Matemática financiera
rentas financieras se definen como una distribución de capitales que se reparten a lo largo de una partición temporal, de forma que a cada uno de esos intervalos, también según algunos autores, periodo de vencimiento, le corresponde un solo capital, al que se denomina como término de la renta que se produce en el mismo.
Por renta financiera se entiende al conjunto de cargas impositivas que gravan las utilidades producidas por la venta de acciones y títulos que no cotizan en la Bolsa y cuya utilidad tenga cierta periodicidad, y al reparto de dividendos netos que las empresas realizan entre socios y accionistas residentes en un país determinado.
No todas las rentas suelen tener igual tratamiento. Habitualmente los intereses de plazos fijos obtenidos por un individuo no pagan este impuesto, debido a que la renta financiera generalmente resulta de la valorización de una inversión a lo largo del tiempo. Tampoco pagará el impuesto un individuo que compra acciones para invertir con carácter casual -y que no se dedica permanentemente a esta actividad- por la diferencia que obtenga al momento de venderlas.
En general, la renta derivada de las diferencias por la venta de títulos públicos suele estar exenta; normalmente el impuesto tampoco pesa sobre los dividendos recibidos de una sociedad. El fundamento radica en que la sociedad ya pagó el gravamen correspondiente sobre esas ganancias.
Igualmente, los resultados financieros de la compraventa e intereses de obligaciones negociables colocadas en oferta pública se encuentran exentos para las personas físicas residentes en un país. Por el contrario, las personas jurídicas y los beneficiarios del exterior no lo están.
En términos generales los intereses ganados por depósitos en cuentas en el exterior y los ganados por depósitos de una sociedad anónima o una sociedad de responsabilidad limitada suelen están gravados, igualmente que los dividendos recibidos por inversiones en el exterior.
En otras palabras, las Rentas Financieras se corresponden con un conjunto de capitales con distintos vencimientos. Así que dado un intervalo P en el que se efectúa una partición se verifica que:
. De está manera cada intervalo sólo tiene un capital asociado, como producido en el mismo. Correspondencia entre subintervalo y capital.Clasificación de las Rentas Financieras
Distinguiendo entre los elementos que actúen en la definición podemos encontrar varios subgrupos
Por cuantías de sus términos
Rentas constantes
Serán aquellas que tienen todos sus términos iguales, por lo cual no presenta ningún cambio la cantidad u otros factores de las rentas.
Rentas Variables.
Serán aquellas que no tengan todos sus términos iguales o de la misma cuantía. Podemos encontrar:
- Rentas de términos variables en progresión aritmética.
- Rentas de términos variables en progresión geométrica.
- Rentas de términos de variación arbitraria.
Teniendo en cuenta la disponibilidad de los términos
- Rentas postpagables o vencidas.
- Rentas prepagables o anticipadas.
Por periodo de maduración
- Rentas discretas.
Los periodos tendrán una amplitud finita.
- Rentas uniformes.
- No uniformes
Será aquella que proceda de un capital invertido no en títulos de crédito, sino en otro bien que tenga la capacidad de producir retorno ocasionalmente, se calculará una vez que se deduzcan los costes de la operación financiera, incluido el costo del propio capital. Por el propio hecho de no ser uniforme, o sea que no se trata sobre la base de mensualidades o anualidades, sino en períodos diversos en su principio, duración y vencimiento. Precisamente por ser una renta no uniforme puede ser productiva o improductiva en relación al capital utilizado. Será productiva solo en los casos en que la frecuencia de periodos de su productividad sean suficientes para que una vez deducidos de los ingresos brutos, los costes de uso de capital y gastos inherentes al bien en renta, la cifra obtenida en renta neta sea comparable a la renta del capital invertido en tasas fijas del mercado en el momento en que se encuentre. Por lo que se traduce la falta de uniformidad, o bien en renta positiva o renta negativa por virtud de la pérdida en relación al capital invertido, que en renta fija hubiere producido. Será con la sumatoria de los períodos mensuales o anuales que se determine si se trata de renta positiva o negativa, (pérdida).
Rentas continuas
Son aquellas rentas cuyos intervalos son de medida infinitesimal, produciendo por ende un flujo continuado de los capitales.
