jueves, 22 de octubre de 2015

Teorías matemáticas

Teoría de cuerpos

 cuerpo cuadrático es un cuerpo de números algebraicos K de grado dos sobre Q. Es sencillo mostrar que el mapa d ↦ Q(√d) es un biyección desde el conjunto de todos los enteros libres de cuadrados d ≠ 0, 1 al conjunto de todos los cuerpos cuadráticos. Si d > 0 al correspondiente cuerpo cuadrático se le llama cuerpo cuadrático real, y para d < 0 se llama cuerpo cuadrático imaginario o cuerpo cuadrático complejo, corresponde a si sus encajes arquimedianos son reales o complejos.
Los cuerpos cuadráticos han sido estudiados en gran profundidad, inicialmente como parte de la teoría de forma cuadrática binaria. El resto son problemas sin resolver. El problema del número de clases es importante en particular.

Anillo de enteros

Dado un cuerpo cuadrático \mathbf{Q}(\sqrt{d}), donde d es un entero libre de cuadrados, los enteros cuadráticos son números que tienen la forma a + ωb, donde a, b son enteros, y donde ω está definido mediante:
\omega = \begin{cases} \sqrt{d} & \mbox{si }d \equiv 2, 3 \pmod{4} \\ {{1 + \sqrt{d}} \over 2} & \mbox{si }d \equiv 1 \pmod{4} \end{cases}
El anillo de enteros cuadráticos Z[ω] = {a + ωb : a, b ∈ Z} es un subanillo del cuerpo cuadrático \mathbf{Q}(\sqrt{d}). Por otra parte, Z[ω] es la clausura integral de Z en \mathbf{Q}(\sqrt{d}). En otras palabras, es el anillo de enteros \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{d})} de \mathbf{Q}(\sqrt{d}) y por lo tanto un dominio de Dedekind.

Discriminante

El discriminante de un cuerpo cuadrático Q(√d) es d si d es congruente con 1 modulo 4, y 4d de otra manera. Por ejemplo, cuando d es −1 siendo K es un cuerpo de los así llamados racionales gaussianos, el discriminante es −4. La razón de estos está relacionada con la teoría general de números algebraicos. El anillo de enteros de K se extiende por 1 y la raíz cuadrada de d únicamente en el segundo caso, y en el primer caso hay enteros tales que se encuentran en la mitad de los 'puntos de red' (por ejemplo, cuando d = −3, esos son los enteros de Eiseinstein, dados por la raíz cúbica compleja de la unidad).
El conjunto de discriminantes de cuerpos cuadráticos es exactamente el conjunto de discriminantes fundamentales.

Factorización de primos en ideales

Cualquier número primo p dado se convierte en un ideal pOK en el anillo de enteros OK de un cuerpo cuadrático K. De acuerdo con la teoría general de descomposición de ideales primos en extensiones de Galois, este puede ser
p es inerte
(p) es un ideal primo
El anillo cociente es el cuerpo finito con p2 elementos: OK/pOK = Fp2
p se descompone
(p) es un producto de dos ideales primos distintos de OK.
El anillo cociente es el producto OK/pOK = Fp × Fp.
p se ramifica
(p) es el cuadrado de un ideal primo de OK.
El anillo cociente contiene elementos distintos de cero nilpotentes.
El tercer caso sucede si y sólo si p divide el discriminante D. El primer y segundo caso ocurren cuando el símbolo de Kronecker (D/p) es igual a −1 and +1, respectivamente. Por ejemplo, si p es un número primo que no divide a D, entonces p se descompone si y sólo si D es congruente con un cuadrado módulo p. Los dos primeros casos son en un cierto sentido equivalentes a la posibilidad de que ocurra como p sigue a través de los primos, véase teorema de densidad de Chebotarev.1
La ley de reciprocidad cuadrática implica que el comportamiento de descomposición de un primo p en un cuerpo cuadrático depende únicamente de p módulo D, dondeD es el discriminante del cuerpo.

Subcuerpos cuadráticos de cuerpos ciclotómicos

El subcuerpo cuadrático de un cuerpo ciclotómico primo

Un ejemplo clásico de construcción de un cuerpo cuadrático es tomar el único cuerpo cuadrático dentro del cuerpo ciclotómico generado por la p-ésima raíz primitiva de la unidad, con p un número primo > 2. La unicidad es una consecuencia de la teoría de Galois, existiendo un subgrupo único de índice 2 en el grupo de Galois sobreQ. Como se explica en periodo gaussiano, el discriminante del cuerpo cuadrático es p para p = 4n + 1 y −p para p = 4n + 3. Esto también se puede predecir suficientemente bien usando la teoría de ramificación. En efecto, p es el único primo que ramifica en el cuerpo ciclotómico, así que p es el único primo que puede ser dividido por el discriminante del cuerpo cuadrático. Esto descarta los 'otros' discriminantes −4p y 4p en sus casos respectivos.

Otros cuerpos ciclotómicos

Si se toman otros cuerpos ciclotómicos, se obtienen grupos de Galois con 2-torsión extra, conteniendo así al menos tres cuerpos cuadráticos. En general, un cuerpo cuadrático del discriminante de cuerpo D se puede obtener como un subcuerpo de un cuerpo ciclotómico de D-ésimas raíces de la unidad. Esto expresa el hecho de que el conductor de un cuerpo cuadrático es el valor absoluto de su discriminante.



análisis de los cuerpos cuadráticos .- ..............................:http://www.mate.uncor.edu/~elauret/articulos/2012-06-26-curso-elena-FINAL.pdf








cuerpo de descomposición de un polinomio (o familia de polinomios) o de un cuerpo.

Cuerpo de descomposición de un polinomio

Dado un cuerpo K, y un polinomio no constante p(X)\in K[X] (con coeficientes en K) de grado n > 0, se define el cuerpo de descomposición de p como un cuerpo E_p que cumple:
  • Que el polinomio p(X) descompone completamente en E_p, es decir, que se puede expresar p(X) como
p(X)=\alpha\prod_{i=1}^n (X - \alpha_i), con \alpha, \alpha_i \in K.
  • Que el cuerpo sea minimal con la propiedad anterior.
Es decir, el cuerpo de descomposición es el que resulta de adjuntar a K todas las raíces del polinomio p(X): E_p=K(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n).

Cuerpo de descomposición de una familia de polinomios

El cuerpo de descomposición de una familia de polinomios T\subseteq K[X] es, análogamente a lo anteriormente expuesto, el cuerpo minimal en el que descomponen completamente todos los polinomios p(X)\in T \subseteq K[X].

Cuerpo de descomposición de un cuerpo

Dado un cuerpo K, el cuerpo de descomposición de K es el cuerpo de descomposición de la familia de polinomios K[X]; es decir, el cuerpo que contiene todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en K.
En este caso se le llama clausura algebraica de K y se le denota por \bar K.
Se cumple que cualquier cuerpo Ω algebraicamente cerrado que contenga a K, también contiene a \bar K:
\forall \, \Omega \mbox{ algebr. cerrado, } K \subseteq \Omega \Rightarrow K \subseteq \bar K \subseteq \Omega





Cuerpos de descomposici´on. Clausura algebraica .- ............................................:http://www.algebra.us.es/Documentos/EAL_2001_teoria_tema3.pdf












cuerpo de números algebraicos (o simplemente cuerpo numérico) F es una extensión de cuerpos finita (y también algebraica) de los números racionales Q. Así pues, F es un cuerpo que contiene Q y tiene dimensión finita cuando es considerado como un espacio vectorial sobre Q.
El estudio de los cuerpos de números algebraicos, y, más generalmente, de las extensiones algebraicas de los números racionales, es el tema central de la teoría de números algebraicos.

Prerrequisitos

La noción de cuerpo de los números algebraicos se basa en el concepto de un cuerpo. Los cuerpos consisten en un conjunto de elementos, junto con las cuatro operaciones principales, definidas como adición, substracción, multiplicación y división por elementos distintos de 0. Un ejemplo muy común de cuerpo es el cuerpo de los números racionales, comúnmente denotados por Q, junto con sus operaciones usuales de suma, etc.
Otra noción necesaria para definir los cuerpos de los números algebraicos es el de espacio vectorial. En la medida necesaria, los espacios vectoriales pueden ser considerados como secuencias (o tuplas)
(x1, x2, ...)
cuyas partes constituyentes son elementos de un cuerpo fijado, como puede ser el cuerpo Q. Cualquier par de estas secuencias puede ser sumada mediante la suma de las partes constituyentes una a una. Además, cualquiera de estas secuencias puede ser multiplicada por un elemento c de un cuerpo fijado. Estas dos operaciones son conocidas como suma de vectores y multiplicación escalar satisfaciendo un número de propiedades que sirven para definir los espacios vectoriales abstractamente. Los espacios vectoriales también pueden ser de «dimensión infinita», o lo que es lo mismo, que las secuencias constituyentes de estos espacios vectoriales tienen longitud infinita. Sin embargo, si el espacio vectorial consiste en un grupo de secuencias finitas
(x1, x2, ..., xn),
el espacio vectorial se dice que tiene una dimensión finita, n.

Definición

Un cuerpo de números algebraicos (o simplemente cuerpo numérico) es por definición un grado finito de extensión de cuerpos del cuerpo de los números racionales. este grado de extensión de Q es simplemente llamado como grado.


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