Las funciones y = sin x, y = cos x, y = tg x.
Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo.
Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) "c". Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es decir:
El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa.
La tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.
El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa.
La tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.
* Algunas observaciones y propiedades.
- En Cálculo los ángulos suelen expresarse en radianes más bien que en grados. Siga el enlace si no domina bien el concepto de "radian".
- Como c > a y también c > b, se tiene que el seno y el coseno no pueden supera al valor 1; cosa que no sucede con la tangente. Por otra parte, lo valores de a y b pueden ser positivos o negativos:
En la figura 1, tanto "a" como "b" son positivos ("a" se halla a la derecha, "b" está arriba). En la figura 2, "a" es positivo, y "b" es negativo. En la figura 3, ambos son negativos. En la figura 4, "a" es negativo y "b" positivo.
- Por tanto, los valores de seno, coseno y tangente de un cierto ángulo pueden ser positivos o negativos. Para el caso del seno y coseno estos valores están comprendidos entre -1 y +1. Por contra, la tangente de un ángulo puede tener cualquier valor.
- Para cualquier ángulo se cumple la relación fundamental:
lo cual nos permite obtener otras relaciones entre ellos, tales como:
- La circunferencia trigonométrica. Se trata de una circunferencia de radio R = 1 que permite establecer relaciones entre seno y coseno de un determinado ángulo, o entre estos y la tangente. Seguir el vínculo para conocer más sobre esta circunferencia.
* La función seno.
Por y = sin x (o castellanizado y = sen x ) se entiende la función con valores de x comprendidos entre -
y + , teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes. Teniéndose en cuenta que si x es superior a 2
(360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta - imagínese un punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al llegar al punto de partida.
y + , teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes. Teniéndose en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta - imagínese un punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al llegar al punto de partida.
Por otra parte, se considera a x positivo cuando partiendo de las "3 horas" -siga imaginando el punto dando vueltas como si fuera un reloj- ha girado en sentido contrario al normal del reloj, y se considera a x negativo cuando partiendo de esa misma posición hubiera girado en sentido del reloj.
En la figura 1 vemos un ángulo positivo de x radianes, mientras que en la figura 2 se trata de una ángulo negativo de x radianes. Por ejemplo elx de las figuras de arriba podría ser un radian, por supuesto en Matemáticas se considera que:
1 + 2equivale a 1 radian, 1 + 4 equivale a 1, 1 + 6 equivale a 1, .....
2- 1 equivale a - 1, 4- 1 equivale a -1, 6- 1 equivale a -1, .....
equivale a 1 radian, 1 + 4 equivale a 1, 1 + 6 equivale a 1, .....2
- 1 equivale a - 1, 4- 1 equivale a -1, 6- 1 equivale a -1, .....
En definitiva, x + 2 k (siendo k un número entero) es equivalente a x, y por tanto se tiene que: sin x = sin (x + 2 k ) .
(siendo k un número entero) es equivalente a x, y por tanto se tiene que: sin x = sin (x + 2 k ) .
* Gráfica de la función y = sin x.
Observe cómo la función y = sin x es positiva en el intervalo [0, ], y es negativa en el intervalo [, 2], asimismo se anula en los puntosx=0, x=, x=2.
], y es negativa en el intervalo [, 2], asimismo se anula en los puntosx=0, x=, x=2.
* La función coseno.
Por y = cos x se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes el coseno del ángulo xradianes. También hay que tener en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados) es considerado un ángulo superior a una vuelta, como hemos dicho anteriormente para el caso del seno.
y + , teniendo como imágenes el coseno del ángulo xradianes. También hay que tener en cuenta que si x es superior a 2 (360 grados) es considerado un ángulo superior a una vuelta, como hemos dicho anteriormente para el caso del seno.
* Gráfica de la función y = cos x.
Observe cómo la función y = cos x es positiva en los intervalos [0, /2] y [3 /2, 2 ], y es negativa en el intervalo [/2, 3/2], asimismo se anula en los puntos x=/2, x=3/2.
/2] y [3 /2, 2 ], y es negativa en el intervalo [/2, 3/2], asimismo se anula en los puntos x=/2, x=3/2.
* La función tangente.
Por y = tg x (también denotado tan x) se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y + , teniendo como imágenes la tangente del ángulo x radianes. No obstante, esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades) en los puntos x = k /2, para k entero (positivo o negativo).
y + , teniendo como imágenes la tangente del ángulo x radianes. No obstante, esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades) en los puntos x = k /2, para k entero (positivo o negativo).
* Gráfica de la función y = tg x.
