Teoría de anillos

Homomorfismo evaluación

Sean dos anillos

(R,+,\cdot)

(S,+,\cdot)

de forma que

R

es subanillo de

S

. Sea

\alpha \in L

Construimos la aplicación

\beta: R[x] \longrightarrow S

que a cada polinomio

p(x) \in R[x]

le hace corresponder su evaluación en

\alpha

, i.e.,

\beta(p)=p(\alpha)

. Esta aplicación es un isomorfismo de anillos (que se denomina homomorfismo evaluación):

$\beta(p+q)= (p+q)(\alpha)= p(\alpha)+q(\alpha)=\beta(p)+ \beta(q)$ ;
$\beta(p\cdot q)= (p\cdot q)(\alpha)= p(\alpha) \cdot q(\alpha)=\beta(p)\cdot \beta(q)$ ;

cualesquiera que sean

p,q \in R[x]

Además, si R y S fuesen anillos y unitarios entonces:

$\beta(1)=1$ ,

con lo que

\beta

sería un homomorfismo de anillos unitarios.

ideal es una subestructura algebraica definida en la teoría de anillos. Los ideales generalizan, de manera fecunda, el estudio de la divisibilidadentre los números enteros hacia otros objetos matemáticos. De este modo, es posible enunciar versiones muy generales de teoremas de la aritmética elemental, tales como el teorema chino del resto o el teorema fundamental de la aritmética, válidos para los ideales. Se puede comparar también esta noción con la de subgrupo normalpara la estructura algebraica de grupo en el sentido de que facilita definir la noción de anillo cociente como una extensión natural de la noción de grupo cociente .

Aspecto histórico

La teoría de los ideales es relativamente reciente, puesto que fue creada por el matemático alemán, Richard Dedekind, a fines del siglo XIX. En dicha época, una parte de la comunidad matemática se interesó en los números algebraicos y, más concretamente, en los enteros algebraicos.

La cuestión consiste en saber si los enteros algebraicos se comportan como los enteros relativos, particularmente, en lo que respecta a su descomposición en factores primos. Parecía claro, desde el comienzo del siglo XIX que este no era siempre el caso. Por ejemplo, el entero 6 puede descomponerse, en el anillo

\mathbb Z[i\sqrt{5}]

, en la forma

2 \times 3

o en la forma

(1 + i\sqrt{5})(1- i\sqrt{5})

Ernst Kummer dice entonces que lo anterior va a depender de los números en cuestión e inventa la noción de complejos ideales.

La idea es hacer que sea única la descomposición en factores primos añadiendo artificialmente otros números (del mismo modo que se añade i a los números reales siendo

i^2=-1

con el fin de disponer de números para los cuadrados negativos). En el ejemplo de más arriba, se va a "inventar" cuatro números "ideales" a, b, c y dtales que:

2 = a \cdot b

3 = c \cdot d

1 + i\sqrt{5} = a \cdot c

1 - i\sqrt{5} = b \cdot d

Así, 6 se descompondrá de manera única en:

6 = a \cdot b \cdot c \cdot d

Dedekind en 1871 vuelve a usar la noción de número ideal de Kummer y crea la noción de ideal en un anillo. Se interesa principalmente por los anillos de los enteros algebraicos, es decir, anillos conmutativos unitarios e íntegros. En este dominio se encuentran los resultados más interesantes sobre los ideales. Creó el conjunto de los ideales de un anillo conmutativo, unitario e íntegro para operaciones semejantes a la adición y a la multiplicación de los enteros relativos.

La teoría de los ideales no solo permitió un avance significativo en el álgebra general, sino también en el estudio de las curvas algebraicas (geometría algebraica).

Definición

Un subconjunto

I

no vacío de un anillo

A

es un ideal por la izquierda de A si:

I es un subgrupo aditivo de A.
$\forall (a,x) \in A \times I : a \times x \in I$ (El producto por la izquierda de un elemento de I por un elemento de A pertenece a I).

y es un ideal por la derecha de A si:

I es un subgrupo aditivo de A.
$\forall (x,a) \in I \times A : x \times a \in I$ (El producto por la derecha de un elemento de I por un elemento de A pertenece a I).

