Teorías matemáticas

Teoría de anillos

anillos locales son ciertos anillos comparativamente simples y que sirven para describir el comportamiento local de las funciones definidas sobre variedades algebraicas o variedades diferenciables.

Definición y primeras consecuencias

R es un anillo local si cumple las siguientes propiedades equivalentes:

• R tiene un único ideal por la izquierda maximal
• R tiene un único ideal por la derecha maximal
• 1≠0 y la suma de cualquier par elementos en R que no sean unidades no es tampoco una unidad
• 1≠0 y si x es cualquier elemento de R, entonces x o bien 1-x es una unidad
• Si una suma finita es una unidad, entonces también lo será alguno de sus sumandos.

Si se dan estas propiedades, entonces el único ideal por la izquierda maximal coincide con el único ideal maximal por la derecha y también con el Radical de Jacobsondel anillo.

En el caso de anillos conmutativos no es necesario distinguir entre ideales a uno u otro lado, así que un anillo conmutativo es local si, y sólo si, tiene un único ideal maximal.

Algunos autores definen anillo local requeriendo que sea noetheriano siendo los no noetherianos llamados anillos cuasi-locales. Wikipedia no usará esta última definición de anillo local.

Ejemplos

Conmutativos

Todos los cuerpos (y cuerpos "skew", es decir, los anillos de división) son anillos locales, ya que {0} es el único ideal maximal en tales anillos.

Para motivar el nombre de "locales" para dichos anillos, consideremos funciones continuas reales definidas en algún intervalo abierto alrededor del 0 en la línea real. Estaremos interesados solamente en el comportamiento local de dichas funciones cerca del 0 e identificaremos dos funciones si coinciden sobre cierto (posiblemente muy pequeño) intervalo abierto alrededor del 0. Esta identificación define una Relación de equivalencia, y las Clases de equivalencia son las "semillas de funciones real-valudas en 0". Tales semillas pueden ser sumadas y multiplicadas y tienen la estructura de anillo.

Para ver que este anillo de semillas es local, necesitamos identificar sus elementos invertibles. Una semilla f es invertible si f(0) ≠ 0. La razón: si f(0) ≠ 0, entonces existe un intervalo abierto alrededor del 0 donde f es distinta de cero, y podemos formar la función g(x) = 1/f(x) sobre dicho intervalo. La función g nos da entonces otra semilla, y el producto de fg es igual a 1.

Con dicha caracterización, es claro que la suma de dos semillas cualesquiera no-invertibles es de nuevo no invertible, y tenemos un anillo conmutativo local. El ideal maximal de dicho anillo se compone precisamente de aquellas semillas f tales que f(0) = 0.

El mismo argumento funciona para el anillo de semillas de funciones real-valuadas sobre cualquier Espacio topológico en un punto dado, o el anillo de semillas de funciones diferenciables sobre cualquier Variedad diferenciable en un punto dado, o el anillo de semillas de funciones racionales sobre cualquier Variedad algebraica en un punto dado. Todos estos anillos son por tanto locales. Estos ejemplos explican por qué los esquemas, la generalización de las variedades, son definidos como tipos especiales de Espacio localmente anillado.

Un ejemplo más aritmético es el siguiente: el anillo de números racionales con denominador impar es local; su ideal maximal consiste de las fracciones con numerador par y denominador impar. Más en general, dado cualquier anillo conmutativo R y cualquier Ideal primo P de R, la localización de R en P es local; el ideal maximal es el ideal generado por P en esta localización.

Todo anillo de Serie de potencias formal sobre un cuerpo (incluso en varias variables) es local; el ideal maximal consiste de aquellas series de potencias sin término constante.

El álgebra de los números duales sobre cualquier cuerpo es local. Más en general, si F es un cuerpo y n es un entero positivo, entonces el Anillo cociente F[X]/(Xⁿ) es local y su ideal maximal consiste en las clases de polinomios con término constante distinto de cero.

Los anillos locales juegan un rol fundamental en Teoría de la valuación. Dado un cuerpo K, podemos buscar anillos locales en él bajo la asunción de que sea un Cuerpo de funciones. Por definición un anillo de valuación de K es un subanillo R, tal que para todo elemento distinto de cero x de K, o bien x está en R o lo está x^-1. Cualquier subanillo tal será un anillo local. Si K fuera realmente un cuerpo de funciones de una Variedad algebraica V, entonces para cada punto P de V podemos intentar definir un anillo de valuación R de funciones definidas en P. En los casos en que V tiene dimensión 2 o mayor existe una dificultad: si F y G son funciones racionales sobre V con F(P) = G(P) = 0, la función F/G es una Forma indeterminada en P. Considera un ejemplo simple tal como Y/X, aproximándonos a lo largo de una línea Y=tX, se observa que el valor en P es un concepto que carece de una definición simplista, y esta se obtiene mediante el uso de valuaciones.

