Apuntes de matemáticas

APLICACIONES LINEALES

Definición de Aplicación Lineal.

Sean E y F dos espacios vectoriales (sobre el mismo cuerpo K).   Una aplicación lineal (homomorfismo) es una aplicación:

   f  :  E ®  F

tal que cumple las propiedades:

    

   En el caso de que  E º F,  la aplicación lineal  f se llama endomorfismo.

• (OBSERVACIÓN: Las dos condiciones de arriba pueden expresarse en una  condición necesaria y suficiente.):

           

   Ejemplo:

:   Determinar si la siguiente aplicación es lineal:

                               f :  R²  ®  R²   /     f(x, y) =  ( 2x + y, y)

   Solución:

   Para que f  sea aplicación lineal debe cumplir la condición indicada, esto es:

 para dos escalares cualesquiera a, b. Tomemos dos vectores de R²: , entonces:

      

  Al ser iguales significa que f si es aplicación lineal.

   17. 2  Imagen de un sistema por una aplicación lineal.

  Sea   un sistema de vectores de E.  Consideremos el conjunto imagen de S:   , siendo f  un homomorfismo de  E en F.

  PROPIEDADES:

   a)      La imagen del vector nulo de E es el vector nulo de F.

Sea    en el espacio vectorial E, considerando la c.n.y s. de linealidad:

 

        b)      La imagen de un sistema S ligado de E es un sistema ligado de F, conservándose en la transformación toda relación de dependencia entre los vectores.

    Si  es un sistema ligado, entonces:

        

   al aplicar f en los dos miembros de la igualdad. Ahora, si hay algún l¹0 a la izquierda, también a la derecha lo será.

           c)      Si la imagen  f(S) de un cierto sistema es libre en F,  el sistema  S es libre en E.

Pues si  S fuera ligado, obligatoriamente  f(S) sería ligado.

d)      La imagen de un sistema S libre de E  puede ser un sistema ligado de F ( no tiene por qué ser libre) .

e)      La imagen de un subespacio de E es un subespacio de F. 

DEMOSTRACIÓN: Sea E’ subespacio de E.  Veamos que f (E’) es subespacio de F. Sea: ;
 Entonces:  

    Como caso particular la imagen de todo E,  f(E),  es un subespacio de F, llamado subespacio imagen de la aplicación lineal. 

    Si esta imagen f(E) tiene dimensión finita, se llama rango de la aplicación f, rg(f), a la dimensión del subespacio f(E).

  17. 3  Núcleo de una aplicación lineal.

   Sea  f  una aplicación lineal de E en F.  Se llama núcleo (“Kern” en alemán) de f  , denotado  Ker f,  al conjunto de vectores de E cuya imagen es el vector nulo de F:

PROPIEDADES:

   a)  Ker f   es un espacio vectorial  para cualquier aplicación lineal f.

DEMOSTRACIÓN:    

     Además si  

      entonces  

 b)  Para que una aplicación lineal  f  sea inyectiva es necesario y suficiente que .

     DEMOSTRACIÓN: 

  *  Si  f  es inyectiva  Þ  no puede haber dos valores con la misma imagen, y puesto que , (por ser f  lineal) entonces no puede haber otro vector  en Ker f , o sea: .

  *  Si    Þ  Supongamos que  , entonces:

es decir,  , por lo que f es aplicación lineal.

   TEOREMA:

    Sea E un espacio vectorial , de dimensión n, cualquier aplicación lineal f definida sobre E, verifica la condición:

 Dim (Ker f) + Dim (f(E)) =  Dim(E)

  Ejemplo:  

Hallar  Ker f ,  Im f   para la aplicación lineal:

f(x₁, x₂, x₃, x₄) = (0, x₂, x₃)

Hallar también una base para cada uno de los dos subespacios.

 Solución:

   *  Comencemos por Ker f:

            

    Entonces, podemos encontrar los vectores de Ker f de la siguiente manera:

         f(x₁, x₂, x₃, x₄) = (0, x₂, x₃)     --->     (0, x₂, x₃)  = (0, 0, 0)

lo cual significa que x₂, x₃ deben ser ambos 0.

           

       Una base de  Ker f:     B = { (1, 0, 0, 0) ,  (0, 0, 0, 1) }.

    *  Vayamos ahora a  Im f:

          

    Una base de  Im f:     B = { (0, 1, 0) ,  (0, 0, 1) }.

  Es interesante observar que:

                                       Dim Ker f  +  Dim Im f   =  4 = Dim R⁴  .

   

  17. 4  Isomorfismos de espacios vectoriales.

     Se dice que dos espacios vectoriales E y F son isomorfos cuando entre ellos hay definida una aplicación lineal biyectiva  (inyectiva y suprayectiva), la cual se llama isomorfismo.

  Observación:  

     f :  E  ® F  es  inyectiva si verifica:  

     f :  E  ® F  es  suprayectiva si verifica:   f(E) = F.

  TEOREMA 1:

  La condición necesaria y suficiente para que dos espacios vectoriales sean isomorfos es que tengan la misma dimensión.

  TEOREMA 2:

  La condición necesaria y suficiente para que una aplicación lineal f sea isomorfismo de E en F, es que transforme una base de E en una base de F.

  TEOREMA 3:

  Una aplicación lineal  f:  E  ® F  es un isomorfismo si y sólo si se verifican:

       

  

  17. 5  Matriz asociada a una aplicación lineal.

     Sean E y F dos espacios vectoriales (sobre el mismo cuerpo K), sean sus dimensiones, Dim E = m, Dim F = n. 

    Sea una base de E, ,  y una base de F,  ,   Y sea una aplicación lineal  f  :  E  ®  F.  Sea 

  Los elementos    son vectores de F, por tanto se pueden expresar:

  Por tanto:

  

   (comparándola con la expresión de arriba).

  Y como los coeficientes y_j son  únicos, tenemos:

Que nos da la relación entre un elemento  y su imagen . Se trata de la relación:.

 

es decir,  

 El rango de la aplicación lineal f coincide con el rango de su matriz asociada.

  17. 6  Matriz asociada a una aplicación lineal. 

   Sean dos aplicaciones lineales f y g, tales que:

 f :   E  ®  F,        g:  F  ®  G

  Sea  A la matriz asociada a f, y B la matriz asociada a g.

 Entonces la aplicación compuesta  g o f :  E  ®  G es una aplicación lineal cuya matriz asociada es  B.A.

  DEMOSTRACIÓN: 

   Consideremos:  

   siendo    .

   Sean  A = M(f), B = M(g)  de tal modo que 

Y = A.X,   Z = B.Y

 Por tanto ,  Z = B . (A . X)  =  (B. A) . X  ®   B . A = M(g o f)

  Ejemplo: 

 Sean las aplicaciones lineales:      

                  f:   R³      ®        R³                                    g:   R³      ®        R² 
                     (x, y, z) ®  (2x-y, y+z, x-z)                     (x, y, z) ®      (x-y, y+z)      

a)      Hallar las matrices asociadas de f y g  en las bases canónicas.
b)      ¿ Alguna de ellas es Isomorfismo ?
c)      Hallar  g o f

  Solución: 

  a)  La base canónica de R³ es:  B = { (1, 0, 0),  (0,1,0),  (0, 0, 1) }  . Aplicamos f a los tres vectores de esta base:

       f(1, 0, 0) = (2, 0, 1)
       f(0, 1, 0) = (-1, 1, 0)       f(0, 0, 1) = (0, 1, -1)

estos vectores representan las columnas de la matriz M(f):

  De manera análoga para la matriz asociada a g:

       g(1, 0, 0) = (1, 0)
        g(0, 1, 0) = (-1, 1)
      g(0, 0, 1) = (0, 1)

y por tanto:

  b)        f  sí es Isomorfismo ,  pues la imagen de la base B es una base. Es decir:

B' = { (2, 0, 1), (-1, 1, 0), (0, 1, -1)}  es una base, puesto que sus tres vectores son linealmente independientes, o en otras palabras, el determinante de A es distinto de 0 (rang(A)=3) :

                                                     ½A½= -2

   g no es Isomorfismo, porque R³ y R² tienen distinta dimensión.

  c)   Hallemos la matriz asociada a     g o f:

             M(g o f) = M(g) . M(f) = B . A =

      

  Por lo tanto:

g o f  :  R³      ®        R² 
(x, y, z)  ®   (2x-2y-z, x+y)

17. 7  Expresión matricial del cambio de base. 

   Sea E un espacio vectorial de dimensión n,  y sean  dos bases distintas de E.

    Sea un vector de E, sean (x₁, x₂, . . ., x_n) sus coordenadas en la base B, y (y₁, y₂, . . ., y_n) sus coordenadas en la base B', entonces expresemos las relaciones entre ellas:

 lo cual matricialmente se puede expresar:

  es decir,    X = P . Y

A la matriz P se la llama  matriz de paso.  Esta matriz es inversible (pues se puede comprobar que su matriz asociada es un Isomorfismo, el que hace asociar a cada elemento de la base B uno de B’).

 f :   E  ®  E
        B  ®   B'

  Por tanto, también podemos expresar:

 Y = P^-1 . X

  17. 8  Cambio de base para un homomorfismo.

  Sea  A la matriz asociada a un endomorfismo f  de E en una base . Consideremos otra base , supongamos que en ella la matriz asociada a f es B.     ¿ Cuál es la relación entre las matrices A y B ?.

  Sea  expresados en la base B,

     Y = A . X

   Sea  P la matriz de paso de la base B a la base B’.  Se tiene:

            X = P . X’  ,     Y = P . Y’         ( X’ y Y’ en la base B’)

  De aquí podemos expresar:

Y’ = P^-1 . Y   

 lo cual implica:

y por lo tanto, tenemos la relación:

 Y ‘ = (P^-1.A.P) . X’

  Lo cual significa que:    B = P^-1. A . P

  17. 9   Transformación vectorial en espacios vectoriales.

    Dado un espacio vectorial E, y dado un vector X Î E (el vector expresado en su forma matricial),  decimos que se ha realizado una transformación de X cuando mediante alguna operación pasamos de X a Y.

    Dos transformaciones típicas ya han sido vistas:

   *  Una isomorfismo transforma el vector X:

A.X = Y
Siendo A la matriz asociada al isomorfismo.

  *  Un cambio de base en el espacio E, también transforma el vector X:

P^-1.X = X'

   En la cuestión 17.8 ya se ha tratado este problema cuando realizamos simultáneamente un endomorfismo y un cambio de base. Pero ahora lo vamos a tratar de forma más general, con ayuda de un esquema.

   Composición de aplicaciones (esquema):

    Sean E, F, G tres espacios vectoriales, de dimensiones m, n y p, respectivamente, consideremos dos aplicaciones lineales f y g tal como se ve en el esquema:

f : E -----> F,       g: F -----> G 

 Como ya se ha dicho en la cuestión 17.6, si A y B son las matrices asociadas respectivamente a las aplicaciones f y g, podemos considerar la función compuesta g o f  :

g o f : E -------------------------> G 

cuya matriz asociada vendrá dada por B.A, como ya se ha dicho. Consideraremos el siguiente esquema:

   Según este esquema, un vector X de E queda transformado en vector Z de G según:

(B.A) X = Z

   Esto se puede extender a tres o más aplicaciones, por ejemplo:

  Y según esto, el vector X de E pasa a vector W de H según:

(C.B.A).X = W

    Cambio de base (esquema):

   Sea un vector X de un espacio vectorial E expresado en una base B₁, y consideremos otra base B₂, entonces el vector X expresado en B₂ según 17.7 es:

P^-1.X = X'

aquí expresamos X' como las coordenadas de X en la base B₂  . Veámoslo mejor por medio de otro esquema:

  

   En el esquema vemos: 

  {1} Un vector X' (base B₂ ) se transforma en vector X (base B₁ )  según:

P.X' = P

  {2} Un vector X (base B₁ ) se transforma en vector X' (base B₂ )  según:

P^-1.X = X'

  *  Cambio de base para endomorfismos y homorfismos en general (esquemas)

   1)  En primer lugar consideremos el mismo caso que acabamos de ver en 17.8:

Sea  f un endomorfismo de E en E (estando referido a la base B₁),  por ahora esto lo representaremos así:

f:  E_B1 ----------> E_B1 .

 La matriz asociada a f , en esta base B₁ (tanto para el espacio origen como para el espacio imagen), será una matriz cuadrada: A

  Si ahora hacemos un cambio de base, y pasamos a la base B₂ :

P:  E_B2 --------> E_B1 .

 Siendo P la matriz cambio de base de B₂ a B₁:

  Ahora la matriz asociada a f en esta nueva base B₂ viene dado por:

  B = P^-1. A . P

  Esquemáticamente esto lo vamos a expresar así:

  Nosotros colocamos 

P:  E_B2 ----------> E_B1 . (vease la izquierda del esquema)

a la izquierda de la aplicación f puesto que se trata de transformaciones de vectores X' en la base B₂ , es decir:

P.X' = X

   De manera análoga colocamos

P^-1:  E_B2 ----------> E_B1 . (vease la derecha del esquema)

a la izquierda de la aplicación f puesto que se trata de transformaciones de vectores X' en la base B₂, es decir:

P^-1.X = X'

 2)  Caso general:

  Sea  f una aplicación lineal de E en F (estando E referido a la base B₁ y F referido a la base C₁),   lo representaremos así:

f:  E_B1 ----------> F_C1 .

 La matriz asociada a f , en estas bases B_1, C₁ , será una matriz que en general no será cuadrada: A

 Ahora hacemos dos cambios de base,  pasamos a la base B₂ para E

P:  E_B2 --------> E_B1 .

