Apuntes de matemáticas

 TEORÍA DE CONJUNTOS.

Conjuntos.

   Un conjunto o colección lo forman unos elementos de la misma naturaleza, es decir, elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.

   Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por letras mayúsculas, así por ejemplo:

C = {a, b, c, d, e, f, g, h}

   En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que cumplen sus elementos, por ejemplo:

es el conjunto de los números reales comprendidos entre el 1 y el 2 ( incluidos ambos).

  Dos conjuntos A y B son iguales, expresado A = B, solamente cuando constan de los mismos elementos.

  1. 2  Diversos conjuntos numéricos.

  En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:

   N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }  . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar.

   Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }  . El conjunto de los números enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras(positivas o negativas).

  Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
  No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número p ) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales".

  R = Q U {"números irracionales"}  . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R.

   Segmento de una recta, [a, b], son todos los números reales comprendidos entre a y b, es decir, los números x tales que son mayores (o iguales) a "a" y menores (o iguales) a "b".

  Para un número real, x, llamamos valor absoluto de este número, expresado |x|, al número real que queda cuando se le considera positivo . Por ejemplo

 |-7| = 7,  

 |+5,31| = 5, 31

(para los números positivos se les deja como están, para los negativos se les cambia de signo).

  Las propiedades del valor absoluto son:

 

  Para un número real, sea x, llamamos parte entera de este número, expresado [x], al número entero que queda cuando se le suprimen todos sus decimales. Por ejemplo:

 [3,1416] = 3,

[-2,189] = -2

 
   1. 3  Subconjuntos de un conjunto.

   Dado un conjunto C y una propiedad P de un elemento genérico de C, los elementos de C que poseen esa propiedad forman un nuevo conjunto S llamado subconjunto de C, y se expresa:

  Por ejemplo, para el conjunto de los números reales, R, podemos fijarnos en la propiedad siguiente:

x = [x]

 La propiedad de que un número coincida con su parte entera, dicha propiedad sólo la cumplen los números enteros, por eso podemos expresar:

  Todo conjunto C es subconjunto de sí mismo, por otra parte el conjunto vacío (el que no posee ningún elemento), expresado por F, es subconjunto de cualquier otro conjunto. Así podemos expresar:

  A un subconjunto de C también se le llama parte de C.

   1. 4   Notaciones con conjuntos.

   En teoría de conjuntos, y más generalmente en el ámbito de las matemáticas, se utilizan unas determinadas notaciones que conviene indicar desde el principio.

  Sea un conjunto con unos ciertos elementos, consideremos el conjunto N de los números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }  . Para expresar que un determinado elemento pertenece a N se utiliza el símbolo "" (igual que el símbolo del euro pero con una sola raya central ). Este mismo símbolo pero tachado se interpreta como que "el elemento no pertenece al conjunto".  Por ejemplo podemos expresar:

  * Los cuantificadores  :

 Estos dos símbolos sirven para aludir a la cantidad de los elementos del conjunto, el primero hace referencia a "al menos uno", el segundo se refiere a "todos sin excepción". Por ejemplo:

 Se lee: " existe al menos un elemento n perteneciente al conjunto N tal que (la coma se lee aquí  "tal que")  n es mayor que 1000". En realidad, hay muchos elementos en N mayores que 1000, pero con este símbolo nos referimos a que hay por lo menos uno, es decir, negamos que no haya ninguno con la propiedad que viene a continuación.. 

  Se lee: " cualquiera que sea el elemento n del conjunto N se tiene que (aquí la coma se lee "se tiene que") n es mayor o igual a 0". [NOTA: lascomas son separadores entre símbolos en una definición, y se leen como a uno le dé la gana siempre que completen el significado a la frase). 

  1. 5   Unión e intersección de conjuntos.

   Dados dos conjuntos A y B, se define unión de los conjuntos A y B, , al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A ó a B.

 

  Dados dos conjuntos A y B, se define intersección de los conjuntos A y B, , al conjunto formado por los elementos que pertenecen a la vez a A y a B.

  Si la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío, entonces se dice que estos dos conjuntos son disjuntos (también llamados, quizás más apropiadamente, "disyuntos").

  Algunas propiedades:

Unión:

Intersección:

Unión e intersección:

   *  Cardinal de un conjunto.

    Para un conjunto A, llamamos cardinal de A al número de elementos que posee A. Se expresa, Card(A), o bien: n(A).

   Para muchos conjuntos utilizados en Matemáticas, tales como N, Z, Q ó R, su cardinal es infinito. Pero para dos conjuntos A y B con una cantidad finita de elementos se tiene la siguiente propiedad:

  1. 6   Conjunto complementario de un conjunto.

