AMIGOS PARA SIEMPRE: Apuntes de matemáticas

NÚMEROS COMPLEJOS

Noción de número complejo.

En el Cálculo nos encontramos que ecuaciones como: x² + 4 = 0, no tienen solución en los dominios de R (conjunto de números reales). Un modo de superar esta limitación es definir un super-conjunto C que englobe al conjunto R, pero que abarque también a números más generales, los llamados números complejos, que puedan ser soluciones de ecuaciones como la de arriba.

* Unidad imaginaria: Se define unidad imaginaria, representada por i, como aquel 'número' de C tal que: i²=-1, o también expresado (de forma mnemotécnica):

De esta manera la ecuación x² + 4 = 0, se solucionaría así:

* Número complejo: La forma general (forma binómica) es:

a + bi

es decir, un número complejo está formado por dos números reales, a y b, llamadas:

a: parte real
b: parte imaginaria

por ejemplo: 5 - 7 i, -4 + 8 i, ½ + ¾ i.

2.2 El cuerpo C de los números complejos

En el conjunto C de los números complejos se definen las dos operaciones internas, + y . , cuyo funcionamiento es como sigue:

Suma: se suman partes reales y partes imaginarias por separado, es decir:

Producto: se multiplican según la regla aritmética:

NOTA: Este último resultado puede obtenerse mediante un producto aritmético:

1. (C, +) tiene estructura de grupo abeliano aditivo, donde 0 + 0 i es el elemento neutro, y cualquier elemento, a + bi, tiene su opuesto, el -a - bi.

2. (C, . ) tiene estructura de grupo abeliano aditivo, donde 1 + 0 i es el elemento neutro, y cualquier elemento, a + bi, tiene su inverso, el

3. Además la operación "." es distributiva respecto de la "+", lo que signitica que (C,+,.) represente un cuerpo conmutativo.

2.3 Representación según el diagrama de Argand.

Sea un número complejo cualquiera, z=a+bi, existe una representación sobre un plano (llamado diagrama de Argand), en el que sobre dos ejes perpendiculares -

como se muestra en la figura- se coloca sobre el eje horizontal (eje real) la parte real de z, a, y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria de z, b, se trazan sendas paralelas a los ejes (líneas punteadas en la figura) y su punto de corte es la punta del fasor z.

(NOTA: Se llama fasor a un vector cuyo punto de aplicación es fijo, en el caso de números complejos éste es el origen).

En esta representación es de destacar, sobre el triángulo rectángulo inferior de la figura:

* que a y b son precisamente los catetos de ese triángulo rectángulo.
* que la hipotenusa es la longitud del fasor z, esta longitud se llama "módulo de z", y se la representa por |z|, o también por 'r'.
* que el ángulo que forma z con el eje positivo real (en sentido anti-horario), q, es llamado"argumento de z".

También es destacable las dos relaciones siguientes:

Además llamando r al "módulo" y q al "argumento" de z = a + b i, tenemos:

por lo tanto, el complejo z también puede expresarse:

z = a + b i = r (cos q + i sin q)

El argumento q, a veces suele expresarse como arg(z), y el módulo, |z| ó r, a veces se le representa por mód(z).

Forma trigonométrica:
A esta forma de expresar el número complejo, z = r (cos q + i sin q) se la llama forma trigonométrica. El ángulo q suele expresarse en radianes(seguir el vínculo para repasar este concepto), aunque también puede ser expresado en grados sexagesimales.

Forma polar:
Otra forma de expresar el número complejo z = a + b i es,

, llamada forma polar.

En cuanto a los módulos de números complejos podemos destacar las siguientes propiedades:

en adelante, al módulo del complejo z, |z|, lo expresaremos simplemente por r.

Los argumentos de números complejos poseen las propiedades:

es decir, al multiplicar dos complejos se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos; mientras que al dividir dos complejos se dividen los módulos y se restan los argumentos.

TRES FORMAS DE EXPRESAR UN COMPLEJO

Como ejemplo, consideremos el número complejo z = 4 - 3 i , vamos a expresarlo en su forma trigonométrica y en la forma polar.

Es una buena idea comenzar por representarlo en el diagrama de Argand. A continuación hallamos su módulo:

y su fase, q, que es el arco tangente de b/a, es decir:

si el ángulo nos aparece negativo indica que se evalúa hacia abajo (en rojo en la gráfica), evidentemente también puede expresarse por: q = 360º - 36.87º = 323.13º (en azul) con signo positivo.

