Apuntes de matemáticas

LIMITES DE FUNCIONES

Noción de límite de una función en un punto.

  Una función  y = f(x) puede no estar definida para un cierto punto,  digamos x = xo , como sucede con  y = log x en el punto x = 0,  o como sucede con  y = tg x en el punto x = p/2 . En realidad, una función  y = f(x) puede llegar a mostrar un comportamiento extraño en cierto punto x = xo . Para comprender mejor estas posibles anomalías de algunas funciones se introduce la noción de límite de una función en un punto.

La función  y = f(x) tiene como límite L en el punto x=a.

   Para determinar el límite de y = f(x) en cierto punto x = a ,  debemos prescindir del valor que tenga f(a), incluso puede que f(a) ni siquiera esté definido, y fijarnos en los valores de f(a) para puntos extremadamente cercanos a x = a.

   En el ejemplo del gráfico, observando los valores de los puntos muy próximos a x= a, lo cual será expresado así:  ,  se llega a la conclusión que el límite de y = f(x) "cuando x tiende al valor a" es L. Utilizando simbología matemática, lo expresamos:

  2. 2  Limites laterales.

   Existen funciones que en un cierto punto x = xo  poseen una discontinuidad, sufriendo su gráfica de un "salto", tal como se muestra en la figura de abajo.

La función  y = f(x) tiene como límite L+ por la derecha del punto x=a, y el límite L- por la izquierda del punto x=a.

 Para la función   y = f(x) del gráfico de arriba, no está definido el valor f(a) ,  y se dice que el límite de f(x) "por la derecha" del punto x = a  (expresado así:  +e) es  L+, lo cual en simbología matemática es:

 Por otra parte, se dice que el límite de f(x) "por la izquierda" del punto x = a  ( expresado así:  -e) es  L+, que en simbología matemática es:

  (NOTA: En Cálculo Infinitesimal suelen emplearse letras griegas tales como: e, d, ... para referirnos a valores numéricos muy pequeños.)

   Por otra parte, para que podamos hablar verdaderamente del límite de f(x) en el punto x = a  los los límites laterales deben ser iguales, es decir, debe cumplirse:

 2. 3  Limites infinitos.

  Hay dos casos destacables de límites, tal como podemos verlo en las gráficas de abajo

         

  Para la función y = f(x) de la Fig. 1,  f(x) tiende al valor L para x en el infinito (geométricamente se habla de que y = L es una "asíntota horizontal" de la curva ).
  En el caso de la Fig. 2, es la función y = f(x) la que toma un valor infinito en el punto x=a (geométricamente x=a es una "asíntota vertical" de la curva).

    En el primer caso se expresa:

  Mientras que el segundo así:

  2. 4  Algunas propiedades sobre el infinito y valores indeterminados.

   Cuando se opera con límites de funciones se trabaja con el conjunto R ampliado, es decir, el conjunto de los números reales al que se le han añadido los entes numéricos: +, -. Conviene, por tanto, tener claras algunas propiedades de estos entes, así como valores que sonindeterminados en este conjunto:

  *  Para cualquier número n (incluido el 0):  n/= 0.

  *  Para cualquier número n positivo (distinto de 0):  n .+= +,   n .(-)= -.

  *  Para cualquier número n negativo (distinto de 0):  n .+= -,   n .(-)= +.

  *  Para el caso del 0:    0 . +  y   0 . (-)  son Indeterminados.  

   *  Para números n positivos +/n = +, pero para n negativos +/n = -.

   *  Para el caso del 0:   +/0  =  ,  así como -/0 = ,  pero en ambos casos el signo del infinito es Indeterminado .  Algo similar sucede cuando dividimos un número entre cero:  3/0 = , -3/0 =  (el signo del infinito es indeterminado, aunque sí podemos asegurar lo que sucede tanto a la derecha de 0, como a la izquierda de 0 ).

   *  Asimismo son Indeterminados: 

      / (con cualquier signo),  -,  0/0 , 0° , ° (cualq. signo).

   La mayoría de estas relaciones son muy lógicas si nos acostumbramos a imaginar a  +,  como  1/(+0), y a   -,  como -1/(+0)  -entendiendo por +0 un número positivo muy pequeño-.

