AMIGOS PARA SIEMPRE: Análisis matemático

Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de la misma.

Definiendo con

n

a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos

L

al límite para

n

tendiendo a infinito de

{A_{n+1} \over A_n}

se obtiene un número

L

, con los siguientes casos:

Si $L<1, \ A_n$ converge.
Si $L>1, \ A_n$ diverge.
Si $L=1$ , el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea:

\sum_{n=0}^{\infty}f(n)

Tal que:

$f(n)>0$ (o sea una sucesión de términos positivos) y
$f(n)$ tienda a cero cuando $n$ tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

\lim_{n \to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}=L

con

n

tendiendo a infinito.

Así obtenemos

L

y se clasifica de la siguiente manera:

$L < 1$ la serie converge
$L > 1$ la serie diverge
$L = 1$ el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo

Sea:

f(n)=\frac{n+1}{n!}

Clasificar

\sum_{n=1}^{\infty}f(n)

f(n)=\frac{n+1}{n!} > 0

\frac{n+1}{n!}

tiende a cero conforme crece

n

(porque el factorial crece más rápidamente que n+1)

c) Aplicando D'Alembert:

L=\lim_{n \to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{(n+1)^2} =\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)+1}{(n+1)^2} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)=0

y como

L<1

, la serie

\sum_{n=1}^{\infty}f(n)

converge.

Criterio del cociente (de D'Alembert):

* Si

entonces la serie

es convergente.

Sin embargo,

* si

( incluso si l fuera infinito positivo)

entonces la serie

es divergente.

La desigualdad de Hardy es una desigualdad matemática llamada así debido a G.H. Hardy. Esta desigualdad afirma que si

a_1, a_2, a_3, \dots

es una sucesión de números reales no negativos que no es idénticamente nula, entonces para cualquier número real p > 1 se tiene

\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right )^p<\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p.

Una versión integral de la desigualdad de Hardy afirma que que si f es una función integrable a valores no-negativos, entonces

\int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx

con igualdad si y solo si f(x) = 0 casi en todas partes.

Historia

La desigualdad de Hardy fue publicada y demostrada por primera vez (al menos en su versión discreta e involucrando una constante no-optimal) en 1920 en una nota de Hardy.

desigualdad de Hölder, llamada así debido a Otto Hölder, es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios L^p.

Sea (S, Σ, μ) un espacio de medida y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1. Entonces, para toda función medible de valores reales o complejos f y g sobre S, se tiene que

\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.

Los números p y q expresados arriba se dice que son conjugados de Hölder uno del otro. El caso especial p = q = 2 se reduce a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz.

La desigualdad de Hölder se cumple incluso si ||fg ||₁ es infinita, siendo para el miembro derecho de la desigualdad infinito en ese caso. En particular, si f está en L^p(μ) yg está en L^q(μ), entonces fg está en L¹(μ).

Para 1 < p, q < ∞, f ∈ L^p(μ) y g ∈ L^q(μ), la desigualdad de Hölder se convertirá en una igualdad si y sólo si |f |^p y |g |^q son linealmente dependientes en L¹(μ), lo que significa que existen dos números reales α, β ≥ 0, siendo alguno de ellos distinto de 0, tales que α |f |^p = β |g |^q μ-casi en todas partes.

La desigualdad de Hölder es usada para demostrar la desigualdad de Minkowski, la cual es una generalización de la desigualdad triangular en el espacio L^p(μ), y también para establecer que L^q(μ) es el espacio dual de L^p(μ) para 1 ≤ p < ∞.

La desigualdad de Hölder fue descubierta por primera vez por Rogers (1888), y descubierta independientemente por Hölder (1889).

desigualdad del triángulo es un teorema de geometría euclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. ¹

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

$a < (b + c),\qquad b < (a + c),\qquad c < (a + b)$

donde a, b y c son los lados.

Espacios vectoriales normados

El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado $V, \forall x,y\in V, \ \ \left\| x + y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\|$

Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores.

En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema: