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Teoría de anillos

anillo ordenado es una clase de anillo que cumple una relación binaria de orden total.

Los anillos ordenados son estructuras algebraicas propias de los conjuntos de números más comunes. Algunos ejemplos incluyen los enteros, los racionales y los reales. (Los racionales y los reales son, de hecho, cuerpos ordenados). Por otro lado, los números complejos no forman un anillo ordenado (o cuerpo).

Definiciones

Estrictamente,un anillo ordenado es un anillo conmutativo

R

con un orden total

\leq

tal que

si $a\leq b$ y $c\in R$ , entonces $a+c \leq b+c$

si $0 \leq a$ y $0\leq b$ , entonces $0 \leq ab$

Análogamente con los números ordinarios, decimos que un elemento c de un anillo ordenado es positivo si

0\leq c, c\neq 0

y negativo si

c\leq 0, c\neq0

. El conjunto de los elementos positivos en un anillo

R

suele ser denotado por

R_+

a

es un elemento de un anillo ordenado

R

, entonces el valor absoluto de

a

, denotado por

|a|

, se define de la siguiente forma:

|a| := \begin{cases} a, & \mbox{si } 0 \leq a \\ -a, & \mbox{en otro caso} \end{cases}

donde

-a

es el opuesto de

a

0

es el elemento neutro.

Propiedades básicas

Si $a\leq b$ y $0\leq c$ , entonces $ac\leq bc.$ Esta propiedad, a veces, se utiliza para definir anillos ordenados en lugar de la segunda propiedad en la definición de más arriba.
Si $a,b \in R$ , entonces $|ab|=|a||b|.$
Un anillo ordenado no trivial es infinito.
Si $a\in R$ , entonces o $a\in R_+$ , o $-a \in R_+$ , o $a=0\,.$ Esta propiedad se deriva del hecho que los anillos ordenados son abelianos, con orden total respecto la suma.
Un anillo ordenado $R$ no tiene divisores de cero si y solo si $R_+$ es cerrado respecto el producto, es decir, $ab$ es positivo si ambos $a$ y $b$ son positivos.

Recordemos que un anillo $A$ es un conjunto no vacío dotado de dos operaciones, que convenimos en notar como suma y producto y que verifican

a) $(A,+)$ es un grupo abeliano.

b) $(A, \cdot)$ es un semigrupo

c) Para todos $x,y,z \in A$ es $x \cdot (y+z) = x \cdot y+x \cdot z$ y también $(x+y) \cdot z = x \cdot z+ y \cdot z$

El neutro del grupo $(A,+)$ se nota por 0. Si el semigrupo $(A, \cdot)$ es conmutativo decimos que el anillo es conmutativo y si $(A, \cdot)$ tiene neutro decimos que el anillo es unitario y dicho neutro se nota por 1. Generalmente, prescindimos del símbolo “ $\cdot$ ” para el producto y usamos la yuxtaposición. Esto es, escribimos $xy$ en lugar de $x \cdot y$ .

Si existe una relación $\leq$ de orden (parcial o total) en un anillo conmutativo $A$ , decimos que dicha relación es compatible con las operaciones del anillo si y sólo si

i) $(A,+)$ es un grupo ordenado.

ii) Para todos $x,y \in A$ , tales que $x \geq 0$ , $y \geq 0$ , es $xy \geq 0$ .

En lugar de hablar de órden compatible con la estructura de anillo decimos simplemente que el anillo es ordenado. Si $A$ es un anillo ordenado podemos definir el cono positivo de la misma forma que hacíamos para los grupos ordenados:

$P = \{ x \in A : x \geq 0 \}$ .

Es fácil probar que en un anillo ordenado, el cono positivo $P$ así definido, verifica:

a) $0 \in P$ .

b) $P+P \subset P$ .

c) $P \cap (-P) = \{0 \}$ .

d) $P P \subset P$ .

