Apuntes de matemáticas

  ECUACIONES EN EL PLANO

Ecuaciones de la recta

  - Ecuación vectorial:

 Sea un punto A(a,b) de la recta, cuyo vector directriz es  . Si tomamos un punto genérico de la recta P(x,y) se tiene:

que es la ecuación vectorial de la recta. Siendo l un parámetro, tal que al ir tomando los distintos valores de R nos va dando los distintos puntos P de la recta.

  - Ecuaciones paramétricas:

 Si expresamos la ecuación vectorial en sus dos coordenadas, tenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:

  - Ecuación continua:

 Despejando l en las ecuaciones de arriba, e igualando se tiene la ecuación continua de la recta:

  - Ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos:

  Dados dos puntos del plano,  ,  la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:

  - Ecuación segmentaria:

 (siendo a el punto de corte con el eje X y b el punto de corte con el eje Y)

  - Ecuación funcional:

 y = m x + b

Siendo m el valor de tg a (también llamada "pendiente" de la recta), b el punto de corte del eje y. 

  - Ecuación cartesiana:

 a x + b y + c = 0

*  Ecuaciones de la circunferencia.

  - Ecuación de la circunferencia centrada en el origen:

    Para una circunferencia de radio R centrada en el origen de coordenadas:

x²  + y² = R²

   - Ecuación de la circunferencia centrada en otro punto:

    Para una circunferencia de radio R centrada en un punto P(a,b):

(x - a)²  + (y – b)² = R²

- Ecuaciones paramétricas de la circunferencia 

    Para una circunferencia de radio R centrada en el origen::

x = R cos j
y = R sen j

   

En el caso de que la circunferencia esté centrada en un punto distinto del origen, digamos en P(a,b), las ecuaciones paramétricas quedan:

x = a + R cos j
y = b + R sen j

*  Ecuación de la elipse

- Ecuación de la elipse centrada en el origen:

 Sea una elipse centrada en O, y cuyos semiejes sean a, b. Esta elipse tiene por ecuación en coordenadas cartesianas:

 *  Ecuaciones de la hipérbola.

- Ecuación de la hipérbola centrada en el origen:

Determinación lineal de un plano

Ecuaciones del plano

Ejercicios resueltos de la ecuación general o implícita del plano

Ecuación normal: punto y vector normal

Ejemplo

Ecuación segmentaria corta a los ejes en 3 puntos

Ejemplo

ECUACIÓN VECTORIAL

Si se conoce un punto  de un plano y dos vectores de dirección , se pueden determinar todos sus puntos, a la identificación de esos puntos se le conoce como ecuación del plano.

Un punto cualquiera del plano  viene determinado por su vector de posición , como conocemos , su vector de posición será .
Es claro que , al estar  y  en el plano,  es un vector de dirección del plano, como  y  son dos vectores directores entonces  es combinación lineal de y , es decir, existen  y  tal que . 
Luego la ecuación vectorial del plano es

ECUACIONES VECTORIALES PARÁMETRICAS DE RECTAS Y PLANOS

Una recta está determinada por dos puntos. Una recta también queda determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a la recta.

Consideremos una recta l en el espacio, sea un A punto de l y  un vector paralelo a l.

 Un punto  estará en la recta l si y solo si AP es paralelo a ,  es decir,  para cualquier . Observe que si , entonces A = P, si colocamos un sistema coordenado de tal forma que el origen O, coincida con el punto inicial del vector .

Empleando vectores coordenados, la ecuación  puede escribirse como

(1)

La ecuación (1) se conoce con el nombre de ecuación vectorial de la recta l que pasa por el punto A y es paralela al vector .

 
Si ,  y , entonces

de la igualdad anterior se tiene que

(2)

Las ecuaciones (2) se llaman ecuaciones paramétricas para la recta l que pasa por el punto A y es paralela al vector . Al darle valores a  obtenemos un punto  específico.

Si en las ecuaciones (2) despejamos el parámetro  tenemos que

Por consiguiente, (3)

Las ecuaciones (3) se conocen como ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto A y es paralela al vector .

Ejemplo 43

Ejemplo 44

Ejemplo 45
Ejemplo 46

Un plano queda determinado si conocemos un punto A del plano y dos vectores paralelos al plano y no paralelos entre si,  y .

Sea p un punto cualquiera del plano que pasa por A y es paralelo a los vectores  y  (  no es múltiplo escalar de  puesto que  y  no son paralelos) el plano  determinado por los puntos o, V y W es el conjunto de todos los puntos que son combinaciones lineales de  y .

El plano  paralelo a  y contiene al punto A puede verse como una traslación del plano  hasta A. De esta manera

visto en términos de vectores coordenados es

Es la ecuación vectorial del plano  que pasa por A y es paralelo a los vectores no paralelos  y .

Las ecuaciones paramétricas del plano 

EJEMPLOS
 

EJEMPLO 43

Dado el punto  y el vector  paralelo a la recta l que pasa por A. Encuentre  a. La ecuación vectorial de .  b. Las ecuaciones paramétricas.  c. Las ecuaciones simétricas.  Solución. a.  ecuación vectorial de l. b. ecuaciones paramétricas de l. c.  ecuaciones simétricas de l. Si en la parte a. del ejemplo anterior hacemos  entonces . Si , entonces .

EJEMPLO 44

Encuentre la ecuación vectorial y paramétricas de la recta l que pasa por el punto  y es paralela al vector . Elimine el parámetro que aparece para obtener una sola ecuación.   Solución.    Punto por el cual pasa la recta l.  Vector paralelo a la recta l.  Ecuación vectorial de l. , luego las ecuaciones paramétricas de l son igualando las ecuaciones se tiene que esta ecuación se llama la ecuación cartesiana de l.

 

EJEMPLO 45

Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta o de sus correspondientes ecuaciones paramétricas, es poder obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro , por ejemplo la ecuación vectorial ,  describe el segmento de recta que va desde  hasta .

 

EJEMPLO 46

Hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que pasa por los puntos  y .    Solución.El vector AB es paralelo a la recta que pasa por los puntos A y B, por lo tanto . luego las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por A y B son   las ecuaciones simétricas son

 

EJEMPLO 47

Determinar las ecuaciones vectorial y paramétricas del plano que pasa por el punto  y es paralelo a los vectores  y .   Solución.  ecuación vectorial Las ecuaciones paramétricas del plano son Si eliminamos los parámetros  y t obtenemos la ecuación cartesiana del plano es

 

EJEMPLO 48

Determinar las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana del plano que pasa por los puntos ,  y .   Solución. Los vectores AC y AB son paralelos al plano que pasa por los puntos A, B y C, por lo tanto podemos tomar  y .  como punto conocido del plano podemos tomar a A, B, C puesto que dicho plano pasa por estos puntos. Dependiendo del punto seleccionado obtenemos diferentes ecuaciones paramétricas para el mismo plano. Las ecuaciones paramétricas del plano no son únicas.    ecuación vectorial  Ecuaciones paramétricas Eliminando los parámetros  y t obtenemos la ecuación cartesiana