ otimes v_ {j} ) \ boxtimes (v_ {j + 1} \ otimes \ dots \ otimes v_ {k + 1})}

Aquí, como antes, se usa el truco de la notación. $${\ displaystyle v_ {0} = v_ {k + 1} = 1 \ en K} (recordando que $${\ displaystyle v \ otimes 1 = v} trivialmente).

Este coproducto da lugar a una coalgebra. Se describe un coalgebra que es dual a la estructura de álgebra en T ( V ^* ), donde V ^* denota el espacio vectorial dual de mapas lineal V → F . De la misma manera que el álgebra tensorial es un álgebra libre , la coalgebra correspondiente se denomina (conilpotente) co-libre. Con el producto habitual esto no es una bialgebra. Se puede convertir en una bialgebra con el producto.$${\ displaystyle v_ {i} \ cdot v_ {j} = (i, j) v_ {i + j}}donde (i, j) denota el coeficiente binomial para$${\ displaystyle {\ tbinom {i + j} {i}}}. Este bialgebra se conoce como el álgebra de Hopf de poder dividido .

La diferencia entre esto, y la otra coalgebra se ve más fácilmente en el $${\ displaystyle T ^ {2} V}término. Aquí uno tiene eso.

$${\ displaystyle \ Delta (v \ otimes w) = 1 \ boxtimes (v \ otimes w) + v \ boxtimes w + (v \ otimes w) \ boxtimes 1}

para $${\ displaystyle v, w \ en V}, que claramente falta un término barajado, en comparación con antes.

álgebra simétrica S ( V ) (también denota Sym ( V )) en un espacio vectorial V sobre un campo K es el libre conmutativa unital álgebra asociativa sobre K que contiene V .

Corresponde a polinomios con indeterminados en V , sin elegir coordenadas. El dual, S ( V ^* ) corresponde a polinomios en V .

Un álgebra de Frobenius cuya forma bilineal es simétrica también se llama álgebra simétrica , pero no se trata aquí.

Construcción [ editar ]

Es posible utilizar el álgebra tensorial T ( V ) para describir el álgebra simétrica S ( V ). De hecho, pasamos del álgebra tensorial al álgebra simétrica obligándolo a ser conmutativo; si los elementos de V se conmutan, entonces los tensores deben hacerlo, de modo que construyamos el álgebra simétrica del álgebra tensorial tomando el álgebra de cociente de T ( V ) por el ideal generado por las diferencias de productos

$${\ displaystyle v \ otimes ww \ otimes v.}

para todas v y w en v .

En efecto, S ( V ) es el mismo que el anillo de polinomios sobre K en indeterminados que son una base para V .

Calificacion [ editar ]

Al igual que con un anillo polinomial, hay una descomposición de suma directa de S ( V ) como un álgebra graduada , en sumandos

S ^k ( V )

que consisten en el intervalo lineal de los monomios en vectores de V de grado k , para k = 0, 1, 2, ... (con S ⁰ ( V ) = K y S ¹ ( V ) = V ). El K espacio-vector S ^k ( V ) es el k -ésimo de potencia simétrico de V . (El caso k = 2 , por ejemplo, es el cuadrado simétrico y se indica como Sym ² ( V).) Tiene una propiedad universal con respecto a los operadores multilineales simétricos definidos en V ^k .

En términos de la calificación del álgebra tensorial, S ^k ( V ) es el espacio de cociente de T ^k ( V ) por el subespacio generado por todas las diferencias de productos

$${\ displaystyle v \ otimes ww \ otimes v.}

y productos de estos con otros elementos algebraicos.

Distinción de los tensores simétricos [ editar ]

El álgebra simétrica y los tensores simétricos se confunden fácilmente: el álgebra simétrica es un cociente del álgebra tensorial, mientras que los tensores simétricos son un subespacio del álgebra tensorial.

Al expresar el álgebra simétrica como un cociente, hereda la propiedad universal ya presente en el álgebra tensorial ; es decir, la cocción preserva la propiedad universal. Es decir, el álgebra simétrica es el álgebra simétrica "más general", en el sentido de que cualquier otro álgebra simétrica (definido por algún producto simétrico).$${\ displaystyle F (V, W)}) Es homomorfo al álgebra simétrica.

Los tensores simétricos se definen como invariantes: dada la acción natural del grupo simétrico en el álgebra tensorial, los tensores simétricos son el subespacio en el que el grupo simétrico actúa de forma trivial. Tenga en cuenta que bajo el producto tensorial, tensores simétricos no son una subálgebra: dado vectores linealmente independientes v y w , son trivialmente simétricos 1-tensores, pero v ⊗ w no es un simétrica 2-tensor.

La parte de grado 2 de esta distinción es la diferencia entre las formas bilineales simétricas (2-tensores simétricas) y las formas cuadráticas (elementos del cuadrado simétrico), como se describe en las formas cuadráticas ε .

En la característica 0, se pueden identificar los tensores simétricos y el álgebra simétrica. En cualquier característica, hay una simetrización mapa del álgebra simétrica a los tensores simétricos, dada por:

$${\ displaystyle v_ {1} \ cdots v_ {k} \ mapsto \ sum _ {\ sigma \ en S_ {k}} v _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes v _ {\ sigma (k)} .}

La composición de este mapa con la inclusión de los tensores simétricos en el álgebra tensorial y el cociente del álgebra simétrica es la multiplicación por k ! en el k grado componente de los tensores simétricos.

