viernes, 23 de octubre de 2015

Teorías matemáticas

Teoría de anillos

elemento de un anillo es primo si satisface una condición similar a la establecida por el lema de Euclides.

Si R es un anillo conmutativo, un elemento p de R es primo si
  1. p no es el elemento cero
  2. p no es una unidad
  3. Cada vez que p divida a un producto ab, entonces necesariamente divide a alguno de los dos factores: p divide a a o p divide a b.
O condensando: Un elemento k no nulo y no invertible de un anillo R se llama primo, si cada vez que k divide al producto de dos elementos de R, también divide uno de sus factores. Se ve que si a es primo, entonces todo asociado de a es primo.1
Esto es equivalente a la condición que el ideal principal generado por el elemento p sea un ideal primo distinto de cero.

Relación con elementos irreducibles

La definición usual de número primo estable que es aquél que sólo tiene por factores a sí mismo y a la unidad. Esta condición se generaliza en teoría de anillos en el concepto de elemento irreducible:

R es un anillo conmutativo, un elemento q de R es irreducible si para cualquier factorizaciónq=ab entonces alguno de los dos factores es una unidad del anillo.
Un elemento no nulo y no invertible de un anillo se llama irreducible si sus únicos divisores son los elementos invertibles del anillo y sus propios asociados.2 Ejemplo 3 es irreducible en Z, ya que sus únicos divisores son 1, -1, 3, -3.
Sin embargo, en un dominio de factorización única ambos conceptos son equivalentes (un elemento primo es irreducible y viceversa). Sin embargo, dicha relación no es válida en general.
En un dominio principal, todo elemento irreducible es primo.
En Z un elemento es primo s.s.s. es irreducible.
El anillo de los enteros es un dominio de factorización única. De ahí sigue el TFA.






esquema es un tipo de estructura abstracta que aúna estructuras de tipo geométrico, de tipo algebraico y de teoría de números. La noción de esquema se remonta a los años 1960, cuando Alexander Grothendieck formuló el concepto generalizando la noción de variedad algebraica.
Muchos matemáticos consideran que los esquemas son objetos básicos de estudio de la geometría algebraica moderna. Técnicamente, un esquema es un espacio topológico provisto de anillos conmutativos para cada uno de sus abiertos.

Definición

Un esquema es un espacio localmente anillado (X, OX ) localmente isomorfo a un esquema afín, es decir para el que existe un recubrimiento por abiertos Ui tal que (Ui,OX|Ui ) es isomorfo –como espacio anillado– a (Spec (A), Â), donde A es un anillo conmutativo y Â es su haz de localizaciones.






esquema afín a todo espacio anillado (Spec'A, Ã ) donde A es un anillo y Ã es su haz de localizaciones homogéneas. Es una noción introducida por Alexander Grothendieck en la década de los 60. Los esquemas afines hacen el papel en geometría algebraica de los abiertos coordenados en geometría diferencial y son por tanto un análogo al caso local en ella.

Haz de localizaciones homogéneas

Todo anillo A da un prehaz sobre su espectro Spec_A que en cada abierto básico "Ua" vale el localizado "Aa". El haz de anillos asociado "Â" se llama haz de localizaciones homogéneas de A.






 homomorfismo de anillos es una aplicación entre anillos que conserva las estructuras de ambos como anillos.
En todo el artículo (R,+,\cdot) y (S,+,\cdot)  son anillos.

Definiciones

Dado que existen distintos tipos de anillos, hay que particularizar la definición.

Caso general

Se dirá que la aplicación f:R \to S es un homomorfismo de anillos si se cumplen las siguientes dos condiciones:
  1. f(a + b) = f(a) + f(b), cualesquiera que sean a,b \in R.
  2. f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b), cualesquiera que sean a,b \in R.
La primera condición nos dice que f es en particular un homomorfismo de grupos entre los grupos abelianos (R,+) y (S,+). Con esta definición se ve que la imagende f, \operatorname{im}(f) = f(R), es un subanillo de (S,+,\cdot).
Se define el núcleo de f como el conjunto \ker(f):=\{r \in R : f(r) =0\}, es decir, \ker(f) = f^{-1}(\{0\}). El núcleo de cualquier homomorfismo es un ideal(bilátero).

Anillos unitarios

Si R y S son anillos unitarios (cuyos elementos unidades son respectivamente 1_R y 1_S), entonces la aplicación f: R \longrightarrow S se dirá que es un homomorfismo de anillos unitarios si es un homomorfismo de anillos y además se cumple que f(1_R)=1_S.
El resto de conceptos definidos en el apartado Caso general son válidos sin modificar nada para anillos unitarios.

Propiedades

  • f(0) = 0. En efecto, f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0), luego f(0) = 0.
  • Si R' es subanillo de R, entonces f(R') es subanillo de S.
  • Si S' es subanillo de S, entonces f^{-1}(S') es subanillo de R.
  • Sean R y S dos anillos y ƒ un homomorfismo de R en S, entonces el núcleo de ƒ es un ideal bilátero.
  • Sean R y S dos anillos y ƒ un homomorfismo de anillos de R en S. Entonces:
  • si J es un ideal bilátero de S, f^{-1}(J) es un ideal bilátero de R. Si, además, J es un ideal primo de S, entonces f^{-1}(J) es un ideal primo de R.
  • Si I es ideal por la izquierda de S, entonces f^{-1}(I) es ideal por la izquierda de R.
  • Si I es ideal por la derecha de S, entonces f^{-1}(I) es ideal por la derecha de R.
  • Sea R un anillo e I un ideal bilátero de R, entonces la aplicación canónica de R en el anillo cociente R/I es un homomorfismo suprayectivo.
  • Si ƒ es homomorfismo exhaustivo e I es ideal por la izquierda de R, entonces f^{-1}(I) es ideal por la izquierda de R.
  • Si ƒ es homomorfismo exhaustivo e I es ideal por la derecha de R, entonces f^{-1}(I) es ideal por la derecha de R.
  • Si ƒ es homomorfismo exhaustivo e I es ideal de R, entonces f^{-1}(I) es ideal de R.
  • Sean R y S dos anillos, y ƒ un homomorfismo de anillos de R en S. Usemos la notación s para la aplicación canónica de R en el anillo cociente R/I e i para el homomorfismo de ƒ(R) en S que a b asocia b. Entonces, i es un homomorfismo inyectivo, s es suprayectivo y existe una biyección b tal que:
f = i\circ b\circ s

Tipos de homomorfismos de anillos

Se dice que f es un monomorfismo si es una aplicación inyectiva, es decir, f(a) = f(b) implica que a = b, cualesquiera que sean a,b \in R. Esto es equivalente a decir que \ker(f) = \{0\}.
Se dice que f es un epimorfismo si es una aplicación sobreyectiva, es decir, f(R)=\operatorname{im}(f)=S. No obstante, muchos autores prefieren no utilizar esta denominación, y hablar sólo de homomorfismos sobreyectivos (u homomorfismos exhaustivos). La razón es que el término epimorfismo tiene un significado más general en Teoría de Categorías. Desde este punto de vista (categórico), un epimorfismo de anillos no es necesariamente una aplicación sobreyectiva, aunque todos los homomorfismos de anillos sobreyectivos sí resultan ser epimorfismos.
Se dice que f es un isomorfismo si existe el homomorfismo inverso f^{-1}:S \to R de manera que f \circ f^{-1} =\mathrm{Id}_S y f^{-1} \circ f = \mathrm{Id}_R. Esto ocurre si y sólo f si es una aplicación biyectiva, es decir, f, es a la vez monomorfismo y homomorfismo exhaustivo.
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