AMIGOS PARA SIEMPRE: Apuntes de matemáticas

DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

Valores y vectores propios de un endomorfismo.

Sea un espacio vectorial E, de dimensión n, y sea una aplicación lineal (endomorfismo):

f: E ® E

Se dice que

es un vector propio de f cuando existe un lÎK tal que:

Al valor l que verifica:

para algún

se dice que es un valor propio del endomorfismo f para ese vector

, el cual es llamado vector propio para ese l .

NOTA: No todo endomorfismo posee valores propios.

* Propiedades

- El vector

es vector propio, para cualquier valor l , pues:

- Sea lÎK un valor propio del endomorfismo f. Entonces el conjunto de todos los vectores propios asociados a l , más el vector nulo, forman un subespacio vectorial, denominado subespacio propio de l. Se le denota por v(l).

DEMOSTRACIÓN:

Si l = 0,

Þ Subesp. vectorial.

Si l ¹ 0,

Sean

Por tanto

, o sea , v(l) es subespacio vectorial.

- Sean l1 ¹ l2 dos valores propios distintos del endomorfismo f. Los subespacios asociados v(l1), v(l2) son disjuntos salvo el vector nulo.

DEMOSTRACIÓN:

Sea un vector propio que perteneciese a la intersección,

, entonces:

por lo tanto,

- Sean p vectores propios,

, del espacio vectorial E de dimensión n (p£n), cuyos valores propios asociados respectivamente seanl₁, l₂, ..., l_n, distintos entre sí; entonces el sistema {

} es libre.

18. 2 Ecuación característica de un endomorfismo.

Sea un espacio vectorial E, de dimensión n, y sea una aplicación lineal (endomorfismo): f: E ® E

Sea la matriz A (n ´ n) asociada a f:

que equivale a: (A - l I ) . X = 0

Lo cual representa un sistema de ecuaciones lineales:

Sistema que admite soluciones distintas de la trivial cuando:

½A - l I ½= 0

Obsérvese cómo al calcular ½A - l I ½ nos queda una expresión polinómica en l, llamada polinomio característico:

P(l) =½A - l I ½

Mientras que a P(l) = 0 se llama ecuación característica.

Ejemplo:

Para la matriz

el polinomio característico es:

si ahora igualamos a 0 este polinomio obtenemos la ecuación característica:

- l³ + 10 l² - 40 l + 123 = 0

las raíces de este polinomio son los valores propios.

Una vez hallados los valores propios l₁, l₂, ..., l_n, podemos calcular los vectores propios asociados a cada uno de ellos resolviendo el sistema:

(A - l I ) . X = 0

es decir,

Así obtenemos cada uno de los subespacios v(l). Se debe verificar que:

Dim v(l) = n – rang (A - l.I)

PROPOSICIÓN:

Sean l₁, l₂, ..., l_n, distintos entre sí, entonces el subespacio v(l₁)+v( l₂)+ ...+v(l_n) es suma directa de los subespacios v(l₁), v( l₂), ..., v(l_n)

DEMOSTRACIÓN:

Sean

y hagamos:

cada uno de los

debe ser nulo, pues si alguno de ellos no lo fuera estaríamos ante una familia ligada (cosa que no es posible).

Por tanto,

18. 3 Matrices semejantes.

Se dice que dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz P inversible que verifica:

P^-1. A . P = B

- TEOREMA:

Sea A una matriz cuadrada de orden n, el polinomio característico de A no varía si se reemplaza A por una matriz semejante B.

DEMOSTRACIÓN:

Supongamos la existencia de una matriz P tal que: P^-1. A . P = B

B - lI = P^-1. A . P - lI = P^-1. A . P - P^-1. (lI) . P = P^-1. (A - lI) . P

Puesto que I = P^-1. I . P

Por lo tanto:

½B - lI ½ = ½ P^-1½ ½A - lI ½ ½ P½ = ½A - lI ½

Como consecuencia se puede hablar del polinomio característico de un endomorfismo f sin tener en cuenta la base en la que éste viene dado.

