TABLA EXPRESIONES

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

(1)

* * *

(2)

* * *

Ángulo doble Haciendo B=A en las expresiones (1)

(3)

* * *

Ángulo mitad

(4)

* * *

(5)

DERIVADAS DE FUNCIONES

Noción de derivada de una función en un punto.

Sea una función y = f(x) , a partir de ella se puede definir otra función, y' = f '(x) , llamada "derivada de f(x)", que va a jugar un papel fundamental en todo el Cálculo Infinitesimal, tal como vamos a ir viendo en éste y en posteriores temas.

Pero comencemos por la definición de derivada en un cierto punto, digamos x = xo , de la función y = f(x) es:

suponiendo que este límite exista (en cuyo caso se dice que f es derivable en xo ). A esta cantidad h se la llama "incremento de x", en muchas ocasiones se la suele representar como Dx (recuerde por ejemplo en Física el concepto de "incremento de temperatura", etc.), y puede ser tanto positiva ("incremento positivo") como negativa ("decremento").

(ATENCIÓN: Hemos dado la definición de la derivada en un punto , es decir, f'(xo) , lo cual representa un valor numérico.

EJEMPLO 1: Para la función y = x² , vamos a hallar su derivada en cierto punto x=a.

Según la definición de arriba tendremos:

Observe cómo hemos sustituido en f(a+h) su valor para este ejemplo, (a+h)² , así como en f(a) el valor correspondiente, a². Finalmente tenemos que hallar el consiguiente límite que por regla general suele tener la forma indeterminada 0/0, pero nosotros debemos operar en él para eliminar la indeterminación:

La derivada en el punto x=a de la función x² es 2a. Es decir, por ejemplo:

f ' (2)= 2.2 = 4,
f ' (3)= 2.3 = 6,
f ' (4)= 2.4 = 8,
etc.

Para la función y = x² , podemos decir que existe derivada en todos sus puntos, posteriormente se define la función derivada de y = x² como la función y' = 2 x.

7.2 Función derivada de una función.

En general, las funciones elementales que tratamos en Cálculo poseen derivada en todos sus puntos (salvo quizás en algunos puntos específicos de los que luego hablaremos), por eso dada una función y = f(x) , diremos que su derivada es la función y ' = f '(x).

Es decir, la función derivada de f(x) puede ser calculada mediante el límite:

EJEMPLO 2: Hallar la derivada de la función y = sin x.

Aplicamos la fórmula de arriba para f(x) = sin x.

límite que en principio tiene la forma indeterminada 0/0, pero cuyo numerador puede ser desarrollado según la formula de la diferencia de dos senos (ver relaciones trigonométricas):

Por lo tanto:

donde hemos tenido en cuenta que:

En definitiva, la derivada de y = sin x es y ' = cos x .

7.3 Significado geométrico de la derivada en un punto.

Supongamos una función y = f(x) , y consideremos un cierto punto x = xo .

A partir de ese punto xo, incrementamos la ordenada una pequeña cantidad h, llamada "incremento de xo" (también representado Dxo), y la función pasa de f(xo) a f(xo + h), entonces la función ha sufrido un incremento Dy en ese punto, equivalente a:

Fijémonos ahora en el triángulo rectángulo formado arriba por la recta secante

a la curva (en azul) y las rectas punteadas, triángulo que reproducimos a la derecha algo más ampliado.

En este triángulo, la hipotenusa es la recta PR dibujada en azul, mientras que sus catetos son los dos incrementos, Dy , Dx (en el punto xo). Por lo tanto al dividir el Dy entre el Dx , nos da la tangente del ángulo P (marcado en naranja):

se trata de la tangente que forma la recta secante que une los puntos de f(xo) y f(xo + h), ahora si hacemos tender h a 0, es decir, para desplazamientos h infinitesimales, esa recta secante se transforma en la recta tangente (dibujada en violeta), y el ángulo P se convierte en el a (en color rojo), entonces:

que es precisamente la derivada de y=f(x) en el punto xo. Geométricamente es la tangente "del ángulo formado por la recta tangente" en el punto P, llamada pendiente de la curva en P, o mejor, pendiente de y=f(x) en el punto xo.

Este sentido de derivada de una función en un punto nos permite conocer el significado de un punto tal en que no exista derivada, como en la gráfica siguiente:

Observando el punto xo de la gráfica adjunta, comprobamos que ahí no puede trazarse una única recta tangente para la curva, lo cual es un indicativo de la no existencia de derivada en este punto.

7.4 Derivadas de las funciones elementales.

De la misma forma que en el apartado 3.2 hemos obtenido la función derivada de y = sin x, aplicando directamente la definición, así también podríamos obtener la derivada de cualquier otra función. Pero lo que se hace es calcular esta derivada para cada función elemental y apuntarla en una tabla.

* Tabla de derivadas de las funciones elementales.
* Tabla de derivadas de las funciones trigonométricas.

Es imprescindible que el alumno memorice el contenido de estas dos tablas, sólo así estará capacitado para obtener la derivada de cualquierfunción que se le presente. Observe que se está exigiendo la memorización de una tabla realmente reducida (comparando con lo que tienen que memorizar los estudiantes de Derecho

). En ellas no están incluidas las derivadas de funciones como: cosec x, sec x , pues estas pueden hallarse derivando sus equivalencias correspondientes: cosec x = 1/sin x, sec x = 1/cos x.

7.5 Propiedades de las derivadas.

Sean k: una constante, f : una función, g: otra función. Entonces se dan las siguientes propiedades:

lo cual nos permite hallar derivadas de funciones compuestas de funciones elementales. Por ejemplo:

EJEMPLO 3: Hallar la derivada de la función:

y = sin x . cos x

Respuesta: Conocemos las derivadas (sin x) ' = cos x, (cos x) ' = -sin x, por lo tanto por la propiedad III tenemos:

y' = (sin x . cos x)' = cos x . cos x + sin x . (- sin x) =
= cos² x - sin² x

EJEMPLO 4: Hallar la derivada de la función:

Respuesta: Conocemos las derivadas (x²)' = 2x, (sin x) ' = cos x, por lo tanto, por la propiedad IV tenemos:

EJEMPLO 5: Hallar la derivada de la función:

Respuesta: Conocemos la derivada de (cos x) ' = -sin x, entonces según la propiedad IV-b:

7.6 Derivadas de funciones compuestas.

En general nosotros nos encontraremos con funciones más complicadas que y = cos x, sin embargo cualquier función compleja que aparezca en nuestros cálculos estará compuesta de funciones elementales. El alumno podría repasar la noción de función compuesta antes de continuar con esta cuestión

Sea una función compuesta: y = f o g (x) , puede demostrarse que la derivada de esta función en un punto xo es:

y '( xo) = f ' [ g (xo)] . g' (xo)

es decir, es el producto de f ' por g', pero ATENCIÓN: mientras que f ' se aplica en g (xo), en cambio g' se aplica en xo.

O sea que, la función derivada, en un punto genérico x de la función compuesta:

y = f o g (x)

es: y '( x) = f ' [ g (x)] . g' (x).

Por ejemplo, sea la función y = cos (x² + 1), hallemos su derivada.

Esta función compuesta está formada por las dos funciones simples:

f(x) = cos x , g(x) = x²+1

cuyas derivadas son: f '(x) = - sin x , g' (x) = 2x

La derivada de esta función compuesta es:

y '( x) = f ' [ g (x)] . g' (x) = - sin (x²+1) . 2x

Observe cómo f ' la aplicamos en g(x) -es decir, en (x²+1)- mientras que la g' es aplicada en x.

