AMIGOS PARA SIEMPRE: Análisis matemático

radio de una circunferencia es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha circunferencia.

La longitud del radio es la mitad de la del diámetro. Todos los radios de una figura geométrica poseen la misma longitud.

El radio de una esfera: cualquier segmento que une el centro con un punto de su superficie esférica.

El radio de un poliedro regular: no es sino el radio de la esfera circunscrita¹

Se llama radio de un polígono regular al radio de la circunferencia circunscrita (es el segmento que une su centro con cualquiervértice). El radio de la circunferencia inscrita se llama apotema del polígono.

Radio de curvatura: es la magnitud R, recíproca a la curvatuta K de una curva en un punto dado M, se denomina radio de curvatura de la curva en este punto de que se trata.²

En un sentido más general —en geometría, ingeniería, teoría de grafos y muchos otros contextos—, el radio (por ejemplo, de uncilindro, un polígono, un grafo o una parte mecánica) es el segmento que une su centro (o eje) y sus puntos más externos.

La relación entre la longitud del radio y la de la circunferencia (perímetro de un círculo) es

r = \frac{p}{2\pi}

La relación entre la longitud del radio de un círculo y su área es

r = \sqrt\frac a{\pi}

Radio de torsión. La magnitud que caracteriza la desviación de la curva en el espacio respecto de la curva plana. La magnitud T se llama radio de torsión³
Radio de una vecindad. Si la vecindad es el intervalo abierto (a;b), entonces el radio es [a + b]/2.
Radio vector: es el segmento, en una hipérbola o elipse, que une los focos con un punto de la misma⁴
Radio de convergencia de una serie. Partiendo de una serie formal, que tiene coeficientes en el conjunto de los números reales o de los complejos, se define al número real R > 0 tal que la serie converge absolutamente para |z| < R y diverge si |z| > R²
Radio de giro . El radio de giro K de un sólido respecto de un eje de giro e viene a ser la distancia al eje e a la que debería situarse una partícula cuya masa fuera igual a la masa total del sólido para que dicha partícula tuviera el mismo momento de inercia que el cuerpo.

recta real extendida o recta real acabada, es un espacio métrico que se obtiene a partir de los números reales

{\mathbb{R}}

por la añadidura de dos elementos:

+ \infty

- \infty

(léase infinito positivo e infinito negativo, respectivamente). La recta real extendida proyectiva añade un solo objeto:

\infty

(punto del infinito), y no hace distinción entre infinitos «positivo» o «negativo». Estos nuevos elementos no son números reales.

La recta real extendida se denota por

\overline{\mathbb{R}}

o bien

[+ \infty,- \infty]

; es utilizada para describir varios comportamientos al límite en cálculo infinitesimal y análisis matemático, especialmente en la teoría de la medida e integración.

Cuando el significado se deduce del contexto, el símbolo

+ \infty

se escribe simplemente

\infty

Definiciones

Límites

La necesidad de su definición, surge al describir el comportamiento de una función f(x), cuando o bien el argumento x o bien el valor de la función f(x) se vuelve «muy grande» en algún sentido.

Por ejemplo, la función

f(x) = x^{-2} \

La gráfica de esta función tiene una asíntota horizontal en f(x) = 0. Geométricamente, esto significa que conforme el valor de x crece (hacia la derecha del plano cartesiano), más se aproxima el valor de 1/x² a 0 (el eje horizontal). Este comportamiento al límite es similar al del límite de una función en un número real, excepto que ahí no hay número real hacia el cual x se aproxima.

Añadiéndole los elementos +∞ y −∞ a R, se permite la formulación de "límite al infinito" con propiedades topológicas similares a las de R.

Medida e integración

En teoría de la medida, se suelen admitir conjuntos que tienen medida infinita e integrales cuyo valor puede ser infinito.

Tales medidas surgen naturamente del cálculo. Por ejemplo, si se le asigna una medida a R correspondiente con la longitud usual de los intervalos, esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. También, si se consideran integrales no acotadas, como

\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}

surge el valor "infinito". Finalmente, se suele considerar el límite de una sucesión de funciones, como

f_n(x) = \left \{ \begin{array}{lcl} 2n(1-nx) & si & 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 0 & si & \frac{1}{n} < x \le 1 \end{array} \right .

Si no permitiesen valores infinitos a funciones, resultados tan esenciales como el teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada no tendrían sentido.

