Finanzas

Matemática financiera

Tasa Anual Equivalente (TAE) es una referencia orientativa del coste o rendimiento efectivo de un producto financiero. Incluye el tipo de interésnominal, los gastos y comisiones bancarias y el plazo de la operación. A diferencia del tipo de interés, recoge la compensación completa que recibe el propietario del dinero por cederlo temporalmente.

No obstante, la TAE no incluye los gastos que el cliente pueda evitar (por ejemplo, los gastos de transferencia de fondos), los que se abonan a terceras personas o empresas (corretajes, honorarios notariales e impuestos) o los gastos por seguros o garantías (salvo primas destinadas a garantizar a la entidad el reembolso del crédito en caso de fallecimiento, invalidez o desempleo, siempre que la entidad imponga su suscripción para la concesión del crédito). En España es obligatorio que el TAE figure en la documentación y publicidad tanto de los productos ahorro como en los préstamos.

Cálculo de la TAE

El cálculo de la TAE es simplemente el cálculo del tipo de interés anual según el interés compuesto, donde los intereses obtenidos son remunerados al mismo tipo de interés (no son ignorados o trasladados en el tiempo). Además, el cálculo de la TAE debe incluir todos los pagos (incluidas comisiones u otros costes obligatorios como la contratación de seguros). Los pagos que incluir varían según el producto bancario de que se trate y vienen establecidos, en España, por la Circular 5/12 del Banco de España.

Se calcula como el resultado de una fórmula matemática normalizada que tiene en cuenta el tipo de interés, comisiones bancarias, frecuencia de los pagos (mensuales, trimestrales, etc.) y otros gastos o ingresos. Para calcular el TAE en tanto por uno a partir del TIN expresado también en tanto por uno se utiliza esta fórmula:

Donde:

• r, es el tipo de interés nominal (mensual, semestral...) expresado en tanto por uno.
• f, frecuencia de pagos/cobros de intereses: 12 (tipo mensual), 6 (bimestral), 4 (trimestral), 3 (cuatrimestral), 2 (semestral), 1 (anual).

Ejemplos de su uso

• Si se invierten 100 € en un fondo mensual, al 7 % TAE, durante un año, al final del año se tendrán 107 €.

El Interés Nominal (TIN), según la fórmula anterior, es:

es decir, tenemos un Interés Nominal (TIN) anual, del 6,785 %,

y por tanto, un interés nominal en cada período de cobro (cada mes), de:

Se divide r por doce, porque se quiere averiguar el interés nominal para un único mes, y se multiplica por 100 para pasarlo a tanto por ciento.

Así, mes a mes se obtendría un 0,56 % sobre lo acumulado (si no se quita dinero del depósito):

• 0,56 % sobre 100€ el primer mes: 100,56 €
• 0,56 % sobre 100,56€ el segundo mes: 101,12 €, etc

de tal modo que el último mes se acumularían 107 €, obteniéndose así el 7 % TAE.

• El TAE tiene importancia en el cálculo de intereses compuestos. Ejemplo:

Con un interés nominal del 6 % anual y 12 pagos al año (pagos mensuales), resulta un TAE de 6,17 %:

obteniéndose al finalizar el año, para 600 euros:

 €

La TAE, o Tasa Anual Equivalente, indica el coste o rendimiento efectivo de un producto financiero. Se diferencia del tipo de interés en que la TAE sí incluye los gastos y comisiones bancarias junto a la compensación que recibe el propietario del dinero (ya sea éste una entidad bancaria, un particular, etc) por cederlo temporalmente.

Como habrás supuesto, este indicador ofrece una visión más completa que el tipo de interés de la situación en la que se encuentra un producto financiero. Sin embargo, no siempre es así, por ejemplo cuando se trata de comparar cuentas a la vista. Esto ocurre porque determinadas comisiones y gastos que habitualmente no se incluyen en su cálculo tienen gran importancia en este caso concreto. Por eso, fijarse muy bien en las comisiones y gastos incluidos antes de decidirse por un préstamo u otro te facilitará aún más la comparación entre las distintas ofertas.

El cálculo de la TAE

 

La base del cálculo de esta tasa, expresada en tanto por ciento anual, está en el tipo de interés compuesto y en la hipótesis de que los intereses que se vayan obteniendo se vuelven a invertir al mismo tipo de interés. Recalcamos el término hipótesis porque en los depósitos a corto plazo, la entidad no se está comprometiendo a esa reinversión, por lo que en estos depósitos  la TAE perdería gran parte de su significado.

 

En el portal del cliente bancario del Banco de España podrás acceder al simulador del cálculo de la TAE de un préstamo (hipotecario o personal) aportando los siguientes datos:

 

•  Importe del préstamo
• Tipo de interés nominal
• Plazo de amortización
• Comisiones
• Y la prima del seguro de protección de pagos en el caso de que su contratación sea obligatoria. 

 tasa de crecimiento anual compuesto (TCAC o también CAGR, Compound annual growth rate, en inglés) es un término específico de negocios e inversión para la ganancia anualizada lisa de una inversión sobre un periodo dado de tiempo¹

La CAGR no es un término contable, pero se usa ampliamente, particularmente en industrias en crecimiento o para comparar las tasas de crecimiento de dos inversiones, debido a que la CAGR modera el efecto de volatilidad de retornos periódicos que pueden hacer irrelevantes las medias aritméticas. La CAGR se utiliza frecuentemente para describir el crecimiento sobre un periodo de tiempo de algunos elementos del negocio, por ejemplo, ingresos, unidades entregadas, usuarios registrados, etc.

Fórmula

•  : valor inicial,  : valor final,  : número de años.
• Se pueden usar efectos reales o valores normalizados para calcular el tiempo que conserva la misma proporción matemática.
• El CAGR también se puede calcular como la media geométrica de los equivalentes decimales multiplicadores (es decir, 3% se convierte en 1,03 y -2% se convierte en 0,98) de los cambios individuales período-sobre-período.

tasa de interés (o tipo de interés) es el precio del dinero o pago estipulado, por encima del valor depositado, que un inversionista debe recibir, por unidad de tiempo determinado, del deudor, a raíz de haber usado su dinero durante ese tiempo. Con frecuencia se le llama "el precio del dinero" en el mercado financiero, ya que refleja cuánto paga un deudor a un acreedor por usar su dinero durante un periodo.

En términos generales, a nivel individual, la tasa de interés (expresada en porcentajes) representa un balance entre el riesgo y la posible ganancia (oportunidad) de la utilización de una suma de dinero en una situación y tiempo determinado. En este sentido, la tasa de interés es el precio del dinero, el cual se debe pagar/cobrar por tomarlo prestado/cederlo en préstamo en una situación determinada. Por ejemplo, si las tasas de interés fueran las mismas tanto para depósitos en bonos del Estado, cuentas bancarias a largo plazo e inversiones en un nuevo tipo de industria, nadie invertiría en acciones o depositaría en un banco. Tanto la industria como el banco pueden ir a la bancarrota, un país no. Por otra parte, el riesgo de la inversión en una empresa determinada es mayor que el riesgo de un banco. Sigue entonces que la tasa de interés será menor para bonos del Estado que para depósitos a largo plazo en un banco privado, la que a su vez será menor que los posibles 

Historia del concepto

Aparentemente el cobro de interés se remonta a la antigüedad más remota. Por ejemplo, en textos de las religiones abrahámicas se aconseja contra el cobro de interés excesivo.

Posteriormente, en la Edad Media europea el cobro de interés fue, bajo la influencia de las doctrinas católicas, considerado inaceptable: el tiempo se consideraba propiedad divina, cobrar entonces por el uso temporal de un objeto o bien (dinero incluido) era considerado comerciar con la propiedad de Dios, lo que hizo que su cobro fuese prohibido bajo pena de excomunión.

Posteriormente, Tomás de Aquino adujo que cobrar interés es un cobro doble: por la cosa y por el uso de la cosa. Consecuentemente, cobrar interés llegó a ser visto como el pecado de Usura.

Esta situación empezó a cambiar durante el Renacimiento. Los préstamos dejaron de ser principalmente para el consumo y empezaron (junto al movimiento de dineros) a jugar un papel importante en la prosperidad de ciudades y regiones. Frente a eso, la escuela de Salamanca propone una nueva visión del interés: si el que recibe el préstamo lo hace para beneficiarse, el que lo otorga tiene derecho a parte de ese beneficio dado que no sólo toma un riesgo pero también pierde la oportunidad de beneficiarse de ese dinero usándolo de otra manera, el llamado coste de oportunidad.

Con esas nuevas proposiciones se empiezan a crear las bases para la percepción del dinero como una mercadería, la cual, como cualquier otra, puede ser comprada, vendida o arrendada. Una importante contribución a esta visión se origina con Martín de Azpilcueta, uno de los más prominentes miembros de esa escuela. De acuerdo con él, un individuo prefiere recibir un bien en el presente a recibirlo en el futuro. Esa "preferencia" implica una diferencia de valor, así, el interés representa un pago por el tiempo que un individuo es privado de ese bien.

Época moderna

Véase también: Historia del pensamiento económico

Los primeros estudios formales del interés se encuentran en los trabajos de Mirabeau, Jeremy Bentham y Adam Smith durante el nacimiento de las teorías económicas clásicas. Para ellos, el dinero está sujeto a la ley de la oferta y demanda transformándose, por así decirlo, en el precio del dinero. Posteriormente, Karl Marx ahonda en las consecuencias de esa transformación del dinero en mercancía, que describe como la aparición del capital financiero.

Esos estudios permiten, por primera vez, al Banco Central de Francia intentar controlar la tasa de interés a través de la oferta de dinero (cantidad de dinero en circulación) con anterioridad a 1847.

