Apuntes de matemáticas

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN R³ 

 Introducción.

   En este tema vamos a considerar vectores en el espacio. Un vector  une dos puntos del espacio. Por ejemplo si  une los dos puntos A y B, entonces tiene su termino en el  A(1,1,1) y su punta de flecha en B(2,4,6). En este caso las coordenadas o componentes de  son (1,3,5) - se han restado las coordenadas de B menos las de A-.

   El asunto es que un vector tiene cierta dirección, sentido y módulo, pero dos vectores con las mismas dirección, sentido y módulo se consideran iguales. Por lo tanto, un vector puede colocarse en cualquier lugar de su línea de aplicación, o incluso puede desplazarse paralelamente a su eje sin que el vector varíe. De cualquier forma, si representamos un vector en un sistema de ejes cartesianos OXYZ, intentaremos dibujarlo siempre con su terminación en el orígen de coordenadas O(0,0,0).

   Dado un vector   en el espacio euclídeo,  así dibujado quedan claras cuáles son sus coordenadas:

   *   Producto escalar de dos vectores

  Dados dos vectores  utilizaremos el producto escalar:

llamado "producto escalar canónico".

   *  Norma o módulo de un vector.

  Dado un vector   en el espacio euclídeo se llama norma (o módulo) de  a:

   (geométricamente la norma o módulo es la longitud del vector)

   *  Ángulo entre dos vectores.

  Dados dos vectores   el ángulo a  entre ellos es:

   Conocido este ángulo y los módulos también podemos expresar el producto escalar de dos vectores:

  - En el caso de dos vectores ortogonales (perpendiculares entre sí), , tenemos que su producto escalar es nulo:

  *   Base canónica

  Consideraremos la base canónica formada por los vectores i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1).  Estos tres vectores son linealmente independientes y además son mutuamente ortogonales.

i, j, k forman la base canónica

  Dado un vector   en el espacio,  se tiene:

 son los llamados cosenos directores del vector . Geométricamente representan a los cosenos de los ángulos que el vector  forma respectivamente con el eje OX, con el eje OY y con el eje OZ.

  Como la norma de un vector coincide con su módulo (su longitud euclídea) a partir de ahora emplearemos la notación  en lugar de .

  *   Producto vectorial de dos vectores.

  Dados dos vectores  , el producto vectorial de estos dos vectores es otro vector -que expresaremos como - perpendicular al plano definido por , y cuyo sentido lo da la regla del "avance del tornillo" (girando de  hacia ) .

 Su expresión general viene dada por:

cuyo módulo es:

siendo a el ángulo formado por los vectores u, v. Geométricamente el valor de este módulo es el valor del área del paralelogramo formado por los vectores u, v.

  PROPIEDADES:

     

*   Producto mixto de tres vectores.

  Dados tres vectores    ,  ,  llamamos producto mixto, lo cual se expresa  ,  al producto escalar de  por :

  Por lo tanto,  viene expresado por:

 Geométricamente representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores   ,  .

PROPIEDADES:

1. Si alguno de los tres vectores es el vector nulo, el producto mixto es 0.

2. Si los tres vectores son linealmente dependientes (coplanarios), el producto mixto es 0.
3. 

  11.2  La recta en R³ . Ecuación vectorial.

 Una recta r viene determinada bien por dos puntos A, B, o bien por un punto A y su dirección (que viene expresada en forma de un vector director  que es paralelo a r - o en otras palabras- nos indica la dirección de r)

  Si P es un punto genérico de la recta r (ver figura 2) se tiene que:

siendo l un cierto parámetro,  y si ahora (fijándonos en la figura 1) tenemos en cuenta que:

se tiene:  

   {1}

y si consideramos al segmento  como el vector  (para ello se opera así: coordenadas de B menos coordenadas de A) tenemos:

   {2}

  Cualquiera de ellas {1} ó {2} es la ecuación vectorial de la recta r.

  11.3  Ecuaciones paramétricas de la recta .

  Sean conocidos dos puntos  de una cierta recta r, entonces podemos tomar como vector director   de esta recta: , y sea un punto genérico de la recta r, que viene  dado por P(x, y, z)

 Entonces la ecuación de la recta (según {2}) podrá ser expresada:

{3}

que son las llamadas ecuaciones paramétricas de la recta.

