Apuntes de matemáticas

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Operaciones (leyes de composición interna).

   Consideraremos un conjunto numérico E, a sus elementos los representaremos por letras minúsculas: a, b, c, ...

  Se define operación interna entre los elementos de un conjunto E como:

es decir, se trata de una aplicación lineal de forma que al elemento (a , b) de E×E se le hace corresponder un elemento c del conjunto E, lo cual se expresa:  *(a,b) = c, o más comúnmente:

a * b = c.

 Ejemplos típicos de operaciones internas son el conjunto Z de los números enteros , Z = {... , -3, -2, -1, 0, +1, + 2, +3, ... }, y la suma:

a + b = c

si sumamos dos números enteros su resultado es otro número entero, por tanto se dice que la operación suma es una operación interna. Sin embargo no sucede esto con la operación división en Z, la división de los enteros 3 y 5:

3 : 5 = 0,6 

que es un número no-entero, por tanto en Z la división no es una operación interna.

  A las operaciones internas también se las llama leyes de composición.

 
  12.2  Diversas propiedades de las operaciones.

  Sea un conjunto E, denotemos por a, b, c, ... sus elementos, y por  *, o, ...  diversas operaciones con estos elementos. Entonces según las propiedades de la operación se habla de:

    

   12.3  Estructuras algebraicas

  Dado un conjunto y una operación interna definida en él, hay ciertas estructuras algebraicas que vienen definidas según las diversas propiedades que cumplen. 

  SEMIGRUPO:

  Se trata de un conjunto S con una operación *, (S, *),  que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.

   GRUPO:

   Es un conjunto G con una operación *, (G, *), que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
 3)  Hay elemento neutro para *.
 4)  Todo elemento de G tiene su inverso para *.

      SUBGRUPO:

       Dado un grupo G, una parte C de G se llama subgrupo de G si C tiene estructura de Grupo para la operación *. Es decir el elemento neutro de * está en C (3) y todo elemento de C tiene su inverso en C (4).

   La condición necesaria y suficiente para que C sea subgrupo puede expresarse así:

  GRUPO ABELIANO (Conmutativo):

   Es un conjunto G con una operación  *, (G, *), que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
 3)  Hay elemento neutro para *.
 4)  Todo elemento de G tiene su inverso para *.
 5)  * es conmutativa.

   ANILLO:

  Es un conjunto A con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 5a)  * es conmutativa.   -- (A, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.     -- (A, º) es un semigrupo ---
 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

    ANILLO CONMUTATIVO:

  Es un conjunto A con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 5a)  * es conmutativa.   -- (A, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.     -- (A, º) es un semigrupo ---
 3b)   º es conmutativa.
 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

   CUERPO:

  Es un conjunto  C con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 5a)  * es conmutativa.   -- (C, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.    
 3b)   Hay elemento neutro para º.
 4b)  Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º.  -- (C, ª) es un grupo (si exceptuamos al elemento neutro para *)--
  1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

  CUERPO CONMUTATIVO:

  Es un conjunto  C con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 5a)  * es conmutativa.   -- (C, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.    
 3b)    Hay elemento neutro para º.
 4b)  Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º. 
 5b)  º es conmutativa.   -- (si exceptuamos al elemento neutro para *) (C, *) es un grupo abeliano--
  1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

  12.4  Algunos ejemplos.

  Ejemplo 1:  Sea R el conjunto de los números reales, se define la siguiente operación entre elementos de R:

Comprobar que  tiene estructura de grupo conmutativo .

  Demostración:  Se trata de comprobar el cumplimiento de cada una de las cinco propiedades del grupo conmutativo:

  1)   es una operación interna. En efecto, pues si a y b son números reales, también lo es:   .

  2)   cumple la propiedad asociativa. Para ello hagamos en primer lugar a(bc):

  Ahora veamos (a b) c:

  Son iguales, por tanto la operación es asociativa.

  3)  En R existe elemento neutro para :

 

  el elemento neutro para esta operación es el 0.

  4)  Todo elemento x de R tiene su inverso:

  5)  Finalmente  es conmutativa, pues es obvio que:

a b = b  a

  Ejemplo 2:  Sea el conjunto de los números enteros, Z, y las dos siguientes operaciones:

  Decir si (Z, , *) tiene estructura de anillo.

  Solución:  Debemos comprobar cada una de las ocho propiedades del anillo.

  1a)  es una operación interna en Z, pues dados dos números enteros a, b, también es entero a  b = a + b - 8.

