AMIGOS PARA SIEMPRE: Análisis matemático

función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de

\R

\R

es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad defunciones reales de una variable real.

Funciones reales de una variable real

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.

El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x)existe.

El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)

El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto x₀ en el dominio de la función

si:

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta> 0 \;

tal que para toda x en el dominio de la función:

|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera:
Si x₀ es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x₀ si y sólo si

\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)

. Cuando x₀ no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.

En el caso de aplicaciones de

\mathbb{R}

\mathbb{R}

, y de una manera más rigurosa se dice que una función

f

es continua en un punto x₁ si existe f (x₁), si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x₁ por la derecha, si existe el límite de f (x)cuando x tiende hacia x₁ por la izquierda, y además ambos coinciden con f (x₁).

Así pues, una función f continua en el punto x₁ implica lo siguiente:

{ \color{Blue}(7)} \; f(x_1) = L_{(x_1)} \left \{ \begin{array}{l} { \color{Blue}(5)} \; L_{(x_1)} = L^{+}_{(x_1)} = L^{-}_{(x_1)} \left \{ \begin{array}{l} { \color{Blue}(3)} \; \exists \; L^{+}_{(x_1)} \land \exists \; L^{-}_{(x_1)} \; \left \{ \begin{array}{l} { \color{Blue}(1)} \; \exists \; L^{+}_{(x_1)} = {\displaystyle \lim_{x \to {x_1}^{+}} f(x)} \\ \\ { \color{Blue}(2)} \; \exists \; L^{-}_{(x_1)} = {\displaystyle \lim_{x \to {x_1}^{-}} f(x)} \end{array} \right . \\ { \color{Blue}(4)} \; L^{+}_{(x_1)} = L^{-}_{(x_1)} \end{array} \right . \\ { \color{Blue}(6)} \; \exists f(x_1) \end{array} \right .

1. existe el límite por la derecha:

\exists \lim_{x \to x_1^+} f(x) \in \mathbb{R}

2. existe el límite por la izquierda:

\exists \lim_{x \to x_1^-} f(x) \in \mathbb{R}

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x₁

\exists \lim_{x \to x_1^+} f(x) \in \mathbb{R} \quad \land \quad \exists \lim_{x \to x_1^-} f(x) \in \mathbb{R}

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

\lim_{x \to x_1^-} f(x) = \lim_{x \to x_1^+} f(x)

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

\lim_{x \to x_1} f(x) = \lim_{x \to x_1^-} f(x) = \lim_{x \to x_1^+} f(x)

6. Existe f(x₁):

\exists f(x_1)

7. El límite y el valor de la función coinciden:

\lim_{x \to x_1} f(x) = f(x_1)

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Si f(x₁)= y₁, la continuidad en x₁ se expresa así:

\lim_{x \to x_1} f(x) = y_1

parafraseando, cuando x se aproxima a x₁, f(x) se aproxima a y₁'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y₁, existe un intervalo abierto I, centrado en x₁, tal que

f(I) \in J

Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x₁ tiene su imagen en un intervalo J centrado en y₁, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x₁ que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y₂, siendo y₁ y y₂valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateral

Una función

f

es continua por la izquierda en el punto

x = x_1

si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

\lim_{x \to x_1^-} f(x) = f(x_1)

como en la figura.

Una función

f

es continua por la derecha en el punto

x=x_1

si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

\lim_{x\to x_1^+ } f(x) = f(x_1)

Una función

f

es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

\lim_{x\to x_1^- } f(x) = \lim_{x\to x_1^+ } f(x) = f(x_1)

Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)

Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

a < c < b \;

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

\forall c \in I=(a,b): \quad \lim_{x \to c} f(x) = f(c)

Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]

Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

a \le c \le b \;

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

\forall c \in I= [a,b]: \quad \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \quad \land \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \quad \land \quad \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)

Algunas funciones continuas importantes

Funciones seno y coseno.

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.

La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.

En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Funciones definidas por intervalos

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:

La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.

