Apuntes de matemáticas

Espacio euclídeo

Distancia en un espacio vectorial

Descripción: 

Definimos la distancia en un espacio vectorial como la aplicación que se representa en la forma:

d:Rn×Rn⟶R+$d:{\mathrm{\Re }}^n\times {\mathrm{\Re }}^n⟶{\mathrm{\Re }}^{+}$  y que viene dada en la siguiente forma: d(u,v)=:∥u−v∥$d(u,v)=:\parallel u-v\parallel$

Descriptores: 

 Espacio euclídeo

 Álgebra

Enlaces interactivos: 

 Distancia entre dos puntos del plano

 Distancia en el plano

Ejemplo: 

Definimos la distancia habitual en R2${\mathrm{\Re }}^2$, la representamos por d:R2×R2⟶R+(u,v)⟶d(u,v)=:∥u−v∥$$\begin{gathered} d:{\mathrm{\Re }}^2\times {\mathrm{\Re }}^2⟶{\mathrm{\Re }}^{+} \\ (u,v)⟶d(u,v)=:\parallel u-v\parallel \end{gathered}$$.

Dados dos vectores cualquiera u=(x1,y1)v=(x2,y2)∈R2$u=(x_1,y_1)v=(x_2,y_2)\in {\mathrm{\Re }}^2$

d(u,v)=:∥u−v∥=∥(x1−x2,y1−y2)∥=+(x1−x2)2+(y1−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$d(u,v)=:\parallel u-v\parallel =\parallel (x_1-x_2,y_1-y_2)\parallel =+\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$

Si u=(1,2)v=(−1,1)∈R2⇒d(u,v)=∥u−v∥=∥(1−(−1),2−1∥=+(2)2+(1)2−−−−−−−−−√=+5√$u=(1,2)v=(-1,1)\in {\mathrm{\Re }}^2\Rightarrow d(u,v)=\parallel u-v\parallel =\parallel (1-(-1),2-1\parallel =+\sqrt{{(2)}^2+{(1)}^2}=+\sqrt{5}$

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Base ortogonal y base ortonormal

Descripción: 

Una base de un espacio vectorial es ortogonal cuando los vectores que la forman son perpendiculares dos a dos.

Una base de un espacio vectorial es ortonormal cuando es una base ortogonal y sus vectores son unitarios

Descriptores: 

 Espacio euclídeo

 Álgebra

Ejemplo: 

a. Comprobar que los vectores (3,1)(−2,6)$(3,1)(-2,6)$ es una base ortogonal de R2${\mathrm{\Re }}^2$

b. Comprobar que los vectores (3/10−−√,1/10−−√)(−2/40−−√,6/40−−√)$(3/\sqrt{10},1/\sqrt{10})(-2/\sqrt{40},6/\sqrt{40})$ de R2${\mathrm{\Re }}^2$ forman una base ortonormal

a. Los vectores  u=(3,1),v=(−2,6)$u=(3,1),v=(-2,6)$ forman una base

Son linealmente independientes

λu+μv=λ(3,1)+μ(−2,6)=(3λ,λ)+(−2μ,6μ)=(3λ−2μ,λ+6μ)=(0,0)⇒3λ−2μ=0,λ+6μ=0⇒λ=μ=0$\lambda u+\mu v=\lambda (3,1)+\mu (-2,6)=(3\lambda ,\lambda )+(-2\mu ,6\mu )=(3\lambda -2\mu ,\lambda +6\mu )=(0,0)\Rightarrow 3\lambda -2\mu =0,\lambda +6\mu =0\Rightarrow \lambda =\mu =0$

Es un sistema de generadores

λu+μv=λ(3,1)+μ(−2,6)=(3λ,λ)+(−2μ,6μ)=(3λ−2μ,λ+6μ)=(x,y)⇒3λ−2μ=x,λ+6μ=y⇒λ=3x+y10μ=y−7x10$\lambda u+\mu v=\lambda (3,1)+\mu (-2,6)=(3\lambda ,\lambda )+(-2\mu ,6\mu )=(3\lambda -2\mu ,\lambda +6\mu )=(x,y)\Rightarrow 3\lambda -2\mu =x,\lambda +6\mu =y\Rightarrow \lambda =\frac{3x+y}{10}\mu =\frac{y-7x}{10}$

Son ortogonales, hacemos el producto escalar de los dos vectores

(3,1)⋅(−2,6)=(3(−2)+6)=0⇒cosα=0⇒α=90º$(3,1)·(-2,6)=(3(-2)+6)=0\Rightarrow cos\alpha =0\Rightarrow \alpha =90º$

El ángulo que forman los dos vectores es un ángulo recto, porque el producto escalar vale cero.

