jueves, 22 de octubre de 2015

Teorías matemáticas

Teoría de cuerpos

elemento algebraico sobre un cierto cuerpo matemático es un elemento de un conjunto que contiene a dicho cuerpo matemático y que es constructible a partir de ciertas operaciones algebraicas relacionadas con los polinomios sobre el cuerpo original.

Introducción

La Teoría de Cuerpos es una rama de la Teoría de Anillos, que a su vez es una rama del Álgebra Abstracta. Uno de las principales campos de estudio de la Teoría de Cuerpos es el de decidir si un polinomio cuyos coeficientes están en el cuerpo tiene sus raíces en el cuerpo (es decir, si al resolver la ecuación polinómica, las soluciones pertenecen o no al cuerpo).
Cuando un cuerpo está incluido en otro cuerpo puede ocurrir que los elementos del grande sean raíces de polinomios con coeficientes en el pequeño — en cuyo caso se dice que los elementos son algebraicos — o que haya elementos que no son raíces de ninguno de esos polinomios. En este último caso se dice que dichos elementos son trascendentes.

Definición

Un elemento es algebraico sobre un cuerpo si y sólo si es raíz de algún polinomio a coeficientes en dicho cuerpo.

Construcción

La siguiente información es de carácter técnico, y puede resultar ardua e incomprensible para el no iniciado en el álgebra abstracta, pero es esencial para comprender el desarrollo de esta rama de la matemática. Por desgracia no puede exponerse de una manera más llana sin perder rigor, lo que haría que dejara de ser útil.
Sean dos cuerpos (K,+,\cdot) y (L,+,\cdot) de forma que L es extensión de K. Sea \alpha \in L. Si \alpha \in K, entonces \alpha es raíz del polinomio p(x)= x - \alpha, que esirreducible en K[x] (todo polinomio de grado 1 es irreducible en cualquier anillo de polinomios). Si \alpha \in L \setminus K, entonces realizamos la siguiente construcción:
  • Construimos el conjunto \textstyle K(\alpha):= \{\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}: f,g \in K[x]\}. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de K, es subcuerpo de L, y de hecho es la menor extensión de K que contiene a \alpha. Se le denomina extensión generada por \alpha sobre K.
Ahora sólo pueden darse dos situaciones:
  1. ker(\beta) = \{0\}. En este caso se dice que \alpha es elemento trascendente sobre K.
  2. \ker(\beta) \neq \{0\}. En este caso se dice que \alpha es elemento algebraico sobre K.
Demostración

Polinomio mónico irreducible

Si \alpha es un elemento algebraico sobre el cuerpo K de manera que \alpha \notin K, el polinomio p que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e., \ker \beta = (p)) es irreducible. Dividiendo p por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable x) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por m_{\alpha}^K y se denomina polinomio mónico irreducible de \alpha respecto de K.
Claramente, K(\alpha) \cong \frac{K[x]}{(m_{\alpha}^K)}.

 TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES
Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.

En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.


Signo
Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.

Coeficiente
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y  y de primer grado con respecto a x.

2.5 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.
 y  son términos semejantes.
 y  son términos semejantes.
 y  no son términos semejantes.
 y  no son términos semejantes.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes:

a)     Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones

b)     Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
c)      Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos los términos positivos a un solo término y todos lo términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo
Reducir 5a -8a +a -6a + 21a
Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a
Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a
Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene 27a -14a =13a
Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a

Ejemplo
Reducir 
Reduciendo los positivos: 
Reduciendo los negativos: 
Tendremos: 