Otras funciones definidas por intervalos son:

Función escalón unitario

Función signo

Función racional

Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

f(x) = \frac {1}{x}

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como vemos, efectivamente es continua en todo el dominio

\left(- \infty ,0 \right) \cup \left( 0 , + \infty \right)

porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R(dándole un valor arbitrario a f(0)) la función será discontinua.

Teoremas sobre funciones continuas

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

Teorema de Weierstrass: Si f es continua en $[a,b]$ entonces presenta máximos y mínimos absolutos.
Teorema de Bolzano: Si f es continua en $[a,b]$ y $f(a)>0$ y $f(b) < 0$ , entonces $\exists c \in (a,b)$ tal que $f(c) = 0$
Teorema del valor intermedio: Si f es continua en $[a,b]$ y $f(a) < k < f(b)$ entonces $\exists c \in (a,b)$ tal que $f(c) = k$
Acotación: Si f es una función sobre un conjunto compacto entonces, la función tiene un máximo o un mínimo (sobre un conjunto abierto se tiene el siguiente contraejemplo la función $f(x) = 1/x$ es continua sobre $(0,1)$ pero no es acotada).

Derivada y continuidad

Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. De modo que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad. O el conjunto de las funciones derivables es parte de las funciones continuas.

Demostración

Es importante notar que lo recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x= 0. Incluso hay funciones continuas en todo

\mathbb{R}

pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1). Sobre esto consultar Calculus de Spivak.

Clase de continuidad

Una función

f:\Omega\subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}

, se dice que:

es de clase $C^0(\Omega)\,$ cuando es continua en todo el dominio $\Omega$ .
es de clase $C^k(\Omega)\,$ si está definida en todo el dominio $\Omega$ junto con sus derivadas hasta orden $k \ge 1$ y todas ellas son continuas.
es de clase $C^\infty(\Omega)\,$ si tiene derivadas continuas de cualquier orden. Observemos que funciones de este tipo no son nercesariamente analíticas.
Una función es de clase $C^{-1}(\Omega)\,$ si es la derivada en el sentido de las distribuciones de una función de clase $C^0(\Omega)\,$ .
Una función generalizada se dice de clase $C^{-k}(\Omega)\,$ si es la derivada k-ésima en el sentido de las distribuciones de una función de clase $C^0(\Omega)\,$ .

Se puede dar ejemplos que muestran que hay funciones de clase

<math>C^k(\Omega)\,

pero no lo son de clase

C^{k+1}(\Omega)\,

. Los ejemplos clasicos son

f_k(x) = x^k\sen(1/x)

Funciones continuas en espacios topológicos

Sean

(X,T_X)

(Y,T_Y)

dos espacios topológicos. Una aplicación

f:X \longrightarrow Y

se dice que es continua si:

f^{-1}(G)

es un abierto de

X

, cualquiera que sea el abierto

G

Y

. Esta es la continudad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en un punto del dominio.

Esta definición se reduce a la definición ordinaria de continuidad de una función

f:\R^n\to \R^m

si sobre

\R^n

\R^m

se considera la topología inducida por la distancia euclídea.

Con la misma notación anterior, si

x \in X

, diremos que

f

es continua en

x

cuando se obtiene que

f^{-1}(V)

es un entorno de

x

, cualquiera que sea el entorno

V

f(x)

Es "inmediato" entonces comprobar que

f

es continua si y solo si es continua en

x \in X

, cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos de su dominio.

Funciones continuas sobre los números ordinales

El término función continua en la parte de la teoría de conjuntos que se refiere a los números ordinales tiene un sentido diferente al referido a las funciones sobre espacios topológicos. Concretamente una función F definida sobre la clase de los números ordinales

\mathrm{On}

es continua si para cada ordinal límite γ se cumple la siguiente propiedad:

$F(\gamma) = \bigcup \{F(\sigma)|\ \sigma < \gamma,\ \sigma \in \mathrm{On} \}$

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

La función

es continua en

− {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.

Funciones definidas a trozos

Las funciones definidas a trozos son continuas si cada función lo es en su intervalo de definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto tienen que coincidir sus límites laterales.

La función