  2a) Comprobemos la asociatividad de :

     a  (b  c) = a  ( b + c - 8) = a + (b + c - 8) - 8 =  a + b + c - 16.

    (a  b)  c = ( a + b - 8)  c =   ( a + b - 8) + c - 8 =  a + b + c - 16.

   En efecto,  es asociativa.

  3a)  Veamos si en Z hay elemento neutro para :

         x  e = x   ->  x + e - 8 = x  ->   e = 8  (el 8 es el elemento neutro)

  4a)  Todo elemento de A ... ¿tiene su inverso para  ?:

          

    En efecto, el elemento inverso del a es:  16 - a.

  5a)  ¿ Es conmutativa  ?:

      a  b = a + b - 8     ;     b  a = b + a - 8

     Sí lo es, pues las dos expresiones son iguales.

  1b) * es operación interna.

     Verdaderamente, pues si tomamos dos números enteros a, b, entonces también es entero el número:

a * b = a + b - a.b

  2b) Comprobemos si * es asociativa :

   a * (b * c) = a * ( b + c - b c) = a + (b + c - bc) - a.(b + c - bc) =

= a + b + c - bc - ab - ac - abc.

(a * b) * c = ( a + b - ab) * c =   ( a + b - ab) + c - ( a + b - ab).c =

= a + b + c - bc - ab - ac - abc.

     Las dos expresiones son iguales, por lo tanto sí es asociativa.

  3b) Comprobemos si * es conmutativa:

  a *  b = a + b - a.b  ;    b * a = a + b - b.a

    que son obviamente iguales, por tanto la operación sí es conmutativa.

   1c) Finalmente comprobemos si la segunda operación, *, es distributiva respecto de la primera, , es decir, si se cumple:

a * (b  c) = (a * b)  (a * c)  ?

 a * (b  c) = a * (b + c - 8) = a + (b + c - 8) - a(b + c - 8) =

= a + b + c - 8 - ab - ac + 8a =

= 9a + b + c - 8 - ab - ac

(a * b)  (a * c) = (a + b - ab)  (a + c - ac) = (a + b - ab) + (a + c - ac) - 8 =
= 2a + b + c - 8 - ab - ac

    Los resultados son diferentes, por lo tanto no tiene estructura de anillo,  falla la propiedad distributiva.

   Ejemplo 3:  Sean las tres aplicaciones siguientes:

  Consideremos el conjunto formado por las tres,  G = {f1,  f2, f3} , y consideremos la ley de composición entre aplicaciones º, tal que:

fi º  fj =  fi [ fj(x)]

  Comprobar que (G, º) tiene estructura de grupo.

  Solución:  Para estos casos de conjuntos tan pequeños, sólo tres elementos en este ejemplo, es conveniente hacer la tabla de la ley de composición:

   Por una parte, es obvio que:

f1 º  fi =  fi    

fi º  f1 =  fi 

  puesto que  f1 = x  se comporta como función identidad (elemento neutro).

   Ahora veamos f2 º  f2 :

   A continuación veamos f2 º  f3 :

  

   Ahora veamos f3 º  f2 :

 

   Finalmente veamos f3 º  f3 :

   Con estos resultados podemos establecer la siguiente tabla:

º	f1	f2	f3
f1	f1	f2	f3
f2	f2	f3	f1
f3	f3	f1	f2

  A partir de esta tabla comprobemos cada una de las cuatro propiedades:

  1) Operación interna: obviamente sí lo es.

  2) Operación asociativa: la composición de aplicaciones sí es asociativa:

f º (g º h) = f [ g [ h (x)] ] 

(f  º g ) º h = f [ g [ h (x)] ] 

  3) El elemento neutro de º es  f1 (obsérvese en la tabla).

  4)  f2 y  f3 tienen inverso,  son f3 y  f2 respectivamente (obsérvese la tabla).

  Ejemplo 4:  Demuéstrese que en todo grupo (G, ) en el que se verifica:

x  x = e    

siendo 'e' el elemento neutro, es un grupo conmutativo.

   Solución:  Consideremos dos elementos de G: a, b,  por ser  una operación interna se tiene que:

a  b 

y por la propiedad que verifican todos los elementos de G tenemos.

