Apuntes de matemáticas

teoría de conjuntos

Teoría elemental de conjuntos

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Lógica proposicional

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).
Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".
A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir
nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:
 

p	p'
1	0
0	1

A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:
        Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso.
                            Se escribe p Ù q, y se lee "p y q".
 

p	q	p Ù q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

        Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera,
                            y falsa en caso contrario. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q".
 

p	q	p Ú q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

        Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera,
                            y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco.
 

p	q	p Ú q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

        Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la
                        condición necesaria q es falsa. Se escribe p Þ q, y se lee "si p entonces q".
 

p	q	p Þ q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

        Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad,
                            y falsa en caso contrario. Se escribe p Û q, y se lee "si y sólo si p entonces q".
 

p	q	p Û q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ú p'.
Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ù p'.
Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa".

Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales
que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p Û q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones
                p Þ q
y
                q' Þ p'
son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo.
Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos.
 
 

Números naturales : principio de inducción

Admitivos como intuitivo el concepto de número natural; así, podemos enumerar los números naturales en orden creciente:
N = { 1,2,3,4,5, ... } Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción:
        "Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m Î S         y que
n Î S Þ n+1 Î S         Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"
(es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1).

Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es cierta para n+1, es necesario usar que la proposición
se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de Inducción completa:
        "Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que
m Î S         y que
m,m+1, ... ,n Î S Þ n+1 Î S         Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"

Ejercicio: pruébese por inducción la fórmula del binomio de Newton

                

(Indicación: utilícense las propiedades de los números combinatorios).
 

Teoría de Conjuntos

 

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.

Ejemplos de conjuntos:
 

• Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
• N: el conjunto de los números naturales.
• Z: el conjunto de los números enteros.
• Q : el conjunto de los números racionales.
• R: el conjunto de los números reales.
• C: el conjunto de los números complejos.

 
Se puede definir un conjunto:

• por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
• por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

 
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

• A := {1,2,3, ... ,n}
• B := {pΠZ | p es par}

 
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota Ã (A).
Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces Ã (A) = {Æ ,{a},{b},A}.Si a Î A entonces {a} Îà(A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).
Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

• Æ ' = U .
• U ' = Æ .
• (A')' = A .
• A Í B Û B' Í A' .
• Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.

 
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.
Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :

PROPIEDADES	UNION	INTERSECCION
1.- Idempotencia	A È A = A	A Ç A = A
2.- Conmutativa	A È B = B È A	A Ç B = B Ç A
3.- Asociativa	A È ( B È C ) = ( A È B ) È C	A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C
4.- Absorción	A È ( A Ç B ) = A	A Ç ( A È B ) = A
5.- Distributiva	A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
6.- Complementariedad	A È A' = U	A Ç A' = Æ

 
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

• A È Æ = A , A Ç Æ = Æ ( elemento nulo ).
• A È U = U , A Ç U = A ( elemento universal ).
• ( A È B )' = A' Ç B' , ( A Ç B )' = A' È B' ( leyes de Morgan ).

 
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:
 A ´ B := { (a,b) : a Î A Ù b Î B}
Dos pares (a,b) y (c,d) de A ´ B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica

A ´ B = C ´ D Û ( A = C Ù B = D )
Se llama grafo relativo a A ´ B a todo subconjunto G Í A ´ B.
Dado un grafo G relativo a A ´ B, se llama proyección de G sobre A al conjunto

Proy_AG := { a Î A : (a,b) Î G, $ b Î B}
Análogamente se define la proyección Proy_BG de G sobre B.
Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.
Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto A_i , entonces se define el conjunto { A_i : i Î I }
y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por { A_i } _i Î I .
De forma análoga se define una familia de elementos ( a_i ) _i Î I .
Dada una familia de conjuntos { A_i } _i Î I se definen:
 

• È _i ÎI A_i := { a : a Î A_i , $ i Î I }
• Ç _i Î I A_i := { a : a Î A_i , " i Î I }
• Õ _i Î I A_i := { (a_i) : a_i Î A_i , " i Î I }

 
Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan :
 ( È _i Î I A_i )' = Ç _i Î I A'_i     ,    (Ç_i Î I A_i )' = È_i Î I A'_iDIAGRAMAS DE VENNLos conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.
Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.
A Í B


A È B


A Ç B


A - B


A D B

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL

Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional.
Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y
por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características
(es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto);
entonces se tiene la siguiente correspondencia:
 

conjuntos	A Í B	A = B	A È B	A Ç B	A'	A - B	A D B
proposiciones	a Þ b	a Û b	a Ú b	a Ù b	a'	a Ù b'	a Ú b

Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología.
Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica
proposicional y viceversa; a modo de ejemplo:
 

A È ( A Ç B ) = A	a Ú ( b Ù c ) Û a
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	a Ú ( b Ù c ) Û ( a Ú b ) Ù ( a Ú c )
( A È B )' = A' Ç B'	( a Ú b )' Û a' Ù b'

PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Los símbolos " (cuantificador universal) y $ (cuantificador existencial) se utilizan en Matemáticas para
enunciar proposiciones logicas relativas a objetos matemáticos.
Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un elemento x.
(1) Cuantificador universal : La expresión
        " x Î A Þ p(x)
se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposición
        { x Î A : p(x) } = A
(2) Cuantificador existencial : La expresión
        $ x Î A | p(x)
se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposición
        { x Î A : p(x) } ¹ Æ

La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la proposición p(x)
y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa.
Así, la negación de la proposición "" x Î A Þ p(x)" es "$ x Î A | p(x)' ", mientras que
la negación de "$ x Î A | p(x)" es "" x Î A Þ p(x)' "
 
 
 

Conjuntos finitos : Combinatoria

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se dedica al estudio de los conjuntos finitos.
Puesto que la propiedad principal de estos conjuntos es que se puede representar su número de elementos
mediante un número natural (llamado cardinal de dicho conjunto), la tarea básica de la Combinatoria es
precisamente el cálculo del cardinal de dichos conjuntos.
Para dicho cálculo se necesita definir los llamados números combinatorios:

        (1) Números factoriales: se define n! mediante la ley de recurrencia
                        n! = n · (n-1)!
                y la condición inicial 0! := 1. De forma iterativa, se tiene
                        n! = n · (n-1) · (n-2) · ... · 3 · 2 · 1
        n! es el número de permutaciones de n elementos, es decir, es el número total de formas de ordenar n elementos
        de todas las formas distintas posibles.

        (2) Coeficientes binomiales: se definen por la fórmula
                        
        El número "n sobre k" es el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k, es decir,
        el número de subconjuntos distintos de k elementos que tiene un conjunto con n elementos.
        Los coeficientes binomiales tienen dos propiedades básicas:
                (a)
                        
                (b)
                        

        Como aplicación de los números combinatorios y del Binomio de Newton, podemos contar el número total de
        subconjuntos que tiene un conjunto A con n elementos, es decir, el cardinal de partes de A; para ello, notemos
        que el número de tales subconjuntos se obtiene sumando el número de subconjuntos de 0 elementos más los de
        1 elemento, más los de 2 elementos, y así hasta los de n elementos, es decir:

                        

        Pero esta cantidad corresponde a desarrollar mediante el binomio de Newton la expresión
                (1+1)ⁿ  = 2ⁿ
        Así pues se obtiene que # Ã (A) = 2ⁿ si # A = n.