  11.4  Ecuación continua de la recta .

   Despejemos  l  de cada una de las ecuaciones {3} e igualemos:

   {4}

   Es la llamada ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos  . 

  11.5  El plano en R³ .  Ecuación vectorial.

   Dados tres puntos no alineados: , forman un plano, y cualquier punto P(x,y,z) de este plano podrá ser expresado en la forma:

  {5}

lo cual representa la ecuación vectorial del plano.

  11.6  Ecuaciones paramétricas del plano.

   Si expresamos  {5} en coordenadas tenemos:

{6} 

  que son las ecuaciones paramétricas del plano.

  11.7  Ecuación cartesiana del plano.

    Según hemos visto en el producto mixto de vectores, éste es nulo para el caso de tres vectores coplanares tales como  (vease figura superior),  por tanto se tiene:

{7} 

una ecuación que se reduce a la simple expresión:

a x + b y + c z + d = 0      {8} 

La particularidad de  {8}  es que los tres coeficientes: a, b, c  son las componentes del llamado "vector normal" del plano, tal como se aprecia en la gráfica de la izquierda.

  Un vector normal al plano es un vector "perpendicular" a cualquier recta del plano. Así, un plano viene determinado por un vector normal n (a, b, c) y un punto A.

  Por ejemplo:  El plano cuyo vector normal es n (1, 3, -1) y que pasa por el punto A(2,0,5) es:

1. x + 3. y  + (-1) . z + d = 0

x + 3y - z + d = 0

y si ahora sustituimos el punto A(2,0,5):

2 + 3.0 - 5 + d = 0

de donde sacamos que d = -3. Por lo tanto, ese plano en coordenadas cartesianas es:

x + 3y - z - 3 = 0

 11.8  Ecuación de la recta como intersección de dos planos

  Hasta ahora hemos visto la ecuación de una recta en coordenadas paramétricas y en cartesianas. Ahora vamos a ver también que dados dos planos que se intersectan definen una recta (tal como se aprecia en la figura de la derecha).

   Entonces una pareja de dos planos define una recta:

{9} 

 *  Haz de planos

  Dada una pareja de planos que se intersectan, tal como la  {9}, hay otros infinitos planos que también se intersectan en esta recta, a todos ellos se les denomina "haz de planos", su ecuación general es:

{10}

  11.9  Ecuación del plano que pasa por tres puntos.

  Dados tres puntos no alineados en el espacio,  definen un plano, cuya ecuación viene dada por:

   {11}

  11.10  Posición entre recta y plano.

 1)   Para que una recta, con vector director , y un plano con vector normal ,  sean paralelos , se debe cumplir que estos dos vectores sean perpendiculares: .

    Es decir, se debe cumplir que:  {12}

Un ejemplo:

 2)   Para que una recta, con vector director , y un plano con vector normal ,  sean perpendiculares , se debe cumplir que estos dos vectores sean paralelos

  En este caso, la condición que se deberá verificar es que ambos vectores sean proporcionales, es decir:

 {13}

  11.11  Sobre ángulos.

   *  Ángulo entre dos rectas:

   Sean dos rectas, con vectores directores , el ángulo formado por estas dos rectas viene dado por:

 {14}

   *  Ángulo entre dos planos:

   Sean dos planos:   

El ángulo formado por los dos planos coincide con el que forman su vectores normales respectivos (según el lema de "igualdad de ángulos entre rectas perpendiculares")

   Por lo tanto, se tiene:

  ALGUNOS EJERCICIOS:

  1)  Hallar las ecuaciones paramétricas y continua de la recta dada por la intersección de los dos planos:

  Solución:   Esta pareja de dos ecuaciones puede expresarse como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, tomando z como parámetro:

 Resolvemos el sistema respecto x, y:

x = 17 - 13 z,   y = 31 - 24 z

si ahora hacemos z=l, tenemos las ecuaciones paramétricas pedidas:

x = 17 - 13 ly = 31 - 24 lz = l

   2) Hallar las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana del plano que pasa por el punto A(2,5,3) y es paralelo a los vectores (1,3,2) y (4,-2,2).