(a  b )  (a  b) = e

ahora componemos a por la izquierda, y b por la derecha (en ambos miembros):

a (a  b )  (a  b)  b= a e b

por la propiedad asociativa del grupo:

(a a)   (b  a)  (b  b) = a b

los paréntesis de los extremos son e, por tanto:

b a = a  b

  EJERCICIOS PARA EL ALUMNO:

  1.  Sabiendo que el conjunto G = {a, b, c} es un grupo multiplicativo. Establecer la tabla del grupo.

  2.  Se considera el conjunto A de los números de la forma: 2^x. 3^y (siendo los exponentes x, y enteros cualesquiera). Comprobar si A es un grupo para el producto.

  3.  Se considera el conjunto: . ¿ Es C un anillo respecto de las operaciones ordinarias +, . ?. 

  4.  Demostrar que un grupo (G, .) en el que cualquier par de elementos a, b de G verifican:

(a . b)² = a² . b²   

es un grupo abeliano.

  5.  Probar que el conjunto C de los números complejos, a + b i ,  con las operaciones + y . (suma y producto de números complejos) tiene estructura de cuerpo conmutativo.

ESPACIOS VECTORIALES

Estructura de Espacio Vectorial.

  Sea  K un cuerpo conmutativo (normalmente el cuerpo R de los números reales),  cuyos elementos l, m, ... llamaremos “escalares”.

  Un conjunto E se llama Espacio Vectorial sobre K, y sus elementos   “vectores” si se verifican las condiciones:

 a) Existe en E una ley de composición interna (+)  que le confiere la estructura de grupo abeliano.

     

  b)  Existe sobre E una ley de composición externa (nada), cuyo dominio es K, con las siguientes propiedades:

      

 (por "1" denotamos al elemento neutro del cuerpo K, en caso del cuerpo R éste es el número 1).

   EJEMPLOS: 

  -   El conjunto E de los vectores libres del espacio euclídeo (o del plano) de la geometría elemental, donde K=R, está provisto de las operaciones: ,  cumpliendo todas las condiciones arriba indicadas por lo que E es un espacio vectorial (de ahí precisamente proviene el nombre de "vectorial").

  -  El conjunto (x) de polinomios con coeficientes reales (grado cualquiera) posee dos operaciones:  p(x) + q(x)  y  a p(x) que cumplen las condiciones arriba indicadas, por lo que es un espacio vectorial sobre R.

  * Propiedades inmediatas:

   Es muy obvio que para un espacio vectorial se cumplen las siguientes propiedades:

   

  *  Otras propiedades:

  Quizás no sean tan obvias pero sí son fácilmente demostrables las propiedades:

  

  13.2  Sistemas de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores.

   *  Sistema de vectores
    Supongamos un espacio vectorial, E,  y un conjunto finito de vectores de E , , diremos que constituyen un sistema de vectores de E( también llamado  familia de vectores).

   *  Combinación lineal de un sistema de vectores
    Un vector  decimos que es combinación lineal  del sistema  si existen escalares    (llamados coeficientes)  tales que:

    Observaciones sobre la combinación lineal de vectores:

   -  El elemento  de E  es combinación lineal de cualquier familia de vectores de E. (Sin más que elegir todos los coeficientes nulos).

   -  Todo vector es combinación lineal de sí mismo, y en general, de cualquier familia que lo contenga, pues       (y para el resto de los vectores de la familia se les atribuyen coeficientes nulos).

   -  Si  es combinación lineal de   y cada uno de ellos es combinación lineal de otros   , entonces el vector  es combinación lineal de los  .

  13.3  Sistemas libres y sistemas ligados.

  -  Un sistema  de vectores  {} se dice que es libre (o que los vectores son linealmente independientes) cuando la relación:

se cumple sólo si:

    Observaciones:

     *   Un sistema {} es libre si todo subsistema que podamos formar a partir suyo es libre.
     *   Un sistema {} que no es libre se llama ligado.

  -  Un sistema  de vectores  {} se dice que es ligado (o que los vectores son  linealmente dependientes) cuando en la anterior relación:

existan algunos li que no sean nulos.

  PROPIEDADES INMEDIATAS:

   Sistemas libres:

a)      Un sistema formado por un solo vector no-nulo es libre.

b)      Todos los vectores de un sistema libre son distintos de . 

c)   Todos los vectores de un sistema libre son distintos.

d)   Toda parte de un sistema libre es libre.

   Sistemas ligados:

a)      Si en un sistema uno (al menos) de sus vectores es combinación lineal del resto, se trata de un sistema ligado.

b)  Todo sistema en el que figure el  es ligado.

c)  Si a un sistema ligado le añadimos varios vectores resulta otro sistema también ligado

  13.4  Subespacios vectoriales

   Sea E un espacio vectorial (sobre K), y sea ,  decimos que E' es un subespacio vectorial (sobre K) en el caso de que E' tenga estructura de espacio vectorial para las operaciones inducidas por las de E.

