Análisis de circuitos en ingeniería

 Leyes de Kirchhoff

Gustav Robert Kirchhoff (Königsberg, 12 de marzo de 1824 – Berlín, 17 de octubre de 1887) fue un físico prusiano.

Conductor eléctrico

Los elementos se conectan por medio de conductores eléctricos o alambres que tienen idealmente resistencia cero, es decir, son conductores ideales.

Red de parámetros concentrados

La apariencia de la red es la de un número definido de elementos simples y un conjunto de alambres o conductores de resistencia cero.

Red de parámetros distribuidos

Red que contiene un número infinito de elementos infinitamente pequeños, dondelos conductores no tienen resistencia cero. Este es un tema que se estudia en un curso de líneas de transmisión.

Nodo

Punto en el cual dos o más elementos tienen una conexión común.

Un conductor o alambre puede verse como un nodo.

Descomposición de nodos

Un nodo puede descomponerse en varios puntos de conexión, sin embargo, cada punto de conexión hace parte del mismo nodo. Deben considerarse todos los alambres como conductores ideales, es decir, de resistencia cero, y las porciones de ellos como parte de nodo mismo.

No puede decirse que haya dos nodos en torno al nodo 1. La porción de conductor encerrada es el mismo nodo, y es suficiente con marcar uno de los puntos de contacto entre ramas.

Designación de los nodos

En vez de escribir nodo 1, nodo 2, etc, se enumeran N1, N2, etc, o 1, 2, 3 etc o el nombre que se quiera siempre que en el contexto quede claro que se trata de nodos. No es necesario marcar todos los puntos de conexión.

Rama

Trayectoria simple de red compuesta por un elemento simple y por los nodos situados en cada uno de sus extremos.

Trayectoria

Si no se pasa a través de ningún nodo más de una vez, entonces el conjunto de nodos y elementos a través de los cuales se pasa es una trayectoria.

Una trayectoria es una colección particular de ramas.

Trayectoria cerrada o lazo

Si el nodo en el que termina es el mismo en que comenzó.

Malla

Lazo que no contiene a ningún otro lazo dentro de él. Usualmente se recorren en sentido horario y se les asigna una corriente. En el siguiente circuito hay tres mallas: malla I1, I2, I3. Estas corrientes se llaman corrientes de malla.

Circuito o conexión paralelo

Dos o más elementos están en paralelo si comparten el mismo par de nodos, y por tanto el mismo voltaje.

Circuito o conexión serie

Dos o más elementos están en serie si a través de cada elemento circula la misma corriente.

Ley de corrientes de Kirchhoff o LCK

También llamada Ley de Nodos o Primera Ley de Kirchhoff

Cualquiera de las expresiones siguientes define la LCK.

• La suma algebraica de las corrientes que entran en cualquier nodo es cero. Las corrientes que entran son positivas y las que salen son negativas.

• La suma algebraica de las corrientes que salen de cualquier nodo es cero. Las corrientes que salen son positivas y las que entran son negativas.

• La suma de corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes quesalen de él. Tanto las corrientes que entran como las que salen son positivas.

Una expresión compacta para la LCK es:

Cuyo desarrollo es:

Esta ley representa el hecho de que la carga no puede acumularse en ningún nodo.

Un nodo no es un elemento, por lo cual no puede almacenar, destruir o generar carga.

En la expresión anterior TODAS las corrientes SALEN o TODAS las corrientes ENTRAN al nodo.

Ley de voltajes de Kirchhoff o LVK

También llamada Ley de Mallas o Segunda Ley de Kirchhoff

La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es cero.

El voltaje es una medida de la diferencia de energía potencial entre las terminales del elemento.

La energía requerida para mover una unidad de carga del punto A al punto B en un circuito debe tener un valor que sea independiente de la trayectoria para ir de A hacia B.

Si se transporta un coulombio de A hacia B a través del elemento 1, los signos de la polaridad de V1 muestran que se realiza un trabajo de W1 joules, de más potencial a menos potencial.