2.5  Propiedades de límites.

Sea dos funciones f(x), g(x)  tales que en cierto punto x = a,  sus límites respectivos son A y B, es decir:

entonces se tiene que:

pero siempre debemos desacartar las expresiones indeterminadas como las anteriormente citadas.

  2.6  Cálculo de límites.

  Sea una  función y = f(x) ,  si queremos hallar el límite de esa función en un determinado punto  x = a, lo primero que haremos será hallar f(a),ante lo cual pueden suceder tres casos.

   I)  f(a)   tiene un valor claro y unívoco.
   II)  No podemos hallar f(a)  , bien porque  f(x)  no tiene imagen en el punto x = a, o porque nos da un valor indeterminado.
   III)  f(a)  nos da un valor infinito.

   Para el primer caso, podemos decir que ese mismo valor de f(a) es el propio valor del límite. Esto sucede en las regiones continuas de y = f(x) .Por ejemplo:

  Ejemplo 1: Hallar el límite en el punto x = 2 de la función  y = x² +1 .

 Este límite es 5, puesto que de una manera clara tenemos  f(2) = 5.

  Ejemplo 2: Hallar el límite en el punto x = 1 de la función :

   Para este caso, si hallamos el valor de la función en x = 1  obtenemos  f(1) = 0/0, que es uno de los casos de indeterminación, lo cual no significa que es imposible hallar el límite de f(x) en ese punto,  sino que debemos "operar" para eliminar la indeterminación (por lo general toda indeterminación puede ser determinada). Por ejemplo podemos descomponer en factores el numerador de la fracción:

 Al cancelar el factor (x -1) en el numerador y denominador hemos conseguido eliminar la indeterminación. Numerosas indeterminaciones nos aparecen cuando hallamos límites en el infinito, como en los próximos ejemplos.

  Ejemplo 3: Hallar el siguiente límite en el infinito:

 En principio si sustituimos x por +, nos encontramos con la indeterminación -, en estos casos suele funcionar multiplicar y dividir por la misma expresión pero con el signo positivo, es decir:

  Ejemplo 4: Hallar el siguiente límite en el infinito:

 Si sustituimos x por +, nos encontramos con la indeterminación /. Para estos casos de cocientes de polinomios en el infinito, se sigue la regla: " Dividir numerador y denominador por la potencia máxima del denominador", que en nuestro caso es x³:

teniendo en cuenta que las potencias  1/x,  1/x², etc. son 0.

   Hasta ahora hemos visto situaciones de los dos primeros casos, veamos ejemplos del tercer caso, es decir, cuando en x = a el valor de f(a) se hace infinito o impreciso (entendemos aquí por impreciso cuando los valores que toma la función en x = a+e  y en x = a-e difieren notablemente). Cuando nos encontremos en estas situaciones,  pasaremos a hallar los límites laterales.

  Ejemplo 4: Hallar el límite de la función   y = 5/(x-2),  en el punto x=2.

   Al hallar f(2) nos encontramos con 5/0, o sea   pero sin precisar el signo. Hallemos, pues, los límites laterales. Para ello consideraremos una cantidad infinitesimal positiva e, que le añadimos al punto x=2 para hacer el límite por la derecha, y que le sustraeremos al x=2 para hacer ellímite por la izquierda, a continuación hacemos el límite cuando e ->0.  Veamoslo:

  * Por la derecha de x=2:

aquí sabemos que 5/0 es +, pues la cantidad e es pequeñísima pero positiva (algo así como si fuera +0,00000000001).

  * Por la izquierda de x=2:

ahora tenemos -5/e , siendo e ese número pequeñísimo pero positivo (imaginemos algo como antes:  +0,00000000001), por tanto es el mismoresultado que antes pero con signo negativo.

Ejemplo 5: Estudiar lo que sucede en x=0 para la función    :

Al tratar de hallar f(0) nos encontramos con el número e elevado al infinito impreciso, por lo tanto pasemos a hallar los límites laterales:

 

   En este caso el límite por la derecha de x=0, es decir para x=0+e ,  nos conduce al número e elevado a 1/e (para esta expresión imaginense, como siempre, algo así como 1/ +0,00000000001), cuyo resultado es e elevado a +, o sea, +.