  Dado un conjunto A, se llama conjunto complementario de A (representado por A') respecto a un conjunto universal U, a todo U excepto los elementos de A.

  Es decir, todo excepto los elementos de A .

   Algunas propiedades:

   Suponiendo un conjunto universal llamado C, se verifica:

  1. 7   Partición de un conjunto.

   Dado un conjunto C, se dice que se ha realizado una partición del conjunto C en subconjuntos (o "partes") S1, S2, ...., Si, ...., Sn , cuando éstos cumplen las dos propiedades:

     

es decir que sean disjuntos y que su unión cubra todo C.

  1. 8   Producto cartesiano de conjuntos.

  Sean dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B al conjunto C formado por todas las parejas posibles en forma de par ordenado (x, y), tales que el primer elemento, x, pertenezca al conjunto A y el segundo, y, pertenezca al conjunto B.

   Este producto cartesiano se representa por C = A×B.

  En el diagrama adjunto podemos ver un ejemplo de producto cartesiano de  A×B, siendo A={a, b, c, d}, y siendo B={a, b, d, e, f}. Los elementos de A×B, representados en rojo, son todos los pares (x, y), como por ejemplo (a, a), (a, b), (b, a), .... El número de elementos en este caso es: 4×5, es decir, 20.

   1. 9   Relación binaria definida entre los elementos de un conjunto.

   Sea un conjunto A,  se llama relación binaria entre los elementos del conjunto A a una parte del producto cartesiano A×A (también llamado A²). 

  Por ejemplo, en el diagrama adjunto tenemos el conjunto A = {a, b, d, e}. Establecido el producto cartesiano A×A, cualquier parte C de él, como la señalada por puntos anaranjados, define una relación R  entre los elementos de A.

  La relación R del dibujo vendría expresada así: 

   C =  {(a, d), (a,e), (b,d), (b.e), (d,b), (e,b)}

  Aunque es más común escribirla así:

C =  {aRd,  aRe,  bRd,  bRe,  dRb,  eRb }

  Además, en Matemáticas una relación suele venir definida mediante una propiedad, por ejemplo, en el conjunto N de los números enteros se encuentra definida la relación siguiente:

           aRb     "a es divisible por b"

  Según esta relación, se tiene: 1R1, 4R2, 4R1, 6R2, ....

  *  Propiedades de las relaciones binarias

  Dado un conjunto A con una relación binaria R definida entre sus elementos, hay cuatro posibles propiedades para R:

  1. Propiedad Reflexiva:  La relación R es reflexiva si:

   o sea, si cada elemento de A está relacionado por R con sí mismo.

   2. Propiedad Simétrica: La relación R es simétrica si:

   es decir, que si x se encuentra relacionado con y, entonces y también está relacionado con x.

    3. Propiedad Antisimétrica. La relación R es antisimétrica si:

   es decir, si xRy entonces y no está relacionado con x (a no ser que ambos, x e y coincidan).

   4. Propiedad Transitiva.  La relación R es transitiva si:

  es decir, si x se encuentra relacionado con un elemento y, y éste, a su vez, está relacionado con otro elemento z, entonces x está relacionado conz también.

  
   1. 10   Relación de Equivalencia.

   Sea A un conjunto y R una relación binaria definida en A,  se dice que R es una relación de equivalencia en A si para R se verifican las tres propiedades:

   1.  Reflexiva.
   2.  Simétrica.
   3.  Transitiva.

   Como un ejemplo consideremos el conjunto N* de los números naturales (excepto el 0), y consideremos la siguiente relación binaria en R:  

x R y  {x e y tienen la misma "paridad"}

 (NOTA: Se dice que un número natural tiene paridad par cuando es divisible por el 2, y paridad "impar" cuando no lo es.)

  Así tenemos: ( 1R1, 1R3, 3R5, 5R7, 5R5, ...., 2R2, 2R4, 4R2, 20R100,... )

  Se trata de una relación de equivalencia porque R cumple las tres propiedades:

  1. R es reflexiva: En efecto, pues dado un número natural cualquiera x, está relacionado por R consigo mismo, en otras palabras, x tiene la misma paridad que sí mismo.

  2. R es simétrica: Algo obvio, pues si  x R y, es decir, si x e y tienen la misma paridad, ello significa que y R x, o sea, y y x tienen obviamente la misma paridad ("si Pepe y Juan son franceses, no lo dejan de ser si hablamos de Juan y Pepe" ).

  3. R es transitiva: Si  x R y, es decir x tiene la misma paridad que y, y simultáneamente,  y R z, es decir, y tiene la misma paridad que z, entonces obviamente x R z (x tiene la misma paridad de z).

