ÁNGULOS EN RADIANES
Se define el radian como el ángulo que en una circunferencia subtiende respecto del centro O un arco MN con igual longitud que el radio r.
| Si la longitud s del arco MN coincide con la longitud de r , entonces el ángulo subtendido desde el centro O corresponde a 1 radian. |
En general, si tenemos una circunferencia de radio r, y un cierto ángulo a subtendiendo un arco de longitud s, el cociente s/r nos da el valor de ese ángulo en radianes.
Por otra parte, nosotros conocemos que la mitad de la circunferencia corresponde a un arco de longitud pr, mitad que equivale a un ángulo de 180° , lo cual nos permite hacer transformaciones entre radianes y ángulos:
Por ejemplo, ¿ cuántos radianes son 30° ?.
Respuesta: considerando la relación
tenemos que x = p/6 radianes.
Otro ejemplo, ¿ cuántos grados son 0,357 radianes ?.
Respuesta: considerando la relación
tenemos que x = 20,45° .
* Es interesante también recordar que 1 radián son 180°/p , es decir, 57,29... grados. Mientras que 1 grado son p/180° , o sea, 0,1745... radianes.
* PROPIEDADES INMEDIATAS
* Según esta definición de radian, puede establecerse la siguiente relación entre un ángulo a y el arco de circunferencia subtendido:
s = a . r
es decir, la longitud del arco s es el producto del ángulo a (en radianes) por el radio del circulo.
* Algunas equivalencias entre ángulos en grados y en radianes:
| Grádos | Radian. |
| 30° | p/6 |
| 60° | p/3 |
| 90° | p/2 |
| 120° | 2p/3 |
| 180° | p |
| 270° | 3p/2 |
| 360° | 2p |
NOTA: Es muy práctico conocer "de memoria" la tabla presente, pues con ello ganamos en "velocidad de cálculo". Algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Queremos conocer rápidamente a qué equivalen 75° , entonces:
75° = 60° + 15° -> p/3 + (1/2) p/6 -> 5p/12
Ejemplo 2: Queremos conocer rápidamente a qué equivalen 265° , entonces:
265° = 270° - 5° -> 3p/2 - (1/6) p/6 -> 53p/36
* La circunferencia trigonométrica.
Se trata de una circunferencia imaginaria de radio r = 1, lo cual conduce a que la relación s = a . r, se reduzca a:
s = a
Esta circunferencia además facilita que podamos trazar fácilmente sobre ella los valores del seno, coseno y tangente de un determinado ángulo en radianes:
Si tenemos un ángulo a en una circunferencia trigonométrica como la de la figura, la longitud del cateto vertical (marcado en rojo) será el valor de sin a, puesto que la hipotenusa vale 1. Análogamente, la longitud del cateto horizontal (marcado en azul) es el valor de cos a.
En el presente ejemplo tanto el seno como el coseno son positivos, pues se encuentran o bien arriba del eje horizontal, o bien a la derecha del vertical. Pero pueden darse otros casos:
El ángulo de la figura 1 se halla en el cuadrante II y tiene como seno un valor positivo (en azul), el coseno (en rojo) tiene un valor negativo. En la figura 2, el ángulo se halla en el cuadrante III y ambos valores son negativos.
Nosotros podemos trazar este tipo de circunferencias trigonométricas para hacer diversas consideraciones sobre senos y cosenos de ciertos ángulos.
Por ejemplo:
En la figura 1 tenemos dos ángulos que se diferencia en p/2, sean a, b, con el mayor siendo b = a + p/2, entonces como puede apreciarse en la circunferencia trigonométrica los dos triángulos que aparecen sobre ella son iguales, pero lo que es el seno para el ángulo pequeño es el coseno (con signo negativo) para el grande, y lo que es el coseno para el pequeño es es seno para el grande. Por tanto podemos escribir:
sin (a + p/2) = cos a cos (a + p/2) = - sin a
En la figura 2 tenemos dos ángulos cuya suma es p (llamados ángulos suplementarios), sean a, b, con el mayor siendo b = p - a, entonces se puede apreciar que ambos senos coinciden, mientras que los cosenos tienen la misma longitud pero signos opuestos. Es decir:
sin (p - a ) = sin a cos ( p - a ) = - cos a
El alumno deberá acostumbrarse a manejar estas relaciones entre senos y cosenos de ángulos ayudándose de la circunferencia trigonométrica.
* Un caso especial: la tangente.
También podemos utilizar la circunferencia trigonométrica para hacer evaluaciones de tangentes de ángulos, aunque en este caso puede ser suficiente la consideración de que la tangente es el cociente de seno entre coseno.
| Tangente de un ángulo que se halle en el cuadrante I.. |
Si nos fijamos en la circunferencia de arriba, para el ángulo a tenemos que su tangente es la longitud del segmento marcado en verde, puesto que sabemos que: tg a = a/b, es decir, seno entre coseno, por lo tanto según el teorema de Tales aplicado a los triángulos semejantes:
ahora bien, la tangente es la línea verde de la figura de arriba que al estar sobre el eje horizontal es positiva, como efectivamente tiene que ser pues a/b es una cantidad positiva en el cuadrante I. Pero hay que tener cuidado con lo que sucede en los cuadrantes II y III. Veamos:
| La tangente de un ángulo que se halle en el cuadrante II debe considerarse negativa. |
Para estos casos la línea verde nos da el valor de la tangente (sin el signo), sin embargo hay que considerar que el sentido de la tangente puede diferir del de a/b. En el ejemplo de arriba, para un ángulo en el cuadrante II, la línea verde nos da el valor de la tangente sin embargo ésta esnegativa, como así lo indica a/b. Una anomalía similar nos ocurre con los ángulos del cuadrante III, cuya línea de la tangente la tenemos que trazar hacia abajo y sin embargo esa tangente es positiva. En el cuadrante IV no hay esa anomalía.
* EJERCICIOS PARA EL ALUMNO
1) Dibuje una circunferencia trigonométrica con dos ángulos a y b, siendo a pequeño y siendo b = p/2 - a (dos ángulos complementarios). Establezca las relaciones entre senos y cosenos de los ángulos complementarios.
2) Considere una circunferencia trigonométrica con dos ángulos a y b, siendo a pequeño y siendo b = a + p . Establezca las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos.
3) Sean dos ángulos a y b, siendo a pequeño y siendo b = 3p/2 -a . Establezca con la ayuda de la circunferencia trigonométrica las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos.
4) Sean dos ángulos a y b, siendo a pequeño y siendo b = -a (también puede expresarse b = 2p - a) . Establezca con la ayuda de la circunferencia trigonométrica las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos.
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:
Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.
 Despejamos x, también simplificamos.  Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora: x = 0.6632 radianes |
 Despejamos x.  Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora: x = 137.5099o |
Sabemos como medir la amplitud de un ángulo mediante grados, que además podemos dividir en los submúltiplos minutos y segundos.
Pero hay otra manera de medir ángulos. Se puede hacer mediante la unidad a la que llaman radián.
Un radián es el ángulo que se consigue cuando se toma el radio y se enrolla sobre el círculo. Veamos un dibujo para entenderlo mejor
Así que un radián marca un ángulo que tiene de longitud de circunferencia una largada igual al radio. Así pues, se tiene que un ángulo completo tiene 2π radianes, un ángulo llano tiene π radianes, y un ángulo recto tiene π2 radianes.
Esto sale de saber que la longitud total de una circunferencia es:
donde r es el radio de dicha circunferencia.
Por lo tanto la vuelta completa tiene 2π veces la longitud del radio, pero una vuelta completa eran 360∘ de manera que, ya tenemos la manera de pasar de una medida a otra: 2⋅π radianes =360∘ (una vuelta completa).
De manera que los factores de conversión que usaremos para pasar de una a otra serán:
- para pasar de grados a radianes
- para pasar de radianes a grados
Ejemplo
Escribimos 270∘ en radianes:
Cogiendo el factor de conversión de grados a radianes tenemos
Cuando expresamos las cantidades en radianes, se acostumbra a dejar el número π indicado.
Si se quiere dejarlo en cifras, se sustituirá dicho símbolo por la aproximación 3.1416 .
Es decir, en este ejemplo:
Ejemplo
Escribimos 45∘ en radianes:
Ejemplo
Escribimos ahora 3π radianes en grados:
Como antes cogemos el factor de conversión, pero ahora el que nos pasa de radianes a grados y obtenemos:
Ejemplo
Escribimos 6π5 radianes en grados:
Conversión de Radianes a Grados y Grados a Radianes
Oir Lecc.
Cómo vimos anteriormente en la conversión de Grados a Minutos y Segundos, en la conversión de Radianes a Grados se aplica el mismo procedimiento.
Veamos un ejemplo:
1. Lo describimos de la siguiente manera:
Lo que se hizo en éste primer paso, fue convertir los radianes a grados, multiplicando los ( 5 ¶ x 180 = 2827.4334) recordemos que se multiplica la función ¶ en la calculadora o ya que sabemos que es equivalente a 3.1415927. Luego multiplicamos los (22 x ¶ = 69.115038).
Ahora dividimos los resultados: 2827.4334 ÷ 69.115038, teniendo como respuesta 40.909091.
No olvidar las unidades equivalentes. Aquí contamos con los 40 ° Grados.
2. Luego utilizando los 40.909091 empezamos a convertirlos en Grados, Minutos y Segundos. Así:
Seleccionamos la parte decimal .909091 ° x 60 ' = 54.54 '
Tenemos 54 ' Minutos
3. Teniendo los 54.54 ', nuevamente seleccionamos la parte decimal para pasarlos a 0.54 ' x 60 '' = 32.4 '' quedando 32 '' Segundos
4. Cómo respuesta tenemos R/ 40° 54' 32 ''
CONVERSIONES DE GRADOS A RADIANES
Ahora trabajaremos otro ejemplo diferente:
a) Convertir 38 ° 15' 16 '' a Radianes.
1. Primero, pasaremos las cantidades a Grados, contando ya con los 38°.
2. Pasamos los 16'' a Minutos,
Ahora sumamos los 0.2666 minutos con los 15 minutos que ya se tienen, Obteniendo 15.2666 minutos.
3. Ahora trabajamos con los 15.2666 seleccionando los decimales para convertirlos en grados.
Sumamos los 38 ° + 0.2544 °, quedando 38.2544 °.
4. Ya teniendo las cantidades en Grados, procedemos a pasar los 38.2544 ° a Radianes.
La respuesta es 0.6676 Radianes, pero tenemos que pasarlo en función de ¶ Radianes, así que los 0.6676 Radianes lo dividimos por el valor de ¶.
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