Un ideal bilátero es un ideal por la derecha y por la izquierda. En un anillo conmutativo, las nociones de ideal por la derecha, de ideal por la izquierda y de ideal bilátero coinciden y simplemente se habla de ideal.

Ejemplos

Para todo entero relativo $k$ , $k \mathbb{Z}$ es un ideal de $\mathbb{Z}$ .
Si A es un anillo, {0} y A son ideales triviales de A. Estos dos ideales tienen un interés muy limitado. Por esta razón se llamará ideal propio a todo ideal no trivial.
Si A es un anillo unitario y si $I$ es un ideal que contiene a 1 entonces $I = A$ . De modo más general, si, $I$ contiene un elemento inversible, entonces $I = A$
Los únicos ideales en un cuerpo $K$ son los ideales triviales.

Operaciones con ideales

Suma

Si I y J son dos ideales de un anillo A, entonces se puede comprobar que el conjunto

I+ J = \{x + y : x \in I \ e \ y \in J\}

es un ideal.

Demostración

Intersección

Toda intersección de ideales es un ideal.

Demostración

El conjunto de los ideales de A con estas dos operaciones forma una cadena. De esta segunda ley se permite la noción de ideal generado. Si P es un subconjunto de un anillo A, se llama ideal generado por P a la intersección de todos los ideales de A que contienen a P, notado usualmente como

\langle P \rangle

. Se puede comprobar que:

$\langle P \rangle = \{a_1x_1+\dots +a_nx_n:a_1,\dots,a_n\in P,~x_1,\dots,x_n\in A\}$
$I+J= \langle I\cup J \rangle =\bigcap_k\{G_k:G_k \textrm{~es~ideal~en~}A\textrm{~y~} (I\cup J)\subseteq G_k\}$

Ejemplos:

Para un anillo $A$ , a ∈ A engendra el ideal $aA$ (por ejemplo n engendra $n\mathbb Z$ , ideal de $\mathbb Z$ )
Si I y J son dos ideales de A, el ideal $I+ J$ está engendrado por el subconjunto $I \cup J$ de A.

Producto

Si I y J son dos ideales de un anillo, se llama producto de I y J al ideal

\textstyle IJ

engendrado por todos los elementos de la forma xy donde x pertenece a I e y pertenece a J. Se tiene que

IJ\subset I\cap J

Como ejemplo, en el anillo

\mathbb Z

, el producto de los ideales

n\mathbb Z

p\mathbb Z

es el ideal

np\mathbb Z

y este último está incluido en

n\mathbb Z \cap p\mathbb Z

Anillo cociente

Si I es un ideal bilátero del anillo A, la relación

x \mathcal R y \Leftrightarrow x - y \in I

es una relación de equivalencia compatible con las dos leyes del anillo. Se puede crear entonces, sobre el conjunto de las clases

\dot x = x + I

una estructura de anillo denominada anillo cociente A/ I del anillo A por el ideal I. La construcción se realiza sobre la base del grupo aditivo del anillo. Cabe tomar como elementos de A/I las clases adjuntas a + I( llamadas «clases de restos respecto al módulo del ideal I»).

Como suma de clases se define por (a +I) +^º (b+ I) =(a+b) + L; el opuesto -^º(a+I) = -a + I.

Como producto de clases (a+I) ×^º (b+I)= ab + I. ²

Casos particulares

Ideal principal: es un ideal generado por un único elemento.

Ideal primario: en un anillo conmutativo unitario, un ideal I es primario si y solo si para todo a y b tales que

ab\in I

, si

a \notin I

entonces existe un entero natural n tal que

b^n \in I

Ideal primo: en un anillo conmutativo unitario, I es un ideal primo si y solo si I es distinto de A y, para todo a y b pertenecientes a A tales que

ab\in I

, si

a \notin I

entonces

b \in I

P

es un ideal primo de

A \Leftrightarrow

A/P

es dominio de integridad.