Observe cómo la función y = tg x es positiva en el intervalo [0, /2], y es negativa en el intervalo [-/2, 0], se anula en los puntos x=0, x=,x=2... (al igual que el seno). En los punto x = k /2 tiene un tipo específico de discontinuidad: tendiendo hacia - por la derecha de ellos, y tendiendo hacia + por la izquierda.
/2], y es negativa en el intervalo [-/2, 0], se anula en los puntos x=0, x=,x=2... (al igual que el seno). En los punto x = k /2 tiene un tipo específico de discontinuidad: tendiendo hacia - por la derecha de ellos, y tendiendo hacia + por la izquierda.Concepto de función trigonométrica
Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.
La función seno
Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.
Gráfica de la función seno.
La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.
La función coseno
La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.
Gráfica de la función coseno.
La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.
La función tangente
Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.
Gráfica de la función tangente.
La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.
Propiedades de las funciones trigonométricas
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:
- Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.
- Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
- Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
- Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
Funciones circulares recíprocas
Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente:
- La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x.
- La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x.
- La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.
Las dos funciones trigonometrícas básicas son: seno (que ya hemos estudiado), y coseno. Tomando proporciones y valores inversos de estas funciones, podemos obtener otras cuatro funciones, llamadas tangente, secante, cosecante, y cotangente.
Coseno
t,
sen t,
se definió como la coordenada y una marca en la rueda. El coseno de un número real
t,
representada con
cos t,
se define casi de la misma manera, excepto que esta vez, usamos la coodenada
x
de la marca en la rueda. (Vea la figura).
cos t
es definida por la coordenada
x
de la abscisa del punto
P
en la rueda.
P
en el diagrama anterior son
(cos t, sen t),
y que la distancia de
P
al punto de origen es 1 unidad. De la formula para la distacia en el capitulo 8 de Cálculo Aplicado al Mundo Real o capitulo 15 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real, tenemos:- Cuadrado de la distancia de
P
a
(0, 0) = 1
(sen t)2 + (cos t)2 = 1
La ecución se puede expresar como
sen2t + cos2t = 1,
Esta ecuación es una de las relaciones importantes entre las funciones seno y coseno.
| Identidad trigonométrica fundamental
sen2t + cos2t = 1
|
Ahora vemos la gráfica de la función coseno. La gráfica, como se podría esperar, es idéntica a la gráfica de la función seno, excepto que está desplazada por un "desplazamiento de fase" (vea la figura).
Esto da el siguiente nuevo par de identidades.
| Nuevas relaciones entre seno y coseno Se puede obtener la curva cosenoide desplazando la cueva senoide hacia la izquierda, una distancia igual a
π//2.
Por lo contrario, se puede obtener la cueva senoide de la curva cosenoide desplazandola
π//2
dos unidades a la derecha.
cos t = sen(t + π//2)
sen t = cos(t − π//2)
Formulación alternativa También se puede obtener la cueva cosenoide invirtiendo primero la cuerva senoide de manera vertical (sustituyendo
t
por
−t
) y desplazándola hacia la derecha una distancia igual a
π//2.
Con esto obtenemos dos fórmulas alternativas (que son más fáciles de recordar):
cos t = sen(π//2 − t)
sen t = cos(π//2 − t)
|
Pregunta
Ya que se puede formular la función coseno en términos de la función seno, ¿para qué se necesita la función coseno?
Ya que se puede formular la función coseno en términos de la función seno, ¿para qué se necesita la función coseno?
Respuesta
Desde el punto de vista tecnico, para nada; no se necesita la función coseno, y nos podemos arreglar sólo con la función seno. Por otra parte, conviene tener a la mano la función coseno porque comienza en el punto máximo y no en cero. Estas dos funciones, y sus relaciones, desempeñan papeles importantes e las matemáticas.
Desde el punto de vista tecnico, para nada; no se necesita la función coseno, y nos podemos arreglar sólo con la función seno. Por otra parte, conviene tener a la mano la función coseno porque comienza en el punto máximo y no en cero. Estas dos funciones, y sus relaciones, desempeñan papeles importantes e las matemáticas.
La función coseno en general (Curva general de coseno) Observa que el punto base está en el punto máximo de la cuerva. Todas las constantes tienen el mismo significado en la cueva senoide en general:
A
es la amplitud (la altura de cada punto máximo sobre la línea base).
C
es el desplazamiento vertical (la altura de la línea base).
P
es el periodo o longitud de onda (la longitud de cada ciclo).