  *  Clase de equivalencia.

  Dado un conjunto A y una relación de equivalencia R definida en él, si tomamos un elemento aA y buscamos el conjunto de elementos que están relacionados con él según R, lo que obtenemos es la clase de equivalencia   , es decir:

  Tenemos que: 

  i)  Dos elementos que están relacionados entre sí definen la misma clase de equivalencia:

  ii) Dos clases de equivalencia distintas son disjuntas. Por lo cual el conjunto A, al establecer una relación de equivalencia R en él, queda "partido" en clases de equivalencia (en el sentido de partición dado en 1.6) 

 Así para la relación de "paridad" en N* de nuestro ejemplo, el conjunto N* queda "partido" en dos clases:  : los números impares, y  : los números pares. Es obvio que hay una redundancia al hablar de la clase  o hablar de la clase  pues ambas se refieren al conjunto de los números pares. 

   1. 11   Relación de Orden.

   Sea A un conjunto y R una relación binaria definida en A, se dice que R es una relación de orden en A si para R se verifican las tres propiedades:

   1.  Reflexiva.
   2.  Antisimétrica.
   3.  Transitiva

  Como un ejemplo consideremos el conjunto N de los números naturales, y consideremos la siguiente relación binaria en R:  

x R y  {x y }

   1. R es reflexiva: En efecto, pues dado un número natural cualquiera x, este número es "menor o igual" que sí mismo, en concreto es igual; (de paso fijémonos cómo la relación "<" , de "menor que", no es reflexiva, pues un número no es menor que sí mismo).

   2. R es antisimétrica: Algo obvio, pues si  x R y, es decir, si x es menor o igual que y, y simultáneamente, y R x,  y es menor o igual que x, sólo puede darse que x=y.

  3. R es transitiva: Si  x R y, es decir x es menor o igual que y, y simultáneamente,  y R z, es decir, y menor o igual a  z, (piénsese por ejemplo en longitudes) entonces obviamente x R z (x es menor o igual a z).

  *  Estructura de orden.

  Dado un conjunto A y una relación de orden R definida en él, en el caso de que para cualquier pareja de elementos de A,  x, y , se verifica siempre una de estas dos propiedades:  xRy , yRx, se dice que el conjunto A está totalmente ordenado, según la relación R, en caso contrario se dice parcialmente ordenado.

  Los conjuntos numéricos que usamos en el Cálculo suelen estar totalmente ordenados para la relación de orden . Por ejemplo, si expresamos xRy con una flecha de izquierda a derecha, el conjunto N podría representarse:

   1. 12   Aplicación entre dos conjuntos.

   Sean dados dos conjuntos A = {a, b, c, d, e, ... } y B = {a, b, d, g, e, ...}. Se llama corresponcencia del conjunto A en el B a un subconjunto de A×B.

  Por ejemplo, en la gráfica de la derecha tenemos una cierta correspondencia definida por aquellos elementos de A×B indicados (marcados en color rojo).

  Por lo tanto, la correspondencia del ejemplo podría venir expresada como:

f(x) =  {(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (b, g), (c, b), (c, d), (c, g), (d, a), (d, b), (d, d)}

 En la que se enumeran todos los pares ordenados de la aplicación. No obstante, no es así como las aplicaciones suelen generalmente expresarse sino en la forma gráfica de la izquierda.

  

 Se expresan los elementos de A a la izquierda, los de B a la derecha, y para cada pareja (a, b) se traza una flecha que parte del elemento de A y finaliza en el elemento de B.

  La correspondencia viene entonces representada por un conglomerado de flechas que van desde los elementos de A hacia los elementos de B. Pero obsérvese cómo de los elementos de A pueden salir varias flechas hacia B, por ejemplo, al elemento "a" se le hacen corresponder los b y d de B. Pues bien, en Matemáticas es conveniente que a cada elemento de A le corresponda un único elemento de B, es decir, que sólo salga una flecha (o ninguna) de cada elemento del conjunto de la izquierda. En este caso la correspondencia se llama aplicación(también llamada "función" cuando los conjuntos son numéricos).

A los elementos de B donde una flecha finaliza se les llama "imágenes", y a los elementos de A de los que parte una flecha se les llama "anti-imágenes".

  En Matemáticas es muy corriente expresar las aplicaciones mediante y = f(x), siendo y los elementos de B, x los elementos de A, y siendo f(x)una cierta expresión matemática.

  Un ejemplo podía ser   y = x² + 1.

