AMIGOS PARA SIEMPRE: Análisis matemático

sumación de Cesàro es un método alternativo de asignarle una suma a una serie infinita. Si la serie converge en la forma usual a una suma α, entonces la serie es sumable Cesàro y posee una suma de Cesàro α. La relevancia de la sumación de Cesàro es que es posible que una serie que divergetenga una suma de Cesàro.

La sumación de Cesàro fue inventada por el analista italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).

Sea {a_n} una sucesión, siendo

s_k = a_1 + \cdots + a_k

la suma k–ésima de los primeros k términos de la serie

s_k = \sum_{n=1}^k a_n

La sucesión {a_n} se denomina sumable Cesàro, con una suma de Cesàro α, si

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = \alpha

Ejemplos

Sea a_n = (-1)ⁿ⁺¹ para n ≥ 1. Es decir, {a_n} es la sucesión

1, -1, 1, -1, \ldots

Entonces la sucesión de sumas parciales {s_n} es

1, 0, 1, 0, \ldots

así que la serie, conocida como serie de Grandi, claramente no converge. Por otro lado, los términos de la secuencia {(s₁ + ... + s_n)/n} son

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots

así que

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2

Por tanto, la suma de Cesàro de la sucesión {a_n} es 1/2.

Generalizaciones

En 1890, Ernesto Cesàro mencionó una familia más amplia de métodos de sumación desde entonces llamada (C, n) para enteros no negativos n. El método (C, 0) es la suma ordinaria, y (C, 1) es la sumación de Cesàro tal como está descrita más arriba.

Los métodos de orden superior son descritos como sigue: Dada una serie Σa_n, sean las cantidades

A_n^{-1}=a_n; A_n^\alpha=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}

y sea E_n^α = A_n^α para la serie 1 + 0 + 0 + 0 + · · ·. Entonces la suma (C, α) de Σa_n es

\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}

en caso de existir.

Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe laclasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.- ...........................................................................:https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Clasificaci%C3%B3n_de_discontinuidades&printable=yes

Discontinuidades.

Un punto x=a es un punto de discontinuidad de la función y = f(x), si la función no es continua en dicho punto.

Por lo estudiado en los capítulos anteriores, se deduce que una función es discontinua en un punto si ocurre cualquiera de los siguientes problemas:

1) Que la función no esté definida en el punto.

2) Que no tenga límite en el punto.

3) Que esté definida, tenga límite en el punto, pero que el valor de la función no coincida con el valor del límite.

Estas situaciones dan lugar a la siguiente clasificación de discontinuidades.

Discontinuidades evitables.
Es un tipo de discontinuidad en la que existe el límite y éste es finito, pero el valor de la función en el punto o no existe o es diferente del valor del límite. Se llama evitable porque podemos "hacerla continua" dándole a la función en el punto el valor del límite. (En realidad se construye una nueva función que coincide con la anterior en todos los puntos salvo en el punto de discontinuidad. En ese punto, a la nueva función se le da el valor del límite).
Estudia la continuidad de la función en el punto x = 2: Como puedes comprobar en la escena adjunta, se cumple que y Los límites laterales existen y coinciden, luego el límite en x=2 existe. Como puedes comprobar en la escena, f no está definida en x=2 (¿por qué?). Por lo tanto, esta función tiene una discontinuidad evitable en x=2.
Podemos reconstruir la función f de manera que f(2)=4 y de esa forma habremos evitado la discontinuidad. 17.- Estudia la continuidad de la función en x = 1.

Discontinuidad de primera especie o de salto.

Es un tipo de discontinuidad en la que la función presenta un salto en el punto:
Existen los límites laterales en el punto, pero toman valores diferentes o infinito

Selecciona el parámetro m=1 en la siguiente escena. Vamos a estudiar la continuidad de la función sgn(x) en x=0. Si te acercas al cero, tanto por la derecha como por la izquierda, puedes comprobar que

Los límites laterales no coinciden y, por tanto, no existe límite en x=0.

La función tiene una discontinuidad de primera especie de salto 2 en x=0. El salto 2 es la diferencia entre los dos límites laterales.

Dale ahora a m el valor 2. Estudiamos la continuidad de la función y=1/x en x=0. Al acercarnos al cero por ambos lados podemos comprobar que:

La función tiene una discontinuidad de primera especie de salto infinito en x=0.

18.- Estudia la continuidad en x = 1 de la función :

19.-Estudia la continuidad de la función siguiente en x=0:

Discontinuidades de segunda especie.
Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.
Estudia la continuidad de la función en el punto x = -5: Como puedes comprobar en la escena adjunta, se cumple que no existe, ya que la función no está definida para los x < -5 y La función tiene en x = -5 una discontinuidad de segunda especie.
20.- Estudia la continuidad de la función en el punto x = 1. Continuidad y tipos de discontinuidad de funciones Continuidad de una función en un punto Condiciones que debe cumplir una función para que sea continua en un punto. Si alguna condición no se cumple la función presentara un discontinuidad en ese punto. Tipos de discontinuidad de funciones Los tipos de discuntinuidad de funciones pueden ser entre otras evitable o discontinuidad de salto. Discontinuidad evitable Discontinuidad de salto finito Actividades interactivas > Comprueba la continuidad de una función definida por dos trozos > Comprueba la continuidad de una función definida por tres trozos Discontinuidad de salto infinito