Orden y propiedades topológicas

La recta real extendida se vuelve un conjunto totalmente ordenado definiendo −∞ ≤ a ≤ +∞ para todo a. Este orden tiene la agradable propiedad de que todo subconjunto tiene un supremo y un ínfimo: conforma un retículo completo.

Esto induce un orden topológico sobre R. En esta topología, un conjunto U es una vecindad de +∞ si y solo si contiene un conjunto {x: x > a} para algún número real a, y análogamente para las vecindades de −∞. R es un espacio de Hausdorff compacto homeomorfo al intervalo unidad [0, 1]. Luego esta topología es metrizable, corresponde (para un homeomorfismo dado) a la métrica usual en este intervalo. No hay una métrica que sea una extensión de la métrica usual sobre R.

Con esta topología, se pueden definir especialmente los límites para x tendiendo a +∞ y −∞, y los conceptos especialmente definidos de límites igual a +∞ y −∞, se reducen a la definición topológica de límites.

Propiedades aritméticas

Las propiedades aritméticas de R pueden extenderse parcialmente a R del siguiente modo:

\begin{align} a + \infty = +\infty + a & = +\infty, & a & \neq -\infty \\ a - \infty = -\infty + a & = -\infty, & a & \neq +\infty \\ a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty] \\ a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \in [-\infty, 0) \\ \frac{a}{\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb{R} \\ \frac{\pm\infty}{a} & = \pm\infty, & a & \in \mathbb{R}^+ \\ \frac{\pm\infty}{a} & = \mp\infty, & a & \in \mathbb{R}^- \end{align}

Aquí, "a + ∞" significan ambos "a + (+∞)" y "a − (−∞)", y "a − ∞" significan ambos "a − (+∞)" y "a + (−∞)".

Las expresiones ∞ − ∞, 0 × (±∞) y ±∞ / ±∞ (llamadas formas indeterminadas) son usualmente indefinidas a la izquierda. Son reglas modeladas por las leyes de loslímites infinitos. No obstante, en el contexto de la probabilidad o teoría de la medida, 0 × (±∞) se define a menudo como 0.

La expresión 1/0 no se define ni como +∞ ni como −∞, porque aunque es cierto que cuando f(x) → 0 para una función continua f(x) debe suceder que 1/f(x) está eventualmente contenida en toda vecindad del conjunto {−∞, +∞}, no es cierto que 1/f(x) deben tender a uno de estos puntos. Un ejemplo es f(x) = sin(x)/x. Esto deja de suceder al aplicar el valor absoluto a la función, quedando 1/| f(x) |, en ese caso se aproxima a +∞.

Propiedades algebraicas

Con las definiciones arriba expuestas, R no es un cuerpo ni un anillo, pero posee las siguientes propiedades:

a + (b + c) y (a + b) + c son ambos o bien iguales o bien indefinidos.
a + b yb + a son ambos o bien iguales o bien indefinidos.
a × (b × c) y (a × b) × c son ambos o bien iguales o bien indefinidos.
a × b yb × a son ambos o bien iguales o bien indefinidos.
a × (b + c) y (a × b) + (a × c) son ambos o bien iguales o bien indefinidos.
if a ≤ b y si ambos a + c yb + c están definidos, entonces a + c ≤ b + c.
if a ≤ b yc > 0 y ambos a × c y b × c están definidos, entonces a × c ≤ b × c.

En general, todas las leyes de la aritmética serán válidas en R siempre y cuando las expresiones que intervienen estén definidas.

red es la generalización del concepto de sucesión, de tal manera que no necesariamente tenga una cantidad numerable de elementos. Es el concepto más adecuado (o también su equivalente de filtro) para estudiar la convergencia en un espacio topológico.

Definición

Conjunto dirigido

Un conjunto dirigido es un par

(D,\sim)

en el que

D

es un conjunto y

\sim

es una relación en

D

que verifica las siguientes propiedades:

$\forall x \in D, x \sim x$ (propiedad reflexiva).
$\forall x,y,z \in D$ tales que $x \sim y$ e $y \sim z$ , se cumple entonces que $x \sim z$ (propiedad transitiva).
$\forall x,y \in D \exist z \in D$ tal que $x \sim z$ e $y \sim z$ .

Usualmente, la relación

\sim

se lee como "menor igual" (en forma intuitiva).

En particular, todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido. Un ejemplo importante de conjunto dirigido es

N_{x_0}

, el conjunto de las vecindades de un punto

x_0

en un espacio topológico, dotado de la relación de inclusión, donde un conjunto se dirá "mayor" que otro si está incluido en él.

