Apuntes de matemáticas

CÁLCULO DE DERIVADAS

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

                            f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función lineal mx + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
  lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Derivada de una constante por una función, k · f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:

Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma
k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

Derivada de la función potencia x^m (m un número natural)

Para calcular la derivada de la función f(x) = x^m, m > 0, hay que evaluar el cociente

Tomando límites cuando h --> 0,

sumandos tiende a cero (su límite es cero).
Se concluye que

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de f(x) = x² en el punto de abscisa - 1.Resolución:
f '(x) = 2 · x^{2 - 1} = 2 x
             f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2
Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x² en x = - 1 es - 2.
 

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x

La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x

Si necesitas las demostraciones dímelo.

Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:
a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones 

  Por tanto, si x > 0

b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Derivadas de las funciónes exponenciales a^x y e^x

Sea la función y = a^x, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

  
y se toman logaritmos neperianos:
  
Luego:

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función e^x es
                                    (e^x )' = e^x · ln e = e^x · 1 = e^x

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.
 

Operaciones con funciones

Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),

Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ---> R,

                                             (f + g) (x) = f(x) + g(x)

Función producto de f y g como la función f ·g: [a,b] ---> R,

                                              (f · g) (x) = f(x) · g(x)

siempre que g(x) distinto de 0 para todo x del intervalo.

Derivada de una suma de funciones

Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.
                                      [f(x) + g(x)] ' = f '(x) + g '(x)

Derivada de una diferencia de funciones

                     f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))'
Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función:

                             [- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x)
 

En consecuencia,

                                           [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
 

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos xResolución:

Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -p/3.

Resolución:

Derivada de un producto de funciones

Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.

Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,
 Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,  

 Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,

 

Ejercicio: cálculo de derivadas

Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo.

Resolución:

Resolución:

ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Campo de existencia.

  Para hacer el estudio de una función, y = f(x), el primer aspecto en el que nos concentraremos será en la búsqueda de su dominio o campo de existencia, es decir, todos los valores x para los cuales existe f(x). En la práctica es más simple hallar los valores x para los cuales no existe f(x), el dominio será todo R excepto esos valores.

  Por ejemplo, según la forma de la función podemos decir:

  *  Para funciones en forma racional:

    no existe la función cuando se anula el denominador h(x), por tanto, haciendo h(x) = 0 hallamos las raíces de h(x). Pues bien, el dominio serátodo R excepto esas raíces de h(x).

*  Para funciones en forma de radical:

   si n es un número par, entonces g(x) sólo existe en la zona positiva de x. En caso de que n sea impar suele admitirse la posibilidad de que g(x)pueda ser negativa (por ejemplo, la raíz cúbica de -8, se supone x = -2).

  *  Para funciones en forma:

y = arc sen g(x)    ó   y = arc cos g(x)

  la función g(x) debe estar comprendida entre -1 y +1.

  8.2  Simetrías.

  Sea y = f(x), dos tipos de funciones son destacables según su simetría:

  I)  Si  f(-x) = f(x) la función es simétrica (simetría respecto al eje OX).
  II)  Si  f(-x) = - f(x) la función es antisimétrica (simetría respecto al eje OX).

  En una función simétrica la gráfica de los cuadrantes I y IV se reflejan especularmente en los cuadrantes II y III, haciendo el eje OY las veces de espejo.

  En una función antisimétrica la gráfica del cuadrante I y IV se refleja como por un espejo en el cuadrante II y III (haciendo de "espejo" el eje Y), y a continuación esa imágen especular se refleja horizontalmente como por las aguas de un lago (haciendo de "lago" el eje X).

  Ejemplo de funciones simétricas: y = x² . Ejemplo de función antisimétrica:  y = x³.

   8.3  Corte con los ejes.

   Para conocer los puntos de corte de la gráfica con los ejes, consideraremos:

    1) Haciendo x = 0 en y = f(x), nos dará directamente,  y = f(0), el punto de corte con el eje Y.

     2) Haciendo y = 0 en y = f(x), y resolviendo la ecuación  f(x) =0 , obtendremos el punto o puntos de corte con el eje X; puede haber uno, varios o incluso ninguno (en caso de que f(x) =0 carezca de solución).

    8.4  Asíntotas.

   Son líneas rectas que las curvas y ramas parabólicas de ciertas gráficas de funciones se aproximan a ellas paulativamente, a medida que se alejan del origen, sin llegar núnca a cortarlas. Las hay de tres típos:

   1) Asíntotas horizontales (o paralelas al eje X): Son rectas de la forma   y = h,  siendo:

     Es conveniente hallar por separado los límites cuando x tiende a +, y cuando x tiende a -, que pueden ser iguales o diferentes, en este último caso hay dos asíntotas horizontales. Si h nos da  o un valor inexistente significa que no hay asíntota horizontal, por otra parte, en caso de existir alguna asíntota horizontal podemos asegurar de que no habrá asíntota oblicua (ver caso 3).