  
  *  Aplicación Suprayectiva

   Una aplicación   f :  A ----> B se dice suprayectiva, cuando todo elemento de B es imagen de al menos un elemento de A. En otras palabras, el conjunto B queda recubierto por completo por las flechas procedentes de A,  no quedando ningún elemento "libre", sin su correspondiente flecha,  en B.

  Matemáticamente se expresa indicando que  la ecuación:

y = f(x)

tiene al menos una solución para x.

 *  Aplicación Inyectiva 

  Una aplicación   f :  A ----> B se dice inyectiva, cuando todo elemento de B es la imagen de un elemento de A como máximo. (En este caso puede haber elementos de B que no sean imágenes de elementos de A).

  Matemáticamente f  es inyectiva si para cualquier par de elementos de A, , que sean distintos, entonces sus imágenes son también distintas, es decir:

   *  Aplicación Biyectiva 

  Una aplicación   f :  A ----> B se dice biyectiva,  si es al mismo tiempo suprayectiva e inyectiva.

  En este caso a cada elemento de A le corresponde uno, y sólo uno, elemento de B.

   Es decir, para cada valor de "y" sólo existe un valor de "x" que sea solución de la ecuación  y = f(x).

  Por ejemplo, en la expresión   y = 2 x + 1 , para un valor determinado de "y" sólo existe un valor de x, en concreto x = ½ (y-1).

  ALGUNOS EJERCICIOS.

 
  1.  En una reunión hay más hombres que mujeres, hay más mujeres que beben que hombres que fuman, y más mujeres que fuman y no beben que hombres que no beben ni fuman. Demostrar que hay menos mujeres que ni beben ni fuman que hombres que beben y no fuman.

 Solución : Podemos considerar los ocho conjuntos disjuntos de la gráfica de la figura , evidentemente el conjunto de los hombres que fuman y no beben (F) es disjunto de las mujeres que fuman y no beben (G), o los hombres que beben y no fuman (A) es disjunto de las mujeres que beben y no fuman (D), etc.

 Que haya más hombres que mujeres significa:

n(A) + n(B) + n(E) + n(F) >
n(C) + n(D) + n(G) + n(H)  {1}

 Que haya más mujeres que beben que hombres que fuman significa:

n(C) + n(D) > n(B) + n(F)   {2}

 Y que haya más mujeres que fuman y no beben que hombres que ni beben ni fuman significa:

n(G) > n(E)   {3}

 Si sumamos {1},{2} y {3} obtenemos:

n(A) + n(B) + n(C) + n(D) + n(E) + n(F) + n(G) >  n(B) + n(C) + n(D) + n(E) + n(F) + n(G) + n(H)

Y simplificando términos iguales, tenemos:

n(A) > n(H)

 Lo cual significa que el número de mujeres que ni beben ni fuman es inferior al de hombres que beben y no fuman (que es lo que había que demostrar).

*     *     *

  2.  En el conjunto de los números reales se define la siguiente relación:

x R y  tan x = tan y

  ¿ Se trata de una relación de equivalencia ?.

 Solución:  Comprobemos si R cumple las tres propiedades de las relaciones de equivalencia:

  a)  Reflexiva:  

  obviamente, todo número real está relacionado consigo mismo.

  b)  Simétrica:

 Si  x R y   y R x

  también obvio, pues si  tan x = tan y , también se da que tan y = tan x.

   c)  Transitiva:

 Cosa que también se da para esta R, pues si   tan x = tan y,  y simultáneamente, tan y coincide con tan z, evidentemente se dará que tan x = tan z.

  Por lo tanto la relación R definida es una relación de equivalencia para los números reales.

*     *     *

  EJERCICIOS PARA EL ALUMNO:

  1.  Dados tres conjuntos A, B. C tales que:

 ¿qué se puede decir de los dos conjuntos B y C ?.

  2.  Dadas dos partes A y B de un conjunto E, se llama diferencia simétrica de A y B (que se escribe ADB) al conjunto:

ADB = (AB) - (AB)

 Demostrar que  ADB = (A-B)  (B-A)

  (NOTA: Por A - B expresamos todos los elementos de A excepto los de B).

  3.  Se sabe que entre los tripulantes de un barco a los que les gusta la cerveza o el vermut o ambas bebidas, les gusta también la cerveza o el vino o las dos. Y a los que les gusta la cerveza y el vermut les gusta también la cerveza y el vino. Demostrar que a todos los que les gusta el vermut les gusta también el vino.

  4.  En el conjunto N de los números naturales se establece la siguiente relación binaria:

x R y  y - x =

     siendo m un número entero dado (por  nos referimos a "cualquier múltiplo de m").

 a) Probar que R es una relación de equivalencia.
 b) Indicar cuáles son las clases de equivalencia.