Apuntes de matemáticas

DETERMINANTES

 Definición de determinante de una matriz cuadrada.

   Supongamos una matriz cuadrada A (puede repasar la noción de matriz) de orden n:

  Llamamos determinante de A,  det A,  al número obtenido al sumar todos los diferentes productos de n elementos que se pueden formar con los elementos de dicha matriz, de modo que en cada producto figuren un elemento de cada distinta fila y uno de cada distinta columna, a cada producto se le asigna el signo (+) si la permutación de los subíndices de filas es del mismo orden que la permutación de los subíndices de columnas, y signo (-) si son de distinto orden.

  El alumno puede dar un repaso de la noción de permutación, en caso de necesitarlo.

  Para el determinante de A, suelen emplearse indistintamente las notaciones: det A, |A|. Pasemos a ver ejemplos:

  Para una matriz de orden 2, su determinante se calcula:

 Cada producto tiene que estar formado por un elemento de la primera fila y un elemento de la segunda fila, pero al mismo tiempo tienen que serun elemento de la primera columna y un elemento de la segunda. Sólo hay dos emparejamientos posibles, los que están arriba indicados. En cuanto al signo de cada producto, si los ordenamos siempre según el orden de las filas (12) nos debemos fijar en el orden de las columnas (los segundos índices) de cada agrupación, nosotros lo hemos indicado debajo entre corchetes.

 Como el primer producto representa una permutación par su signo es positivo, en cambio en el segundo es impar y es negativo.

  *  Determinante de una matriz de orden 3: 

   Sea A una matriz de orden 3:

para expresar  |A| hay que considerar todas las permutaciones de (123), son seis:

por lo tanto, este determinante será:

De una manera mnemotécnica podemos recordar que son positivos el producto de los tres elementos de la diagonal principal, y los de los dos "triángulos" en el mismo sentido:

mientras que son negativos los productos de la otra diagonal, y sus respectivos "triángulos":

   14.2  Propiedades de los determinantes

    1.  Para cualquier A, se verifica :   |A| = |^tA|

2. Si una matriz A tiene una fila o columna formada por ceros, entonces  |A| = 0 .
3. Si a los elementos de una fila o columna de la matriz A se multiplica (o divide) por un número k, entonces su determinante queda multiplicado (o dividido) por k.
4. Si en una matriz cuadrada se intercambian entre sí dos filas (o dos columnas), su determinante cambia de signo.
5. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es nulo.
6.  Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es nulo.
7. Si a los elementos de la fila (o columna) i-ésima de un determinante la descomponemos en una suma de h sumandos, el determinante  es igual a la suma de los h determinantes que se obtienen como se ve en el ejemplo siguiente:
   
8.  Si a una fila (o columna) de una matriz dada se le suma una combinación lineal del resto de sus filas (o columnas), su determinante no varía.
9. Para el producto de matrices se tiene:
   |A . B| = |A| . |B|

   14.3  Menor complementario y adjunto.

  Dada una matriz cuadrada de orden n.

 * Menor complementario: 

   Se llama menor complementario del elemento aij , al determinante de la matriz de orden n-1 obtenida al eliminar la fila i-ésima y la columna j-ésima, se le denota como aij.

    Como ejemplo, consideremos la matriz A de orden 3:

por cada uno de sus nueve elementos podemos hallar su menor complementario correspondiente. Aquí indicamos algunos ejemplos de ellos:

  * Adjunto de un elemento:

   Consideremos una matriz cuadrada, por ejemplo la matriz A de orden 3 de arriba, se llama adjunto del elemento aij , y se le representa por Aij al número:

    Es decir,   es igual al menor complementario  aij del elemento pero con el signo cambiado si (i +j) es impar.

   En concreto para la matriz A de orden 3, habrá que cambiar los signos de los menores complementarios de aquellos elementos indicados con (-):

  Si en una matriz cuadrada A son cambiados sus elementos por sus respectivos adjuntos obtenemos la llamada matriz adjunta de A, representada normalmente por A*. Tenga en cuenta que para el cálculo de la matriz inversa de una matriz cuadrada inversible, se utiliza la traspuesta de la adjunta: ^tA* .

  14.4  Cálculo del determinante por los adjuntos.

  El valor del determinante de una matriz cuadrada A, es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus correspondientes adjuntos.  Por ejemplo, para una matriz A, de orden 3:

para calcular el determinante, |A| , podemos considerar una fila (o columna) cualquiera -por ejemplo, la fina 2-, y lo desarrollamos así:

en la práctica para desarrollar el determinante suele elegirse una fila (o columna) que contenga uno o más ceros, con lo cual esos términos son nulos y el cálculo es más sencillo.

  14.5  Algunos ejercicios sobre determinantes.

  Veamos en primer lugar algunos ejercicios resueltos.

   Ejercicio 1:  Utilizando propiedades hallar el determinante de la matriz:

  Solución:  Llamaremos F1 a la fila primera, F2 a la fila segunda, etc. ; y C1 a la columna primera, C2 a la columna segunda, etc. 

  Se utiliza la propiedad 8, es decir, a una fila (o columna) se la puede sumar una combinación del resto sin que el determinante varíe. Esto se hace con el objetivo de dejar en una fila (o columna) varios ceros para después desarrollar el determinante por los adjuntos de esa fila.

  Lo más sencillo es comenzar por una fila (o columna) en la que haya un 1 -en nuestro caso comenzamos por la fila F3-, y operamos de la siguiente forma:

 a) Sumamos a F1:  -2 F3 b) Sumamos a F2:   2 F3 c) Sumamos a F4:   1 F3

  Así conseguimos tres ceros en la columna primera:

ahora desarrollamos el determinante por los elementos de la columna primera (observe que al elemento a31, al 1 en nuestro caso, le corresponde un menor complementario con signo positivo:

y este último determinante le hacemos considerando la columna C2, y:

 a) Sumamos a C1:  1 C2
 b) Sumamos a C3:  6 C2 

 Ejercicio 2:  Utilizando propiedades hallar el determinante de la matriz:

  Solución:  A diferencia del ejemplo anterior en éste no tenemos ningún elemento que sea 1 para poder comenzar. Pero tampoco es un gran inconveniente, pues siempre podemos utilizar la propiedad 8 para transformarlo en un determinante con algún 1, por ejemplo, sumando a F2:  2 F1, conseguimos:

logramos que el elemento (2,1) sea un 1.  A partir de ahí, el proceso no difiere mucho del ejemplo anterior:

con lo que conseguimos tres ceros en la segunda fila, desarrollamos el determinante por los elementos de esta fila, etcétera:

  Ejercicio 3:  Sin desarrollar el determinante demostrar:

 Solución:  Simplemente sumamos C2 a C3:

y ahora las columnas primera y tercera son proporcionales, por tanto el determinante es 0 (propiedad 6).

  Ejercicio 4:  Evaluar el determinante:

  Solución:  Para determinantes con ciertos parámetros (t en nuestro caso) es conveniente manipular para que en una fila (o columna) aparezcan términos iguales conteniendo ese parámetro.  En nuestro caso podemos hacer:

Sumamos a C1 la C2: 
Sumamos a C2 la C3:  

entonces puede factorizarse (t +2) de la primera columna y (t - 2) de la segunda:

finalmente restamos C1 a la C3: 

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  Ejercicios propuestos para el alumno.

  1)  Mediante manipulación de filas y/o columnas hallar los determinantes de cada una de las tres matrices:

 Solución:  |A| = 21, |B| = -11, |C| = 100.

  2)   Mediante manipulación de filas y/o columnas hallar los determinantes de cada una de las tres matrices:

  Solución:  |A| = (t + 2) (t -3) (t -4), |B| = (t + 2)² (t -4), |C| = (t + 2)² (t -4).

   3)   Mediante manipulación de filas y/o columnas hallar los determinantes de cada una de las tres matrices:

  Solución:  |A| = -131, |B| = -55.

 PERMUTACIONES 

 *   Permutaciones:

Se llama permutación de n elementos a cada una de las diferentes ordenaciones  que se pueden hacer con esos elementos.  Ejemplo :

  {a, b, c}  Elementos

  Permutaciones:  (abc), (acb), (bac), (bca), (cab), (cba)    

 El número de permutaciones  de  n elementos es:  n !. En nuestro ejemplo tenemos 3 elementos, y por tanto, la cantidad de permutaciones posibles es 3!, o sea, 6.