Según duración
En función de la duración de las rentas, estas pueden clasificarse en:
- Rentas perpetuas
- Rentas temporarias o temporales
Según el momento de valoración de la renta
Rentas inmediatas
la EV (época de valuacion) puede ser en su origen EV = EI o en EF (época final) EV = EF
Rentas diferidas
Son aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimiento de la renta.
Rentas anticipadas
Se clasifican en
- Según la naturaleza de las variables que componen su definición.
- Según la ley financiera de valoración empleada.
- Según la periodicidad del término y la frecuencia de *capitalización.
Según la naturaleza de los datos
Rentas ciertas
Dentro de esta clasificación se encuentran las rentas que responden a todo lo indicado en esta página, donde la naturaleza de los datos se desenvuelve en un ambiente de certeza.
Rentas aleatorias o contingentes
Son aquellas que se desarrollan en un ambiente de riesgo y responden al cálculo actuarial o de los seguros, sustentada en la probabilidad de ocurrencia en cobrar o pagar las anualidades.
Rentas inciertas
La Matemática de la Incertidumbre o Borrosa o Difusa ha sustentado una nueva clase de rentas, sustentada en la naturaleza incierta que alguno de sus elementos pueda contener, por ejemplo: el valor de la anualidad o cuota, pudiendo adoptar el nombre de rentas inciertas o borrosas.
CONCEPTO
Se entiende por renta a una sucesión de capitales, distribuidos a lo largo del tiempo, de tal manera que en cada uno de los momentos temporales indicados, se percibe un capital de los contenidos en la sucesión.
En toda renta existirán los siguientes elementos:
Ejemplo 1: El sueldo mensual de un obrero es una renta que es cierta en lo que respecta a su cuantía, y aleatoria en lo que respecta a su duración (pueden despedirle).
Ejemplo 2: La compra de una obligación del Estado es una renta cierta, en la que los capitales futuros que se reciben son los cupones anuales de dicha obligación, percibiéndose el día del vencimiento un capital constituido por el último cupón, y el nominal de la obligación.
Ejemplo 3: Las cuotas de amortización de un préstamo solicitado a un Banco son una renta a favor del Banco, parte de la cual es capital prestado devuelto, y la otra parte, los intereses del período considerado.
Ejemplo 4: Los dividendos de unas acciones adquiridas en Bolsa constituyen una renta aleatoria, tanto en cuanto a su cuantía, como en cuanto al tiempo en el que se producirán.
II. CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS
Las rentas se pueden clasificar atendiendo a distintos criterios:
1. Atendiendo a la certeza de los capitales que componen la renta
a) Rentas Ciertas
Son aquellas en las que los capitales sólo dependen del tiempo en el que se materializan.
Ejemplo: La venta de un bien a plazos. Supongamos que vendemos un coche a cinco años con pagos mensuales de 500 euros. En este caso, se sabe cuándo se producen las rentas, en los próximos sesenta meses, y tenemos certeza acerca de su importe, 500 euros cada mes.
b) Rentas Aleatorias
Son aquellas en las que no sabemos con certeza si se van o no a producir unos capitales, cuándo se van a producir, y en qué cuantía se van a producir.
Ejemplo: Los dividendos de unas acciones adquiridas, así como su precio de venta en Bolsa. Ahora no se sabe cuándo se pagarán los dividendos, ni en qué cuantía, ni siquiera si se van a producir (la empresa puede no tener beneficios); en lo que respecta al importe que se recibirá cuando se vendan los valores, dependerá de la evolución de la cotización bursátil.
2. Atendiendo a la periodicidad de los capitales
a) Rentas Constantes
Son aquellas en las que todos los capitales que componen la renta tienen la misma cuantía:
C1 = C2 = ............ = Cn = C
Ejemplo: Las cuotas mensuales de constitución de un fondo de pensiones. Si se pagan todos los meses 100 euros, a los sesenta y cinco años tendríamos un determinado capital, coincidente con el valor final de la renta capitalizado a los tipos de interés de mercado.
b) Rentas Variables
Son aquellas en las que los capitales que componen la renta son de distinta cuantía.
Ejemplo: Un préstamo en el que la devolución del capital se hace por cuartas partes, y al pagar intereses por un saldo vivo distinto, las cuotas a pagar en los cuatro pagos serán distintas.