Si en lugar de ir de A hacia B por 1, se elige pasar por el punto C, entonces se gastará una energía de W2 – W3.

Pero estos valores deben ser iguales ya que el trabajo es independiente de la trayectoria.

Cualquier ruta lleva el mismo voltaje.

Por tanto,

O equivalentemente, como el voltaje es el trabajo que se realiza para transportar una carga desde un punto A a un punto B.

Entonces:

Se tiene entonces que si se recorre una trayectoria cerrada, la suma algebraica de los voltajes de los elementos individuales que la componen debe ser cero.

Recorriendo la malla en sentido horario se tiene:

Se tiene una forma compacta para la LVK:

Cuyo desarrollo es:

Esta ley es una consecuencia de la conservación de la energía.

Se puede aplicar LVK en un circuito en varias formas diferentes.

Un método que es útil para evitar errores al escribir las ecuaciones consiste en recorrer la trayectoria cerrada en el sentido horario y escribir directamente el voltaje de cada elemento de acuerdo al signo que se encuentre primero.

Ejemplo 1 LVK

Paso 1: referenciar cada elemento y asignar voltajes

Paso 2: definir corrientes de malla

Observa que en torno a Vx no hay una rama, pero podemos trazar mallas a ambos lados.

Paso 3: obtener ecuaciones con LVK a cada malla del circuito

Ahora, recorremos metódicamente de izquierda a derecha cada malla aplicando LVK ytratando de determinar si es posible despejar una variable.

Vemos que para calcular  V2 aplicamos LVK en la malla de la izquierda, así:

LVK en Malla 1:

Ahora usamos el valor calculado para recorrer la malla 2 y obtener Vx.

LVK en Malla 2:

Observe que Vx  también se puede calcular a través del lazo azul, así:

Ejemplo 2 LCK, LVK y Ley de Ohm

Calcule el número de ramas y nodos e Ix y Vx en el siguiente circuito:

Paso 1: referenciar elementos del circuito, asignar voltajes y corrientes.

Se asignan referencias a voltajes y corrientes para poder operar fácilmente.

Paso 2: localizar y enumerar los nodos y elegir un nodo de referencia

Paso 3: determinar ramas

El circuito tiene 6 ramas y 5 nodos.

Paso 4: Aplicar LCK, LVK y Ley de Ohm para obtener ecuaciones.

LCK en Nodo 2:

Ley de Ohm sobre Rd  para hallar Iy:

LVK en Malla 1para calcular Vx:

Ley de Ohm sobre Rc para hallar Vc:

Ejemplo 3 LCK, LVK y Ley de Ohm

Calcule el número de ramas y nodos e Ix y Vx en el siguiente circuito:

Paso 1: referenciar elementos del circuito, asignar voltajes y corrientes

Paso 2: referenciar nodos

Paso 3: determinar ramas

El circuito tiene 6 ramas y 4 nodos

Paso 4: Aplicar LCK, LVK y Ley de Ohm para obtener ecuaciones.

LCK en Nodo 1:

LVK en Malla 3 para hallar Vx:

Ley de Ohm sobre R3  para hallar V3 :

Calcular Iz:

LCK en Nodo 3:

Ejemplo 4 LCK, LVK y Ley de Ohm

Calcule el número de ramas y nodos e Ix y Vx en el siguiente circuito:

Paso 1: referenciar elementos del circuito, asignar voltajes y corrientes

Paso 2: referenciar nodos

Paso 3: determinar ramas

El circuito tiene 5 ramas y 3 nodos

Paso 4: Aplicar LCK, LVK y Ley de Ohm para obtener ecuaciones.

Ley de Ohm sobre R3 para calcular V3 :

Ley de Ohm sobre R2 para calcular I3:

R2 y R3  están conectados al mismo par de nodos 2-ref, por lo cual tienen el mismo voltaje V3. Están en paralelo.

