Teoría de anillos

dominio euclídeo (o anillo euclídeo) es un par

(R,\phi)

donde

R

es un dominio de integridad y

\phi

es una aplicación norma euclídea, es decir, una aplicación

\phi: R \setminus \{0\} \longrightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}

que cumple las siguientes dos condiciones:

$\phi(a) \leq \phi(a \cdot b)$ cualesquiera que sean $a,b \in R \setminus \{0\}$ .

Para cualesquiera $a,b \in R$ tales que $b \neq 0$ se cumple que existen $q,r \in R$ de manera que $a = bq + r$ si $r \neq 0$ ha de ser $\phi(r) < \phi(b)$ .

Es importante señalar que la definición es exactamente esa, aun cuando en algún caso particular pueda extenderse

\phi

a todo el conjunto R.

Ejemplos

Si tomamos el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$ y como norma euclídea tomamos la aplicación valor absoluto $| \cdot |$ , tenemos un dominio euclídeo.

Considerando el anillo de polinomios en una variable $\mathbb{K}[x]$ con coeficientes en el cuerpo $\mathbb{K}$ y como aplicación norma euclídea tomo el grado $\deg$ de cada polinomio, el resultado es un dominio euclídeo.
en el anillo de los enteros gaussianos α = a +bi, entonces se define norma de α, como N(α)= la suma de los cuadrados de a y b.

Ejemplos de norma euclídea

El valor absoluto es un ejemplo de norma euclídea en

\mathbb{Z}

, pues

|a|\leq |ab|

para todo

a

b

\mathbb{Z}

con

b\neq 0

, además de por lo indicado en el algoritmo de la división.

Además, en todo cuerpo

\mathbb{K}

puede definirse una norma euclídea, tomándose ésta como la aplicación constante

1

(el elemento neutro multiplicativo de

\mathbb{K}

), ya que, para cualesquiera elementos

a

b

\mathbb{K}

, el elemento

r

y el elemento

c

aludidos en la definición de norma euclídea pueden tomarse como

0

\frac{a}{b}

respectívamente, y así

a=b\left(\frac{a}{b}\right)+0

Un hecho menos evidente es que si

\mathbb{K}

es un cuerpo, entonces el anillo de polinomios

\mathbb{K}[x]

tiene por norma euclídea la aplicación

$\mathrm{grad}:\mathbb{K}[x] - \{0\} \longrightarrow\mathbb{N} \cup \{0\}$

que a cada polinomio no nulo de

\mathbb{K}[x]

le asigna su grado.

Un dominio euclídeo E es un dominio de integridad en el cual cada elemento $a$ tiene asociado un entero concreto $\phi(a)$ , y la función $\phi$ satisface las siguientes condiciones:
E1. Si $b$ divide a $a$ , entonces $\phi(b) \le \phi(a)$ .
E2. Para cada par de elementos $a,b$ de E, con ${}b \neq 0$ , existen elementos $q$ y $r$ de E tales que $a=bq+r$ con $\phi(r) < \phi(b)$ .

Esta definición tiene las siguientes consecuencias:
a. Si $b \neq 0$ , entonces $\phi(0) < \phi(b)$ .
b. Si $a$ y $b$ son asociados, entonces $\phi(a) = \phi(b)$ .
c. Si $a$ divide a $b$ y $\phi(b)=\phi(a)$ , entonces $a$ y $b$ son asociados.
d. Si $\epsilon$ es una unidad, entonces $\phi(\epsilon) = \phi(1)$ , y recíprocamente.

