AMIGOS PARA SIEMPRE: Apuntes de matemáticas

ECUACIONES DIFERENCIALES

Introducción.

Una ecuación es una relación entre una serie de variables F(x, y, z, ...)=0. Por ejemplo:

expresa que las variables x e y guardan una relación en la forma gráfica de una elipse, en el plano OXY.

Las ecuaciones surgen en Matemáticas cuando se realiza el estudio de un fenómeno físico, siendo las variables x,y,... ciertas magnitudes físicas (espacio, tiempo, velocidad, etc.). En ocasiones, al hacer un estudio físico no sólo aparece una dependencia entre las magnitudes sino que también pueden aparecer en ella sus derivadas.

Veamos un ejemplo práctico:

Desde una gran altura se deja caer un objeto de masa m . Queremos determinar la velocidad de caída de este objeto en función del tiempo t:

La segunda ley de Newton nos indica que la suma de fuerzas que actúan sobre la masa será igual a su variación de momento lineal, por tanto:

siendo g la aceleración de la gravedad, k el coeficiente de fricción con el aire, y m la masa del objeto, es decir, g, m y k son constantes numéricas conocidas. Esta es una ecuación diferencial del tipo F(v(t), v, v’ ) = 0.

Para esta ecuación es fácil comprobar que toda función v(t) de la forma:

cumple las condiciones de la ecuación, donde C es cierta constante indeterminada. A esta función v(t) se la llama solución general de la ecuación diferencial.

Dependiendo de las condiciones iniciales del problema podemos hallar diversas soluciones particulares, en nuestro ejemplo la velocidad inicial es nula (caída libre), por lo tanto: v(0)=0. Es decir,

y por tanto el valor de C, para este caso particular es

y al sustituir en la ecuación general obtenemos:

que es la solución particular que buscábamos.

16. 2 Ecuaciones diferenciales de una variable. Generalidades.

Se trata de una relación entre una variable x, la función buscada y(x) así como cualesquiera de sus derivadas, y‘(x), y”(x), ..., yⁿ⁾(x) .

Simbólicamente lo expresaremos:

F(x, y(x), y’(x), y”(x), ..., yⁿ⁾(x))=0

El orden de la derivada máxima que interviene en la ecuación se define como orden de la ecuación. Por ejemplo:

Se llama grado de la ecuación diferencial al máximo exponente al que se encuentra elevada la máxima derivada, aunque en numerosas ocasiones sea 1, como en los dos ejemplos de arriba, éste puede ser cualquier número entero. Por ejemplo:

Se trata de una ecuación diferencial de segundo orden, grado 3.

Es conveniente señalar que la solución general de una ecuación diferencial de primer orden vendrá dependiente de una constante indeterminada, en el caso de las de segundo orden dependerá de dos constantes, tres para las de tercer orden, etc.

* Solución general.

Es toda función y=f(x) que al sustituirla en la ecuación diferencial F(x, y, y’,...)=0 la convierte en una identidad. A veces, también es llamadaIntegral general.

Ejemplo:

Supongamos la ecuación diferencial de segundo orden (grado 1):

Como pronto veremos, su solución general puede ser expresada en la forma:

y(x) = C1 sen x + C2 cos x

comprobemos que esto en efecto es así:

y" = -C1 sen x - C2 cos x

al sustituir estos resultados de y", y en la ecuación diferencial, nos encontramos con la identidad:

lo cual nos asegura que esta y(x) es en efecto la solución general.

16. 3 Ecuaciones diferenciales de primer orden (grado 1). Generalidades.

Se trata de ecuaciones de la forma F(x, y(x), y’(x))=0 . Su solución general es de la forma y=f(x, C), aunque no siempre es posible expresar esta solución resuelta respecto a x, en muchas ocasiones la solución simplemente quedará como f(x, y,C)=0 que dibujadas gráficamente forman toda una familia de curvas en el plano OXY.

Las condiciones inciales -una sola condición en este caso- viene dada por:

y(xo) = xo

lo cual geométricamente equivale a dar un punto Po(xo, yo) , por el cual sólo pasa una única curva (una solución particular) de la familia de curvas dada por la solución general.