No conmutatividad

Los anillos locales no-conmutativos surgen con naturalidad como anillos de endomorfismos en el estudio de descomposiciones en sumas directas de módulos sobre otros anillos. Concretamente, si el anillo de endomorfismos del módulo M es local, entonces M es no-descomponible; y al revés, si el módulo M tiene longitud finita y es no-descomponible, entonces su anillo de endomorfismos es local.

Si k es un cuerpo de característica p > 0 y G es un p-grupo finito, entonces el álgebra de grupos kG es local.

Algunos aspectos y definiciones

Conmutatividad

Escribiremos (R, m) para denotar un anillo conmutativo local R con ideal maximal m. Tal anillo forma un Anillo topológico de una forma natural si tomamos las potencias de m como una Base de entornos de 0. Esta es llamada la topología m-ádica sobre R.

Si (R, m) y (S, n) son anillos locales entonces un homomorfismo de anillos locales desde R a S es un homomorfismo de anillos f : R → S con la propiedad f(m)⊆n. Lo que son precisamente los homomorfismos de anillos que son continuos respecto a las topologías dadas en R y S.

Al igual que para cualquier anillo topológico, podemos preguntarnos si (R, m) es completo; si no lo es, se puede considerar su complexión que de nuevo es un anillo local.

Si (R, m) es un anillo local noetheriano conmutativo, entonces

(Teorema de intersección de Krull), y se sigue R junto con la topología m-ádica es un Espacio Hausdorff.

Generalidades

El Radical de Jacobson m de un anillo local R (que es igual al único ideal maximal por la izquierda y también al único ideal maximal por la derecha) está formado precisamente de los elementos del anillo que no son unidades; además es el único ideal máxima por los dos lados de R. (En el caso no conmutativo, tener un único ideal maximal por los dos lados no es sin embargo a ser local).

Sea un elemento x del anillo local R, las siguientes proposiciones son equivalentes:

• x tiene un inverso por la izquierda
• x tiene un inverso por la derecha
• x es invertible
• x no está en m.

Si (R, m) es local, entonces el Anillo factor R/m es un cuerpo "skew". Si I ≠ R es cualquier ideal por los dos lados en R, entonces el anillo factor R/I es de nuevo local, con ideal maximal m/I.

Un teorema profundo de Kaplansky dice que cualquier Módulo proyectivo sobre un anillo local es libre.

Notas para un Curso de Algebra Avanzada .- ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:http://personales.unican.es/pardol/Docencia/Algebra_Avanzada/2012-AlgAvanz.pdf

Anillo Noetheriano, nombrado así en honor a Amalie Emmy Noether.

En álgebra, un anillo  es noetheriano por la izquierda si sus ideales por la izquierda satisfacen la condición de cadena ascendente. Diremos que un anillo es noetheriano si es noetheriano por la izquierda y por la derecha. En los anillos conmutativos no se utiliza esta distinción, pues noetheriano por un lado implica noetheriano por el otro.

Uno de los primeros resultados que puede demostrarse es que un anillo es noetheriano por la izquierda si, y sólo si, todo ideal por la izquierda del anillo es finitamente generado. Otra condición equivalente a las anteriores es que todo conjunto no vacío de ideales del anillo tiene un ideal maximal. También es conocido que si  es un anillo noetheriano, entonces  es un anillo noetheriano (teorema de la base de Hilbert)

Importancia

El que un anillo sea noetheriano implica de alguna manera ciertas condiciones de finitud. Así, por ejemplo, en un anillo noetheriano todo elemento se descompone en un producto finito de elementos irreducibles, aunque en general esta descomposición no será única. Para que un dominio noetheriano sea dominio de factorización únicadebe de verificarse que todo elemento irreducible del anillo sea primo.

En anillos noetherianos conmutativos también implica que de la intersección de una familia cualquiera de ideales (infinita o no), puede extraerse un subconjunto finito que tenga esa misma intersección. Y todavía más, todo ideal de un anillo noetheriano conmutativo puede expresarse de forma única como intersección finita de idealesprimarios.

Otro punto importante es que si tenemos una familia cualquiera de ecuaciones polinómicas sobre un anillo noetheriano conmutativo, entonces podemos prescindir de todas salvo un número finito para obtener un sistema que tenga la misma solución que el sistema inicial. También juega un papel importante en el "buen comportamiento" de la dimensión de Krull. Estos resultados son fundamentales en geometría algebraica y de ahí la importancia de estos anillos en esta rama de lasmatemáticas.