- TEOREMA:

Sea f un endomorfismo de dimensión n, si su polinomio característico admite una raíz múltiple de orden k, se verifica:

1 £ dim v(l) £ k

18. 4 Diagonalización de matrices (endomorfismos).

Se dice que un endomorfismo f del espacio vectorial E, de dimensión n, es diagonizable si existe una base de E tal que la matriz asociada a f en ella es diagonal.

Lo cual es equivalente a:

Se dice que una matriz cuadrada A, de orden n, es diagonalizable si existe una matriz cuadrada inversible P tal que P^-1.A.P sea diagonal.

- TEOREMA:

Un endomorfismo f de un espacio E , dimensión n, es diagonizable si y solo si es posible hallar una base formada por vectores propios.

DEMOSTRACIÓN:

(1) Þ Sea f un endomorfismo de E tal que en la base

la matriz asociada a f sea diagonal:

Por tanto,

½A - lI ½ = (l₁ - l) (l₂ - l) ... (l_n - l)

y además, l₁, l₂, ..., l_n, son precisamente los valores propios de A, y se verifica:

con lo cual se obtiene una base de vectores propios.

(2) Ü Si se puede hallar una base

de vectores propios, de tal forma que:

obviamente respecto a esta base la matriz asociada a f es diagonal.

- TEOREMA 1.

Un endomorfismo f de E, de dimensión n sobre K, es diagonizable si y solo si:

1.- El polinomio característico tiene sus n raíces (distintas o no) en K.

2.- para cada raíz l_i (de orden k_i) se tiene:

dim v(l_i) = k_i

- TEOREMA 2.

Si un endomorfismo f de E, de dimensión n sobre K, posee n valores propios distintos en K, f es diagonizable.

18. 5 Algunos ejemplos de diagonalización de matrices .

Ejemplo 1:

¿ Es diagonizable la matriz A ? : Diagonizarla en caso afirmativo.

Respuesta:

Obtengamos en primer lugar el polinomio característico p(l) = ½A - l.I½:

Las raíces de p(l) son los valores propios: l₁ = -2 (raíz doble), l₂ = 4.

* Hallemos una base para v(l₁) :

Tomamos el sistema (A - l I ) . X = 0 , siendo l= -2, y le resolvemos:

Lo cual equivale a x – y + z = 0 ® x = y – z

Haciendo y = 1, z = 0 , obtenemos el vector: (1, 1, 0).

Haciendo y = 0, z = -1 , obtenemos el vector: (1, 0, -1).

{ (1, 1, 0), (1, 0, -1) } forman una base de v(-2), pues son independientes.

* Ahora hallemos una base para v(l₂) :

Tomamos el sistema (A - l I ) . X = 0 , siendo l= 4, y le resolvemos:

Lo cual equivale a: x = y, z = 2y . { (1, 1, 2) } es una base de v(4).

En conclusión, la matriz A es diagonalizable, pues dim(v(l₁)) = 2 y dim(v(l₂)) = 1, o en otras palabras A tiene tres vectores propios linealmente independientes:

La matriz P (formada por los vectores propios) es:

Y por tanto, la matriz diagonalizada es:

B =

Obsérvese cómo se encuentran situados en la diagonal los tres valores propios (el -2 es doble) de la matriz A.

Ejemplo 2:

¿ Es diagonizable la matriz A ? :

Respuesta:

Obtengamos en primer lugar el polinomio característico p(l) = ½A - l.I½:

Las raíces de p(l) son los valores propios: l₁ = -2 (raíz doble), l₂ = 4, los mismos que en el ejemplo 1 - pero ¡ojo! el resultado va a ser muy distinto.

* Hallemos una base para v(l₁) :

Tomamos el sistema (A - l I ) . X = 0 , siendo l= -2, y le resolvemos:

Es decir: x = y, z = 0. Por tanto una base de v(-2) : { (1, 1, 0) }

* Ahora hallemos una base para v(l₂) :

Tomamos el sistema (A - l I ) . X = 0 , siendo l= 4, y le resolvemos:

Es decir x = 0, y = z. Por tanto una base de v(4) : { (0, 1,1) }

La matriz A tiene solamente dos vectores propios independientes, por lo tanto no es diagonizable (Falla el punto (2) del Teorema 1, que dice:

2.- para cada raíz l_i (de orden k_i) se tiene dim v(l_i) = k_i).