  Es decir, se deben cumplir las dos condiciones:

   a)  E’ es subgrupo del grupo aditivo E:   

   b)  Se conserva la ley de composición externa:  

  Estas dos condiciones se suelen expresar en una sola de la siguiente manera:

 *  La CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE para que E’ sea subespacio vectorial es que: E’ sea no vacío, y además:

  EJEMPLOS:

  -  En el espacio vectorial E sobre R de los vectores libres en el espacio (que se utiliza en geometría, física, ...) el conjunto de los vectores libres paralelos a una recta (respecto a un plano) es un subespacio de E.

  -  El conjunto de los polinomios en x con coeficientes reales de grado inferior o igual a n (incluido el polinomio cero), Pn(x),  es un subespacio del espacio vectorial de los polinomios en x, (x).

  13.5  Intersección de subespacios vectoriales

  Sea E un espacio vectorial, la intersección de dos subespacios  no es nunca vacía (pues por lo menos contiene al ).

  Si tenemos una cantidad finita de subespacios  de E,  el conjunto intersección,  , es también subespacio vectorial de E.. Esto puede extenderse a una cantidad infinita de subespacios de E.

  Consideremos una parte no vacía A de E (supongamos que A no sea subespacio de E) , existen subespacios de E que contienen a A. Consideremos la intersección de todos estos subespacios conteniendo a A -que como queda dicho arriba es un subespacio vectorial de E-, y es el menor posible (para la inclusión), se le llama subespacio vectorial engendrado por A.

   Por ejemplo, el subespacio vectorial F engendrado por la familia  A={} de vectores de E viene dado por el conjunto de todas las combinaciones lineales de la forma:

  También se dice que la familia A={} es una parte generatriz del espacio vectorial F.

  13.6  Suma de subespacios. Suma Directa.

    *  Subespacio suma:

   Sea un espacio vectorial  E, y sea un número finito de subespacios de E: , el conjunto de vectores de la forma:

formado por la suma de un elemento de E1, otro de E2,  ... , etc., es un subespacio llamado subespacio suma. Se designa por:

E1 + E2 + ... + Ek 

  (ATENCIÓN: No debe confundirse este subespacio suma con la unión de subespacios )

  *  Suma directa: 

  Sea un espacio vectorial  E, y sea un número finito de subespacios de E: , si expresamos a vectores de la forma:

en general, esta suma no es única, es decir, puede haber vectores que tengan dos o más sumas coincidentes:

 En el caso de que cada vector  tenga una única descomposición  , se habla de suma directa de subespacios de E y se expresa:

   Teorema 1: 

   La condición necesaria y suficiente para que una suma E1 + E2 + ... + Ek sea suma directa de subespacios es que:

   Teorema 2: 

    La condición necesaria y suficiente para una suma de dos subespacios, E1 + E2 , sea una suma directa es que:

  13.7  Subespacio engendrado

  Sea   una familia de vectores de un espacio vectorial E. Como ya hemos dicho en 3.5  el conjunto de todas las combinaciones lineales de esta familia de vectores es un subespacio vectorial. Vamos ahora a demostrar que efectivamente esto es así:

   Llamemos E' al conjunto de las combinaciones lineales de los vectores de S.

  

   Al cumplirse la condición necesaria y suficiente E` es un subespacio vectorial.

 
  *  Propiedades:

a)        Una familia de vectores S y otra S’ (formada al añadir a S un número cualquiera de combinaciones lineales de S)  engendran el mismo espacio vectorial.

b)        Sea una familia de vectores S, y sea E’ el subespacio engendrado, este susbespacio E’ no cambia (es el mismo) si modificamos los vectores de S por alguna de estas operaciones:

          -         Multiplicación de algún vector de S por un escalar (no nulo).

          -         Suma de un múltiplo de un vector de S a otro vector de S.

  13.8  Espacios de dimensión finita. Sistema de generadores.

  Sea  un sistema formado por n vectores, , pertenecientes a un espacio vectorial E sobre un cuerpo K.  Se dice que  S engendra el espacio E, (o que S es un sistema de generadores de E), cuando todo vector de E se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S.