Algunas personas, sobre todo los principiantes en el tema de derivadas (todos somos principiantes "al principio" ) suelen realizar estas derivadas de funciones compuestas en dos pasos, mediante la introducción de una variable intermedia:

Partiendo de la función: y = cos (x² + 1), a la función más interna la identifican con una variable intermedia, u, es decir, haciendo u = x²+1, les queda:

y = cos u

cuya derivada es:

y = - sin u . u'

y como u' = 2x, finalmente llegan al mismo resultado:

y '( x) = - sin (x²+1) . 2x

En definitiva se trataría de derivar una función: y = f[ g(x) ], introduciendo la variable intermedia u = g(x), con lo que nos queda la función: y = f(u), cuya derivada es:

y ' = f '(u) . u'

Por este motivo, algunas tablas de derivadas son dadas así:

Función Derivada

y = sen u y ' = cos u . u'
y = cos u y ' = -sen u . u'
etcétera

Por supuesto, también podemos hablar de funciones compuestas de tres o más funciones elementales: y = f o g o h(x) , es decir,

y = f [ g[ h(x)]]

En este caso, hacemos t = h(x), con lo que tenemos: y = f [ g(t) ], y su derivada no es diferente del caso anterior, si hacemos u = g(t):

y ' = f '(u) . u'

claro, que u' ahora es: u ' = g'(t) . t' , y por tanto:

y ' = f ' [ g[ h(x)]] . g' [ h(x)] . h'(x)

EJEMPLO 6: Vamos a hallar la derivada de la función:

Esta función compuesta la podemos expresar:

y = sin u

siendo u = , y siendo t = x²+1. Su derivada es:

y ' = cos u . u'

claro que aquí u' es la derivada de

, o sea, la derivada de

mientras que t' es la derivada de x²+1, o sea, t' = 2x. Por lo tanto la derivada es:

7.7 Diferencial de una función.

Consideremos una función y = f(x) que sea continua en las proximidades de un punto x = xo , y al mismo tiempo que sea derivable en ese punto. Podemos recordar la gráfica que hemos visto en el epígrafe 7.3 en el que hacíamos una alusión al "incremento de la función" en un punto (llamémosle genéricamente "x", en lugar de xo) :

Dy = f (x + Dx) - f (x)

Debido al Teorema de Lagrange: Para una función continua en [a, b] y derivable en el interior de dicho intervalo, hay siempre un punto c dentro de [a, b] que verifica:

f (b) - f (a) = (b - a) f '(c)

Si consideramos el intervalo cerrado [x, x + Dx] , según este teorema existe un punto c entre x y x + Dx que cumple:

Dy = f (x + Dx) - f (x) = Dx f '(c)

Ahora consideremos un Dx infinitesimal, es decir, tal que tienda a ser 0, entonces se habla de "diferencial" en lugar de "incremento", y la expresión de arriba puede expresarse:

dy = f '(x) dx

La diferencial en un punto específico x=a, es:

EJEMPLO 7: Hallar la diferencial de la función y = x³ . Hallar esta diferencial en el punto x=3.

Para la diferencial de la función hay que tener en cuenta: dy = f '(x) dx . Para nuestro caso tenemos:

dy = 3x² dx

En el caso concreto del punto x=3, tenemos:

7.8 Derivadas de orden superior.

Dada una función y = f(x), podemos calcular su derivada:

a continuación, podemos calcular la derivada de f '(x):

a esta derivada se la llama derivada segunda de f(x), y se expresa por f "(x).

Por ejemplo, para la función y = x³ , tenemos que su derivada primera es:

y ' = 3x²

y su derivada segunda es:

y " = 6x

También se habla de derivadas terceras (la derivada de la derivada segunda), derivadas cuartas (la derivada de la derivada tercera), etc. En estos casos se expresan mediante números romanos como superíndices de la función:

Lista de derivadas de funciones elementales

$f\left(x\right) = a$	$f'\left(x\right) = 0$
$f\left(x\right) = x$	$f'\left(x\right) = 1$
$f\left(x\right) = ax$	$f'\left(x\right) = a$
$f\left(x\right) = ax + b$	$f'\left(x\right) = a$
$f\left(x\right) = x^n$	$f'\left(x\right) = nx^{n-1}$
$f\left(x\right) = \sqrt{x}$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f\left(x\right) = e^x$	$f'\left(x\right) = e^x$
$f\left(x\right) = \ln(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = a^x (a >0)$	$f'\left(x\right) = a^x \ln(a)$
$f\left(x\right) = \log_{b}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{x\ln(b)}$
$f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n}$	$f'\left(x\right) = -nx^{-n-1} = -nx^{-(n+1)} = \frac{-n}{x^{n+1}}$
$f\left(x\right) = \operatorname{sen}(x)$	$f'\left(x\right) = \cos(x)$
$f\left(x\right) = \cos(x)$	$f'\left(x\right) = -\operatorname{sen}(x)$
$f\left(x\right) = \tan(x)$	$f'\left(x\right)=\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$
$f\left(x\right) = \csc(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc(x)\cot(x)$
$f\left(x\right) = \sec(x)$	$f'\left(x\right) = \sec(x)\tan(x)$
$f\left(x\right) = \cot(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc^2(x)$
$f\left(x\right) = \operatorname{arcsen}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arccos(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arctan(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}$
$f\left(x\right) = g(x) \pm h(x)$	$f'\left(x\right) = g'(x) \pm h'(x)$
$f\left(x\right) = g(x) \cdot h(x)$	$f'\left(x\right) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$
$f\left(x\right) = \frac{g(x)}{h(x)}$	$f'\left(x\right) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h^2(x)}$
$f\left(x\right) = k \cdot g(x)$	$f'\left(x\right) = k \cdot g'(x)$
$f\left(x\right) = g \circ h = g(h(x))$	$f'\left(x\right) = (g'\circ h) \cdot h' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

Ejemplos

Determinar la función derivada de f(x) = x² − x + 1.

Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)

f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3

f'(0) = 2(0) − 1 = −1

f'(1) = 2(1) − 1 = 1

Derivada de las funciones a trozos

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntosde separación de los distintos trozos.

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.

No es derivable en x = 0.

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

La función es continua en toda

f'(−2)⁻ = −1f'(−2)⁺ = 1

No será derivable en: x= -2.

En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.

Hallar los puntos en que y = |x ² − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

La función es continua en toda

f'(2)^- = −1f'(2)⁺ = 1

f'(3)^- = −1f'(3)⁺ = 1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x=2 y x=3.

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.

CONCEPTO

Hasta aquí nos hemos referido a la derivada de una función y=f(x) en un punto x = a de su dominio; el resultado es un número real, por tratarse de un valor límite

Consideremos la función y = 50t-5t²que representaba la posición vertical de una bola lanzada desde el suelo hacia arriba en función del tiempo. El dominio de definición es el intervalo [0,10] ya que no tiene sentido hablar de posiciones por debajo del nivel del suelo; el instante inicial es t=0 segundos (cuando es lanzada) y el final es t=10 segundos (cuando llega al suelo de caída).

Podemos observar que en cada instante t la bola tiene asociada una variación instantánea (su velocidad) que es la derivada f '(t)

Existe una aplicación entre la variable t perteneciente a [0,10] y f '(t). Esta aplicación es una nueva función que convenimos en escribir y' = f '(t) y llamamos función derivada de y = f(t).

El siguiente es un cuadro de algunos valores de esta función:

t	0	2	4	6	8	10
f '(t)	50	30	10	-10	-30	-50

La escena siguiente representa la gráfica de la función y=50t-5t², altura-tiempo, de una bola lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo y la gráfica de su función derivada y' = 50 -10t, velocidad-tiempo, que permite calcular para cada instante de tiempo t la variación instantánea de la altura (velocidad).

2.DOMINIO DE DERIVABILIDAD

También sabemos que es posible que la derivada de una función en un punto, no exista, en cuyo caso decimos que la función no es derivable en ese punto.

Decimos que una función es derivable en un intervalo abierto (x₁,x₂) de su dominio si lo es en cada uno de sus puntos. En general el conjunto de puntos donde la función es derivable constituye su dominio de derivabilidad.

Hay que observar que el dominio de derivabilidad de una función puede no coincidir con el dominio de la función. O dicho de otra forma, el dominio de la función f(x) puede no coincidir con el dominio de la función derivada f ´(x).

EJEMPLO: Consideremos la función valor absoluto de x que queda definida de la siguiente manera:

El dominio de y=f(x) es R (conjunto de números reales) mientras que el dominio de y´ es R - {0}puesto que en x=0 la función f(x) presenta un punto anguloso y la pendiente por la izquierda no coincide con la pendiente por la derecha.

La gráfica de la función derivada es:

Pues la pendiente de f(x) es constante y vale tg(45º)=+1 para x>0 y es constante y vale tg(135º)=-1 para x<0 .="" definida="" derivada.="" en="" est="" font="" funci="" la="" n="" no="" x="0">

DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES POLINÓMICAS

En las escenas anteriores las funciones f(x) eran polinómicas y habrás observado:

Que el dominio de derivabilidad es el mismo que el de la función.
La función derivada es también polinómica y un grado menor.

Si f(x) e una función polinómica de grado n resulta que la derivada f ' (x) es de grado n-1

OTRAS FORMAS DE DESIGNAR LA DERIVADA

La función derivada de f(x) normalmente se designa por f´(x) como hemos hecho hasta ahora. Otras formas usadas son df(x)/dx o D_x[f(x)] que se lee como "derivada de la función f(x) respecto de x".

EXPERIMENTA:
1.- Observa la altura y la velocidad de la bola (derivada) en los siguientes instantes: t=1,5 ; t=5; t=10
2.- Determina dos instantes de tiempo para los que la altura de la bola es la misma f(t)=80. ¿Cuál es la derivada en cada uno de estos instantes? ¿Qué significa este resultado?
3.- Observa que cuando la función es creciente (la bola sube), la derivada es positiva y cuando la función es decreciente (la bola baja) la derivada es negativa.
4.- Observa que en la altura máxima la función pasa de ser creciente a ser decreciente y la derivada se hace cero.
5.- Cuales son los dominios de definición de f(t) y f '(t)
En la siguiente escena se representa la función y=2x³-9x²+12x-3 y su derivada y' =6x²-18x+12
Trata de entender el significado:

El dominio de la función y=f(x) es R y puesto que es continua y no presenta puntos angulosos el dominio de derivabilidad es también R
Los intervalos de crecimiento son (-infinito,1) y (2,+infinito).
Hay un intervalo donde la función decrece (1,2).
Observa la función derivada f '(x): en los intervalos de crecimiento de f(x) la derivada es positiva (representación por encima del eje de abcisas OX) pues la recta tangente tiene una inclinación entre 0º y 90º; en el intervalo de decrecimiento de f(x) la derivada es negativa (representación por debajo del eje OX) pues la recta tangente tiene un ángulo de inclinación entre 90º y 180º. Donde la función derivada corta al eje OX se cumple que f '(x)=0 pues la tangente a la curva y=f(x) es horizontal (ángulo de inclinación de 0º).
1.- Localiza las coordenadas de los puntos máximo y mínimo locales.
2.- Observa que el crecimiento o decrecimiento de la curva f(x) es menor cuanto más próximos estamos de los puntos máximo y mínimo locales.
3.- Observa que el crecimiento se hace muy rápido cuanto más nos alejamos a la derecha del mínimo y que el decrecimiento se hace muy rápido cuando nos alejamos a la izquierda del máximo.

3. MÉTODO DE CUATRO PASOS PARA CALCULAR DERIVADAS

Para calcular la derivada de y=f(x) en x=a, obteníamos el límite

puesto que ahora nos interesa obtener la expresión de la derivada para un punto cualquiera x, habrá que calcular

1.- Función incrementada:

f(x+h)

2.- Incremento de la función (variación):

f(x+h)-f(x)

3.- Cociente incremental (TVM):

4.- Límite del cociente incremental:

Sea la función f(x)=50x-5x² (posición de la bola en función del tiempo x tratada anteriormente).

Calculemos mediante la Regla de los cuatro pasos, la función derivada:

1.- Función incrementada:

f(x+h) = 50(x+h)-5(x+h)²= 50(x+h)-5(x²+2xh+h²) = 50x+50h-5x²-10xh-5h²

2.- Incremento de la función:

f(x+h-f(x) = (50x+50h-5x²-10xh-5h²)-(50x-5x²) = 50h-10xh-5h²

3.- Cociente incremental (TVM):

4.- Límite del cociente incremental:

f ' (x) = 50 - 10x

Comprobar este resultado con el que se daba en el estudio de la velocidad de la bola.

Aplicando la regla de los cuatro pasos obtendríamos:

f(x)	f '(x)
k	0
x	1
x²	2x
x³	3x²
x⁴	4x³
.....	.....
xⁿ	nx^n-1

Es importante recordar este resultado pues ayudará a calcular funciones derivadas de polinomios sin tener que recurrir a la regla de los cuatro pasos.Para ello es necesario conocer la propiedad de linealidad de las funciones derivadas que masamos a explicar seguidamente.

4. PROPIEDAD DE LINEALIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVADA

Sea y =f(x) e y = g(x) dos funciones que tienen el mismo dominio de derivabilidad. Se cumplirá que:

La derivada de la suma f(x)+g(x) es igual a la suma de las derivadas f ' (x) + g ' (x):

[f(x)+g(x)]´= f ´ (x) + g´(x)

Derivada de una constante k por una función f(x) es igual a la constante por la derivada de la función:

[k·f(x)]´= k·f ´(x)

Estas dos propiedades pueden expresarse en una sola expresión:

Si k₁ y k₂ son constantes (números reales) se verificará

[k₁·f(x)+k₂g(x)]´= k₁·f ´(x) + k₂·g´(x)

En la escena de la izquierda tenemos representadas dos funciones:

y = f(x), y = k·f(x).

La tasa de variación media de y = k·f(x) resulta ser

Por tanto si h tiende a 0 entonces [k·f(a)]´ = k·f ´(a)
esta propiedad es válida para cualquier punto donde la función sea derivable, por tanto

[k·f(x)]´ = k·f ´(x)

Caso particular para k=-1

[-f(x)]´ = -f ´(x)

Ejemplo:

Sea y = 3x², su derivada será

y´ = 3[x²]´= 3·(2x) = 6x

En la escena de la izquierda tenemos representadas las funciones y=f(x), y=g(x) y la suma de ambas y=s(x)=f(x)+g(x).Si consideramos el intervalo [a,a+h] y calculamos los incrementos de las funciones dentro del intervalo, obtenemos:
s(a)=f(a)+g(a)
s(a+h)=f(a+h)+g(a+h)
s(a+h)-s(a)=f(a+h)+f(a+h)-f(a)-g(a)=f(a+h)-f(a)+g(a+h)-g(a)
La TVM de s(x) será:

suma de la TVM de f(x) más la TVM de g(x), y por tanto cuando h tiende a cero la expresión se convierte en

[f(a)+g(a)]´=f ´(a)+g´(a)

y generalizando para cualquier punto donde f y g sean derivables

[f(x)+g(x)]´=f ´(x)+g´(x)

Observación: teniendo en cuenta que f(x)-g(x) = f(x)+(-g(x) se deduce fácilmente que

[f(x)-g(x)]´=f ´(x)-g´(x)

Generalización al caso de una suma de más de dos funciones:

[f₁(x)+f₂(x)+....+f_n(x)]´=f₁´(x)+f₂´(x)+....+f_n´(x)

Calcular las derivadas de las funciones:

1.- x²+x

2.- 5x³-3x²-x+1

Demostrar:

Si dos funciones f(x), g(x) tienen la misma función derivada entonces aquellas difieren en una constante, es decir f(x) = g(x) + k

En efecto, supongamos que f ´(x) = g ´(x) entonces f ´(x) - g ´(x) = 0

y teniendo en cuenta la propiedad de linealidad [f(x) - g(x)] ´ = 0. Este resultado significa que la función diferencia f(x) - g(x) = k (constante) o lo que es lo mismo f(x) = g(x) + k

5. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES

Consideremos dos funciones f(x) y g(x), se cumple que

[f(x)g(x)]´ = f ´(x)g(x) + f(x)g´(x)

Ejemplo 1:

D[x²lnx]=D[x²]lnx+x²D[lnx]=2xlnx+x²(1/x)=2xlnx+x

Ejemplo 2:

D[xsenx]=D[x]senx+xD[senx]=senx+xcosx

CUADRO DE FUNCIONES DERIVADAS

FUNCIÓN	DERIVADA
Constante
y = k	y´= 0
Identidad
y = x	y´=1
Potenciales
y = xⁿ	y ´= nx^n-1


Exponenciales


Logarítmicas


Trigonométricas