* * *

Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial:

su solución general es:

Esta solución es toda una familia de curvas, tal como se aprecia en la gráfica adjunta (las curvas -hipérbolas en este caso- se van obteniendo dando diversos valores a C).

De entre éstas solo existe una solución particular que cumple la condición y(1)=4, es decir, sólo una hipérbola pasa por el punto P(1,4), como se ve en la gráfica. Matemáticamente esto lo haríamos sustituyendo en la solución general los valores x=1, y=4:

por tanto, C = 4, y la solución particular con la condición y(1) = 4 es:

* Resolución de las ecuaciones diferenciales primer orden, grado 1.

No hay ningún método sistemático para resolver cualquier ecuación que se nos presente, lo que hay que hacer es clasificar a las ecuaciones diferenciales en tipos, y resolverlas según el método específico existente para cada tipo. A partir de ahora estudiaremos su resolución según sea el tipo de ecuación.

16. 4 Ecuaciones diferenciales de variables separadas . E. D. de variables separables.

I) Ec. Dif. Variables separadas:

Se trata de ecuaciones de la forma:

{1}

es decir, en el miembro de la izquierda aparece y', en el de la derecha aparece un producto de dos funciones: una dependiente sólo de la x, otra dependiente sólo de las y. Un ejemplo de este tipo es:

MÉTODO DE RESOLUCIÓN:

Se trata de arreglar de tal forma la expresión {1} que nos quede en un miembro solamente las x, y en el otro miembro sólo las y.

{2}

A continuación integramos ambos miembros, para así obtener la solución general.

{3}

EJEMPLO:

Sea la ecuación diferencial:

que puede ser expresada en la forma:

y ahora integramos los dos miembros:

es decir, y - 3 Ln y = Ln x + Ln C (note cómo cuando aparecen logaritmos es conveniente expresar la constante de integración en la forma Ln C). Lo cual en forma más simple: y = Ln Cx y³ , o sea, la solución general es:

e^y = C x y³

II) Ec. Dif. Variables separables:

Puede observarse el caso más simple de ecuaciones difererenciales con variables separadas puede expresarse así: M(x) dx + N(y) dy = 0, siendo M(x) una expresión dependiente sólo de x; N(y) una expresión sólo dependiente de y. Un caso reducible a éste es tener una ecuación en la forma:

{4}

donde aparece una función dependiente de y multiplicando a M(x), y una función dependiente de x multiplicando a N(y). En este caso podemos dividir a toda la ecuación por el producto de ambas funciones, así:

con lo que ya tenemos una ecuación de variables separadas.

Por ejemplo, sea la ecuación:

(1 + x) y² dx + (1 - y) x dy = 0

Dividimos a toda la ecuación entre el producto x.y²:

, o sea:

ecuación que es integrable diréctamente:

que tiene por solución general:

16. 5 Ecuaciones diferenciales homogéneas.

Definición preliminar:

Función homogénea: Una función f(x,y) decimos que es homogénea de grado n, si para cualquier l (distinto de 0) se cumple:

f(lx, ly) = lⁿ f(x, y) {5}

Algunos ejemplos:

* f(x, y) = x³ - 5 x² y es función homogénea de grado 3. Es fácil comprobarlo:

f(lx, ly) = (lx)³ - 5 (lx)²(ly) = l³ (x³ - 5 x²y) = l³ f(x, y) .

Este ultimo tipo de funciones f(x, y) , las de grado 0, son las que van a intervenir en las ecuaciones diferenciales homogéneas.

* Ecuación diferencial homogénea.

Se trata de una ecuación diferencial con la forma:

{6}

siendo f(x,y) una función homogénea de grado 0.

Veamos algunos ejemplos de ellas:

MÉTODO DE RESOLUCIÓN:

Se trata de apoyarnos en la propiedad de homogeneidad grado 0 de f(x, y):

f(lx, ly) = f(x, y)

si tomamos como l= 1/x, entonces tenemos:

f(1, y/x) = f(x, y) {7}

El siguiente paso es hacer el cambio u = y/x, o lo que es lo mismo y = u . x , por tanto la y' podrá expresarse así:

{8}

En definitiva, la ecuación diferencial {6} aprovechando la homogeneidad de f puede ponerse:

{9}

y sustituyendo el valor de y' obtenida en {8} nos queda:

{10}

Pues bien, arreglando un poco la ecuación {10} aparece como "de variables separadas":

{11}

EJEMPLO:

Sea la ecuación diferencial:

Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales homogéneas, partiremos de la expresión {10}:

que para este caso nos queda:

siendo u = y/x. A continuación se separan variables y se integra:

por lo tanto, la solución general de la ecuación es:

donde finalmente debemos sustituir u por su valor, y/x:

Observación:

Una ecuación diferencial en la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es homogénea cuando las funciones M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado.

