Apuntes de matemáticas

 ECUACIONES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Plano:

  Ecuación del plano (con  puntos de corte a, b, c):  

   

  (siendo a, b, c números reales que expresan los puntos de corte con los respectivos ejes x, y, z) .

  En el caso de que alguna de las variables x, y, z  no apareciera en la ecuación significaría que el plano no corta a dicho eje (en otras palabras, lo corta en el infinito).

  Por ejemplo, en la figura 1 de abajo tenemos un plano que no corta al eje z (es paralelo al eje z), en la figura 2 tenemos un plano que no corta a los ejes x,y por tanto es paralelo al plano OXY:

  (figura 1)

       (figura 2)

* Esfera:

  Ecuación de la esfera (centrada en el origen O):

  x² + y² + z² = R²

  siendo R el radio de la esfera centrada en el origen.

  Ecuación de la esfera centrada en un punto P(a,b,c):

(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²  

* Elipsoide:

  Ecuación del elipsoide (centrada en el origen O):

 (a, b, c son los semi-ejes de las secciones elípticas) 

* Paraboloide:

  Ecuación del paraboloide:

z = x² + y²  (paraboloide de revolución)-las secciones transversales al eje OZ son circulares.

  *   *   *

z = m x² + n  y²  (paraboloide general) las secciones transversales al eje OZ son elípticas.

* Superficie cónica:

  Ecuación de la superficie cónica:

 z² = x² + y²        (superficie cónica de revolución; las secciones transversales al eje z son circulares)

*    *    *

z² = m x² + n y²        (superficie cónica general; las secciones transversales al eje z son elípticas)

* Superficie cilíndrica:

Ecuación de la superficie cónica:

  x² + y² = R²       (superficie cilíndrica de revolución; las secciones transversales al eje z son circulares)

*   *   *

       (superficie cilindroide; las secciones transversales al eje z son elipses -de semiejes a, b-)

  * Hiperboloide (una hoja)

  Si b = c se trata de un hiperboloide de revolución.

   * Hiperboloide (dos hojas)

Cálculo del área de un polígono regular cualquiera

Para calcular el área de un polígono cualquiera, se puede hacer un determinante de la siguiente forma:
colocamos las coordenadas de los puntos (vértices de la figura) alineados en una columna, repitiendo el primero que hemos tomado en la parte inferior, por ejemplo, en la figura tomamos las coordenadas de los tres puntos: (-2,6) (-3, -1) (5, -4) y repetimos el primero en la parte inferior (-2,6).
Para calcular el área multiplicamos un medio por el cálculo del determinante: multiplicamos en diagonal las líneas rojas tal y como aparecen abajo en el determinante:

-3 × 6      +        5 x-1       +      -2 x -4.

A la suma de estos tres productos le restamos la suma de los productos cuyas líneas están en color azul en el determinante:

6 × 5    +     -4 x -3       +        -1 x -2.
Al hacer toda la operación obtenemos el área directa de la figura. Si en vez de un triángulo fuera otro polígono cualquiera, el cálculo sería idéntico, colocaríamos las coordenadas de todos los puntos alineados en una columna repitiendo siempre el primero en la parte inferior de la columna.



Otro método para calcular el área:

Otro método para calcular el área es el siguiente:
Como sabemos que el área del triángulo es base por altura partido por dos, debemos calcular la base y la altura del triángulo. Para ello tomamos un vértice A del mismo y un lado opuesto BC.
Del lado opuesto calculamos la distancia 9,49 entre los dos extremos que es la longitud de la base.
Para calcular la altura hacemos por el vértice opuesto A del triángulo una recta perpendicular -x+3y=10  a la base desde ese punto - ya que la altura es una recta perpendicular a la base-, calculando la ecuación de esta recta y resolviendo la solución al sistema de las 2 ecuaciones lineales formado por esta recta perpendicular y la base. La solución D es la intersección de ambas rectas, o lo que es lo mismo la proyección ortogonal del vértice sobre el lado del triángulo. Calculamos la distancia (8,21) entre estos dos puntos y tenemos la altura.
Por último, si tenemos la altura y la base, las multiplicamos y dividimos el resultado entre 2 obteniendo el área del triángulo (39).



Área mediante el cálculo integral

Para calcular el área bajo una curva hasta el eje x, se recomienda mirar en este blog el apartado de cálculo integral.

Tenemos la ecuación de la parábola en color magenta y vamos a calcular el área comprendida entre el punto tres y el cero, la zona coloreada en tono salmón.

Hacemos la integral de x elevado al cuadrado y sustituimos el tres en la variable, extremo de la superficie.