ω
es la frecuencia angular, y esta definida por
ω = 2π//P
α
es el desplazamiento de fase (el desplazamiento horizontal del punto de base; donde la curva alcanza su máximo) |
Ejemplo 1 Flujo de caja en acciones
+15%
de los activos totales, mientras que los mínimos aproximados fueron
−10%
de los activos totales.*(a) Represente este flujo de efectivo con una función coseno del tiempo
t
en años, en la que
t = 0
represente a 1955.(b) Convierta el resultado de la parte (a) en un modelo con la función seno.
* Fuente: Investment Company Institute/The New York Times, 2 de febrero de 1997. p. F8.
Solución
(a) La representación del coseno se parece a la del seno; buscamos una función de la forma
P(t) = Acos[ω(t − α)] + C.
A
y desplazamiento
C:
Ya que el flujo de efectivo fluctúa entre
−10%
y
+15%,
podemos expresar esto como una fluctuación de
A = 12.5,
respecto al promedio
C = 2.5.
P:
Según el enunciado,
P = 40.
ω:
Esto se determina con la formula
ω = 2π//P = 2π//40 = π//20 ≈ 0.157.
El punto base está en el punto máximo de la curva, y el dato es el flujo de caja que estaba en un punto máximo cunado
t = 0.
En consecuencia, el punto base está en
t = 0,
y por lo que
α = 0.
Al armar el modelo se obtiene
P(t) = Acos[ω(t − α)] + C
= 12.5cos(0.157t) + 2.5,
t
es el tiempo en años.
(b) Para pasar de una representación con coseno a una con seno se puede usar una de las ecuaciones antes dadas. Aquí, usemos la fórmula
cos x = sen(x + π//2).
En consecuencia,
P(t) = 12.5cos(0.157t) + 2.5
= 12.5sen(0.157t + π//2) + 2.5.
Las demás funciones trigonométricas
Como mencionamos anteriormente, podemos usar razones y recíprocas del seno y el coseno para obtener cuatro nuevas funciones con su propio nombre. Que son:
Tangente, Cotangente, Secante, y Cosecante
|
Ejemplo 2 
y = secx
para
−2π/≤x≤2π/
Solución
Donde
sec x = 1/cos x,
podemos entrar esta función como
Y1 = 1/cos(x).
−2π/≤x≤2π/,
y
−7≤y≤7.
Aquí está la gráfica que se obtiene.
Pregunta
¿Qué hacen aquí las líneas verticales?
¿Qué hacen aquí las líneas verticales?
Ya que definimos la función secante como
secx = 1/cos x,
sabemos que no se define cuando el denominador es cero. Es decir, cuando
cos x = 0.
cos x,
encontramos que esto ocurre cuando
x = ±π//2, ±3π//2, ±5π//2, ...
x
tiene estos valores,
sec x
llega a ser muy grande numéricamente, pero cambia de signo cuando cruzamos estos valores, causando la calculadora gráfica hacer repentinos saltos de grandes valores negativos de y a grandes valores positivos. Por lo tanto, las líneas verticales son asíntotas.
Si has estudiado la sección en límites en el capítulo 3 de Cálculo Aolicado al Mundo Real, o capítulo 10 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aolicado al Mundo Real, reconocerás este fenómeno en términos de límites; Por ejemplo,
x
π//2−
sec x = ∞
x
π//2+
sec x = − ∞
Antes de seguir...
Aquí están las graficas de las cuatro funciones. Podrías intentar reproducirlas y pensar sobre las asíntotas
tan x = sen x/cos x
cotan ;x = cos x/sen x
sec x = 1/cos x
cosec x = 1/sen x
Las funciones trigonométricas como proporciones en un triángulo rectángulo
Volvamos a la figura que define el seno y el coseno, pero esta vez, pensemos de estas dos cantidades como longitudes de los lados de un triángulo rectángulo:
También pensamos en la cantidad t como una medida del ángulo que se muestra en lugar de la longitud de un arco. Mirando la figura, nos encontramos con que
sen t =
longitud del lado opuesto del ángulo
t =
| ||||||
cos t =
longitud del lado adyacente al ángulo
t =
|
tan t =
|
Esto nos da las seis fórmulas siguientes
Las funciones trigonométricas como proporciones en un triángulo rectángulo
 |  | ||||||
sen t =
coordenada
y
del punto
P
|
sen t =
| ||||||
cos t =
coordenada
x
del punto
P
|
cos t =
| ||||||
tan t =
|
tan t =
| ||||||
cotan t =
|
cotan t =
| ||||||
sec t =
|
sec t =
| ||||||
cosec t =
|
cosec t =
|
Función tangente
f(x) = tg x
Dominio: 
Recorrido: 
Continuidad: Continua en 
Período: 
Impar: tg(−x) = −tg x
[1, ∞)
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