b. Como ∥(3,1)∥=10−−√$\parallel (3,1)\parallel =\sqrt{10}$, el vector u1=(3/10−−√,1/10−−√)$u_1=(3/\sqrt{10},1/\sqrt{10})$ es el vector unitario en la dirección del vector u=(3,1)$u=(3,1)$

y como ∥(−2,6)∥=40−−√$\parallel (-2,6)\parallel =\sqrt{40}$ el vector v1=(−2/40−−√,6/40−−√)$v_1=(-2/\sqrt{40},6/\sqrt{40})$ es el vector unitario en la dirección del vector v=(−2,6)$v=(-2,6)$. Por lo tanto:

Los vectores u1,v1$u_1,v_1$ forman una base ortonormal

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Vectores ortogonales

Descripción: 

Dos vectores  u,v∈Rn$u,v\in {\mathrm{\Re }}^n$, no nulos,  decimos que son ortogonales cuando son vectores perpendiculares, es decir, forman un ángulo recto (90º). Que dos vectores  u,v∈Rn$u,v\in {\mathrm{\Re }}^n$ son ortogonales se representa por u⊥v$u\mathrm{\perp }v$, es decir: u⊥v⟹α=90º⟹cosα=0$u\mathrm{\perp }v⟹\alpha =90º⟹cos\alpha =0$

Descriptores: 

 Espacio euclídeo

 Álgebra

Ejemplo: 

Comprobar que los vectores u=(1,2)∈R2v=(−2,1)∈R2$u=(1,2)\in {\mathrm{\Re }}^{2}v=(-2,1)\in {\mathrm{\Re }}^2$ son ortogonales.

Calculamos el producto escalar de los dos vectores: u⋅v=(1,2)⋅(−2,1)=−2+2=0$u·v=(1,2)·(-2,1)=-2+2=0$, como los vectores son no nulos, el coseno del ángulo que forman es cero, cosα=0$cos\alpha =0$, es decir, el ángulo que forman los dos vectores es: α=90º$\alpha =90º$

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Ángulo de dos vectores

Descripción: 

El ángulo (α$\alpha$ ) que forman dos vectores u,v∈Rn$u,v\in {\mathrm{\Re }}^n$, no nulos, se obtiene de la igualdad:  u⋅v=∥u∥⋅∥v∥cosα$u·v=\parallel u\parallel ·\parallel v\parallel cos\alpha$, es decir:

α=arccosu⋅v∥u∥⋅∥v∥$\alpha =arccos\frac{u·v}{\parallel u\parallel ·\parallel v\parallel }$

Descriptores: 

 Espacio euclídeo

 Álgebra

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 Ángulo de dos vectores

Ejemplo: 

Que ángulo forman los dos vectores u=(1,0)∈R2v=(−2,−2)∈R2$u=(1,0)\in {\mathrm{\Re }}^{2}v=(-2,-2)\in {\mathrm{\Re }}^2$, no nulos.

1. Calculamos el producto escalar: u⋅v=(1,0)⋅(−2,−2)=−2+0=−2$u·v=(1,0)·(-2,-2)=-2+0=-2$

2. Calculamos la norma de cada uno de los vectores: ∥u∥=∥(1,0)∥=+1√=1∥v∥=∥(−2,−2)∥=+(−2)2+(−2)2−−−−−−−−−−−√=8√=22√$$\begin{gathered} \parallel u\parallel =\parallel (1,0)\parallel =+\sqrt{1}=1 \\ \parallel v\parallel =\parallel (-2,-2)\parallel =+\sqrt{{(-2)}^2+{(-2)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \end{gathered}$$

3. Calculamos el coseno del ángulo que forman, a partir de la fórmula: cosα=u⋅v∥u∥⋅∥v∥$cos\alpha =\frac{u·v}{\parallel u\parallel ·\parallel v\parallel }$, en nuestro caso se obtiene cosα=(1,0)⋅(−2,−2)∥(1,0)∥⋅∥(−2,−2)∥=−21.22√=−12√=−2√2$cos\alpha =\frac{(1,0)·(-2,-2)}{\parallel (1,0)\parallel ·\parallel (-2,-2)\parallel }=\frac{-2}{1.2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

De donde se obtiene que α=arccos(−2√2)=315º$\alpha =arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})=315º$

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Vector unitario

Descripción: 

Decimos que un vector u∈Rn$u\in {\mathrm{\Re }}^n$ es un vector unitario cuando su norma es 1: ∥u∥=1$\parallel u\parallel =1$

Descriptores: 

 Espacio euclídeo

 Álgebra

Ejemplo: 

El vector (1,1)∈R2$(1,1)\in {\mathrm{\Re }}^2$, no es unitario, dado que∥(1,1)∥=+12+12−−−−−−√=+2√≠1$\parallel (1,1)\parallel =+\sqrt{1^2+1^2}=+\sqrt{2}\ne 1$