Teorema. Un dominio euclídeo es un dominio de factorización única.
Por el teorema anterior, basta verificar que un dominio euclídeo E cumple las condiciones UF1 y UF3. Zariski-Samuel demuestran por inducción respecto a $\phi(a)$ que E cumple la condición UF1.
Y para verificar que se cumple la condición UF3 demuestran el siguiente
Lema. Dos elementos $a,b \in E (a,b \neq 0)$ tienen un máximo común divisor $d$ y $d$ es una combinación lineal de $a$ y $b$ , es decir, $d=\alpha a + \beta b, \alpha \in E, \beta \in E$ .
Sea I el conjunto de todos los elementos de E que son combinaciones lineales $Aa+Bb$ de $a$ y $b \ (A,B \in E)$ . Entre los elementos de I diferentes de cero, elegimos un elemento $d$ para el que $\phi(d)$ es mínimo. Tenemos $d=\alpha a + \beta b$ , y por otro lado, por E2, podemos encontrar elementos $s$ y $t$ en E tales que $a=ds+t, \ \phi(t) < \phi(d)$ . Tenemos entonces $t = a-ds = a(1-\alpha s) + b(-\beta s) \in I$ y $\phi(t) < \phi(d)$ . Por consiguiente, $t=0$ , es decir, $d$ divide a $a$ . Similarmente se demuestra que $d$ divide a $b$ , y por tanto $d$ es un divisor común de $a$ y $b$ . Además, puesto que $d$ es de la forma $\alpha a + \beta b$ , cada divisor comun de $a$ y $b$ es también un divisor de $d$ . Por tanto $d$ es un máximo común divisor de $a$ y $b$ . C.Q.D.

A partir del lema la verificación de UF3 es inmediata. Porque sea un elemento irreducible $p$ de E que divide a un producto $ab$ , y asumamos que $p$ no divide a $a$ . Entonces el máximo común divisor de $p$ y $a$ es $1$ , y por tanto, por el lema, podemos escribir $1=\alpha a+\beta b$ . Por tanto $b= b\cdot 1 = \alpha ab+ \beta bp$ , y puesto que $p | ab$ , se sigue que $p | b$ .

dominio de integridad, dominio íntegro, anillo íntegro, dominio entero¹ es un anillo

(R,+,\cdot)

que carece de elementos divisores de cero por la izquierda y de elementos divisores de cero por la derecha (con lo cual carece de elementos divisores de cero).

Un subanillo de un dominio de integridad es también un dominio de integridad.

En la literatura "antigua" se exige (a veces se sobreentiende) que el anillo es conmutativo y unitario, porque se ignoraba la existencia de anillos no conmutativos que no tuvieran divisores de cero (por la izquierda o por la derecha). Los dominios de Mal'cev son un tipo de anillos no conmutativos que carecen de elementos divisores de cero (ni por la izquierda ni por la derecha). Respecto a dominios íntegros no unitarios, el conjunto

2\mathbb{Z}

es un subanillo no unitario del dominio de integridad

\mathbb{Z}

. En este artículo, un dominio íntegro será siempre un anillo conmutativo y unitario (ya que así se entiende en la mayor parte de la literatura, señalándose los casos en que no se adopta estos criterios).

Todo cuerpo es dominio de integridad conmutativo y unitario. Más en general, todo anillo de división es dominio de integridad unitario.

Ejemplos

$(Z, +, \cdot)$
$(Q, +, \cdot)$ $(R, +, \cdot)$ $(C, +, \cdot)$ ²
$(Z[i], +, \cdot)$ siendo Z[i] = {r+si/ r, s están en Z} es un dominio entero llamado anillo de los enteros de Gauss.
$( H, +,\cdot)$ siendo sus elementos los números reales $x = m+n\sqrt{5}$ con $m, n$ números enteros
$( J, +,\cdot)$ siendo sus elementos los números complejos $x = m+ni\sqrt{5}$ con $m, n$ números enteros, i, unidad imaginaria.
$( K, +,\cdot)$ siendo sus elementos los números reales $x = m+n\sqrt[3]{5} + p\sqrt[3]{25}$ con $m, n, p$ números enteros. ³

Cuerpo de cocientes de un dominio íntegro

Una de las propiedades más interesantes de un dominio de integridad es la de que existe «el menor cuerpo que lo contiene». De forma más precisa:

Sea

R

un dominio íntegro (conmutativo y unitario). Denotamos por

R^*

al conjunto

R \setminus \{0\}

. Establecemos en el conjunto

R \times R^*

la relación

\mathcal{R}

definida por

(a,b) \mathcal{R} (c,d)

cuando y sólo cuando

a \cdot d = b \cdot c

. Es sencillo comprobar que

\mathcal{R}

es una relación de equivalencia. Denotaremos por

Q(R)

al conjunto cociente

\textstyle \frac{R \times R^*}{\mathcal{R}}

, y por

\textstyle \frac{a}{b}

a la clase de equivalencia del par ordenado

(a,b)

Operaciones suma y producto en el cuerpo de cocientes

Suma

Se define la suma

+: Q(R) \times Q(R) \longrightarrow Q(R)

de la siguiente manera:

+ \left ( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right ) := \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{(a \cdot d) + (b \cdot c)}{b \cdot d}

cualesquiera que sean

\textstyle \frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R)

. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro

\textstyle \frac{0}{1}

y que todo elemento

\textstyle \frac{a}{b} \in Q(R)

tiene por elemento simétrico (elemento opuesto) a

\textstyle - \frac{a}{b}

. Así,

(Q(R),+)

es un grupo abeliano.

Producto

Se define la multiplicación

\cdot: (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \times (Q(R) \setminus \{ 0 \}) \longrightarrow Q(R)

de la siguiente manera:

\cdot \left ( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right ) := \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

cualesquiera que sean

\textstyle \frac{a}{b},\frac{c}{d} \in Q(R) \setminus \{ 0 \}

. Es sencillo comprobar que es operación interna, asociativa, conmutativa, que tiene elemento neutro

\textstyle \frac{1}{1}

y que todo elemento

\textstyle \frac{a}{b} \in Q(R)

tiene por elemento simétrico (elemento inverso) a

\textstyle \frac{b}{a}

. Así,

\textstyle (Q(R) \setminus \{ 0 \},\cdot)

es un grupo abeliano.

Distributividad

Se demuestra sin dificultad que

\cdot

es distributiva respecto de +. Esto hace que

(Q(R),+,\cdot)

quede dotado de estructura de cuerpo.

Divisibilidad en un dominio íntegro (conmutativo y unitario) cualquiera

Quizás el aspecto más interesante que ofrecen los dominios íntegros es el de poder genralizar a ellos muchas de las propiedades sobre divisibilidad que conocemos en el anillo de los números enteros

\mathbb{Z}

En adelante,

a,b,c,d,r,x,y,m,u

representarán elementos en el dominio íntegro

R

(i.e.

a,b,c,d,r,x,y,m,u \in R

Se dice que

a

b

son asociados si existe un

u \in U(R)

de manera que

a = b \cdot u

. Se denota por

a \sim b

Se denota por

U(R)

el conjunto formado por todos los divisores de la identidad, 1, llamados unidades del anillo.

Se dice que

a

divide a

b

si existe un

r \in R

de manera que

b = a \cdot r

. Se denota por

a | b

. Si

a

b

son asociados, entonces

a

divide a

b

b

divide a

a

Se dice que un elemento

a

de un dominio íntegro

R

es un átomo o elemento irreducible (a veces se dice simplemente que es un irreducible) de

R

a \neq 0

a \notin U(R)

, y si

a = b \cdot c

entonces o bien es

b \in U(R)

o bien

c \in U(R)

(o los dos).

Se dice que un elemento

a

de un dominio es un elemento primo (o simplemente primo) si el ideal generado por

a

es ideal primo de

R

Lo cierto es que la notación es un poco confusa cuando nos referimos a los números enteros. En ese caso, el concepto de número primo corresponde con el de elemento irreducible (que además sea positivo), y tedríamos que el 0 y el 1 serían elementos primos de

\mathbb{Z}

, aunque no serían números primos.

a

es elemento primo del dominio íntegro

R

a \neq 0

a \notin U(R)

entonces

a

es irreducible.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Sean

a,b \in R

Un máximo común divisor de $a$ y $b$ , (denotado por $\mathrm{mcd}(a,b)$ ) es, si existe, un elemento $d \in R$ de tal manera que $d|a$ , $d|b$ y si $d' \in R$ es tal que $d'|a$ y $d'|b$ , entonces $d'|d$ .
Un mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ , (denotado por $\mathrm{mcm}(a,b)$ ) es, si existe, un elemento $m \in R$ de tal manera que $a|m$ , $b|m$ y si $m' \in R$ es tal que $a|m'$ y $b|m'$ , entonces $m|m'$ .