 Siendo P la matriz cambio de base de B₂ a B₁,y pasamos a la base C₂ para F:

Q:  F_C2 --------> F_C1 .

 Siendo P la matriz cambio de base de C₂ a C₁.

Ahora la matriz asociada a f en esta nueva base B₂ viene dado por:

  B = Q^-1. A . P

  Esquemáticamente esto lo vamos a expresar así:

   Un ejemplo: 

Ejercicio 17)   Obtener la matriz asociada a una aplicación lineal   f: R² ----> R³  definida por:

          f(1, 2) = (1, 1, 2)
          f(2, 3) = (2, 10, 1)

     al expresarla en las bases { (1, 1), (1, 3) } y  {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0,0,2)}

  Solución:

      Siendo la base canónica de  R² : C  , podemos expresar:

         f(1, 2) = (1, 1, 2)   --->  f (1 e₁ + 2 e₂) = (1, 1, 2)    

         f(2, 3) = (2, 10, 1)  --->  f (2 e₁ + 3 e₂) = (2, 10, 1)

   Teniendo en cuenta la linealidad de f podemos expresar:

      f (e₁) + 2 f (e₂) = (1, 1, 2)  

      2 f (e₁) + 3 f(e₂) = (2, 10, 1)

    Aquí tenemos un 'sistema' que es fácil solucionar (multiplicando la segunda por 2 y restando a la primera, etc): la solución es: 

       f (e₁) = (1, 17, -4)
       f (e₂) = (0, -8, 3)

 Por tanto, la matriz asociada a f (en la base canónica C) en R² :

            

  Ahora consideremos la matriz de cambio de base en R² :

    C  ---->  la nueva base de R^{2 ,}  

      B₁ ={ b₁ = (1, 1), b₂ = (1, 3) }

       b₁ = 1 e₁ + 1 e₂
       b₂ = 1 e₁ + 3 e₂  

  Por tanto, la matriz asociada a este cambio de base es:

         

   Por contra, la matriz asociada al cambio de base en R³ :

   C {e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1)}  ---->  otra base de R^3, 

     B₂ ={ v₁ = (1, 0,1), v₂ = (1,1,0) , v₃ = (0,0,2),}

    v₁ = 1 e₁ + 0 e₂ + 1 e₃ =
    v₂ = 1 e₁ + 1 e₂ + 0 e₃ =
    v₁ = 0 e₁ + 0 e₂ + 2 e₃ = 

   Por tanto, la matriz asociada al cambio de base en R³ :

               

     Podemos representar el asunto mediante el esquema:

   Entonces podemos expresar la matriz asociada a f  en las nuevas bases:

                    B = P^-1 . A . Q

 es decir:

            

  O sea la matriz expresada en estas bases:

           

APLICACIONES LINEALES

(RESUMEN TEÓRICO Y EJERCICIOS RESUELTOS)

           

Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. Una aplicación  f: V-----à W se dice que es lineal si verifica:

1)   f(x + y)= f(x)+f(y)

2)  y   f(tx)=tf(x)

Ejemplo 1. Consideremos en R² la proyección ortogonal sobre el eje de abscisas, es decir definamos P: R² -----à R, P(x₁, x₂)=x₁

                                      Se puede comprobar fácilmente que P es una aplicación lineal.

       x₂

                      x₁

               

Ejemplo 2. Se define la aplicación f: R³ -----à R²

                                      f(x₁, x₂, x₃)= (x₁+ x₂, x₂-x₃)            

f es lineal.

En efecto sean x =(x₁, x₂, x₃), y = (y₁, y₂, y₃) , se tendrá x +y = (x₁+ y₁ , x₂ + y₂, x₃+ y₃)

f (x + y)= f(x₁+ y₁ , x₂ + y₂, x₃+ y₃)=( x₁+ y₁ + x₂ + y₂, x₂ + y₂-( x₃+ y₃))=( x₁+  x₂, x₂ - x₃)+ ( y₁+  y₂, y₂ - y₃)=f(x)+f(y)

Análogamente  f(tx) = tf(x) (comprobarlo)

Caracterización de aplicaciones lineales

f es lineal f(t x + s y)= t f(x)+ s f(y) para todo x, y perteneciente a V y para todo t y s pertenecientes a K. (trivial)

Teorema 1.  Sea f una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W. Se tiene:

1) f(0_V)= 0_W.

2) f(-x)=-f(x).

3) Si x₁, x₂,..., x_p son vectores de V y t₁, t₂,....,t_p pertenecen a K f(t₁x₁ +t₂x₂+....+t_px_p)=t₁f(x₁)+t₂f(x₂)+…..+t_pf(x_p).

4) Si el conjunto  es linealmente dependiente (l.d. )entonces  es l.d.

Corolario.  Si  es un conjunto de vectores de V y  es linealmente independiente (l.i ) entonces  es l.i. El recíproco no es cierto.

Ejemplo 3. Sea f: R³ -----à R²   tal que  f(x₁, x₂, x₃)= (x₁+ x₂, -x₃)

Sea v₁=(1, 0, 0), v₂=(1, 1, -1) y v₂=(1, 0, 1). Se pide:

a) Probar que f es lineal

b) Probar que es l. d.

Solución

a) Sea x=(x₁, x₂, x₃), y=(y₁, y₂, y₃) , t de k, se verifica:

f (x + y)= f(x₁+ y₁ , x₂ + y₂, x₃+ y₃)=( x₁+ y₁ + x₂ + y₂, -( x₃+ y₃)) =( x₁+  x₂,  - x₃)+ ( y₁+  y₂, - y₃)= f(x)+f(y)

(comprobar que f(tx) = tf(x))

b) Se tiene f(v₁)=f(1, 0, 0)=(1, 0),  f(v₂)=(2, 1) y  f(v₃)=(1,-1) que es ligado (evidente pues en R² tres vectores son siempre ligados)

Observar que era l.i.

Teorema 2. Sean f y g dos aplicaciones lineales definidas entre los espacios vectoriales V y W. Sea una base de V. Si f(u_i)=g(u_i)          i=1, ...., n entonces f= g

Observación 1. Este teorema nos indica que la aplicación lineal está determinada por las imágenes de una base.

Teorema 3. Sean una base de V y un conjunto arbitrario de W. Entonces existe una única aplicación lineal

f: V-----à W tal que f(u_i)=v_i, i=1,...,n

Observación 2. Este teorema nos dice que para definir una aplicación lineal basta definir  las imágenes de los vectores de una base del espacio vectorial V.

....

Problema 1. Para las aplicaciones que se citan, se comprobará si son o no lineales. En caso de que sean lineales, se describirá su imagen y su núcleo, calculando una base de cada uno de estos subespacios:

a) La aplicación f: R³---àR² dada por: f(x, y, z)=(x²-y, x-y+z)

b) La aplicación f: R²---àR² dada por: f(x, y)=(x, x-y)

c) La aplicación f: R³---àR² dada por: f(x, y, z)=(x, 1, z)

d) La aplicación f: R³---àR³ dada por: f(x, y, z)=(z, x+y, -z)

e) La aplicación f: R⁴---àR³ dada por: f(x, y, z, t)= (x+y, t, z)

Solución

a) No es lineal

En efecto, si consideramos los vectores x=(2, 0, 0) e y=(1, 1, 0), por ejemplo, se tiene:

f(2, 0, 0)=(4, 2)

f(1, 1, 0)=(0, 0) y entonces : f(2, 0, 0)+f(1, 1, 0)=(4, 2)

Sin embargo, f((2, 0, 0)+(1, 1, 0))=f(3, 1, 1)=(8, 2)

b) Es lineal, en efecto:

f(t(x, y)+s(x’, y’)) = f(tx+sx’, ty+sy’)=(tx+sx’, tx+sx’ –( ty+sy’))= (tx, t(x-y))+(sx’, s(x’-y’))=t(x, x-y)+s(x’, x’-y’)=tf(x,y)+ sf(x’, y’)

Núcleo (Ker f)

f(x, y)=0 implica (x, x-y)=(0, 0), de donde x=y=0 y por lo tanto el Kerf =

Imagen de f

Como dim R²=dim Imf + Ker f, se verifica que la dimensión de la imagen es 2 y por tanto Im f= R².

c) No es lineal (trivial)

d) Es lineal (comprobarlo)

Núcleo de f (Ker f)

f(x, y, z)=(z, x+y, -z)=(0, 0, 0) implica z=0,  x+y=0 de donde y=-x

una base y el Ker f= <(1, -1, 0)>

La dimensión de la imagen es 2,

(para hallar el subespacio imagen hay varios métodos, pero lo más cómodo es usar que el sistema formado por los transformados de una base es un sistema generador)

f(1, 0, 0)= (0, 1, 0)

f(0, 1, 0)=(0, -1, 0)

f(0, 0, 1)=(1, 0, -1)

Entonces Im f= <(0, 1, 0), (1, 0, -1)>

e) Es lineal

Comprobar que Ker f= <(1, -1, 0, 0)>     y        Imf =R³