A comienzos del siglo XX, Irving Fisher incorpora al estudio del fenómeno diferentes elementos que lo afectan (tal como la inflación) introduciendo la diferencia entre las tasas de interés nominal y real. Fisher retoma la idea de la escuela de Salamanca y aduce que el valor tiene una dimensión no solo cuantitativa sino también temporal. Para este autor, la tasa de interés mide la función entre el precio futuro de un bien con relación al precio actual en términos de los bienes sacrificados ahora a fin de obtener ese bien futuro.

En la actualidad la concepción de la tasa de interés tanto entre académicos como en la práctica en instituciones financieras está fuertemente influida por las visiones deJohn Maynard Keynes y Milton Friedman.

Los tipos de interés como instrumento de la política monetaria

Desde el punto de vista de la política monetaria del Estado, una tasa de interés alta incentiva el ahorro y una tasa de interés baja incentiva el consumo. De ahí la intervención estatal sobre los tipos de interés a fin de fomentar ya sea el ahorro o la expansión, de acuerdo a objetivos macroeconómicos generales.

Dado lo anterior, las tasas de interés "reales", al público quedan fijadas por:

• La tasa de interés fijada por el banco central de cada país para préstamos (del Estado) a los otros bancos o para los préstamos entre los bancos (la tasainterbancaria). Esta tasa corresponde a la política macroeconómica del país (generalmente es fijada a fin de promover el crecimiento económico y la estabilidad financiera).
• La situación en los mercados de acciones de un país determinado. Si los precios de las acciones están subiendo, la demanda por dinero (a fin de comprar tales acciones) aumenta, y con ello, la tasa de interés.
• La relación a la "inversión similar" que el banco habría realizado con el Estado de no haber prestado ese dinero a un privado. Por ejemplo, las tasas fijas de hipotecas están referenciadas con los bonos del Tesoro a 30 años.

Las tasas de interés en la banca

En el contexto de la banca se trabaja con tasas de interés distintas:

• Tasa de interés activa: Es el porcentaje que las instituciones bancarias, de acuerdo con las condiciones de mercado y las disposiciones del banco central, cobran por los diferentes tipos de servicios de crédito a los usuarios de los mismos. Son activas porque son recursos a favor de la banca.
• Tasa de interés pasiva: Es el porcentaje que paga una institución bancaria a quien deposita dinero mediante cualquiera de los instrumentos que para tal efecto existen.
• Tasa de interés preferencial: Es un porcentaje inferior al "normal" o general (que puede ser incluso inferior al costo de fondeo establecido de acuerdo a las políticas del Gobierno) que se cobra a los préstamos destinados a actividades específicas que se desea promover ya sea por el gobierno o una institución financiera. Por ejemplo: crédito regional selectivo, crédito a pequeños comerciantes, crédito a ejidatarios, crédito a nuevos clientes, crédito a miembros de alguna sociedad o asociación, etc.

Tipos de interés nominales y reales

Véase también: Ecuación de Fisher

Los tipos de interés se modulan en función de la tasa de inflación. El tipo de interés nominal engloba el crecimiento de los precios (tasa de inflación) y el tipo de interés real, (con el que el prestamista gana dinero). Cuando el tipo de interés nominal es igual a la tasa de inflación, el prestamista no obtiene ni beneficio ni pérdida, y el valor devuelto en el futuro es igual al valor del dinero en el presente. Una tasa de inflación superior al tipo de interés nominal implica un tipo de interés real negativo y, como consecuencia, una rentabilidad negativa para un inversor.

Tasas de interés fijo e interés variable

Los conceptos de tipo de interés fijo y tipo de interés variable se utilizan en múltiples operaciones financieras, económicas e hipotecarias -como la compra de vivienda-.¹

La aplicación de interés fijo supone que el interés se calcula aplicando un tipo único o estable (un mismo porcentaje sobre el capital) durante todo lo que dura elpréstamo o el depósito.

En la aplicación de interés variable el tipo de interés (el porcentaje sobre el capital aplicado) va cambiando a lo largo del tiempo. El tipo de interés variable que se aplica en cada periodo de tiempo consta de dos cifras o tipos y es el resultado de la suma de ambos: un índice o tipo de interés de referencia (p.e. Euribor) y un porcentaje o margen diferencial.²

Tipos de interés del mercado

El mercado, en el que se negocian valores tales como bonos, acciones, futuros, etc., por efecto de la oferta y la demanda, fija para cada clase de activos un tipo de interés que depende de factores tales como:

• Las expectativas existentes sobre la tasa de inflación.
• El riesgo asociado al tipo de activo: los inversores exigen un tipo de interés mayor como contrapartida por asumir mayores riesgos.
• La preferencia por la liquidez: cuanto menos líquido sea el activo, mayor compensación exigirán los inversores. Por este motivo los inversores suelen exigir retribuciones mayores por inversiones a mayor plazo.

Aspectos macroeconómicos de los tipos de interés

La macroeconomía se interesa por la influencia de los tipos de interés en otras variables de la economía, en particular con:

• La producción y el desempleo
• El dinero y la inflación

Modelos matemáticos

Existen multitud de modelos matemáticos que tratan de explicar y modelar la estructura (o curva) temporal de los tipos de interés.

intereses ganados en una inversión industrial.