Polinomio mínimo de un elemento algebraico

Definimos el concepto de polinomio mínimo de un elemento algebraico y estudiamos algunas de sus propiedades.
DEFINICIÓN.  Sea K una extensión de k y α∈K algebraico sobre k. Sea
p(x)=xν+⋯+a1x+a0∈k[x]
el polinomio de menor grado y mónico que anula a α. A p(x) se le llama polinomio mínimo de α y a ν, grado de α sobre k. □
Ejemplo 1.  Claramente, α∈k⇔ν=1.
Ejemplo 2.  En R/Q el polinomio mínimo de α=2√ es p(x)=x2−2.
TEOREMA.  Sea la extensión K/k, α∈K algebraico sobre k y f∈k[x]. Entonces, son equivalentes
(i) f es el polinomio mínimo de α sobre k.
(ii) f es mónico, irreducible y  f(α)=0.
Demostración.  
(i)⇒(ii). Si f es el polinomio mínimo de α, por definición,  f ha de ser mónico y además f(α)=0. Si f fuera reducible,
f=f1⋅f2 con fi∈k[x],1≤grado fi<grado f,(i=1,2).
Entonces,  f1(α)f2(α)=0 lo cual implica que f1(α)=0 o  f2(α)=0. Es decir,  f no sería polinomio mínimo de α en contradicción con la hipótesis.
(ii)⇒(i).  Sea p el polinomio mínimo de α. Como  f(α)=0, se verifica que f∈(p).Al ser  f  irreducible,  f=λp con λ∈k no nulo. Al ser p y f mónicos,  f=p. ■
Ejemplo 3.   El polinomio f(x)=x3−2 es irreducible en Q[x]. En efecto, si fuera reducible sería el producto en Q[x] de un polinomio de primer grado por otro de segundo, lo cual implica que f tendría al menos una raíz racional.  Pero la únicas posibles raíces racionales de f(x) son ±1 y ±2, (que trivialmente no lo son).
Como  f(x) es mónico y f(2√3)=0, concluimos que  f es polinomio mínimo de 2√3∈R sobre Q.
TEOREMA.  Sea K una extensión de k, α∈K algebraico sobre k y de grado ν.  Entonces, todos los elementos de k(α) son expresiones polinómicas en α con coeficientes en k y de grado ≤ν−1. Cada representación es única.
Demostración.  Sea p(x)=xν+⋯+a1x+a0∈k[x] el polinomio mínimo de α. Si ξ∈k(α)=k[α] entonces,  ξ=f(α) con  f∈k[x]. Efectuando la división euclídea de  f entre p,
f(x)=q(x)p(x)+r(x),grado r(x)<ν.
Sustituyendo α en la igualdad anterior,
ξ=f(α)=r(α)=c0+c1α+⋯+cν−1αν−1,ci∈k.
lo cual demuestra la primera parte del teorema. La representación es única. En efecto, si fuera
c′0+c′1α+⋯+c′ν−1αν−1,c′i∈k,
restando obtendríamos
(c0−c′0)+(c1−c′1)α+⋯+(cν−1−c′ν−1)αν−1=0.
Entonces,  g(x)=(c0−c′0)+(c1−c′1)x+⋯+(cν−1−c′ν−1)xν−1∈k[x] anula a α y al ser ν el menor grado de los polinomios en k[x] que lo anulan, ha de ser g=0. Es decir ci=c′i para todo i. ■
TEOREMA.    Sea K una extensión de k, α∈K algebraico sobre k y de grado ν.  Entonces, [k(α):k]=ν y una base de k(α) sobre k es
B={1,α,α2,…,αν−1}.

Demostración.  Por el teorema anterior, todos los elementos de k(α) son expresiones polinómicas en α con coeficientes en k y de grado ≤ν−1, lo cual implica que B es sistema generador de k(α) sobre k. Supongamos ahora que
λ0⋅1+λ1α+λ2α2+⋯+λν−1αν−1=0 con los λi∈k.
Entonces,  f(x)=λ0+λ1x+⋯+λν−1xν−1∈k[x] anula a α y como el polinomio mínimo de α tiene grado ν ha de ser f=0, luego λi=0 para todo i. El sistema B es por tanto libre.
Concluimos pues que B es base de k(α) sobre k y que [k(α):k]=ν. ■
TEOREMA.  Sea K una extensión de k y α∈K. Entonces,
α es algebraico sobre k⇔[k(α):k] es finito.

Demostración.  
⇒) Es consecuencia inmediata del teorema anterior.
⇐) Sea m la dimensión de [k(α):k]. Entonces los vectores 1,α,α2,…,αm son linealmente dependientes (m+1 vectores), lo cual implica que existen λi∈k no todos nulos tales que
λ0+λ1α+λ2α2+⋯+λmαm=0.
El polinomio  f(x)=λ0+λ1x+⋯+λmxm es no nulo, pertenece a k[x] y  f(α)=0, luego α es algebraico sobre k. 
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