Por lo tanto:

Finalmente, en 2.5, veremos otra forma del número complejo, la forma exponencial.

2.4 Conjugado de un número complejo.

Dado un número complejo z = a + b i , se llama complejo conjugado de z,

, al complejo:

que consiste simplemente en cambiar el signo de la parte imaginaria de z. Por ejemplo, el conjugado de z = 5 - 8 i es

= 5 + 8 i. La utilidad de esta definición está en que basándose en que

nos permite simplificar ciertas expresiones , por ejemplo el módulo, r, del número complejo z, puede ser expresado :

o también para el complejo inverso del complejo z = a + b i:

También la parte entera y la parte imaginaria de un número complejo z puede expresarse:

2.5 Forma exponencial de un número complejo

Existe una importante relación entre la función exponencial y las funciones trigonométricas, es la llamada relación de Euler:

para cualquier número real x. Entonces si nosotros tomamos la forma trigonométrica del número complejo:

z = r (cos q + i sin q)

con q expresado en radianes (es imprescindible pues los grados no son números reales), podremos expresar el paréntesis como:

por lo tanto, el número complejo z puede ser expresado como:

que es la llamada forma exponencial de z:

Como ejemplo, pasemos a la forma exponencial el complejo:

lo primero que haremos es representarlo en el plano de Argand:

A continuación hallamos módulo y argumento.

el módulo es:

el argumento según la gráfica es:

NOTA: Al realizar Arctan (-1) con una calculadora nos da -0.7854 radianes, es decir, -p/4, que es el menor ángulo que tiene por tangente -1 (ángulo en rojo en la gráfica), sin embargo nosotros debemos sumarle p a ese ángulo puesto que conocemos que q se encuentra en el cuadrante II y no en el IV.

Por lo tanto, el número complejo z en su forma exponencial es:

2.6 Producto y cociente de números complejos.

Del producto de números complejos ya hemos hablado en 2.2, pero ahora vamos a considerar que los complejos los tenemos en su forma exponencial, que es la forma idónea para operar:

Producto: se multiplican los módulos y se suman los exponentes de la exponencial es decir:

Cociente: se dividen los módulos y se restan los exponentes de la exponencial es decir:

En realidad el 'cociente' no es más que un producto de un complejo por el inverso del otro, es decir:

Como ejemplos de producto y cociente, consideremos dos números complejos:

2.7 Elevación a una potencia entera de números complejos.

Dado un número complejo z = a + b i , elevarlo a un potencia entera n, equivale a multiplicarlo por sí mismo n veces. Esto se podría hacer aritméticamente, como ya hemos dicho en 2.2, aunque el proceso pueda llegar a ser muy laborioso. Por el contrario operar con el complejo en su forma exponencial es una tarea muy simple:

Se eleva el módulo a n y el argumento se multiplica por n, por ejemplo:

Claro que si el número complejo estuviera en su forma binómica deberíamos pasarlo a la forma exponencial, tal como lo hemos hecho en un ejemplo anterior, antes de elevarlo a la potencia

2.8 Raíces n-ésimas de un número complejo.

Dado un complejo

, se llaman raíces n-ésimas de z a los números complejos w que cumplen wⁿ= z. Es fácil comprobar que hay siempre n complejos que cumplen esa condición. Tradicionalmente a esos n complejos se les ha venido expresando como:

Estas raíces n-ésimas se hallan por la expresión general:

Como casos especiales, tenemos las raíces cuadradas (dos) y las raíces cúbicas (tres):

* Raíces cuadradas:

* Raíces cúbicas:

Como un ejemplo, las tres raíces cúbicas de z = 4 e²ⁱ son:

Las raíces n-ésimas de la unidad: Las raíces n-ésimas de la unidad son muy notorias, como veremos aquí. Se trata de los n complejos, que elevados a la potencia n dan 1, o sea: 1 + 0 i. Estos suelen expresarse como:

y se obtienen de la fórmula general:

Entre sus propiedades son destacables las dos siguientes:

1) Si dibujamos una circunferencia de radio 1, y sobre ella trazamos los n fasores

, éstos dividen al circulo en n partes iguales, o en otras palabras si unimos las puntas de los n fasores obtenemos un polígono regular de n lados iguales inscrito en un circulo de radio 1.

Por ejemplo, las tres raíces cúbicas de 1 son:

que trazadas sobre una circunferencia de radio unidad:

Si unimos las tres puntas de estos fasores obtenemos un triángulo isósceles inscrito en el circulo.

