función de decrecimiento rápido es una función f sobre

\R^n

que decrece a cero hacia infinto de tal manera que, su cota superior asintótica cumple que:

$f(\mathbf{x}) = o\left( \frac{1}{\|\mathbf{x}\|^{N}} \right), \qquad N \ge 1$

El conjunto de estas funciones puede convertirse en un espacio normado, llamado espacio de Schwartz.

Una función gaussiana bidimensional es un ejemplo de función de decrecimiento rápido, y por tanto, un elemento del espacio de Schwartz.

función de Dirichlet, llamada así en honor al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet, es una función matemática especial, que tiene la peculiaridad de no ser continua en ningún punto de su dominio.

Si c y d son dos números reales con c ≠ d, (usualmente se toman los valores c = 1 y d = 0), la función de Dirichlet se define como:

$D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{racional} \\ d & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{irracional} \\ \end{cases}$

Analíticamente, se puede representar de la siguiente manera:

$D(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)^{2j}\right)\right)$

Esta función es discontinua en todo punto de su dominio.

Función de Dirichlet

La función de Dirichlet es una función real de variable real que no es continua en ningún punto de la recta. Se define de la siguiente forma:

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} 1,\mbox{ si }x\in\mathbb{Q} \\ 0,\mbox{ si }x\in\mathbb{R-Q}\end{cases}$

Vamos a demostrar que esta función no es continua en ningún punto usando lacaracterización de continuidad por sucesiones, que dice lo siguiente:

Sea $f:A\subseteq\mathbb{R}\Longrightarrow\mathbb{R}$ una función real de variable real y sea $a\in A$ . Entonces f es continua en a si $\forall x_n\subset A$ sucesión de elementos de A tal que $x_n \rightarrow a$ se tiene que $f(x_n) \rightarrow f(a)$

Por tanto f no es continua en a si $\exists x_n\subset A$ sucesión de elementos de A tal que $x_n \rightarrow a$ pero $f(x_n) \not\rightarrow f(a)$

Sea $a\in\mathbb{Q}$ . Por ser $\mathbb{R-Q}$ denso en $\mathbb{R}$ se tiene que existirá una sucesión $x_n\subset\mathbb{R-Q}$ tal que $x_n\rightarrow a$ . Y aquí está el problema: como $x_n\subset\mathbb{R-Q}$ se tiene que $f(x_n)=0,\forall n\in\mathbb{N}$ y como $a\in\mathbb{Q}$ se tiene que $f(a)=1$ . Por tanto $f(x) \not\rightarrow f(a)$ .

Al ser $\mathbb{Q}$ también denso en $\mathbb{R}$ la demostración para el caso $a\in\mathbb{R-Q}$ es análoga a la anterior. Por tanto f(x) no es continua en ningún punto.

En general, si en vez de tomar $\mathbb{Q}$ tomamos cualquier subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ que sea densoen $\mathbb{R}$ tenemos una función que no es continua en ningún valor real.

En análisis matemático, partiendo de una función real de valores reales f, definida en una vecindad de x = b, diremos que f es una función semicontinua inferiormenteen x = b si para todo ε > 0 existe un δ > 0, de tal manera que de las condiciones |x - b|< δ y x elemento del dominio de f, se deducen que f(x)≥ f(b) - ε.¹

Análogamente, podría ser definida una función semicontinua superiormente en x= c si para todo ε > 0 existe un δ > 0, de tal manera que de las condiciones |x - c|< δ y x elemento del dominio de f, se deducen que f(x)≤ f(c) - ε.

identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de lasmatemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma:

e^{i \pi} + 1 = 0\,\!

donde:

π (número pi) es un número irracional y trascendente que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro y está presente en varias de las ecuaciones más fundamentales de la física. $\frac{\pi}{4} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1}$
e (número de Euler) es la suma de la serie $e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$ , que aparece en numerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un número irracional y trascendente.
i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números complejos.
0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

Esta identidad se puede emplear para calcular π:

\pi = \frac {\ln(-1)}{i}\,\!

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

e^{ix} = \cos x + i \sen x \,\!

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman enradianes.) En particular si

x = \pi \,\!

entonces

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sen \pi \,\!

y ya que

\cos \pi = -1 \,\!

y que

\sen \pi = 0 \,\!

se sigue que

e^{i \pi} = -1 \,\!

Lo cual implica la identidad

e^{i \pi} +1 = 0 \,\!

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

x = i\pi,\,\!

en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:

e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + ... ,\,\!

para obtener:

e^{i\pi} = 1 + i\pi + \frac {(i\pi)^2}{2!} + \frac {(i\pi)^3}{3!} + \frac {(i\pi)^4}{4!}+ ... ,\,\!

simplificando (usando i² = -1):

e^{i\pi} = 1 + i\pi - \frac {\pi^2}{2!} - \frac {i\pi^3}{3!} + \frac {\pi^4}{4!} + ... ,\,\!

Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:

i(\pi - \frac {\pi^3}{3!} + \frac {\pi^5}{5!} - \frac {\pi^7}{7!} + ...) = 0 \quad ; \quad (1 - \frac {\pi^2}{2!} + \frac {\pi^4}{4!} - \frac {\pi^6}{6!} + ...) = -1\!

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

e^{i \pi} = -1\,\!

Logaritmos de números negativos

Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo,

\ln(-4)

podemos proceder de la siguiente manera:

\ln(-4) = \ln(-1) + \ln(4)

Sabiendo que

\ln(-1)=\pi i

\pi i + \ln(4) \!

Fórmula de Euler para un ángulo general.

Un número complejo es aquél que se representa mediante una parte real y una parte imaginaria, si definimos a z como un complejo, x su parte real e y su parte imaginaria, este quedaría así,

Donde i es el número imaginario, definido como la raíz cuadrada de -1,

Ahora, si tomo al famoso numero e y lo potencio con el número complejo z,

Mediante series numéricas, Euler encontró que,

Por lo tanto,

La identidad de Euler (ecuación más famosa)

Esta es conocida como la fórmula de Euler, que define la exponenciación compleja. Es una fórmula de gran sutileza y precisión. Pero si hacemos un análisis más minucioso podemos llegar a más aún.
Si hacemos que x valga 0 y que y tome el valor de pi,

A su vez, sabemos que el seno de pi es cero y el coseno de pi vale -1, entonces,

Ó, resulta lo mismo escribir,

Esta es la identidad de Euler, la ecuación más famosa de la matemática. En ella se puede decir que está resumida toda la matemática. Encontramos los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación e identidad. Tenemos también, los cinco números fundamentales, el cero, el uno, pi, el número e y el número i.
Esta ecuación expresa con unos pocos símbolos matemáticos, una belleza infinita. Digna de un genio como Euler.