Así, en la característica 0, el mapa de simetrización es un isomorfismo de espacios vectoriales graduales, y se pueden identificar tensores simétricos con elementos del álgebra simétrica. Se divide por k ! Para hacer de esto una sección del mapa del cociente:

$${\ displaystyle v_ {1} \ cdots v_ {k} \ mapsto {\ frac {1} {k!}} \ sum _ {\ sigma \ en S_ {k}} v _ {\ sigma (1)} \ otimes \ cdots \ otimes v _ {\ sigma (k)}.}

Por ejemplo, $${\ displaystyle vw \ mapsto {\ frac {1} {2}} (v \ otimes w + w \ otimes v)}.

Esto se relaciona con la teoría de representación del grupo simétrico: en la característica 0, sobre un campo algebraicamente cerrado, el álgebra de grupo es semisimple , por lo que cada representación se divide en una suma directa de representaciones irreductibles, y si T = S ⊕ V , uno puede identificar S , ya sea como un subespacio de T o como el cociente T / V .

La interpretación como polinomios [ editar ]

Artículo principal: Anillo de funciones polinomiales.

Dado un espacio vectorial V , los polinomios en este espacio son S ( V ^* ), el álgebra simétrica del doble espacio: un polinomio en un espacio evalúa vectores en el espacio, a través del emparejamiento$${\ displaystyle S (V ^ {*}) \ veces V \ a K}.

Por ejemplo, dado el plano con una base {(1,0), (0,1)}, los polinomios lineales (homogéneos) en K ² son generados por las funciones de coordenadas x y y . Estas coordenadas son covectores : dado un vector, evalúan a su coordenada, por ejemplo:

$${\ displaystyle x (2,3) = 2, {\ text {y}} y (2,3) = 3.}

Dados monomios de mayor grado, estos son elementos de varios poderes simétricos, y un polinomio general es un elemento del álgebra simétrica. Sin una elección de la base para el espacio vectorial, lo mismo vale, pero uno tiene un álgebra polinómica sin una elección de la base.

A la inversa, el álgebra simétrica del espacio vectorial en sí puede interpretarse, no como polinomios en el espacio vectorial (ya que no se puede evaluar un elemento del álgebra simétrica de un espacio vectorial contra un vector en ese espacio: no hay emparejamiento entre S ( V ) y V ), pero polinomios en los vectores, como v ² - vw + uv .

Álgebra simétrica de un espacio afín [ editar ]

De manera análoga, se puede construir el álgebra simétrica en un espacio afín (o su dual, que corresponde a polinomios en ese espacio afín). La diferencia clave es que el álgebra simétrica de un espacio afín no es un álgebra graduada, sino un álgebra filtrada : se puede determinar el grado de un polinomio en un espacio afín, pero no sus partes homogéneas.

Por ejemplo, dado un polinomio lineal en un espacio vectorial, uno puede determinar su parte constante evaluando a 0. En un espacio afín, no hay un punto distinguido, por lo que no se puede hacer esto (elegir un punto convierte un espacio afín en un vector). espacio).

Propiedades universales [ editar ]

El álgebra simétrica en un espacio vectorial es un objeto libre en la categoría de álgebras asociativas unitales conmutativas (en la secuela, "álgebras conmutativas").

Formalmente, el mapa que envía un espacio vectorial a su álgebra simétrica es un funtor de los espacios vectoriales sobre K a las álgebras conmutativas sobre K , y es un objeto libre , lo que significa que se deja unidoal funtor olvidadizo que envía un álgebra conmutativa a su espacio vectorial subyacente.

La unidad de la adjunción es el mapa V → S ( V ) que incrusta un espacio vectorial en su álgebra simétrica.

Las álgebras conmutativas son una subcategoría reflexiva de álgebras; dado un álgebra A , se puede calcular por su ideal de conmutador generado por ab - ba , obteniendo un álgebra conmutativa, análogamente a la abelianización de un grupo. La construcción del álgebra simétrica como cociente del álgebra tensorial es, como funtores, una composición del functor de álgebra libre con esta reflexión. Por lo tanto, la propiedad universal se puede ver como heredada del álgebra tensorial.

Analogía con álgebra exterior [ editar ]

El S ^k son funtores comparables a los poderes exteriores ; Aquí, sin embargo, la dimensión crece con k ; es dado por

$${\ displaystyle \ operatorname {dim} (S ^ {k} (V)) = {\ binom {n + k-1} {k}}}

donde n es la dimensión de V . Este coeficiente binomial es el número de monomios de n -variable de grado k .

Módulo analógico [ editar ]

La construcción del álgebra simétrica generaliza al álgebra simétrica S ( M ) de un módulo M sobre un anillo conmutativo . Si M es un módulo libre sobre el anillo R , entonces su álgebra simétrica es isomorfa al álgebra polinómica sobre R cuyos indeterminados son una base de M , al igual que el álgebra simétrica de un espacio vectorial. Sin embargo, si M no es libre, entonces S ( M ) es más complicado.

Como un álgebra de Hopf [ editar ]

Al álgebra simétrica se le puede dar la estructura de un álgebra de Hopf . El artículo sobre el álgebra tensorialproporciona una mecánica muy detallada que muestra cómo se hace esto.

Como un álgebra universal envolvente [ editar ]

El álgebra simétrica S ( V ) es el álgebra universal envolvente de un álgebra de Lie abeliana , es decir, una en la que el corchete de Mentira es idénticamente 0.