El vector (1/5√,2/5√)∈R2$(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})\in {\mathrm{\Re }}^2$ es un vector unitario porque:∥∥(1/5√,2/5√)∥∥=+(1/5√)2+(2/5√)2−−−−−−−−−−−−−−−√=+1/5+4/5−−−−−−−−√=1$\parallel (1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})\parallel =+\sqrt{{(1/\sqrt{5})}^2+{(2/\sqrt{5})}^2}=+\sqrt{1/5+4/5}=1$

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Norma de un vector

Descripción: 

Definimos la norma de un vector de Rn${\mathrm{\Re }}^n$, que también se llama longitud o modulo del vector, a una aplicación que se representa por:

∥∥:Rn⟶R+u⟶∥u∥$$\begin{gathered} \parallel \parallel :{\mathrm{\Re }}^n⟶{\mathrm{\Re }}^{+} \\ u⟶\parallel u\parallel \end{gathered}$$  que se expresa como sigue: ∥u∥=:+⟨u,u⟩−−−−−√=+u21+u22+...+u2n−−−−−−−−−−−−−√$\parallel u\parallel =:+\sqrt{⟨u,u⟩}=+\sqrt{u_1^2+u_2^2+...+u_n^2}$, donde u=(u1,u2,...,un)∈Rn$u=(u_1,u_2,...,u_n)\in {\mathrm{\Re }}^n$

Descriptores: 

 Espacio euclídeo

 Álgebra

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 Norma (longitud, magnitud) de un vector

Ejemplo: 

Definimos la norma  habitual de un vector de R2${\mathrm{\Re }}^2$, como la aplicación que se representa por:  Dado u=(x,y)∈R2$u=(x,y)\in {\mathrm{\Re }}^2$

∥∥:R2⟶R+u⟶∥u∥$$\begin{gathered} \parallel \parallel :{\mathrm{\Re }}^2⟶{\mathrm{\Re }}^{+} \\ u⟶\parallel u\parallel \end{gathered}$$  que se expresa como sigue: ∥u∥=:+⟨u,u⟩−−−−−√=+x2+y2−−−−−−√$\parallel u\parallel =:+\sqrt{⟨u,u⟩}=+\sqrt{x^2+y^2}$

Dado u=(1,2)⇒∥u∥=∥(1,2)∥=+12+22−−−−−−√=+5√$u=(1,2)\Rightarrow \parallel u\parallel =\parallel (1,2)\parallel =+\sqrt{1^2+2^2}=+\sqrt{5}$

• Álgebra
 
• Espacio euclídeo

Producto escalar de vectores

Descripción: 

Se representa por ⟨⟩:Rn×Rn⟶R(u,v)⟶⟨u,v⟩=u⋅v$$\begin{gathered} ⟨⟩:{\mathrm{\Re }}^n\times {\mathrm{\Re }}^n⟶\mathrm{\Re } \\ (u,v)⟶⟨u,v⟩=u·v \end{gathered}$$, la aplicación que definimos en la siguiente forma:

Sean u=(u1;u2;...;un)∈Rnv=(v1;v2;...;vn)∈Rn$u=(u_1;u_2;...;u_n)\in {\mathrm{\Re }}^{n}v=(v_1;v_2;...;v_n)\in {\mathrm{\Re }}^n$  el producto escalar lo definimos por:  u⋅v=⟨u,v⟩=(u1;u2;...;un)⋅(v1;v2;...;vn)=:u1v1+u2v2+...+unvn=∑ni=1uivi$u·v=⟨u,v⟩=(u_1;u_2;...;u_n)·(v_1;v_2;...;v_n)=:u_1{v}_1+u_2{v}_2+...+u_n{v}_n=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i$

Descriptores: 

 Espacio euclídeo

 Álgebra

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 Producto escalar de vectores

 Producto escalar de vectores (2)

Ejemplo: 

Definimos el producto escalar habitual en R2${\mathrm{\Re }}^2$, en la forma: Sean u=(u1;u2)∈R2v=(v1;v2)∈R2$u=(u_1;u_2)\in {\mathrm{\Re }}^{2}v=(v_1;v_2)\in {\mathrm{\Re }}^2$  el producto escalar habitual viene dado por:  u⋅v=⟨u,v⟩=(u1;u2)⋅(v1;v2)=:u1v1+u2v2$u·v=⟨u,v⟩=(u_1;u_2)·(v_1;v_2)=:u_1{v}_1+u_2{v}_2$

Si u=(1,2)v=(−1,1)∈R2⇒u⋅v=(1,2)⋅(−1,1)=1⋅(−1)+2⋅1=−1+2=1u=(1,2)v=(−1,1)∈R2⇒u⋅v=(1,2)⋅(−1,1)=1⋅(−1)+2⋅1=−1+2=