LCK en nodo 2 para calcular I4:

Ley de Ohm sobre R4 para hallar Vx:

LVK en malla B para hallar Ix:

Ley de Ohm sobre R1 para hallar I1:

LCK en nodo 1:

Las leyes (o Lemas) de Kirchhoff fueron formuladas por Gustav Kirchhoff en 1845, mientras aún era estudiante. Son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para obtener los valores de la corriente y el potencial en cada punto de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía.

Estas leyes nos permiten resolver los circuitos utilizando el conjunto de ecuaciones al que ellos responden. En la lección anterior Ud. conoció el laboratorio virtual LW. El funcionamiento de este y de todos los laboratorios virtuales conocidos se basa en la resolución automática del sistema de ecuaciones que genera un circuito eléctrico. Como trabajo principal la PC presenta una pantalla que semeja un laboratorio de electrónica pero como trabajo de fondo en realidad esta resolviendo las ecuaciones matemáticas del circuito. Lo interesante es que lo puede resolver a tal velocidad que puede representar los resultados en la pantalla con una velocidad similar aunque no igual a la real y de ese modo obtener gráficos que simulan el funcionamiento de un osciloscopio, que es un instrumento destinado a observar tensiones que cambian rápidamente a medida que transcurre el tiempo.

En esta entrega vamos a explicar la teoría en forma clásica y al mismo tiempo vamos a indicar como realizar la verificación de esa teoría en el laboratorio virtual LW.

La primera Ley de Kirchoff

En un circuito eléctrico, es común que se generen nodos de corriente. Un nodo es el punto del circuito donde se unen mas de un terminal de un componente eléctrico. Si lo desea pronuncie “nodo” y piense en “nudo” porque esa es precisamente la realidad: dos o mas componentes se unen anudados entre sí (en realidad soldados entre sí). En la figura 1 se puede observar el mas básico de los circuitos de CC (corriente continua) que contiene dos nodos.

Fig.1 Circuito básico con dos nodos

Observe que se trata de dos resistores de 1Kohms (R1 y R2) conectados sobre una misma batería B1. La batería B1 conserva su tensión fija a pesar de la carga impuesta por los dos resistores; esto significa cada resistor tiene aplicada una tensión de 9V sobre él. La ley de Ohms indica que cuando a un resistor de 1 Kohms se le aplica una tensión de 9V por el circula una corriente de 9 mA

I = V/R = 9/1.000 = 0,009 A = 9 mA

Por lo tanto podemos asegurar que cada resistor va a tomar una corriente de 9mA de la batería o que entre ambos van a tomar 18 mA de la batería. También podríamos decir que desde la batería sale un conductor por el que circulan 18 mA que al llegar al nodo 1 se bifurca en una corriente de 9 mA que circula por cada resistor, de modo que en el nodo 2 se vuelven a unir para retornar a la batería con un valor de 18 mA.

Fig.2 Aplicación de la primera ley de Kirchoff

Es decir que en el nodo 1 podemos decir que

I1 = I2 + I3

y reemplazando valores: que

18 mA = 9 mA + 9 mA

y que en el nodo 2

I4 = I2 + I3

Es obvio que las corriente I1 e I4 son iguales porque lo que egresa de la batería debe ser igual a lo que ingresa.

Simulación de la primera Ley de Kirchoff

Inicie el LW. Dibuje el circuito de la figura 2. Luego pulse la tecla F9 de su PC para iniciar la simulación. Como no se utilizó ningún instrumento virtual no vamos a observar resultados sobre la pantalla. Pero si Ud. pulsa sobre la solapa lateral marcada Current Flow observará un dibujo animado con las corrientes circulando y bifurcándose en cada nodo.