3. Atendiendo a la periodicidad de los tiempos
a) Rentas con períodos uniformes
Son aquellas en las que la duración de cada período es la misma:
tj+1 - tj = d ; ∀ j = 0,1,2, .... , n-1
Ejemplo: El alquiler de un piso. Todos los meses el casero recibe la renta del inquilino.
b) Rentas con períodos variables
Son aquellas en las que los períodos tienen distinta duración.
Ejemplo: Los flujos de caja de una obligación. El 85% de los cupones se reciben en unas fechas, mientras que el 15% de las retenciones se reciben en otras fechas distintas; los intervalos son variables.
4. Atendiendo a la duración de las rentas
a) Rentas Temporales
Son aquellas que tienen una duración finita, pasada la cual, la renta desaparece.
Ejemplo: Un préstamo hipotecario para la compra de un piso, a quince años. Pasada esta fecha el préstamo queda amortizado y la renta finaliza.
b) Rentas Perpetuas
Son aquellas que tienen una duración infinita.
Ejemplo: La Deuda Perpetua emitida por el Estado Español. Nunca se amortizaba, y siempre pagaba los cupones periódicos. Otro ejemplo puede ser el impuesto sobre una finca rústica. El pago del mismo se debería de realizar siempre, constituyendo una renta perpetua para el erario público.
5. Atendiendo a la unidad temporal que caracteriza la periodicidad de la renta
etc....
6. Atendiendo al momento del intervalo en el que se materializa la renta
a) Rentas prepagables
Son aquellas en las que los capitales se imponen al principio de cada período:
Ejemplo: Los pagos de una póliza de seguros. No se está asegurado hasta el momento en que no se desembolsa la prima.
b) Rentas postpagables
Son aquellas en las que los capitales se imponen al final de cada período:
Ejemplo: El sueldo de una persona. Se empieza a trabajar, y no se para al trabajador hasta que pasa el primer período.
7. Atendiendo a la existencia o no de un intervalo temporal sin materialización de capitales al principio o al final de la duración de la renta
a) Rentas Inmediatas
Son aquellas en las que desde el momento en que se contrata la operación financiera, se empiezan a materializar los capitales de la renta:
Ejemplo: Los cupones de las Obligaciones del Estado. Desde el momento en que compramos las obligaciones, tenemos derecho a los intereses.
b) Rentas Diferidas
Son aquellas en las que transcurre un determinado plazo temporal desde que se contrata la operación financiera, hasta el momento en el que se empiezan a percibir los capitales de la renta.
Al intervalo d = t1 - to, se le denomina "período de diferimiento".
Ejemplo: Un préstamo solicitado a una financiera de venta de coches, en el que la primera cuota mensual se satisface a los seis meses de la compra del vehículo.
c) Rentas Anticipadas
Son aquellas en las que transcurre un determinado plazo temporal desde que dejan de materializarse los capitales de la renta hasta el momento en que se produce el final de dicha renta.
Al intervalo h = tn - tn-1, se le denomina "período de anticipación".
Ejemplo: Un plan de ahorro personal en el que se impone una cantidad mensual durante veinte años. Finalizado el plazo de imposición, se esperan unos años hasta la jubilación para recibir la contraprestación.
III. VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA
El valor financiero de una renta es su equivalente financiero en un momento dado. Dependiendo de cuál sea ese momento, se puede denominar al valor de la renta como:
1. Valor Actual de la Renta
Se correspondería con el equivalente financiero de los capitales que constituyen la renta en el origen temporal to.
Para saber cuál es el valor actual de una renta, habría que actualizar el valor de cada uno de los capitales futuros al momento actual, y después sumar todos los efectivos resultantes de dichas actualizaciones. Esta suma sería el valor actual de la renta.
Lógicamente, los efectivos tienen que tener un valor inferior a los capitales futuros, en base al principio de la renuncia de liquidez. Por consiguiente, al actualizar capitales futuros, parece razonable asumir que la ley financiera a utilizar es el descuento compuesto, es decir:
siendo Ej el valor actualizado del flujo Cj.