Por ejemplo:

( 3x - 7 y) dx + (5x + 9y) dy = 0,

( 4 x² - 5 xy) dx + (3 x² - 2 y²) dy = 0

16. 6 Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas.

Las ecuaciones diferenciales en la forma:

{12}

con a, b, c, m, n , p constantes, no son ecuaciones diferenciales homogéneas, sin embargo se reducen fácilmente a ellas realizando el cambio:

con h y k unas constantes a determinar, de esta manera tenemos:

dx = dx1 , dy = dy1

y por tanto la ecuación queda así:

{13}

Ahora determinamos los coeficientes h y k de tal manera que los paréntesis de arriba se anulen, es decir, conseguimos que:

{14}

Para ello resolvemos el sistema {14} para h y k. Por lo que finalmente tenemos que {13} se habrá convertido en la ecuación diferencial homogénea:

{15}

Tras resolverla, se sustituyen los valores de x1=x+h, y1=y+k en la solución general.

EJEMPLO:

Resolvamos como ejemplo la ecuación:

(2x - 5y + 3) dx - (2x + 4y - 6) dy = 0

una ecuación que también puede venir expresada así:

Para su resolución hacemos el cambio:

con dx = dx1 , dy = dy1

con lo que la ecuación queda:

Y ahora determinamos el valor de los parámetros h, k para que se anulen simultáneamente:

cuya solución es h = 1, k = 1. (Entonces tenemos x1=x-1, y1=y-1).

Y nos queda la ecuación:

que es ecuación diferencial homogénea, que resolviéndola como ya se ha visto, tiene por solución general:

y finalmente sustituím{14}os los valores de x1, y1:

* Un caso especial:

Conviene tener en cuenta que se puede dar el caso de que el sistema {14} sea incompatible. Esto sucederá cuando:

en este caso el vector (a, b) es combinación lineal del (m, n), por lo que no es posible hallar los valores de h, k. Pero debido a la linealidad se tendrá:

a x + b y = l (m x + n y)

y en este caso haremos el cambio:

y la ecuación: (l (m x + n y) + c) dx + ( m x + n y + p) dy = 0 quedará en la forma:

en definitiva, siempre quedará una ecuación diferencial en la forma:

(a t + b) dt + (g t + h) dy = 0

que es una ecuación de variables separables, en t, y.

Un ejemplo:

(x - y + 3) dx + (2x - 2y - 1) dy = 0

donde podemos apreciar que (x - y) = ½ (2x - 2y). Y como hemos dicho, hacemos el cambio:

x - y = t , dx = dy + dt,

con lo que la ecuación queda así:

( t + 3) (dy + dt) + (2 t - 1) dy = 0

es decir,

( t + 3) dt + ( 3 t + 2) dy = 0

que es de variables separadas:

cuya integración es:

y finalmente susutituiríamos t por x-y.

16. 7 Ecuaciones diferenciales lineales (primer orden)

Son ecuaciones de la forma:

{16}

donde P(x) y Q(x) son funciones dependientes de x o constantes.

MÉTODO DE RESOLUCIÓN:

Se trata de buscar una solución, y(x), como producto de dos funciones de x:

y(x) = u(x) . v(x) {17}

cuya derivada es:

, que sustituyendo en {16} nos conduce a:

que reordenamos:

{18}

y ahora debe tenerse en cuenta que somos nosotros quienes expresamos la función y como produto de dos funciones cualesquiera (u.v), pues bien, siempre podemos escoger v de tal manera que el paréntesis de {18} se anule, es decir, tomamos v tal que cumpla:

{19}

lo cual implica:

, o sea:

O si despejamos v tenemos:

{20}

Con una v(x) obtenida según la expresión {20} , ahora sólo queda conocer u(x), y según {18} tenemos:

la cual es una ecuación de variables separadas:

{21}

que integrando nos da directamente u(x). En definitiva, la solución de una ecuación diferencial lineal viene dada por:

{22}

(OBSERVACIÓN: Hallaremos en primer lugar el primer factor de {22} , es decir, v(x), al realizar la integral de (-P(x) dx) nos aparecerá una constante de integración C, pero como v(x) es una función "cualquiera", nosotros podemos elegir C=0 o cualquier otro valor simple; una vez hallado vpodemos realizar la integral del segundo factor, u, de donde ahora sí aparecerá una constante indeterminada de integración.)

EJEMPLO:

Resolvamos como ejemplo la ecuación:

Como puede apreciarse se trata de una ecuación lineal de la forma:

y’ + P(x) y = Q(x),

en la que P(x) = -2/(x+1) , Q(x) = (x+1)³ . La solución tendrá la forma y = u(x).v(x) que viene expresada en {22} , es decir:

Primeramente:

, que en este caso es:

donde, como se ha dicho en la observación anterior, se ha tomado la constante de integración como C = 0.

Ahora, una vez conocida esa v(x), la función u(x) se determina mediante la expresión:

, que en este caso es:

por lo tanto, la solución general de esta ecuación diferencial es:

16. 8 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

Son ecuaciones de la forma:

{23}

donde P(x) , Q(x) son funciones dependientes de x, o constantes, y n es un número racional distinto de 0 y de 1 (de lo contrario la ecuación es lineal).

Para su resolución, primeramente se transforma a ecuación lineal por medio de las siguientes pasos:

a) Dividimos a toda la ecuación entre yⁿ (o lo que es lo mismo, multiplicamos por y^-ⁿ )

y^-ny’ + P(x) y^-n+1 = Q(x)

b) Hacemos el cambio y^-n+1 = z, y a continuación derivamos z:

z’ = (-n+1) y^-n y’

c) La ecuación resultante con la variable z, es de tipo lineal:

en concreto, la ecuación en z resultante:

{24}

es lineal (comparese con {16} ) salvo quizás el número 1/(-n+1), aunque si multiplicamos a la ecuación {22} por (-n+1) ya queda de la forma {16} .

EJEMPLO:

Resolvamos como ejemplo la ecuación:

para transformarla a ecuación diferencial lineal la dividimos entre y⁴ (es decir, multiplicamos por y^-⁴ ):

Ahora realizamos el cambio: y^-3 = z, a continuación derivamos z:

despejamos y^-4y’ para poder sustituir en la ecuación:

con lo que nos queda:

la cual queda en la forma lineal si multiplicamos a la ecuación por (-3):

cuya solución, tal como hemos visto en la sección 10.7 es y =u.v:

la integral de u(x) puede realizarse por partes, su resultado es:

u(x) = - 2x e^-x - e^-x + C

por lo tanto, la solución general de este ejemplo vendrá dada por:

z = e^x (- 2x e^-x - e^-x + C)

finalmente sustituímos z por su valor:

16. 9 Ecuaciones diferenciales totales (exactas)

Se trata de ecuaciones en la forma:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 {25}

siendo M(x,y), N(x,y) funciones de las variables x, y, tales que se verifica:

{26}

En este caso, el miembro izquierdo de {25} podrá expresarse como la diferencial de una cierta función u(x,y), es decir, se tendrá la identidad:

{27}

la razón de ello es que en {25} podemos realizar la siguiente identificación:

{28}

y entonces la condición {26} equivale a la igualdad de las derivadas mixtas:

En definitiva, si podemos hallar una función u(x,y) que cumpla las dos condiciones {28} , entonces la ecuación diferencial {25} podrá expresarse simplemente:

du = 0 {25'}

y su solución general será simplemente:

u(x,y) = C {29}

MÉTODO DE RESOLUCIÓN:

Para una ecuación diferencial exacta, hallar la solución general se reduce a hallar la función u(x,y) de {29} . Esta función la hallaremos según los dos siguientes pasos:

i) Partimos de la primera condición de {28}, esto es:

de donde tenemos: du = M dx, expresión que pasamos a integrar:

aunque hay que tener en cuenta que al integrar respecto a x una función de dos variables, tal como la M(x,y), las "y" se comportan como una constante, por tanto, en lugar de aparecernos una constante de integración C, en este caso nos aparecerá una función en y, que la expresaremos porj(y). Para expresar esto podemos escribir:

{30}

Para conocer esta j(y) debemos dar el siguiente paso.

ii) A partir de la segunda condición de {28}, esto es:

igualamos N(x,y) a la derivada respecto de y de la función u(x,y) tal como la tenemos en {30} :

{31}

Finalmente despejaríamos de aquí j‘(y), supongamos j‘(y)=F(x,y), para luego poder hallar j(y) integrando esta función F:

{32}

Ahora sí que tendríamos completamente determinada la función u(x, y), entonces la solución general de la ecuación diferencial total es:

u(x, y) = C

EJEMPLO:

Sea la ecuación: (4 x³ y³ - 2 xy) dx + (3 x⁴ y² - x² ) dy = 0

En primer lugar debemos comprobar si esta ecuación diferencia es exacta (es exacta o total si cumple {26}):

Para esta ecuación tenemos M = 4x³y³-2xy, N = 3x⁴y²-x² , y por tanto:

que son iguales, por tanto la ecuación es diferencial exacta.

Ahora debemos hallar la función u(x,y) tal que:

es decir, que podemos identificar:

según la primera, podemos poner:

du = (4x³y³-2xy) dx

e integrar:

A continuación hallamos j(y) según la condición (2) de arriba, la derivada de u respecto de y es:

que tiene que ser igual a N:

Ahora despejamos j‘(y), en este caso queda j‘(y)=0, y la integración del número 0 es una constante, por tanto ya tenemos que j(y) = C.

Y la función u(x,y) que buscabamos es:

u = x⁴y³-x²y+C1

la solución general es u = C, esto es:

x⁴y³-x²y+C1 = C2

Aunque las dos constantes pueden agruparse en una y poner simplemente:

x⁴y³-x²y = C

16. 10 Factor integrante para ecuaciones diferenciales.

Sea una ecuación diferencial:

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 {33}

tal que no sea exacta, es decir, tal que:

En ese caso, bajo ciertas condiciones es posible encontrar un factor m(x,y) , llamado factor integrante, tal que al multiplicarlo por la ecuación :

{34}

la convierta en ecuación diferencial exacta.

Veamos en qué condiciones, y cómo encontrar ese factor integrante:

La condición de diferencialidad exacta ahora en {34} será:

{35}

que desarrollado es:

que agrupando los términos con el factor m:

{36}

Esta ecuación {36} es una ecuación diferencial resoluble bajo ciertas condiciones. Nosotros nos fijaremos en los dos casos más simples:

a) Caso de factor integrante dependiente sólo de x, m(x):

En este caso el último término del miembro de la derecha de {36} se anula, y queda:

{36a}

y se puede expresar así:

{36a'}

que es una ecuación de variables separadas siempre que:

dependa sólo de x. En este caso al integrar la ecuación {36a'} obtenemos un factor integrante para la ecuación diferencial {33}.

b) Caso de factor integrante dependiente sólo de x, m(y):

En este caso, el que se anula es el primer término del miembro de la derecha de {36} y queda:

{36b}

que se puede expresar así:

{36b'}

que, análogamente a ántes, es una ecuación de variables separadas siempre que:

dependa sólo de y. En este caso al integrar la ecuación {36b'} obtenemos un factor integrante para la ecuación diferencial {33}.

RESUMEN (MODO DE OPERAR)

Dada una ecuación diferencial en la forma: M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Suponiendo que no sea homogénea, ni lineal, etc. Comprobaremos en primer lugar si es exacta, para lo cual haremos las derivadas:

En caso de que éstas derivadas sean iguales, resolveremos la ecuación como exacta, sin embargo, si son diferentes, obtendremos la diferencia:

y a continuación dividimos este resultado entre N (1), entre (-M) (2):

(1)

. En este caso el factor integrante se obtiene integrando {36a'}:

* * *

(2)

. En este caso el factor integrante se obtiene integrando {36b'}:

Si podemos hallar el factor integrante m, en cualquiera de los dos casos de arriba -o de alguna otra posible manera-, multiplicamos a la ecuación por él y la convertimos en ecuación diferencial exacta.

EJEMPLO:

Resolvamos la ecuación: (y + x y²) dx - x dy = 0

En este caso tenemos: M = y + x y² , N = -x. Ahora comprobamos las derivadas:

que al ser diferentes nos indica que la ecuación diferencial no es exacta.

A continuación restamos una de otra:

ahora verificamos las dos posibilidades para factores integrantes dependientes de una sola variable:

, una función que no depende sólo de x, por lo que no nos sirve para hallar el factor integrante.

, en este segundo caso la función resultante sí nos sirve, pues depende sólo de la variable y.

Entonces hallamos el factor integrante que según hemos visto viene dado por la expresión {36b'} :

integrando da: log m = log y ^-2, por tanto el factor integrante es m=y^-2.

Ahora para resolver la ecuación diferencial, la multiplicamos por y^-2, es decir, por 1/y²:

ecuación que como puede comprobarse ahora sí es exacta:

y la resolveríamos según lo visto en 10.9, su solución general es:

16. 11 Ecuaciones diferenciales primer orden grado superior.

Se trata de ecuaciones de la forma f(x, y, y’) = 0, en las que la derivada y’ aparece elevada a un numero distinto del 1. Hay muchos tipos de ellas, y cada una necesita un tratamiento especial, pero nosotros nos limitaremos a ver alguna especial.

Hay ecuaciones diferenciales de grado superior como:

* La ecuación de Clairaut:

Se trata de ecuaciones en la forma

, siendo y(y’) una función cualquiera en la que sólo aparece y’ como variable.

Un ejemplo de ecuación de Clairaut es la siguiente:

Es sencillo demostrar que la solución de esta ecuación viene dada por:

y = x C + y(C),

con lo que se da la feliz circunstancia que sustituyendo en la ecuación las y’ por C obtenemos directamente la solución general (ojalá todas las ecuaciones se resolvieran de forma tan sencilla

Así en la ecuación de Clairaut de nuestro ejemplo, su solución general viene dada por:

* La ecuación de Lagrange:

Se trata de ecuaciones en la forma y = x j(y’) + y(y’), donde j, y son funciones únicamente de la variable y’. Observar que la ecuación deClairaut es una caso especial de la ecuación de Lagrange, teniendo por función j a la función identidad.

Para resolver la ecuación de Lagrange, hagamos y’ = p, con lo que tenemos:

y = x j(p) + y(p)

Si ahora derivamos esta ecuación con respecto a x, tenemos:

es decir,

que resulta ser una ecuación diferencial lineal, como podemos ver:

Ecuación que puede resolverse como lineal , para obtener la solución en la forma:

x = f( p, C).

Finalmente se puede pasar a hallar la solución general en forma f(x, y ,C) = 0.

EJEMPLO:

Resolvamos la ecuación diferencial de Lagrange:

y = x (y’)² + (y’)²

Para ello hacemos y’ = p, entonces tenemos: y = x p² + p²

Derivamos la ecuación respecto a x:

que puede ser expresada en forma de ecuación diferencial. lineal:

que tras ser resuelta según 10.7 tenemos:

Ahora para hallar la solución general de la ecuación diferencial de Lagrange, eliminamos p, entre las dos ecuaciones en p:

lo que nos da es la solución general.

16. 12 Método general para las ecuaciones de grado superior.

Hablamos de método general cuando a la ecuación diferencial la podemos expresar en la forma:

siendo

funciones de x, y . Si en esta ecuación expresamos y' = p, tenemos:

{37}

que en cierto modo tiene la forma de un polinomio de grado n (estamos suponiendo que los exponentes son números enteros).

Considerando las funciones

como si fueran constantes, podemos pasar a hallar las n raíces del polinomio {37} , entonces este polinomio podrá ser expresado como producto de factores:

{38}

Igualdad que se cumple si al menos uno de los factores es nulo:

{39}

{39} representa un conjunto de n ecuaciones diferenciales de grado 1, cada una con una solución general en la forma f(x, y, C) = 0. Es decir, tenemos n soluciones:

{40}

Entonces la solución general de la ecuación de grado n {37} viene dada por medio del producto de todas ellas:

EJEMPLO:

Resolvamos la ecuación diferencial de segundo grado:

x y (y’)² + (x² + x y + y²) y’ + x² + x y = 0

que expresando p = y’ , nos queda en la forma:

x y p² + (x² + x y + y²) p + x² + x y = 0

una ecuación que en cierto modo tiene la forma polinómica: A p² + B p + C = 0, donde A = x y, B = (x² + xy + y²), C = (x² + xy).

Podemos pasar a hallar las dos raíces mediante la conocida fórmula:

que tras simplificar resultan ser:

Por tanto, el polinomio grado 2 en p puede expresarse así:

Que se verifica si uno de los dos factores es igual a 0.

A continuación resolvemos cada una de las ecuaciones diferenciales de grado 1:

(1) La primera resulta ser de variables separadas:

cuya solución es:

(2) La segunda puede expresarse como lineal:

cuya solución es:

por tanto, la solución general de la ecuación diferencial de grado 2 del ejemplo es:

EJERCICIOS PARA EL ALUMNO.

1) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables:

2) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:

3) Integrar las ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

4) Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales exactas.

Una ecuación diferencial lineal de primer orden escrita en la forma estándar o canónica es:

Si en (1) g(x) = 0 se dice entonces que la ecuación es homogénea; en caso contrario es no homogénea.

Casi siempre es posible resolver analíticamente una ecuación diferencial lineal. Existen varios métodos analíticos ideados para resolver una ecuación lineal de primer orden. El primero de ellos, que se denomina método del factor integrante, utiliza el siguiente factor de integración:

Como se puede observar el factor de integración depende de la función coeficiente de y en (1), esto es, depende de p(x).

Los otros dos métodos que vamos a estudiar aquí se llaman, respectivamente, variación de la constante de Lagrange yalgoritmo de los coeficeintes indeterminados.

Una alternativa, al buscar la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden, es tomar g(x)=0, obteniéndose de esta forma la ED homogénea asociada a la (1).

Factor integrante

Factor integrante:

Es posible deducir un factor de integación adecuado, u(x), que facilite el hallazgo de la solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden. Veamos:

Procedimiento

Procedimiento:

Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden se procede como sigue:

1. Se lleva la ecuación dada a la forma:

2. Se identifica el coeficiente de y, esto es, la función p(x) y se determina el factor integrante dado por:

3. Se multiplica la ecuación obtenida en el paso 1 por el factor de integración calculado en el paso 2:

4. Se observa que el miembro izquerdo de la ecuación tiene la forma expandida de la derivada de un producto; se escribe esta derivada en la forma no expandida:

5. Se integran ambos miembros de la ecuación obtenida en el paso 4:

6. Se despeja la función y:

Ejemplo ilustrativo 1

Ejemplo ilustrativo 1:

Resuelva la siguiente ecuación:

Encuentre soluciones generales de las ecuaciones diferenciales planteadas en los problemas 1 al 25. Si se da una condición inicial, encuentre la solución particular correspondiente. En todo caso, los apóstrofes denotan derivadas con respecto a x :

Resuelva las ecuaciones diferenciales de los problemas 26 al 28 considerando a y como variable independiente más bien que a x :

33. Un tanque contiene 1000 litros (L) de una solución que consta de 100 kg de sal diluidos en agua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de de 5 L/s y la mezcla (que se mantiene uniforme mediante agitación) se extrae a la misma razón. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que queden solamente 10 kg de sal en el tanque?

34. Considérese un depósito con con un volumen de 8 mil millones de de pies cúbicos y una concentración inicial de contaminantes del 2.25%. Hya un ingreso diario de 500 millones de pies cúbicos de agua con una concentración de contaminantes de 0.05% y una salida diaria de agua con iguales características perfectamente mezclada en el depósito? ¿Cuánto tomará reducir la concentración de contaminantes a 0.10% en el depósito?

35. El lago Ontario tiene un volumen de agua de 1636 km cúbicos y el flujo de entrada y salida se realizan ambos a 209 km cúbicos por año. Suponga que en el tiempo t = 0 (años) su concentración de contaminantes es de 0.05% y que un tiempo después la concentración de contaminantes qu ingresa en el agua es de 0.01%. Suponiendo que el agua se mezcla perfectamente dentro del lago. ¿Cuánto tiempo pasará para que la concentración de contaminantes en el lago se reduzca al 0.02%?

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