   Es decir,

   *  Teorema:

  De todo sistema de generadores de un espacio vectorial   formado por los vectores , se puede siempre extraer un sistema libre que también engendre a E.

   Demostración:

  

   Ahora tomemos el siguiente,  es un sistema libre continuamos añadiendo el siguiente, , pero si es ligado tenemos : , y en este caso los dos primeros términos de:

quedan reducidos a: , con lo que podríamos prescindir de .

  Etcétera, si  es un sistema libre continuaríamos con , pero si es ligado tendríamos: , y en este caso los tres primeros términos de la expresión de arriba quedarían reducidos a:  , con lo cual podríamos prescindir de . 

  Siguiendo este procedimiento se concluye que para todo  , puede llegar a expresarse como una combinación lineal de un sistema libre de vectores extraído de S.

  13.9   Base de un espacio vectorial.

   Se dice que un espacio vectorial, E, es de dimensión finita, cuando existe un sistema finito, S, que engendra a E. (Nosotros consideraremos sólo espacios vectoriales de dimensión finita)

   Si un espacio vectorial E admite un sistema libre de generadores,  S, se dice que S es una base de E.

  *  Propiedades de la base.

-         Todo espacio vectorial    de dimensión finita posee al menos una base.

-         Si una base de E posee n elementos, todo conjunto de p elementos (p > n) está formado por elementos linealmente dependientes.

-         Si un espacio vectorial E posee una base de n elementos, y sabemos que p elemento de E son linealmente independientes, entonces p£ n.

-         Si un espacio vectorial E posee una base B formada por n vectores, cualquier otra base de E, B’, posee también n vectores. Se dice que la dimensión del espacio vectorial E es n.

   *  Teorema:

   Dada una base  de un espacio vectorial E, todo vector  viene expresado en una única manera como combinación lineal de los elementos de esta base:

  La demostración es muy simple, pues si hubiera otra forma de expresarlo: ,  podríamos restar las dos expresiones y tendríamos:

lo que significaría que todos los coeficientes son nulos:

es decir, las componentes xs e ys serían identicas.

  13.10  Subespacios suplementarios.

  Dos subespacios E’  y E”,  de E,  se llaman  suplementarios  si se tiene que:

E = E'  E”

 En este caso, resulta que cualquier vector  puede ser descompuesto de manera única como:

   *  Teorema:

  Sea un espacio vectorial E (dimensión n),  todo subespacio E’ (dimensión m) admite al menos un subespacio suplementario (dimensión n-m).

   *  Teorema de las dimensiones.  (fórmula de Grassmann).

   Sea un espacio vectorial E, y sean E’ y E” dos de sus subespacios,  entonces se tiene:

      dim(E’) + dim(E”)  = dim(E’ + E”) + dim(E’E”)

  13.11  Cambio de base. Matriz de cambio de base.

   Sea un espacio vectorial  E  (dimensión n), y sea   una base de E. Entonces, como ya sabemos, todo vector de E puede expresarse de forma única :

   {1}

  Pero supongamos ahora otra base de E, , en la que todo vector puede expresarse:

    {2}

   Ahora vamos a ver la relación existente entre estas componentes en una y otra base.

   Para ello expresamos los elementos de la base B' en la base B:

    De una forma expandida tenemos:

        f₁ = a₁₁ e₁ + a₁₂ e₂ +  .... + a_1n e_n
          f₂ = a₂₁ e₁ + a₂₂ e₂ +  .... + a_2n e_{n
                      .....................................}
          f_n = a_n1 e₁ + a_n2 e₂ +  .... + a_nn e_n 

Por lo tanto sustituyendo en  {2} tenemos:

que si lo comparamos con  {1}  llegamos a la relación deseada para la relación entre las coordenadas en una y otra base:

 ATENCIÓN: Hay que observar arriba cómo para cada componente x_j, es i el índice que va recorriendo desde 1 hasta n (o sea, el índice primero y no el segundo como antes). O sea, desarrollándolo queda:

 x₁ = a₁₁ y₁ + a₂₁ y₂ +  .... + a_n1 y_n 
  x₂ = a₁₂ y₁ + a₂₂ y₂ +  .... + a_n2 y_{n 
                      .....................................}
    x_n = a_1n y₁ + a_2n y₂ +  .... + a_nn y_n 

  Es decir, nosotros llamaremos matriz de paso a la matriz P:

                              

   tal que  X = P.Y, y también  Y = P^-1 . X

 que como puede apreciarse es la transpuesta de la matriz que relaciona la Base de las f base de las e.