2) Para hallar las raíces n-ésimas de un número complejo z (que no sea el 1+0i, podemos operar así:

a) Hallamos una raíz n-ésima de z, por ejemplo la zo:

b) Entonces las n-1 raíces n-ésimas restantes de z se obtienen multiplicando esta raíz por las n raíces n-ésimasde la unidad:

2.9 Logaritmo de un número complejo.

Dado un número complejo

, el logaritmo neperiano (en C sólo tienen sentido los logaritmos neperianos) de z viene dado por:

Log z = ln r + (q + 2kp) i

En realidad hay infinitos valores de Log z , pues k puede ser 0, 1, 2... (se dice que en C la función logaritmo neperiano es multivaluada), sin embargo se habla del "valor principal" de Log z como aquél valor correspondiente a k = 0. Es decir, el valor principal de Log z es:

Log z = ln r + q i

2.10 Expresiones complejas de las funciones circulares.

A partir de la relación de Euler ya citada en 2.5:

Se construyen otras relaciones importantes, en primer lugar sustituyendo x por (-x), y teniendo en cuenta que:

sen(-x) = - sen xcos(-x) = cos x

podemos expresar:

ahora restando y sucesivamente sumando estas dos expresiones obtenemos:

por lo tanto, teniendo en cuenta que el inverso de i, 1/i, es (-i):

que son las expresiones de las funciones trigonométricas en C.

2.11 Fórmula de Moivre

Se llama fórmula de Moivre (en realidad se debería llamar fórmula de "De Moivre"

), a una expresión muy sencilla de obtener utilizando complejos:

Una expresión que es muy útil en cálculo. Como ejemplo de aplicación de esta fórmula vamos a obtener las expresiones trigonométricas del seno y coseno del ángulo doble:

Consideremos la fórmula de Moivre para n=2:

(cos q + i sen q)² = cos 2q + i sen 2q

para cualquier ángulo q (en radianes) comprendido entre 0 y 2p. Si desarrollamos esta expresión nos queda:

cos² q + i 2 sen q cos q - sen² q = cos 2q + i sen 2q

es decir,

cos² q - sen² q - cos 2q = i (sen 2q - 2 sen q cos q)

para que se cumpla la igualdad ambos miembros deben ser 0, por tanto:

2.12 Algunos ejercicios.

En primer lugar veamos algunos ejercicios resueltos:

Ejercicio 1: Hallar en C las soluciones de la ecuación z⁴ + 16 = 0.

Solución: En primer lugar, podemos expresar la ecuación en la forma:

z⁴ = -16

con lo que la solución son las cuatro

raíces cuartas del número complejo -16 + 0 i. Representamos gráficamente este complejo, y podemos observar que su módulo y argumento son:

r = 16q = p

por lo tanto el número complejo -16+0 i puede ser expresado como

. Entonces las soluciones son sus raíces cuartas:

Ejercicio 2: Hallar en C los valores de a que verifican la relación cos a = 3.

Solución: Tomamos la relación que en 2.10 hemos obtenido para el coseno:

la igualamos al número 3, y resolvemos la ecuación en a:

multiplicamos por

que es una ecuación de segundo grado, haciendo

= t:

t² - 6 t + 1 = 0

cuyas soluciones son:

finalmente tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros:

Ejercicio 3: Obtener y representar las tres soluciones de la ecuación:

z³ + 8 i = 0

Solución: Si expresamos la ecuación en la forma z³ = - 8 i, tendremos que hallar las tres raíces cúbicas del complejo - 8 i, el cual en forma exponencial es:

por lo tanto, estas tres raíces son números complejos cuyos módulos y argumentos son:

es decir, son los tres complejos:

al representarlos en el diagrama de Argand, nos aparecen equidistantes en el circulo.

Ejercicio 4: Hallar los números complejos cuyo cubo sea igual al cuadrado de su conjugado.

Solución: A estos complejos los expresamos en su forma

, es fácil comprobar, entonces, la forma de su complejo conjugado (por ejemplo gráficamente):

se comprueba que el complejo conjugado es:

por tanto, podemos establecer la ecuación:

es decir,

aquí el 2kq del argumento hay que ponerlo debido a la indeterminación en el número de vueltas para los ángulos (esto siempre sucederá en ecuaciones en las que intervenga q ). Finalmente, concluimos que r es 1 (el módulo del miembro de la derecha es 1), y (-5q +2kp) es 0 (el argumento de la izquierda es 0).