Las propiedades a,b y c ya se demostraron en una entrada anterior y la propiedad d se deduce de la definición de anillo ordenado. En efecto, si $x,y$ son elementos de $P$ , entonces $x \geq 0$ e $y \geq 0$ . Por tanto, aplicando ii) es $xy \geq 0$ y esto significa que $xy \in P$ , luego $P P \subset P$ .

Se puede probar que el cono positivo es unívoco para cada orden. Esto es, que podemos caracterizar a los anillos ordenados mediante dichos subconjuntos. En particular,

Teorema: Si $A$ es un anillo conmutativo, son equivalentes:

1. El anillo $A$ está totalmente ordenado.

2. Existe un subconjunto $P$ de $A$ , que verifica: $0 \in P$ , $P+P \subset P$ , $P \cap (-P) = \{0 \}$ , $P P \subset P$ y $P \cup (-P) = A$ .

Probaremos este y otros interesantes resultados en una entrada posterior.

anillo trivial es un anillo definido por un singulete, {r}. Las operaciones del anillo (× y +) son triviales:

r \times r = r

r + r = r \,

Este anillo es claramente conmutativo. Su único elemento es el elemento identidad para ambas operaciones.

Un anillo R es trivial si y solo si 1 = 0, esta igualdad implica que para todo r de R, r = r × 1 = r × 0 = 0.

El anillo trivial también se le denomina anillo nulo, ya que {0} es un anillo con las operaciones estándares de la adición y la multiplicación.

anillo

(R,+,\cdot)

(no necesariamente conmutativo) es anillo unitario, o anillo unital, o anillo con unidad si existe un elemento en

R

, diferente del neutro para la suma, que es elemento neutro para la operación producto ("·") del anillo, razón por la cual a dicho elemento se le denomina elemento unidad y se le representa por "1". A un anillo unitario se le suele representar como una cuaterna, en la que los primeros tres elementos representan al anillo (el conjunto, la operaciónrespecto de la cual es grupo abeliano, y la otra operación que es distributiva respecto de la primera) y el cuarto representa al elemento unidad. En nuestro caso sería

(R,+,\cdot,1)

Ejemplos

Sea Z el conjunto de todos los números enteros: positivos, negativos y cero, con las operaciones usuales de adición y multiplicación. Z es un anillo conmutativo con elemento unitario, precisamente el 1.
Sea T el conjunto de todos los enteros múltiplos de tres, con las operaciones de adición y multiplicación comunes. T es un anillo conmutativo, sin elemento unitario.

Sea M[2] el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2, bajo las operaciones de adición y multiplicación de matrices. M[2] es un anillo no conmutativo con elemento unitario , precisamente, la matriz identidad I.

Propiedades

En un anillo unitario existen:

Elementos invertibles por la izquierda: un elemento $x$ del anillo es invertible por la izquierda (también se dice que x es una unidad por la izquierda del anillo, no confundir con el elemento unidad) si existe un elemento $y \in R$ de manera que $y \cdot x=1$ .
Elementos invertibles por la derecha: un elemento $x$ del anillo es invertible por la derecha (también se dice que x es una unidad por la derecha del anillo, no confundir con el elemento unidad) si existe un elemento $z \in R$ de manera que $x\cdot z=1$ .
Elementos invertibles: un elemento $x$ del anillo es invertible si es invertible (también se dice que x es una unidad del anillo, no confundir con el elemento unidad) por la derecha e invertible por la izquierda.

El elemento unidad de un anillo es invertible, luego es invertible por la izquierda e invertible por la derecha.Al conjunto de elementos invertibles de un anillo unitario R se le denota por U(R).

Si en un anillo unitario tomamos un ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) y hay un elemento invertible que pertenece al ideal, entonces el ideal coincide con el anillo. En particular, en un anillo unitario, el elemento unidad 1 nunca pertenece a los ideales propios.

Una importante propiedad de los anillos unitarios es que en todo anillo unitario existen ideales maximales, es decir, ideales (biláteros) propios en el anillo de manera que no existe otro ideal (bilátero) propio que lo contenga.

Los anillos unitarios son los anillos sobre los que se construyen los módulos.