 

  En este límite por la izquierda de x=0, es decir para x=0-e ,  nos conduce al número e elevado a -1/e, una potencia negativa cuyo resultado es la inversa de la potencia positiva , la cual, al igual que antes, es e elevado a +, o sea, nos da el inverso de +, que es el 0.

  *  EJERCICIOS SOBRE LÍMITES.

  Hallar los 10 límites indicados:

Soluciones:
a) -(dch.), +(izq.) . b) 1 . c) 4 . d) 6.  e) 12. f) 1/2 (dch.), -1 (izq.) .
g) 0 (dch.), +(izq.) . h) 1.  i) 0 . j) 1. 

Finalmente, debemos ser consciente de que no siempre existe límite de una función en un punto, y no solamente porque los límites laterales sean distintos (como hemos dicho en la cuestión 2.3), es que en ocasiones ni siquiera existen estos límites laterales. Consideremos por ejemplo la función 

y = log x

para el punto x = 0 podemos hallar el límite por la derecha de x = 0, es decir:

sin embargo, no podemos hallar el limite a la izquierda de x = 0, puesto que no existen logaritmos de números negativos. Entonces decimos que ese límite a la izquierda no existe. Por supuesto, para un punto tal como x = -5 no existe ninguno de los límites laterales, pues log x sólo tiene existencia en la zona positiva de x.

  Otro caso son funciones como  y = sin x,   y = cos x, u otras funciones periódicas, que al tratar de hallar su límite en cualquiera de los infinitos, nos encontramos sin poder decidir cuál es su valor allí (en realidad el infinito no es un punto sino una zona definida algo imprecisamente, y la igualdad =+1, provoca conflicto en este tipo de funciones). Por lo tanto, hemos de decir que no existe el límite:

  Sin embargo, debe notarse que el producto o cociente de una función cuyo límite es inexistente con otra en la que sí exista puede conducir a un límite con existencia. Por ejemplo:

  Aquí la función 1/x tiene por límite 0 en el infinito, que al multiplicarla por el seno de infinito no puede dar otra cosa que 0.

LÍMITES DE FUNCIONES

Se dice que una función y=f(x) tiene límite "l" cuando la x tiende a "a" y lo representamos por:

cuando para toda sucesión de números reales que se aproxime a "a" tanto como queramos, los valores correspondientes de f(x) se aproximan a "l" tanto como queramos. ("tanto como queramos" es una expresión que nos indica que la aproximación será tanto mayor cuantos más elementos tomemos de la sucesión).

Ejemplo 1:

Consideremos la función   y tratemos de calcular su límite cuando x tiende a 2. Tomamos la sucesión a_n = {1-1,9-1,99-1,999-1,9999-....} y veamos a qué valor se aproxima f(a_n), para ello construimos la siguiente tabla:

an	1	1,9	1,99	1,999	1,9999	1,99999	1,999999	.....	2
f(an)	-2	-29	-299	-2999	-29999	-299999	-2999999	.....

Parece que los valores de la función se aproximan, tanto como  queramos a menos infinito, pero nos  preguntamos ¿Qué ocurriría si la sucesión elegida fuese decreciente, en lugar de creciente, veámoslo:

an	3	2,1	2,01	2,001	2,0001	2,00001	2.000001	....	2
f(an)	4	31	301	3001	30001	300001	3000001	....

 Ahora los valores se aproximan a más infinito.

 Es decir, si la sucesión tiende a 2 pero conservándose todos sus términos menores que 2, la función tiende a un límite y si los valores de la sucesión se conservan todos mayores que dos la función tiende a otro distinto. Afirmamos que no existe límite en el punto 2 para la función dada.

Ejemplo 2

Calcular el límite 

Vamos a proceder como antes con una sucesión creciente y otra decreciente que se aproximen ambas a 3 tanto como queramos:

an	2,1	2,9	2,99	2,999	2,9999	2,99999	2,999999	....	3
f(an)	31	4,3333	4,0303	4,0030	4,0003	4,00003	4,000003	....	4

 Y para una decreciente:

an	4	3,1	3,01	3,001	3,0001	3,00001	3,000001	....	3
f(an)	2,5	3,7272	3,9703	3,9970	3,9997	3,99997	3,999997	....	4

Como los valores que toma la función para ambas sucesiones tienden al mismo valor 4, podemos escribir:

De los dos ejemplos anteriores obtenemos las siguientes conclusiones:

¨      ¨        Se llama límite lateral por la izquierda de f(x) cuando x tiende a "a" al valor al que se aproximan los valores de f(a_n) cuando los valores de a_n se aproximan a "a" tanto como queramos pero manteniéndose menores que "a" (sucesión creciente). Escribimos entonces:

¨      ¨        Se llama límite lateral por la derecha de f(x) cuando x tiende a "a" al valor al que se aproximan los valores de f(a_n) cuando los valores de a_n se aproximan a "a" tanto como queramos pero manteniéndose mayores que "a" (sucesión decreciente). Escribimos:

Teorema: El límite de una función si existe es único y únicamente si l_i = l_d, es decir, si ambos límites laterales coinciden.

   Concepto de límite. Casos de indeterminación.

En el punto segundo de este capítulo hemos definido el límite de f(x) cuando x tiende a "a" por medio de sucesiones. Esta definición aunque muy comprensible desde el punto de vista intuitivo, nos obligaría a comprobar todas las sucesiones que se aproximan a "a" (o al menos muchas de ellas) y ver hacia quién tiende f(a_n). El cálculo pude ser engorroso y la definición poco rigurosa si sólo comprobamos una ó dos como de hecho hemos hecho allí.

Una definición más rigurosa sería:

"Se dice que f(x) tiene por límite l cuando x tiende a "a" y se escribe  , si para todo número real  , positivo y suficientemente pequeño, es posible determinar otro número real  , que depende de  , tal que si se cumple  , entonces se ha de cumplir que  ".

La definición anterior equivale a decir que para todo entorno de "l"   existe otro de “a”   en el cual todo punto de este entorno menos “a” por medio de la función va a  el entorno

Gráficamente:

Ejemplo:

Demostrar que 

Consideremos un  , hemos de encontrar un   que verifique:

entonces:

Y despejando x:

Restando 2 a los tres miembros:

Basta pues tomar:

  para que se cumpla la definición

Diremos que un límite es determinado si es un número real o bien  . En cualquier otro caso se dirá que es indeterminado.

Existen 7 casos de indeterminación (no tienen sentido estos resultados):

En apartados posteriores diremos cómo solucionar cada una de ellas

Cálculo de límites

1.      Límites de funciones polinómicas.

Distinguiremos dos casos:

   Cuando  :

Basta calcular f(a).

Ejemplo:

Calcula 

Será: 

     Cuando  :

En este caso el polinomio es equivalente al término de mayor grado, ya que el resto de los términos son insignificantes respecto de aquél y se pueden despreciar.

El límite será   ó   dependiendo el signo del que tenga el término de mayor grado y de si el exponente es par o impar:

Ejemplos:

                                  

2.      Límites de funciones racionales.

Pueden darse dos casos:

a)        Sea  :

¨        ¨        Si  , se tiene que 

¨        ¨        Si  , entonces 

¨      ¨        Si  , tenemos el caso de indeterminación 0/0. Pero entonces como el numerador y el denominador son divisibles por (x-a), factorizando por la regla de Ruffini o utilizando las igualdades notables, podemos simplificar la fracción algebraica y puede desaparecer la indeterminación:

Ejemplos:

En este último caso determinaremos el signo del infinito calculando los límites laterales:

  ya que si x tiende a 3 pero se conserva menor que 3, el numerador es positivo y el denominador negativo (basta dar a la "x" del denominador el valor 2,99 y se obtiene como valor numérico -0,0099).

  pues para x tendiendo a 3 pero conservándose mayor que 3, el numerador es positivo y el denominador también (basta dar a "x" el valor 3,01 para obtener 0,0101).

