AMIGOS PARA SIEMPRE: Análisis matemático

entorno (o vecindad^{[cita requerida]}) es uno de los conceptos básicos de los espacios topológicos. Intuitivamente hablando, un entorno de un punto es un conjunto que contiene al punto en donde uno puede separarse un poco del punto en cuestión sin abandonar el conjunto.

El concepto de entorno está estrechamente relacionado con los conceptos de conjunto abierto y punto interior.

Si X es un espacio topológico y p es un punto perteneciente a X, un entorno de p es un conjunto V que contiene un conjunto abierto U que contiene a p,

p \in U \subseteq V.

Nótese que el entorno V no necesita ser un conjunto abierto. Si V es abierto se lo llama un entorno abierto. Algunos autores especifican que los entornos deben ser abiertos, por lo que es importante prestar cuidado a las diferentes notaciones.

El conjunto de todos los entornos de un punto forma una base de entornos del punto.

Si S es un subconjunto de X, un entorno de S es un conjunto V, que contiene un conjunto abierto U que contiene a S. Se deduce que un conjunto V es un entorno de S si y solo si es un entorno de todos los puntos de S.

Clases de entorno

Entorno reducido: un entorno $V$ de un punto $a$ es un entorno reducido si el propio punto $a$ no pertenece al mismo. Es decir, está compuesto solamente por los puntos cercanos a $a$
Entornos abiertos: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno abierto de $a$ si $V$ es un conjunto abierto (es decir, $V \in T$ ).
Entornos cerrados: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno cerrado de $a$ si $V$ es un conjunto cerrado.
Entorno compacto: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno compacto de $a$ si $V$ es un conjunto compacto.
Entorno conexo: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno conexo de $a$ si $V$ es un conjunto conexo
Entorno conexo por caminos: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno conexo por caminos de $a$ si $V$ es un conjunto conexo por caminos.
Entorno simplemente conexo: un entorno $V$ de un punto $a$ es entorno simplemente conexo de $a$ si $V$ es un conjunto simplemente conexo.
Entorno convexo: un entorno $V$ de un punto $a$ en un espacio vectorial topológico $X$ es entorno convexo de $a$ si $V$ es un conjunto convexo.

En el espacio métrico

Un conjunto

S

en el plano y un entorno uniforme

V

S.

En un espacio métrico M = (X,d), un conjunto V es un entorno de un punto p si existe una bola abierta con centro p y radio r,

B_r(p) = B(p;r) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}

que es contenida en V.

V es llamado entorno uniforme de un conjunto S si existe un número positivo r tal que para todos los elementos p de S,

B_r(p) = \{ x \in X \mid d(x,p) < r \}

estén contenidos en V.

Para r>0 el r-entorno

S_r

de un conjunto S es el conjunto de todos los puntos en X que distan menos de r desde S (o equivalentemente,

S_r

es la unión de todas las bolas abiertas de radio r que tienen centro en un punto de S).

Se deduce entonces que un r-entorno es un entorno uniforme, y que un conjunto es un entorno uniforme si y solo si contiene un r-entorno para algún valor de r.

Ejemplo

Entorno de centro a y radio ε.

Dado el conjunto de números reales

\scriptstyle \R

con la distancia euclideana y un subconjunto V definido como:

$V:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B\left(n\,;\,\frac{1}{n}\right),$

entonces V es un entorno del conjunto

\scriptstyle \mathbf{N}

de números naturales, pero no es un entorno uniforme de este conjunto.

Topología de entornos

La definición superior es útil si la noción de conjunto abierto está previamente definida. Existe una forma alternativa de definir una topología, primeramente definiendo su base de entornos, y entonces los conjuntos abiertos como aquellos conjuntos que contienen un entorno para cada uno de sus puntos.

Una base de entornos en X es la asignación de un filtro N(x) (en el conjunto X) para cada x en X tal que:

el punto x es un elemento de cada U en N(x).
cada U en N(x) contiene algún V en N(x) tal que para cada y en V, U esté en N(y).

Entorno uniforme

En un espacio uniforme S:=(X, δ) V es denominado entorno uniforme de P si P no es cercano a X \ V, tal que allí no exista un espacio uniforme que contenga a P y X \V.

Entorno reducido

Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {y : −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.

Definición de entorno

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por E_r(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).

E_r(a) = (a-r, a+r)

Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.

E_r(0) = (-r, r) se expresa también |x|, o bien, -r < x < r.

Entornos laterales

1 Por la izquierda

E_r(a^-) = (a-r, a]

1 Por la derecha

E_r(a⁺) = [a, a+r)

Entorno reducido

Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto.

E_r^*(a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a}

espacio de Hilbert equipado (EHE) es una generalización de los espacios de Hilbert que permite ligar la teoría de distribuciones y los aspectos cuadrado-integrables del análisis funcional. Tales espacios fueron introducidos para estudiar la teoría espectral en sentido amplio y tienen amplia aplicación enmecánica cuántica.

Una función como

$x \mapsto e^{ix} \quad$

que es claramente un vector propio del operador diferencial (que en mecánica cuántica se usa como operador cantidad de movimiento):

$i\frac{d}{dx}$

en la recta real

\mathbb{R}

, no es de cuadrado integrable para la medida de Borel usual en

\mathbb{R}

. Claramente la función exponencial compleja pertenece al espacio vectorial complejo

\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})

(que no es un espacio de Hilbert) pero no pertenece al espacio de Hilbert

L^2(\mathbb{R})

(asociado a la medida de Lebesgue-Borel).

Para poder definir propiedades de ortogonalidad a la función exponencial compleja del ejemplo anterior, se requiere un marco que exceda los límites estrictos de la teoría del espacio de Hilbert. Esto fue provisto por el aparato de distribuciones de Schwartz, y la teoría generalizada de la función propia fue desarrollada en los años 1950.

Introducción

El concepto del espacio equipado de Hilbert pone esta idea en marco funcional-analítico abstracto. Formalmente, un espacio equipado de Hilbert consiste en el espacio de Hilbert H, junto con un subespacio Φ que lleva una topología más fina, para la cual la inclusión natural o inyección canónica:

$\Phi \hookrightarrow H,$

es continua. Se puede asumir que ese Φ es denso en H para la norma de Hilbert. Consideramos la inclusión del espacio dual H^* en Φ^*. El último, dual al Φ en su topología de la función de prueba, se realiza como un espacio de distribuciones o de funciones generalizadas de una cierta clase, y los funcionales lineales en el subespacio Φ del tipo:

$\phi\mapsto\langle v,\phi\rangle$

para v en H se representan fielmente como distribuciones (porque asumimos Φ denso). Ahora aplicando el teorema de representación de Riesz podemos identificar H^*con H. Por lo tanto la definición del espacio equipado de Hilbert es en términos de un sándwich

$\Phi \subseteq H = H^*\subseteq \Phi^*.$

Definición formal

Un espacio de Hilbert equipado es una tripleta

\scriptstyle (\mathcal{H}, \Phi, \langle, \rangle)

donde el par

\scriptstyle (\mathcal{H}, \langle, \rangle)

constituye un espacio de Hilbert ordinario y el conjunto

\scriptstyle \Phi

es un espacio vectorial denso en el espacio

\scriptstyle \mathcal{H}

y no reflexivo (

\scriptstyle \Phi \ne \Phi^*

) tal que

\scriptstyle \mathcal{H} \subseteq \Phi^*

. Como condición adicional se exigen que

\scriptstyle \Phi

puede ser continuamente encajado en el espacio

\scriptstyle \mathcal{H}

, es decir, que la queinyección canónica i sea continua:

$i:\Phi\to \mathcal{H}$ .

Dado que

\scriptstyle \mathcal{H}= \mathcal{H}^*

, por ser todo espacio de Hilbert reflexivo, el operador adjunto dado por:

$i^*:H=H^*\to\Phi^*$

También debe ser una aplicación continua. La dualidad entre

\scriptstyle \Phi

\scriptstyle \Phi*

también debe ser compatible con el producto de

\scriptstyle \mathcal{H}

, en el sentido de que:

$\langle u, v\rangle_{\Phi\times\Phi^*} = (u, v)_H$

para cualesquiera

\scriptstyle u\in\Phi\subset H

\scriptstyle v \in H=H^* \subset \Phi^*

La tripleta

\scriptstyle (\Phi,\,\,H,\,\,\Phi^*)

se denomina frecuentemente "terna de Gelfand" (en honor al matemático Izrail Gélfand). Nótese que aunque

\scriptstyle \Phi

es isomorfo a

\scriptstyle \Phi^*

en el que caso de que

\scriptstyle \Phi

sea en sí mismo un espacio de Hilbert, este isomorfismo no es el mismo que la composición de la inyección canónica i con su adjunto i*

$i^*\circ i:\Phi\subset H=H^*\to\Phi^*.$

EHE en Mecánica cuántica

En mecánica cuántica el formalismo de espacios de Hilbert equipados permite tratar de un modo similar los estados ligados de partículas y estados libres (idealizados, o de colisión). Un estado ligado corresponde normalmente a una situación donde una partícula tiene su movimiento restringido a una región finita del espacio, mientras que en un estado libre, más pertinentemente no-ligado, la partícula puede moverse por todo el espacio. Los estados ligados pueden representarse por vectores ordinarios en un espacio de Hilbert de tipo

\scriptstyle L^2(\R^n)

, mientras que los estados no-ligados al representar partículas cuyo movimiento no se restringe a una función comparte deberán ser modelizados por funciones en general no integrables y que no pertenecen al espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable.