Para conocer el valor de la corriente que circula por cada punto del circuito y la tensión con referencia al terminal negativo de la batería, no necesita conectar ningún instrumento de medida. Simplemente acerque la flecha del mouse a los conductores de conexión y el LW generará una ventanita en donde se indica V e I en ese lugar del circuito. Verifique que los valores de corriente obtenidos anteriormente son los correctos.

Para detener la simulación solo debe pulsar las teclas Control y F9 de su PC al mismo tiempo.

Enunciado de la primera Ley de Kirchoff

La corriente entrante a un nodo es igual a la suma de las corrientes salientes. Del mismo modo se puede generalizar la primer ley de Kirchoff diciendo que la suma de las corrientes entrantes a un nodo son iguales a la suma de las corrientes salientes.

La razón por la cual se cumple esta ley se entiende perfectamente en forma intuitiva si uno considera que la corriente eléctrica es debida a la circulación de electrones de un punto a otro del circuito. Piense en una modificación de nuestro circuito en donde los resistores tienen un valor mucho mas grande que el indicado, de modo que circule una corriente eléctrica muy pequeña, constituida por tan solo 10 electrones que salen del terminal positivo de la batería. Los electrones están guiados por el conductor de cobre que los lleva hacia el nodo 1. Llegados a ese punto los electrones se dan cuenta que la resistencia eléctrica hacia ambos resistores es la misma y entonces se dividen circulando 5 por un resistor y otros 5 por el otro. Esto es totalmente lógico porque el nodo no puede generar electrones ni retirarlos del circuito solo puede distribuirlos y lo hace en función de la resistencia de cada derivación. En nuestro caso las resistencias son iguales y entonces envía la misma cantidad de electrones para cada lado. Si las resistencias fueran diferentes, podrían circular tal ves 1 electrón hacia una y nueve hacia la otra de acuerdo a la aplicación de la ley de Ohm.

Mas científicamente podríamos decir, que siempre se debe cumplir una ley de la física que dice que la energía no se crea ni se consume, sino que siempre se transforma. La energía eléctrica que entrega la batería se subdivide en el nodo de modo que se transforma en iguales energías térmicas entregadas al ambiente por cada uno de los resistores. Si los resistores son iguales y están conectados a la misma tensión, deben generar la misma cantidad de calor y por lo tanto deben estar recorridos por la misma corriente; que sumadas deben ser iguales a la corriente entregada por la batería, para que se cumpla la ley de conservación de la energía.

En una palabra, que la energía eléctrica entregada por la batería es igual a la suma de las energías térmicas disipadas por los resistores. El autor un poco en broma suele decir en sus clases. Como dice el Martín Fierro, todo Vatio que camina va a parar al resistor. Nota: el Vatio es la unidad de potencia eléctrica y será estudiado oportunamente.

Segunda Ley de Kirchoff

Cuando un circuito posee mas de una batería y varios resistores de carga ya no resulta tan claro como se establecen la corrientes por el mismo. En ese caso es de aplicación la segunda ley de kirchoff, que nos permite resolver el circuito con una gran claridad.

En un circuito cerrado, la suma de las tensiones de batería que se encuentran al recorrerlo siempre serán iguales a la suma de las caídas de tensión existente sobre los resistores.

En la figura siguiente  se puede observar un circuito con dos baterías que nos permitirá resolver un ejemplo de aplicación.

Fig.3. Circuito de aplicación de la segunda ley de Kirchoff

Observe que nuestro circuito posee dos baterías y dos resistores y nosotros deseamos saber cual es la tensión de cada punto (o el potencial), con referencia al terminal negativo de B1 al que le colocamos un símbolo que representa a una conexión a nuestro planeta y al que llamamos tierra o masa. Ud. debe considerar al planeta tierra como un inmenso conductor de la electricidad.