En nuestro caso, tenemos que dim(v(l₁)) = 1, sin embargo l₁ es una raíz de orden 2.

Valores y vectores propios

Sea A una matriz de tamaño n´n:

i). Un número real l es un valor propio de A si para algún vector no nulo u de Âⁿ:

Au = lu

ii) El vector no nulo u que satisface dicha ecuación, se llama vector propio de A asociado al valor propio l.

iii) El polinomio característico de esta matriz es el polinomio

q_A(l) = det(lI-A)

· Multiplicidad algebraica

Se llama multiplicidad algebraica de un valor propio, a su multiplicidad como raíz del polinomio característico, es decir, al número de veces que aparece como raíz de dicho polinomio.

· Multiplicidad geométrica

Se llama multiplicidad geométrica a la dimensión del subespacio propio E_A(l), es decir al conjunto de vectores asociados a un valor propio l concreto (incluyendo el vector nulo).

Sea A una matriz cuadrada. Equivalen:

· l es un valor propio de A.

· El subespacio vectorial asociado a l es distinto de 0.

· La matriz lI – A no es invertible.

Sea A una matriz cuadrada. Entonces:

· Un vector propio de A está asociado a un único valor propio.

· A y A^T tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas (pero no los mismos vectores propios)

· Si l es valor propio de A y k³1, entonces l^k es un valor propio de A^k.

· Si A es triangular (superior o inferior) entonces sus valores propios son los elementos diagonales.

· Semejanza de matrices

Sean A y B dos matrices cuadradas. Se dice que A y B son semejantes si existe una matriz invertible T, tal que

A = T B T^-1ó B= T^-1A T

La relación de semejanza es una relación de equivalencia (cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva).

Si A y B son semejantes:

(i). Tienen el mismo polinomio característico

(ii). Tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas.

· Traza de una matriz

Sean A una matriz cuadrada. Se llama traza de A a la suma de los elementos de la diagonal principal de A.

Si A y B son dos matrices semejantes cuadradas:

(i) det A = det B

(ii) rg A = rg B

(iii) tr A = tr B

· Diagonalización de matrices reales

Una matriz A cuadrada n´n es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal, D = T^-1A T.

Donde l_i (i=1,...,n) son los valores propios y v_i (i=1,...,n) los vectores propios dispuestos en columnas.

Si A es una matriz diagonalizable, entonces:

· Tiene n vectores propios linealmente independientes

· La suma de las dimensiones de los subespacios propios es n

· Si l₀ es un valor propio de A de multiplicidad algebraica m ₀, entonces

1 £ dim E_A(l ₀) £ m ₀

·La multiplicidad algebraica de cada valor propio de A, coincide con la dimensión del subespacio propio correspondiente.

El recíproco no tiene por qué ser cierto.

· Diagonalización de matrices reales simétricas

Las matrices simétricas siempre se pueden diagonalizar. Poseen las siguientes características:

· Los vectores propios asociados son ortogonales respecto al producto escalar canónico.

· Tiene al menos un valor propio real.

· Toda matriz simétrica es diagonalizable por una matriz ortogonal:

D = Q^-1A Q = Q^TA Q

· Matriz Ortogonal

Una matriz cuadrada será ortogonal si sus columnas son vectores ortonormales respecto al producto escalar canónico

Q^TQ = I

· Teorema espectral

Si una matriz A es una matriz simétrica, entonces existe una base ortonormal de Âⁿ formada por los vectores propios de A.

Se llaman valores singulares de una matriz real A, cuadrada, a las raíces cuadradas positivas de los valores propios de la matriz A^TA. Notar que A^TA es una matriz simétrica y por ello diagonalizable.

Se llaman valores singulares de una matriz real A, no cuadrada, a las raíces cuadradas positivas de los valores propios comunes de las matrices A^TA y AA^T.

· Ejercicios resueltos

1) Calcula los valores y vectores propios de las matrices siguientes: