Apuntes de matemáticas

LIMITES DE LA FORMA 

Regla de L'Hôpital para límites. 

  La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:

  Un límite indeterminado de la forma:

valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:

De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0. Veamos un ejemplo.

  EJEMPLO 1:  Hallar el límite:

este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:

límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:

que es en definitiva el valor del límite.

  Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones:  / , 0×, -.

  Por ejemplo, una indeterminación del tipo /, provendrá de un límite de la forma:

en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:

y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación / no es diferente de la 0/0.

EJEMPLO 2:  Hallar el límite:

  Este límite en principio toma la forma indeterminada /, y lo resolvemos aplicando directamente la regla de L'Hôpital:

OBSERVACIÓN:  No es necesario pasar el límite a la indeterminación 0/0 ántes de aplicar la regla de L'Hôpital. Si bien  (f '/g') es distinto de (1/g)'/(1/f '), en cambio no son diferentes para nuestro caso de límites en el punto x=a.

  En cuanto a las indeterminaciones del tipo 0×, aparecen en límites de productos de funciones f(x)×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a 0, y la otra, lag(x), tiende a . En este caso nosotros expresaremos el límite en la forma:

y como 1/g(x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica 0/0, a la cual se puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital.

EJEMPLO 3:  Hallar el límite:

Este límite tiene la forma 0×, por lo tanto, operamos como hemos dicho:

habiendo expresado la inversa de la tangente como la cotangente, cuya derivada es: - 1/(seno)², esto es:

  Otro tipo de indeterminación susceptible de realizarse por la regla de L'Hôpital es la forma -, que aparece en límites de una resta, es decir, cuando tenemos: f(x) - g(x), y ambas funciones en x=a se hacen +. Para este caso hay que tener en cuenta la siguiente identidad:

y si en en x=a las funciones f y g son infinito, la expresión con sus inversas será 0, por lo que f-g equivaldrá a 0/0; no obstante para aplicar la regla de L'Hôpital, en este caso deberemos transformar f-g como una expresión que incluya un cociente, tal como en el ejemplo siguiente:

EJEMPLO 4:  Hallar el límite:

Este límite tiene la forma -, y ántes de aplicar la regla de L'Hôpital debemos ponerlo en forma de cociente:

así expresado el cociente tiene la forma 0/0, y se puede aplicar esta regla:

  Finalmente, vamos a ver unos ejemplos en los que la regla de L'Hôpital ha de aplicarse sobre el exponente. Se trata de indeterminaciones del tipo: 0°, °, ,  que proceden de límites de una función f(x) elevada a otra función g(x), para su resolución es conveniente tener en cuenta la siguiente identidad:

teniendo en cuenta esta identidad, la cual suele escribirse por comodidad: A = exp(log A), podemos poner:

y ahora si estamos hallando un límite en x=a de esa función exponencial, nosotros calcularemos el límite en el exponente, es decir, dentro del paréntesis de "exp", en concreto el límite de (g×log f), el cual puede ser, por ejemplo, de la forma 0×, cuya forma de resolverse es la del ejemplo 3.

EJEMPLO 5:  Hallar el límite:

  Este límite tiene la forma indeterminada 0°, y tal como hemos dicho, puede expresarse:

en el interior del paréntesis (la exponencial) tenemos una indeterminación 0×, y ahora procederemos así:

NOTA:  Algunos, este tipo de límites los suelen hacer de otra manera -equivalente a la que hemos visto aquí- que vamos a pasar a exponer:

  Partiendo de la equivalencia:

y ahora resuelven el límite de (g×log f) por la regla de L'Hôpital, tal como lo hacemos aquí, y si el resultado de este límite es "A", entonces:

log y = A

por tanto, el límite pedido, y, será e elevado a ese número A. En nuestro ejemplo 5, como el límite de (g×log f), es decir, el límite de (3x . log x) es 0, el límite pedido es e "elevado a 0", como ya lo hemos visto ántes.

EJERCICIOS PARA EL ALUMNO

SOLUCIONES:

a)  0.   b) -1/3  c)  4p³   d)  -1  e) 2/p   f) 0  g) 1/2  h) 1/e i) 1  j) 1.

CÁLCULO DE LÍMITES MEDIANTE INFINITÉSIMOS

   Para ciertos límites la regla de L'Hôpital no es aconsejable, pues la cantidad de veces en que ésta debe ser aplicada para llegar al resultado final se convierte en excesiva. Como ejemplo, el alumno puede tratar de hallar por L'Hôpital el límite:

límite que efectivamente puede ser hallado -pero tras un largo trabajo- mediante esta regla. Por el contrario, nuestro trabajo se simplifica notablemente si sustituimos en el denominador "sen x" por -lo que se llama infinitésimo equivalente-,  "x". Entonces, el límite se reduce a:

  A cuyo límite, transformado en más sencillo, podemos ahora aplicar la regla de  L'Hôpital: 

  (aquí hemos utilizado la relación trigonométrica:  sin(2x) = 2 sin x cos x  ), llegamos al resultado final aplicando la regla de L'Hôpital otras tres veces más:

 * NOCIÓN DE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.

   Acabamos de utilizar la equivalencia:  sin x ~ x  (aquí el símbolo "~" significa "equivalente") cuando x -> 0. Una equivalencia que puede ser confirmada gráficamente:

En la circunferencia trigonométrica consideramos un ángulo x muy pequeño (tendiendo a 0).

  Para un ángulo x muy pequeño, el seno (en rojo) y el valor de x (el arco verde) son los lados prácticamente de un triángulo isósceles, es decir, son prácticamente iguales.

  Por lo tanto, se da la relación:   sin x ~ x  en  e(0)  (léase "los infinitésimos sin x, x son equivalentes en el entorno de cero"). Por entorno de 0, se entiende el conjunto de puntos próximos a 0, es decir, tomado un valor pequeño e, se trata del intervalo (0-e, 0+e).

  Observe que no podemos hablar de infinitésimos equivalentes si no añadimos el entorno del punto en el que estas funciones son equivalentes. En nuestro ejemplo se trataba del entorno de 0.

   Matemáticamente se dice que dos funciones f(x) y g(x)  son equivalentes en e(a) si se cumple:

  (Observe que para que las funciones f(x) y g(x) cumplan la condición de arriba no necesariamente ambas deben tener el mismo límite en x=a,  pues por ejemplo en caso de dos límites 0, el cociente 0/0 es indeterminado, y no necesariamente 1). De cualquier manera, hay dos clases de funciones equivalentes que tienen interés en Matemáticas, son:

    *  Infinitésimos:  funciones cuyo límite en  x = a es 0.

    *  Infinitos:  funciones cuyo límite en  x = a es + ó  -.

  ATENCIÓN: Aquí no estamos diciendo que todos los infinitésimos en el entorno de un punto son equivalentes. Lo que decimos es que aquellas funciones que en el entorno de un punto x = a son infinitésimos (porque su límite en a es 0) y además son equivalentes (porque el límite def(x)/g(x) en a es 1) tienen especial interés en Cálculo.

  Por ejemplo, en el entorno del punto x=0, son infinitésimos las funciones:

entre ellos podemos tomar algunos infinitésimos equivalentes:

 La nota de ATENCIÓN que hemos dicho arriba para infinitésimos también es válida para infinitos. Ejemplos de infinitos en el entorno del puntox=0,  son:

o ejemplos de infinitos en el entorno de infinito (cuando x tiende a +) son:

todos ellos tiene por límite infinito (en cualquiera de sus signos) en el infinito. Observe como todo polinomio es un infinito en el entorno de infinito. Y por ejemplo, en e(+) se tiene

algo que pertenece a una regla general para funciones polinómicas en e(+) : "En el infinito todo polinomio es equivalente a su término de máxima potencia":

* Cálculo de límites mediante infinitésimos (o infinitos) equivalentes.

  Para calcular límites con indeterminaciones tipo 0/0,  / ,  podemos sustituir ciertos infinitésimos (o ciertos infinitos) por infinitésimos (o infinitos) equivalentes tal como vamos a ir viendo en los siguientes ejemplos:

 EJEMPLO 1:  Hallar mediante infinitésimos equivalentes el límite:

 El límite pedido está formado por el cociente de dos infinitésimos en e(0), lo cual conduce a la forma indeterminada 0/0. Nosotros podemos considerar las siguientes equivalencias entre infinitésimos:

  Por tanto podemos realizar la sustitución de estos infinitésimos en el límite anterior:

EJEMPLO 2:  Hallar mediante infinitésimos equivalentes el límite:

Nuevamente el límite es el cociente de dos infinitésimos en e(0), lo cual conduce a la indeterminación 0/0. En este caso podemos considerar la siguiente equivalencia:

que tras sustituir en el límite, tenemos:

EJEMPLO 3:  Hallar mediante infinitos equivalentes el límite:

En este caso, para e(+) los dos polinomios del cociente son infinitos, y como hemos dicho, son equivalentes a su término de máxima potencia:

EJEMPLO 4:  Hallar mediante infinitésimos el límite:

Este límite puede ser expresado en la forma:

el cual tiene la forma ×0, aquí podemos hacer el cambio x = 1/t , con lo que ahora t se encuentra en e(0) y el límite puede ser resuelto mediante infinitésimos equivalentes:

donde se ha tenido en cuenta la equivalencia  ln(1 + t) ~ t , en e(0).

   Algunos infinitésimos equivalentes en e(0) son:

   Estas tablas de infinitésimos equivalentes son fáciles de obtener a partir del desarrollo de Maclaurin par una función f(x). Por ejemplo,  vamos a expresar los desarrollos de Maclaurin de algunas funciones:

  NOTA:  La notación  " "  (llamada notación de Landau) hace referencia a infinitésimos de orden superior a la potencia n-ésima de x, es decir, términos que son despreciables por contener potencias n+1 de x, términos que para cálculo de límites se pueden ignorar. Lo que nos indican estas expresiones es que en e(0) se cumplen esas igualdades (o equivalencias).

  Para las expresiones de arriba, en la práctica suele ser suficiente con limitarnos a los dos primeros términos del desarrollo. De aquí que en la mayoría de los casos podamos expresar:

que son las equivalencias utilizadas en el cálculo de límites. Sólo para ciertos límites se hace necesario tomar algún término más del desarrollo de Maclaurin.

  Es también interesante conocer el desarrollo de Maclaurin de la función  :

interesante porque a partir de esta expresión, donde el exponente m puede ser cualquier número, podemos obtener diversas parejas de infinitésimos equivalentes en e(0), tales como:

    (para m = -1)

     ( m = -2)

   (m = 1/2) 

  Como regla general para x "muy pequeño" tenemos:

  Por otra parte, podemos tener en el entorno de 0 expresiones como:

entonces podremos utilizar aproximaciones tales como:

donde por u indicamos el seno de x, o mejor dicho, el desarrollo limitado del seno de x , por ejemplo podemos poner:

sen x ~ x

y entonces:

 

  EJEMPLO 5:  Hallar mediante infinitésimos equivalentes el límite:

Solución:  Aquí aparece la función cosecante, que es la inversa del seno, csc x = 1/sen x. Sustituímos esta relación y nos da un límite de la forma 0/0.

ahora tomamos como infinitésimo equivalente para el seno su propio desarrollo hasta el grado 5 (se puede comprobar que si lo tomáramos sólo hasta el grado 3 no eliminamos la indeterminación):

por tanto, tenemos para el límite:

NOTA: Hemos expresado, según la notación de Landau,   por a los términos que son infinitésimos de orden superior a x⁵ .

Infinitesimos

Infinitesimos equivalentes

Ejemplos de infinitesimos equivalentes

Órdenes de infinito

Ejercicios de limites resueltos

Límite en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x₀, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x₀. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x₀.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x² en el punto x₀ = 2.

x	f(x)
1,9	3,61
1,99	3,9601
1,999	3,996001
...	...
↓	↓
2	4

x	f(x)
2,1	4.41
2,01	4,0401
2,001	4,004001
...	...
↓	↓
2	4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x₀, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores dex distintos de x₀ que cumplen la condición|x − x₀| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

 si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x₀, E_δ(x₀), cuyos elementos (sin contar x₀), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, E_ε(L).