AMIGOS PARA SIEMPRE: Apuntes de matemáticas

Índice

(Este mismo índice aparece en el marco de la izquierda para facilitar consultas sucesivas)

Otras formas de representar números complejos

	Parte real
	Parte imaginaria
	Módulo
	Conjugado
	Opuesto
	Suma de complejos

Forma polar o módulo-argumento:

	Argumento
	Argumento principal
	Producto de complejos
	Fórmula de Moivre
	Cambio de forma binómica a polar y viceversa

Forma exponencial:

Fórmula de Euler

Raíces n-ésimas de un número complejo

Volver a página principal

Definición

Se puede considerar C como el conjunto de los pares ordenados de números reales z=(x,y) con las siguientes operaciones:

Con estas operaciones C tiene la estructura de cuerpo conmutativo

	Elemento neutro:
	Elemento opuesto:
	Elemento unidad:
	Elemento inverso: , siempre que

Nótese que el complejo (0,1) verifica

, es decir,

(link a explicación de extensión de R añadiendo raices de ecuaciones algebraicas

)

	El cuerpo de los complejos es lo que se denomina un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuación algebraica (polinómica) con coeficientes complejos tiene siempre al menos una raíz compleja (y por tanto las tiene todas).
	El cuerpo de los complejos no es un cuerpo ordenado. No puede darse en C una relación de orden total que respete las operaciones de suma y producto. No tiene por tanto sentido comparar dos números complejos en la manera en que estamos acostumbrados a hacer con los reales.

Otras formas de representar los números complejos

1. Forma binómica.

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a

, de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar

(y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.

Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores

su suma es

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si

, entonces el módulo de

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si

, entonces el conjugado de

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

Es fácil ver que se cumple,

, por tanto podemos expresar el inverso de un número

en la forma

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

2. Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde

es el módulo de

, y donde q es un argumento de

, esto es, q es un ángulo tal que

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores qque verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si

es un valor particular del argumento de

, entonces

Se denomina argumento principal al único valor

tal que

, y se denota

Se verifica entonces que

Dos números complejos

, representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales

, y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir,

, con

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si

, y

, entonces

Del mismo modo se puede calcular el cociente de un complejo por otro no nulo sin más que dividir los módulos y restar los argumentos:

siempre que

Las fórmulas anteriores pueden generalizarse para el producto de varios complejos, así, si

, para

, entonces

Finalmente, en el caso en que todos los factores sean iguales se obtiene la fórmula de Moivre:

Esta fórmula es también válida para exponentes enteros negativos, siempre que

En particular tenemos otra expresión para el inverso de un número no nulo,

(Aquí puedes ver una aplicación de la fórmula de Moivre)

Cambio de forma binómica a polar y viceversa:

Cambio de binómica a polar	Cambio de polar a binómica

3. Forma exponencial

Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta la conocida como fórmula de Euler:

para

Esto nos permite escribir un número complejo en la forma siguiente, denominada forma exponencial:

Esta nueva forma es especialmente cómoda para expresar productos y cocientes ya que sólo hay que tener en cuenta las propiedades de la función exponencial (para multiplicar se suman exponentes y para dividir se restan). En particular, para potencias con exponentes enteros se tiene

Esto nos permite dar una nueva expresión para el inverso de un complejo no nulo en la forma

Raíces n-ésimas de un número complejo

Estudiemos ahora las potencias con exponente racional de un número complejo. Dado

, sea

, para un número natural p.

, puesto que

, es decir,

. Por tanto,

, y además,

, o sea,

, para

De todos estos valores sólo p consecutivos son distintos, el resto resulta ser repetición sucesiva de valores ya obtenidos. Por tanto, un número complejo tiene siempre p raíces p-ésimas distintas

, para

Se puede observar que las p raíces pésimas tienen todas el mismo módulo, y sus argumentos se diferencian en

cada uno del siguiente, esto es, las raíces p-ésimas se encuentran en los vértices de un polígono regular de p lados incrito en la circunferencia de centro 0 y radio