Ideal irreducible : en un anillo conmutativo unitario, un ideal I es irreducible si no se puede escribir como intersección de dos ideales J y K diferentes de I.

Ideal maximal : Un ideal

M

es maximal

\Leftrightarrow

existen exactamente dos ideales que contienen a

M

, a saber,

A

y el mismo

M

En un anillo conmutativo unitario, un ideal maximal es necesariamente primo.

el ideal

M

es un ideal maximal de

A

si y solo si

A/M

es un cuerpo.

Radical de un ideal: Si I es un ideal de un anillo conmutativo A, se llama radical de I, y se escribe

\sqrt{I}

, al conjunto de los elementos x de A tales que existe un entero natural n para el cual

x^n \in I

. Es un ideal de A.

Ejemplo:

30\mathbb Z

es el radical de

360\mathbb Z

A

es un anillo conmutativo, entonces tiene las propiedades siguientes:

$\sqrt{I} \supset I$
$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$
$\sqrt{IJ} = \sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$
Si, además, $A$ es unitario, $\sqrt{I}=A \Leftrightarrow I = A$

ideal primo es una generalización importante del concepto de número primo. Un ideal primo es un Ideal de un anillo conmutativo o no-conmutativo. Los ideales primos tienen una descripción más sencilla para los anillos conmutativos, por lo que distinguiremos los dos casos abajo.

Ideales primos para anillos conmutativos

Si R es un Anillo conmutativo, entonces un ideal P de R se dice que es primo si tiene las siguientes dos propiedades:

para cualquier par de elementos a, b del anillo R tales que su producto ab pertenece a P, entonces bien a está en el ideal P o b está en P.
P no es el anillo R entero.

Esto generaliza la siguiente propiedad de los números primos: si p es un número primo y si p divide a un producto ab de dos números enteros, entonces p divide a a o bien p divide a b. Podemos decir por tanto que

Un entero positivo n (

n \neq 0, n \neq 1

) es un número primo si y sólo si el ideal nZ es un ideal primo en Z.

Ejemplos

Si R denota el anillo de polinomios C[X,Y] en dos variables con coeficientes complejos, entonces el ideal generado por el polinomio Y² − X³ − X − 1 es un ideal primo.
En el anillo Z[X] de todos los polinomios con coeficientes enteros, el ideal (2,X) generado por 2 y X es un ideal primo.

ideal principal es un ideal generado por un único elemento.

Si R es un anillo conmutativo y a es un elemento de R, el ideal principal generado por a es el conjunto

$(a) = \{ ra : r\in R \}$ .

Al ideal (a) también se le suele denotar como Ra.

La verificación de que dicho conjunto es un ideal procede como sigue:

Si ra, sa son dos elementos de (a), entonces ra + sa también lo es puesto que $ra+sa = (r+s)a$ .
Si ra es un elemento de (a) y s es un elemento arbitrario del anillo, $s(ra) = (rs) a$ y por tanto s(ra) también pertenece a (a).
El elemento cero pertenece al conjunto (a) puesto que 0=0a.

Cuando el anillo no es conmutativo, es necesario hacer diferencias entre ideales izquierdos y derechos.

Si R es un anillo y a es un elemento de R, el ideal principal izquierdo generado por a es el conjunto

$Ra = \{ ra : r\in R \}$ ,

mientras que el ideal principal derecho generado por a es el conjunto

$aR = \{ ar : r\in R \}$ .

En el caso de anillos conmutativos, los conceptos de ideal izquierdo y derecho son equivalentes.

Ejemplos

Consideremos el anillo (matemáticas) R. Entonces el conjunto de todos los múltiplos de 3 es el ideal principal generado por 3, puesto que un entero n es múltiplo de 3 precisamente cuando existe un número entero k tal que