  * Inversión:

Dada una permutación, diremos que dos elementos están en inversión cuando su orden difiere del de la permutación principal. 

   Ejemplo:  Consideremos los elementos  (1, 2, 3, 4, 5).

Llamamos  a (12345)  permutación principal,   entonces  en (21345) los elementos 1, 2 están en inversión.

  *  Permutación par e impar:

   Dada una permutación se dice que es de orden par cuando tiene un número par de inversiones.

   Dada una permutación se dice que es de orden impar cuando tiene un número impar de inversiones.

     Ejemplo: Partiendo de la permutación principal (12345)

   (21345) es de orden impar   (una inversión)

    (21354) es de orden par  (dos inversiones)

  A partir de esto es muy interesante si nos dan una cierta permutación, p. ej. (34215), poder decir de cuántas inversiones está formada. 

   El método de hacerlo es el siguiente:  

  Comenzando por la izquierda se van comparando cada elemento con los de su derecha, contando con los dedos de la mano  cada vez que nos encontramos con una inversión:

 ¿ Es inversión 34? No.    ¿32? Sí (1).    ¿31? Sí (2).   ¿35? No.  Y a continuación se continúa con el 4 y los elementos de su izquierda, aparecen otras dos inversiones más (4), después pasamos al 2 con el 1 que sí es inversión (5), el 25 que no lo es, y finalmente el 15 que tampoco lo es. Por tanto, la permutación (34215) está formada de 5 inversiones, y es llamada permutación impar.

  Finalmente, es reseñable el hecho de que si se cambian entre sí dos elementos de una permutación, ésta cambia de orden.

  Por ejempo, ya sabemos que (34215) es de orden impar,  entonces  (34251) es de orden par. Observe que hemos cambiado sólo las posiciones de 1 y 5.

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a_ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(a_ij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a₂₅ será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.


Algunos tipos de matrices

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.

Ejemplo

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.

Ejemplo

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.

Los elementos a_ij con i = j, o sea a_ii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a_ij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Ejemplo

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por A^t, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de A^t , la segunda fila de A es la segunda columna de A^t, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces A^t es de orden n ´ m.

Ejemplo

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A^t, es decir, si a_ij = a_ji " i, j.

Ejemplos

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si a_ij = –a_ji " i, j.

Ejemplos

Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Ejemplos

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Ejemplos

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplos

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Ejemplos

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a_ij =0 " i

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a_ij =0 "j

Trasposición de matrices

Dada una matriz de orden m x n, A = (a_ij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por A^t, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices

1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2. (A^t)^t = A.

Suma y diferencia de matrices

La suma de dos matrices A=(a_ij), B=(b_ij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(s_ij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico s_ij=a_ij+b_ij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

Producto de una matriz por un númeroEl producto de una matriz A = (a_ij) por un número real k es otra matriz B = (b_ij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento b_ij de B se obtiene multiplicando a_ij por k, es decir, b_ij = k·a_ij.
Ejemplo
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)
2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
4. 1·A = A (elemento unidad)

Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m´ n y B dimensión n´ p, la matriz P será de orden m´ p. Es decir:

Ejemplos
Propiedades del producto de matrices

1. A·(B·C) = (A·B)·C
2. El producto de matrices en general no es conmutativo. (Ejemplo)
3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·I_n = I_n·A = A.
4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = I_n. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A^–1 .

 
5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C

Consecuencias de las propiedades

1. Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. (Ejemplo)
2. Si A·B=A·C no implica que B = C. (Ejemplo)
3. En general (A+B)² ¹ A² + B² +2AB,ya que A·B ¹ B·A.
4. En general (A+B)·(A–B) ¹ A²–B², ya que A·B ¹ B·A.

Matrices inversibles
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
Porpiedades de la inversión de matrices

1. La matriz inversa, si existe, es única
2. A^-1A=A·A^-1=I
3. (A·B) ^-1=B^-1A^-1
4. (A^-1) ^-1=A
5. (kA) ^-1=(1/k·A^-1
6. (A^t) ^–1=(A^-1) ^t