Análisis matemático

Las constantes Du Bois Reymond, (Paul David Gustav)  están definidas por

Estas constantes pueden también escribirse como:

donde  es la k-ésima raíz de

Además tenemos la siguiente serie

En el siguiente gráfico se ve la representación de la función

para los primeros cuatro valores de 

La integración numérica de esta función es difícil. Los cuatro primeros valores de estas constantes son:

 diverge

Las constantes pares de Bois Reymond pueden ser calculadas analíticamente como polinomios en .

Las constantes definidas por

(1)

Estas constantes también pueden escribirse como las sumas

(2)

y

(3)

(E. Weisstein 3 de febrero, 2015), donde es la raíz positiva ª de

(4)

y es la función sinc.

 diverge, con el primer pocos constante posterior numéricamente dada por

			(5)
			(6)
			(7)

Sorprendentemente, las constantes du Bois Reymond incluso ordenadas (y, en particular,; Le Lionnais 1983) se pueden calcular analíticamente como polinomios en,

			(8)
			(9)
			(10)

(OEIS A085466 y A085467) como se encuentra por Watson (1933). Para entero positivo, éstos tienen la fórmula explícita

(11)

donde denota un residuo complejo y es un delta de Kronecker (V. Adamchik).

En análisis matemático una función f(x) se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de x producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios en f(x) depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).

Dados dos espacios métricos  y , y  entonces una función  se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real  existe  tal que , se tiene que  para todo .

Una función  es uniformemente continua en un intervalo  si para todo  existe algún  tal que para todo  se cumple que si , entonces .¹

A diferencia de en la continuidad, donde el valor de  depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas, no.

Ejemplos

• La función 1/x con x>0 es continua pero no uniformemente continua
• La función x es uniformemente continua en el intervalo [0,1].
• Todo polinomio  cuyo grado sea mayor o igual que uno es uniformemente continuo en un intervalo cerrado.

Resultados

• De la definición se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si  y .  es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:

Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).

• Si (x_n) es una sucesión de Cauchy contenida en el dominio de f (no necesariamente convergente) y f es una función uniformemente continua, entonces (f(x_n)) también es una sucesión de Cauchy.
• Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua.

Sea I un intervalo de la recta real y f:I→R una función. Se dice quef es uniformemente continua en I si y sólo si, para todo ϵ>0, existe δ>0 tal que:

|x−y|<δ,x∈I,y∈I⇒|f(x)−f(y)|<ϵ.

TEOREMA.  Toda función uniformemente continua es continua.
Sin embargo, no toda función continua es uniformemente continua.

TEOREMA  (de caracterización de la continuidad uniforme por sucesiones).  Sea I⊂R intervalo  y f:I→R una función. Entonces, f es uniformemente continua si y sólo si para cualquier par de sucesiones (xn) e (yn) de puntos de I tales que (xn−yn)→0 se verifica (f(xn)−f(yn))→0.

TEOREMA  (de Heine). Sean a,b∈R con a<b y f:[a,b]→R una función continua. Entonces, f es uniformemente continua.

 Demostrar que  f:R→R dada por f(x)=2x+5 es uniformemente continua.

SOLUCIÓN

Sea ϵ>0 y elijamos δ=ϵ/2. Entonces, si |x−y|<δ:

|f(x)−f(y)|=|2x+5−(2y+5)|=2|x−y|<2(ϵ/2)=ϵ.