Las tensiones de fuente, simplemente son las indicadas en el circuito, pero si pretendemos aplicar las caídas de potencial en los resistores, debemos determinar primero cual es la corriente que circula por aquel. Para determinar la corriente, primero debemos determinar cual es la tensión de todas nuestras fuentes sumadas. Observe que las dos fuentes están conectadas de modos que sus terminales positivos están galvánicamente conectados entre si por el resistor R1. esto significa que la tensión total no es la suma de ambas fuentes sino la resta. Con referencia a tierra, la batería B1 eleva el potencial a 10V pero la batería B2 lo reduce en 1 V. Entonces la fuente que hace circular corriente es en total de 10 – 1 = 9V . Los electrones que circulan por ejemplo saliendo de B1 y pasando por R1, luego pierden potencial en B2 y atraviesan R2. Para calcular la corriente circulante podemos agrupar entonces a los dos resistores y a las dos fuentes tal como lo indica la figura siguiente.

Fig.4 Reagrupamiento del circuito

¿El circuito de la figura 4 es igual al circuito de la figura 3? No, este reagrupamiento solo se genera para calcular la corriente del circuito original. De acuerdo a la ley de Ohms

I = Et/R1+R2

porque los electrones que salen de R1 deben pasar forzosamente por R2 y entonces es como si existiera un resistor total igual a la suma de los resistores

R1 + R2 = 1100 Ohms

Se dice que los resistores están conectados en serie cuando están conectados de este modo, de forma tal que ambos son atravesados por la misma corriente igual a

I = (10 – 1) / 1000 + 100 = 0,00817 o 8,17 mA

Ahora que sabemos cual es la corriente que atraviesa el circuito podemos calcular la tensión sobre cada resistor. De la expresión de la ley de Ohm

I = V/R

se puede despejar que

V = R . I

y de este modo reemplazando valores se puede obtener que la caída sobre R2 es igual a

VR2 = R2 . I = 100 . 8,17 mA = 817 mV

y del mismo modo

VR1 = R1 . I = 1000 . 8,17 mA = 8,17 V

Estos valores recién calculados de caídas de tensión pueden ubicarse sobre el circuito original con el fin de calcular la tensión deseada.

Fig.5 Circuito resuelto

Observando las cuatro flechas de las tensiones de fuente y de las caídas de tensión se puede verificar el cumplimiento de la segunda ley de Kirchoff, ya que comenzando desde la masa de referencia y girando en el sentido de las agujas del reloj podemos decir que

10V – 8,17V – 1V – 0,817 = 0 V

o realizando una transposición de términos y dejando las fuentes a la derecha y las caídas de tensión a la izquierda podemos decir que la suma de las tensiones de fuente

10V – 1V =  8,17V + 0,817 = 8,987 = 9V

Y además podemos calcular fácilmente que la tensión sobre la salida del circuito es de

0,817V + 1V = 1,817V

con la polaridad indicada en el circuito es decir positiva.

Trabajo práctico en el laboratorio virtual

Nuestro trabajo práctico consiste en dibujar el circuito en el LW. Activarlo con F9 y recorrerlo con el cursor anotando las caídas de tensión y la corriente en cada punto del mismo. Se podrá verificar el cumplimiento estricto de los valores calculados.

Posteriormente lo invitamos a resolver otro circuito que es el indicado a continuación para el cual le damos una ayuda.

Fig.6 Circuito para resolver por el alumno

La ayuda que le vamos a dar es la siguiente:

1. Considere al circuito completo como construido con dos mayas. La maya I y la maya II. Resuelva la corriente en la malla I solamente, suponiendo que la II esta abierta.
2. Luego haga lo propio con la malla II; cada malla va a generar una corriente por R3.
3. Súmelas considerando sus sentidos de circulación y obtendrá la corriente real que la recorre cuando las dos mallas están conectadas y de allí podrá calcular la caída de tensión sobre R3.
4. Luego debe obtener las otras caídas de tensión y establecer la segunda ley de Kirchoff.
5. Por último calculará la tensión de salida V1.
6. Luego dibuje el circuito en el LW y verifique que el resultado hallado corresponda con el circuito virtual y por supuesto con la realidad.