               

b)        Sea ahora  :

Obtenemos una indeterminación del tipo   que se subsana dividiendo numerador y denominador por el x de mayor grado:

Ejemplo:

De la forma como hemos resuelto el ejemplo se deduce que si los términos de mayor grado de P(x) y Q(x) son respectivamente axⁿ y bx^m, pueden ocurrir tres casos:

¨      ¨        Si n>m el límite es 

¨      ¨        Si n=m el límite es 

¨      ¨        Si n

Si la función es suma o resta de dos fracciones algebraicas, puede aparecernos una indeterminación del tipo   que desaparece haciendo previamente la suma o resta.

Ejemplo:

No podemos terminar este apartado viendo la forma de calcular los límites de funciones potenciales-exponenciales donde tanto la base como el exponente son funciones racionales, es decir, límites del tipo:

en caso en que la función racional de la base tienda a 1 y la del exponente a infinito. Hablamos de solucionar la indeterminación  .

Hay dos formas de hacerlo:

a)       Tratando de poner la fracción racional de la fase en la forma   para lo cual habrá que dividir los polinomios P(x) y Q(x) y recordar que  cualquier división de este tipo nos permite poner la fracción en la forma:

 , siendo C(x) el cociente y r(x) el resto.

Realizando las transformaciones necesarias tanto en la base como en el exponente podemos llegar a una solución en la que intervenga el número "e".

Veamos el siguiente ejemplo:

donde la base tiende a 1 y el exponente a infinito.

 Dividamos los polinomios de la función racional de la base de la potencia:

X² + 0 - 3               x² + 0 + 4

                              

-x² + 0 - 4               1

 

            -7

Pudiendo escribir el límite:

b)          Otra forma de eliminar esta indeterminación es recurriendo a la llamada regla de oro que nos dice que si a(x) tiende a 1 y b(x) tiende a infinito, se cumple:

La justificación de esta regla sería:

Llamando "l" al límite buscado y tomando logaritmos neperianos en la expresión del límite anterior quedaría (recordando la posibilidad de intercambio del logaritmo con el límite):

Y de ahí se deduce que:

  como queríamos probar.

Veamos una aplicación práctica:

Será:

3.      Límite de funciones irracionales.

Sea f(x) una función en la que aparece un radical. Pueden darse dos casos:

a)       Cuando x tiende a "a":

Si al sustituir x por a aparece una indeterminación del tipo 0/0 basta multiplicar y dividir por la expresión conjugada.

Ejemplo:

b)        Cuando x tiende a infinito:

Puede aparecernos una indeterminación del tipo   que se soluciona como antes multiplicando y dividiendo por el conjugado.

       Asíntotas. Cálculo.

Las asíntotas son líneas rectas a las cuales se aproxima, tanto como queramos, alguna rama de una función.

Pueden haber tres tipos de asíntotas:

a)            Verticales:

La recta x=a es una asíntota vertical de la función y=f(x) si se cumple que 

b)             Horizontales:

La recta y=l es una asíntota horizontal de y=f(x) si se cumple que 

c)             Oblicuas:

La recta y=mx+n es una asíntota oblicua de la función y=f(x) si se cumple que:

Para conocer la posición de la curva con relación a su asíntota  calculamos:

¨      ¨        Para las verticales los límites laterales:

  y comprobamos si la curva va a   ó a 

¨      ¨        Para las horizontales los límites:

  y vemos si se acerca a la recta y=l por la derecha o por la izquierda.

¨      ¨        Para las oblicuas calculamos:

  y vemos si está por encima o por debajo de la curva.

Las funciones polinómicas carecen de asíntotas.

Las funciones racionales pueden tenerlas de los tres tipos y las podemos calcular así:

¨      ¨        Las verticales se obtienen de los valores que anulan el denominador.

¨      ¨        Las horizontales existirán si el grado del numerador es menor que el del denominador.

¨      ¨        Las oblicuas existirán si el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador.

Ejemplo:

Encontrar y dibujar las asíntotas de la función 

Será:

Como  , no hay asíntotas horizontales.

Como  , la recta x= -1 es una asíntota vertical.

Como   la recta y=x-4 es asíntota oblicua.

La gráfica, junto con las asíntotas es:

Como:

pues en el primer caso el numerador es positivo y el denominador negativo y en el segundo ambos son positivos, la curva está por la izquierda de la asíntota vertical a la izquierda del -1 y a la derecha por la derecha del -1.