Un ejemplo físico aclara la situación. Si consideramos un átomo de hidrógeno los estados ligados corresponden a los electrones que orbitan alrededor del núcleo y no van mucho más allá del radio atómico, en este caso su energía mecánica total es negativa. Por otro lado un estado libre correspondería a la situación de un electrón con energía positiva se acerca al núcleo del átomo interactúa con él siendo desviado de su trayectoria pero tiene suficiente energía como para no ser capturado por el núcleo continuando así su camino lejos del átomo.

Desde un punto de vista matemático los estados ligados son vectores propios del Hamiltoniano (asociado a valores del espectro puntual del mismo). Por el contrario elespectro continuo del Hamiltoniano, que correspondería a estados libres carece de vectores propios propiamente dichos en un espacio de Hilbert convencional. Si se amplía el espacio de Hilbert convencional con ciertos vectores adicionales, entonces ciertos estados libres físicamente razonables pueden ser tratados como vectores propios generalizados correspondientes al espectro continuo.

espacio de Schwartz es un espacio funcional de funciones de decrecimiento rápido. Este tipo de espacio tiene la propiedad interesante de que latransformada de Fourier es un automorfismo de este espacio. Esta propiedad gracias a la propiedad de dualidad, permite extender la definición de la transformada de Fourier a funciones generalizadas pertenecientes al espacio dual

\mathcal{S}

del espacio de Schwartz.

Este tipo de espacios se nombra así en honor a Laurent Schwartz. Una función del espacio de space se llama a veces función de Schwartz.

El espacio de Schwartz o espacio de funciones de decrecimiento rápido

\mathcal{S}(\R^n)

definido sobre el espacio euclídeo

\R^n

es el conjunto de funciones:

$\mathcal{S} \left(\mathbb{R}^n\right) = \{ f \in C^\infty(\mathbb{R}^n) \mid \forall \, \alpha, \beta:\ \|f\|_{\alpha,\beta} < \infty \},$

Donde:

\alpha, \beta\,

son multíndices (conjuntos ordenados de índices).

C^\infty(\R^n)

es el conjunto de funciones reales suaves sobre

\R^n

\|\cdot\|

es una norma definida a partir de la norma del supremo como:

$\|f\|_{\alpha,\beta} := \|x^\alpha D^\beta f\|_\infty = \sup_{\mathbf{x}\in\R^n} \left| x_{i_1}^{\alpha_1}\ldots x_{i_m}^{\alpha_m} \frac{\part^{|\beta|} f}{\part x_{j_1}^{\beta_1}\ldots x_{j_k}^{\beta_k}}\right|$

Donde los números

\alpha_i, \beta_j

son enteros positivos que satisfacen:

$\sum_{i=1}^m \alpha_i = |\alpha|, \qquad \sum_{j=1}^n \beta_j = |\beta|$

Ejemplos de funciones en $\mathcal{S}(\R^n)$

Si $a, n > 0\,$ , entonces $x^ne^{-ax^2}\in \mathcal{S}(\R)$ .
Cualquier función suave de soporte compacto está en $\mathcal{S}(\R^n)$ .

Propiedades

$\mathcal{S}$ es un espacio de Fréchet sobre los números complejos $\mathbb{C}$ .
Por la regla de Leibniz se sigue que $\mathcal{S}(\R^n)$ es cerrado bajo la multiplicación punto a punto, es decir, $f, g \in \mathcal{S}(\R^n) \Rightarrow h(x):=f(x)g(x)\in \mathcal{S}(\R^n)$ .
La tansformada de Fourier es un automorfismo lineal acotado de $\mathcal{S}(\R^n)$ en sí mismo.
Para cualquier $1 \le p \le \infty$ , se tiene que $\mathcal{S}\subset L^p,$ donde L^p(Rⁿ) es el espacio de funciones p-integrables en Rⁿ. En particular, cualquier función de $\mathcal{S}$ es una función acotada.