Es de destacar que no se dice el máximo común denominador ni el mínimo común múltiplo, sino un máximo común divisor o un mínimo común múltiplo. Esto es debido a que, tal y como están definidos, un mismo par de elementos

a,b \in R

pueden tener más de un máximo común divisor y más de un mínimo común múltiplo. Por otra parte, en un dominio de integridad no siempre está asegurada la existencia del mínimo común múltiplo o del máximo común denominador de dos elementos cualesquiera.

Dos elementos

a,b \in R

se dicen coprimos si existe

\mathrm{mcd}(a,b)

y además

\mathrm{mcd}(a,b) \in U(R)

(es decir, 1 es

\mathrm{mcd}(a,b)

Propiedades

Si $d$ y $d'$ son $\mathrm{mcd}(a,b)$ , entonces $d \sim d'$ . Si $m$ y $m'$ son $\mathrm{mcm}(a,b)$ , entonces $m \sim m'$ . Escribiremos entonces siempre $d \sim \mathrm{mcd}(a,b)$ en lugar de $d=\mathrm{mcd}(a,b)$ y $m \sim \mathrm{mcm}(a,b)$ en lugar de $m=\mathrm{mcm}(a,b)$ .
$\mathrm{mcd}(a \cdot c, b \cdot c) = \mathrm{mcd}(a,b) \cdot c$ .
Si $d \sim \mathrm{mcd}(a,b)$ entonces $\mathrm{mcd}(\frac{a}{d},\frac{b}{d}) \sim 1$ (es decir, $\frac{a}{d}$ y $\frac{b}{d}$ son coprimos).
Si $a$ y $b$ son coprimos (i.e. $\mathrm{mcd}(a,b) \in U(R)$ ), entonces, para cualquiera que sea $r \in R$ se cumple que $\mathrm{mcd}(r, a \cdot b) = \mathrm{mcd}(r,a) \cdot \mathrm{mcd}(r,b)$ .
Si $a|b$ entonces $\mathrm{mcd}(a,b)=a$ .
Si $d \sim \mathrm{mcd}(a,b)$ y $m \sim \mathrm{mcm}(a,b)$ entonces $m \cdot d \sim a \cdot b$ (en particular esto significa que si existe máximo común divisor de dos elementos, entonces existe su mínimo común múltiplo, y viceversa).
Si $a,b,c,r \in R \setminus \{0 \}$ y $a=b \cdot c + r$ , entonces $\mathrm{mcd}(a,b) \sim \mathrm{mcd}(b,r)$ .

Estas son las principales afirmaciones que podemos decir sobre divisibilidad en dominios de integridad sin exigir más condiciones, como que el anillo R sea dominio de factorización única, dominio de ideales principales o que sea dominio euclídeo.

Elemento irreducible

En matemáticas, y más especialmente en teoría de anillos, una no-unidad en un dominio de integridad se dice que es irreducible si ésta no puede ser expresada como producto de dos no unidades. Equivalentemente, una no-unidad x es irreducible si x ≠ 0 y todo divisor dde x es un asociado de 1 o de x. Nótese que esta es la definición usual de número primo. Todo elemento primo es irreducible. El recíproco es verdadero también para dominios de factorización única. Un ideal generado por un elemento primo es un ideal primo. Sin embargo, no es cierto en general que un ideal generado por un elemento irreducible sea un ideal irreducible.¹ Este es el caso en que Aes un dominio MCD (en particular un DFU).²

En lingüística, un elemento irreducible es aquel en el cual no se puede seguir analizando sintácticamente.

Sea