Si en la expresión anterior se considera que todos los intervalos temporales tuvieran la misma duración:
tk - tk-1 = 1
y considerando a la longitud de dicho intervalo como la unidad temporal de la renta:
Si en la expresión se asume un interés único, como media de todos los períodos temporales:
es decir:
que constituye la fórmula más utilizada para obtener el valor actual de una renta, o "present value" (PV) en terminología anglosajona.
La fórmula anterior, a pesar de ser de fácil aplicación, tiene dos claros inconvenientes:
Por consiguiente, la formulación anterior es de difícil aplicación práctica.
Ejemplo: Obténgase el valor actual de un bono de 1.000 euros que se emita hoy en mercado primario a tres años, con un cupón del 7%, si se considera un tipo de interés de actualización del 6%.
es decir, el precio que debería tener un bono que pagara un cupón del 7% durante tres años, sería del 102,673 €.
En el caso en que todas las cuantías de los flujos fueran del mismo importe, es decir:
C1 = C2 = ............. = Cn = C
la fórmula de obtención del valor actual se simplificaría, siendo dicho valor:
2. Valor Final de una Renta
Se correspondería con el equivalente financiero de los capitales que constituyen la renta, en el final temporal tn. Para obtenerlo hay que capitalizar el valor de cada uno de los capitales futuros al momento final, y después sumar todos los efectivos resultantes de dichas capitalizaciones.
Lógicamente, los efectivos tienen que tener un valor superior a los capitales C1, C2, ..... , Cn. Si se capitalizan capitales, parece razonable asumir que la ley financiera a utilizar es la capitalización compuesta, es decir:
Si en la expresión anterior se considera que todos los intervalos temporales tienen la misma duración:
Si en la expresión asumiéramos un interés único:
es decir:
Vn = C1 · (1 + i)n-1 + C2 · (1 + i)n-2 + .......... + Cn-1 · (1 + i) + Cn
en la cual, además de las consideraciones hechas en el valor actual, hay que tener en cuenta que se están capitalizando los capitales futuros a un tipo de interés "i" que ni siquiera se conocen, es decir, ¿por qué vamos a considerar que en el momento tj, cuando nos paguen un cupón, se puede invertir al tipo "i" durante "n-j" períodos?.
Ejemplo: Obténgase el capital acumulado que se obtiene después de imponer 10.000 € al principio del ejercicio todos los años durante cinco años, asumiendo una rentabilidad del 5% anual.
Vn = 10.000 (1 + 0,05)5 + 10.000 (1 + 0,05)4 + 10.000 (1 + 0,05)3 + 10.000 (1 + 0,05)2 + 10.000 (1 + 0,05) = 12.762,82+12.155,06+11.576,25+11.025,00+10.500 = 58.019,13 €.
es decir, que el capital constituido después de cinco años junto con sus intereses supondría un total de 58.019,13 €, a pesar de haber impuesto sólo 50.000 €.
En el caso en que todas las cuantías de los flujos fueran del mismo importe, es decir:
C1 = C2 = ............. = Cn = C
la fórmula de obtención del valor final se simplificaría, siendo dicho valor:
3. Valor de una Renta en un momento cualquiera de la duración
Se correspondería con el equivalente financiero de los capitales que constituyen la renta, en un punto perteneciente a la duración.
Para saber cuál es el valor en el momento t* de la renta, habría que capitalizar cada uno de los capitales futuros cuyo tiempo sea inferior a t*, a dicho momento temporal, y actualizar cada uno de los capitales futuros cuyo tiempo sea superior a t*, al mismo momento temporal.
Sumando todos los efectivos resultantes de dichas capitalizaciones y actualizaciones, obtendríamos el valor de la renta en el momento t*.
El planteamiento matemático ortodoxo en el caso de que el punto t* no coincida con un tj, se basa en la utilización del interés compuesto por el período considerado, aunque también es habitual utilizar el interés compuesto para las capitalizaciones y actualizaciones hasta un punto temporal identificado con uno de los capitales, y el interés simple para el "plazo roto" entre puntos temporales.
Ejemplo: Obtener el valor de una renta de 10.000 euros anuales durante cuatro años, si consideramos un tipo de interés de capitalización y actualización del 7%; y la fecha de valoración es a los cincuenta días del segundo pago de la renta.
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