Recordamos que para calcular la integral de una variable x elevada a un exponente, se le suma una unidad al exponente y ese mismo número lo hacemos constar como denominador.

x elevado al cubo partido tres es la solución a la integral en la que sustituimos el número tres en la variable, ya que el tres es por donde pasa la recta de ecuación x=3.

Al sustituir este número en la solución a la integral lo que hacemos es calcular el área comprendida desde este número hasta el punto cero. Si fuera en el punto 4, el área sería desde el 4 hasta el origen de coordenadas, etc.

Área del círculo

Para calcular el área de un círculo consideramos el diferencial de área de los rectángulos del primer cuadrante, como por ejemplo el área del rectángulo verde que aparece en el dibujo del primer cuadrante de la circunferencia, que es base por altura (dx.y). El área de la circunferencia será cuatro veces este sector circular y vendrá dado por la integral de y.dx, entendiendo que y es la función (ecuación ordinaria de la circunferencia que aparece en el rectángulo amarillo y en la que se ha despejado y), evaluada entre el cero y el radio. En el triángulo azul  del borde superior derecho del dibujo, sen g = x/r, cuando x=0, el ángulo g vale 0º, cuando x = r, tenemos que  r/r =1 y el ángulo cuyo seno vale 1 es 90º, de ahí la evaluación entre 0 y pi/2.

Para calcular la integral (elipse violeta) hacemos una sustitución trigonométrica, tal y como aparece en el borde superior derecho del dibujo, el triángulo azul contiene a la hipotenusa r y a los dos catetos, tenemos que x es igual al seno del ángulo por el radio y su derivada dx el radio por el coseno del ángulo por dg (rectángulo rosa). Sustituimos ambos elementos en la integral, tal y como marcan las flechas de la derecha y sustituimos dos pasos más adelante tras sacar factor común, 1- seno al cuadrado del ángulo g por coseno al cuadrado del ángulo, obteniendo al hacer su raíz y multiplicarlo por el coseno del ángulo el coseno cuadrado de g.dg.

Al aplicar una reducción del exponente, tal y como parece en la elipse blanca tenemos una expresión equivalente de la que calculamos su integral, la de 1 es g y la del coseno de 2g es seno del 2g -elipse de color rosada.

Sustituyendo en g pi/2 tenemos en la primera expresión un medio que multiplica a pi/2 que es pi partido por cuatro, que al multiplicarlo por 4r²  obtenemos pi por el radio el cuadrado. En el segundo término tenemos seno de 2g ( 2 × 90 que es 180° y su seno vale cero), por tanto la solución es el valor del término anterior, pi por el radio al cuadrado.

Otro método para calcular áreas mediante una rejilla: teorema-de-pick

Cálculo del área mediante el Teorema de Pick

Para todo polígono de una pieza y sin agujeros, el número de puntos en el interior, más el número de puntos en el borde partido por 2, menos 1, es igual al área del polígono. Se le llama números enteros aquellos que tienen coordenadas enteras que quiere decir que están dentro de la superficie de la figura si son interiores (puntos de color blanco), además de aquellos que pertenecen a los lados del polígono que son los que están en el borde del polígono (en color amarillo). Cálculo del perímetro de una figura El perímetro de una figura es la suma de  sus lados, por tanto para determinar el perímetro de un polígono regular se suman las distancias entre cada par de puntos o vértices de la figura obteniendo así la dimensión de cada lado. La suma de las dimensiones de todos los lados es el perímetro de la figura Para calcular la distancia entre dos puntos aplicamos el teorema de Pitágoras: http://geometria-analitica-y-algebra.blogspot.com.es/2012/11/distancia-entre-dos-puntos.html Método mediante vectores: De la misma manera podemos calcular el área considerando los lados del triángulo como vectores. Cada vector tiene por componentes dos catetos, un cateto es su longitud proyectada sobre una línea paralela al eje x y el otro su longitud proyectada sobre otra línea paralela al eje y. por ejemplo, la distancia entre los puntos C y B, las tenemos al restar sus coeficientes en x y sus coeficientes en y: 5- -1 y -4 - 3, lo que nos genera una longitud de 6, -7. Esto quiere decir que el cateto horizontal de esa hipotenusa comprendida entre los dos puntos BC mide seis unidades sobre la línea horizontal, mientras que sobre la línea vertical mide siete unidades. El coeficiente  en y (-7) tiene valor negativo porque el vector está dirigido hacia abajo, tal y como muestra su sentido. Una vez que hemos calculado los dos componentes del vector, sólo tenemos que aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la distancia entre ambos puntos, esto es, la longitud de la hipotenusa. Aplicamos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de ambos componentes y obtenemos la longitud de la hipotenusa, que es 9,22 unidades. ----------------------------------------------- Figuras equivalentes

Dado el lado AB -de coordenadas (0,0) y (2,3) respectivamente-  de un cuadrado, se pide construir un rectángulo que tenga el mismo área. al proyectar AB sobre el eje x tenemos que su dimensión es 2 ya que la coordenada en x de B es dos. Vamos a considerar esta longitud AI como lado del rectángulo equivalente.
Hacemos la recta verde perpendicular por el punto medio de AB, para ello tenemos que la ecuación de la recta AB es y=3x/2, ya que su pendiente es tres medios y pasa por el origen de coordenadas por lo que la constante b es cero. La pendiente de la recta perpendicular a ésta tiene numerador y denominador intercambiados y distinto signo, por tanto es -2/3. Para calcular la constante b sustituimos las coordenadas del punto medio J en la expresión, de esta manera tenemos que vale 2,17.
La intersección de esta recta verde de la que ya conocemos su ecuación con el eje x de ecuación y=0, nos determina las coordenadas (3,25 , 0) del centro E de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas cortando por tanto a x en F, de coordenada en x doble que E, esto es, 6,5.
Por tanto del otro lado del rectángulo es 6,5.
Aunque gráficamente lo obtuvimos, podíamos hacer la ecuación de la circunferencia y calcular la intersección con el eje x, obteniendo también las coordenadas de x (6,5  ,   0)




Volumen de paraboloide

Para calcular el volumen de un paraboloide (figura tridimensional engendrada por una semi parábola que gira en torno a su eje) podemos considerar distintas secciones de altura infinitamente pequeñas (dx). Éstos discos de altura mínima son cilindros que unidos uno junto a otro determinan el volumen total de la figura.

En la ecuación de la parábola   x = y ²  aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros y tenemos que   x^1/2 = y

El volumen de cada cilindro es el área de la base por altura, la base de cada cilindro es una circunferencia de área pi por el radio al cuadrado. Por tanto el área del cilindro es pi por el radio al cuadrado por el diferencial de x (dx) que corresponde a la altura.

Como la raíz cuadrada de x elevado al cuadrado es x, tenemos que el área es pi.x.dx.  

Si integramos esta expresión entre seis y cero, que es el intervalo en el que vamos a calcular el volumen, sustituyendo en la variable x el seis tenemos que el volumen de la figura es seis al cuadrado dividido entre dos por pi, osea, pi por 18 unidades cúbicas.

El volumen de un paraboloide es V = pi. h. d² /8

En la fórmula h es el eje de revolución con la dimensión correspondiente a la figura (6 en el dibujo) y d es el diámetro de la base (cerca de 5 en el dibujo) del paraboloide.

Volumen de paraboloide menos cono

Para calcular el volumen engendrado por un paraboloide al que se le resta un cono, calculamos primero el volumen de los distintos cilindros huecos o arandelas que forman la figura. El volumen de cada arandela será el del cilindro total menos el cilindro interior, esto es el área de la circunferencia externa o mayor de radio R menos el área de la circunferencia menor de radio r, ambas áreas multiplicadas por sus alturas iguales. Integrando ambas curvas en el intervalo  cuyos límites de integración son 4-0 definido por las coordenadas en y de los puntos de intersección calculados al resolver el sistema de las ecuaciones de la recta y parábola, y sustituyendo en la fórmula calculada previamente del volumen de las arandelas, tenemos que el volumen es 8/3 de pi.



Volumen de objeto violeta

Vamos a calcular el volumen que engendra una semiparábola que gira en torno a un eje de longitud 0-1 tangente a la misma por su vértice. La figura que queda al realizar la revolución es como la que aparece en el dibujo de color violeta.

En este dibujo tenemos la forma plana en color amarillo definida por la línea horizontal de ecuación y=1, la curva parabólica de ecuación     x = y ²      y el eje de ordenadas.

Si consideramos infinidad de discos que definen el objeto de revolución, tenemos que el área de éstos es 

A = pi.r ² 

La ecuación de la curva es   y = x ²  

^{Si consideramos que el radio de estas circunferencias o discos queda definido por la curva parabólica, r =x, por tanto}     y ⁴= x ²

el volumen de cada disco será el área de la base   pi.y ⁴  

^{por el diferencial de y (dy) o altura del mismo.}

^{Integrando esta expresión en el intervalo en el que se aplica la revolución de la curva, esto es entre cero y uno, sustituyendo el uno y el cero en la variable y restando ambos tenemos que uno elevado cinco partido por cinco por pi es el volumen de la figura.}