Red

Una red en un conjunto

X

no es más que una aplicación

r: (D,\sim) \longrightarrow X

entre un conjunto dirigido

(D,\sim)

y un conjunto

X

. Se suele representar por

(x_d)_{d \in D}

, donde

\,r(d)=:x_d

Subred

Tal como en el contexto de sucesiones hay una noción de subsucesiones, en el concepto de redes también hay un concepto similar. Así, decimos que

\{y_e\}_{e \in E}

es una subred de

\{x_d\}_{d\in D}

(donde

D,E

son conjuntos dirigidos) si y solo si existe una función

f: (E) \longrightarrow D

que verifica las siguientes dos propiedades:

$\forall d \in D, \exists e \in E$ tal que $\forall e' \in E, e \sim e', d \sim f(e')$
$\forall e \in E, y_e = x_{f(e)}$

La primera condición refleja la idea intuitiva de que la sub-red se "vaya a infinito" junto con la red, mientras que la segunda es simplemente pedir que los puntos que tome sean efectivamente puntos de la red.

Es fácil ver que toda subred de una red es también una red.

Convergencia

Límite de una red

Sea

(X,T)

un espacio topológico y

(x_d)_{d \in D}

una red en

X

. Se dice que

x \in X

es un punto límite de la red

(x \in \lim_{d \in D} x_d)

si la red está eventualmente en cadaentorno de

x

, es decir, si cualquiera que sea el entorno

V

x

(esto es, cualquiera que sea el conjunto

V

de forma que exista un abierto

G

tal que

x \in G \subset V

) existe un

d_0 \in D

de tal forma que para cada

d \in D

con

d_0 \sim d

se cumple que

x_d \in V

De la propia definición se desprenden de forma inmediata dos consecuencias:

El límite de una red no siempre ha de existir. Existen redes que carecen de límite.
En caso de existir, el límite de una red no necesariamente es un único elemento, sino que es un conjunto de elementos. En el caso de espacios topológicos con lapropiedad de Hausdorff (i.e., T₂), el límite, si existe, se reduce a un único punto.
Toda sub-red de una red convergente converge al mismo límite que la red

Punto de Acumulación

Bajo el mismo contexto anterior, se dice que una red

\{x_d\}_{d\in D}

tiene como punto de acumulación (o acumula en)

x\in X

si la red está frecuentemente en cada entorno de

x

, es decir, si para todo

V

entorno de

x

, y para todo

d \in D, \exists d'\in D, d\sim d'

tal que

x_{d'} \in V

Es fácil ver que toda red convergente tiene a su límite como punto de acumulación. Se cumple además que

x

es punto de acumulación de una red si y solamente si existe una sub-red que converge a

x

. En este punto se encuentra la primera gran diferencia con sucesiones: una sucesión (que en particular es una red) tiene a

x\in X

como punto de acumulación si y solo si existe una sub-red que tienda a

x

, pero esta sub-red no tiene porqué ser una sucesión también.

Aplicaciones

Continuidad

Así como en espacios métricos existe una caracterización de la continuidad mediante sucesiones, en espacios topológicos generales esta caracterización se hace mediante redes. Así, se cumple que si

(X,\mathcal{T}_1), (Y,\mathcal{T}_2) \,

son dos espacios topológicos,

g: X\longrightarrow Y

será continua en el punto

x_0 \in X

si y solamente si para toda red

\{x_d\}_{d\in D}\longrightarrow x_0

, se cumple que

g(x_d)\longrightarrow g(x_0)

Compacidad

Así como en espacios métricos se tiene que

(X,\mathcal{T})

es compacto si y solo si toda sucesión tiene un punto de acumulación, en espacios más generales se tiene el mismo resultado, pero con redes, es decir,

(X,\mathcal{T})

será compacto si y solo si toda red tiene un punto de acumulación.

Notar que en espacios métricos, casi todo lo que se puede hacer con redes también se puede hacer con sucesiones, y como estas últimas son más fáciles de manipular, usualmente se trabaja con ellas. Sin embargo, en espacios topológicos generales, las redes pueden ser de gran utilidad.

Ejemplos

El ejemplo más inmediato de red es el concepto de sucesión. En ellas, el conjunto dirigido es el conjunto de los números naturales con la relación de orden usual. Esto es así porque el conjunto de los números naturales con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado.

Otro ejemplo esencial es el de función de variable real. En efecto, como el conjunto de los números reales junto con el orden usual es un conjunto totalmente ordenado, una función de variable real es una red.

Estos dos ejemplos son lo suficientemente importantes como para justificar el estudio de las redes.