   Solución: 

  Los vectores  y  los podemos trasladar al punto A, tal como se ve en la figura de la derecha. Ahora, estos dos vectores definen un plano.

  La ecuación vectorial de este plano viene dada por:

es decir,

por tanto, la ecuación vectorial del plano es: 

(x, y, z) = (2,5,3) + l(1,3,2) +  m(4,-2,2)

las ecuaciones paramétricas son:

x = 2 + l + 4my = 5 + 3l - 2mz = 3 + 2l + 2m

 Si de aquí por ejemplo, tomamos l =1, m=0 hallamos un cierto punto B(3,8,5) del plano, y después tomamos l =0, m=1 hallamos otro punto C(6,3,5) del plano; que junto al punto A tenemos tres puntos. Y según 11.9 tenemos que la ecuación del plano que pasa por estos tres puntos A,B,C es:

  Es decir, 

5 x + 3 y - 7 z - 4 = 0

que es la ecuación cartesiana del plano.

  3)  Hallar la ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto A(3,2,4) y es paralelo al plano:

3x + 2y - 5z + 3 = 0

   Solución:  El plano pedido es paralelo al plano 3x + 2y - 5z + 3 = 0, lo cual significa que su vector normal debe ser:

n (3, 2, -5)

y por lo tanto, el plano pedido debe tener la forma:

3x + 2y - 5z + d = 0

 Sólo nos queda hallar el valor de "d". Y como el plano debe pasar por el punto A(3,2,4), sustituimos estos valores en el plano, y obtenemos:

3(3) + 2(2)- 5(4) + d = 0

d = 7

  Por tanto, el plano pedido es:     3x + 2y - 5z + 7 = 0, en coordenadas cartesianas.

   Ahora hacemos   x = l,  y = m,  en la ecuación de arriba, para llegar a:

3 l + 2 m - 5z + 7 = 0,

de aquí:  

  y entonces las ecuaciones paramétricas del plano son:

   4)  Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto A(5, 1, -3) y es perpendicular a la recta:

  Solución: 

 
  Sea el plano, en forma general:

a x + b y + c z + d = 0  {1}

como este plano pasa por el punto A(5,1,-3), ha de cumplir:

5 a + b - 3 c + d = 0  {2}

por otra parte n y v son vectores paralelos, o sea:

valores que podemos sustituir en {2}:

finalmente estos valores de a, b, c y d los sustituimos en {1}:

simplificando nos da el plano:

3 x - 4 y + 2 z - 5 = 0

Vectores en el espacio

Componentes de un vector en el espacio

Módulo de un vector

Distancia entre dos puntos

Vector unitario

Suma de vectores

Producto de un número real por un vector

Vectores linealmente dependientes

Vectores linealmente independientes

Producto escalar

Expresión analítica del módulo de un vector

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Vectores ortogonales

Proyección

Cosenos directores

Producto vectorial

Área del paralelogramo

Área de un triángulo

Producto mixto

Volumen del paralelepípedo

Volumen de un tetraedro

Puntos

Coordenadas del punto medio de un segmento

Coordenadas del baricentro de un triángulo

Puntos alineados

Tres o más puntos esán alineados si están en una misma recta, y por tanto el rango de los vectores determinados por ellos es 1.

Puntos coplanarios

Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por tanto suscomponentes son proporcionales y su rango es 2.

Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos también soncoplanarios.

Rectas en el espacio

Ecuación vectorial de la recta

Ecuaciones paramétricas de la recta

Ecuaciones continuas de la recta

Ecuaciones implícitas de la recta

El plano

Ecuación vectorial del plano

Ecuaciones paramétricas del plano

Ecuación general o implícita del plano

Ecuación canónica o segmentaria del plano

Ángulos

Ángulo entre dos rectas

Dos rectas son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.

Ángulo entre dos planos

Dos planos son perpendiculares si vectores directores son ortogonales.

Ángulo entre recta y plano

Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales.

Distancias

Distancia entre un punto y una recta

Distancia entre rectas paralelas

Distancia entre rectas que se cruzan

Sean  y  las determinaciones lineales de las rectas r y s.

Distancia de un punto a un plano

Distancia entre planos paralelos