    También es interesante estudiar la posición de la curva respecto a esta asíntota horizontal  y = h, para ello se estudia si f(x) > h ó f(x) < hcuando  x tiende a +, y  cuando x tiende a -,  un esquema de ello lo presentamos en la figura adjunta:

  2) Asíntotas verticales (o paralelas al eje Y): Son rectas de la forma  x = k (puede haber varias), siendo k aquellos valores finitos de "x" que hacen a "y" infinito. Por ejemplo, en las funciones racionales de la forma:

los valores k son las raíces de h(x), o como hemos dicho en 8.1, aquellos valores que no pertenecen al campo de existencia de la función por anular el denominador.

  3) Asíntotas oblicuas: Se estudian únicamente cuando no hay asíntotas horizontales. Son rectas que tiene la forma  y = m x + b , donde m y bson:

es preciso calcular primeramente m, en caso de que su valor sea 0 ó , ya no será necesario hallar b, puesto que no existirá asíntota oblícua.

  8.5  Máximos y mínimos .   Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

  Para hallar los máximos y mínimos de la función  y = f(x) , en primer lugar, debe resolverse la ecuación:

f '(x) = 0

  una vez halladas estas raíces (x=a, x=b, ...) junto a aquellos puntos (x=r, x=s, ...) en los que no existe f '(x) deben ser estudiados uno a uno cada caso, pues para ellos hay las siguientes posibilidades:

  1) Punto de inflexión:  Sea x=a, si f ''(a)=0 y la siguiente derivada, f '''(a)0, entonces en x=a hay un punto de inflexión (ver la sección 8.6).

  2) Punto extremo (máximo o mínimo): Sea x=a, si f ''(a)0, entonces en x=a hay un extremo, si máximo o mínimo lo sabremos por el signo de este f ''(a):

     I) Si f ''(a)>0, entonces en x=a hay un máximo local, cuya magnitud es de f(a).
    II) Si f ''(a)<0 em="" en="" entonces="" nbsp="">x=a

 hay un mínimo local, cuya magnitud es de f(a).

  En ocasiones calcular f ''(x) puede llegar a ser una tarea demasiado ardua, por otra parte hemos dicho que pueden haber puntos x=r, x=s, ... en los que ni siquiera existe f ' para ellos, en estas situaciones puede realizarse un estudio del rango de crecimiento y decrecimiento de la funciónf(x).

   * Rango de crecimiento: la zona con f '(x)   positiva.
   * Rango de decrecimiento: la zona con f '(x)   negativa.

  La forma de realizar este estudio del crecimiento y decrecimiento es tomar los intervalos entre dos puntos de la lista de arriba (a, b), (b, c), ..., y estudiar el signo de  f ' en cada zona. Por ejemplo, si en (a, b) la función es creciente y en (b, c) la función es decreciente, en x=b habrá un máximo local, siempre que exista f(b).

  8.6  Puntos de inflexión. concavidad y convexidad.

    Este estudio se realiza sobre la derivada segunda de la función, f ''(x). En primer lugar hallamos las raíces de  f ''(x), es decir resolvemos la ecuación:

f ''(x) = 0

tomando las raíces halladas (supongamos que sean r, s, ...) , a las que podemos añadir los puntos en que no existe f ' ó f '', consideramos los intervalos comprendidos entre cada pareja sucesiva de ellas, (r, s), (s, t), ... estudiando el signo de  f '' rn cada intervalo. En las zonas en que  f''(x)>0 la curva es  cóncava (curva con "concavidad en U"), mientras que en las zonas en que  f ''(x)<0 curva="" es="" la="" nbsp="" u="">convexa

 (curva con "concavidad en "). Los puntos en los que f ''(x)=0 pueden ser puntos de inflexión (puntos en que cambia la concavidad).

  En la gráfica de la figura 1, la función y = f(x) tiene un punto de inflexión en el punto x=s, en el cual la concavidad pasa de "cóncava" a "convexa". En cambio, la función de la figura 2, el punto x=s (un punto en el que f ' no existe) es llamado "punto de retorno", la concavidad a su izquierda y a su derecha es la misma.

---

ALGUNOS EJERCICIOS RESUELTOS

  EJEMPLO 1:  Hacer un estudio de la gráfica de la función:

  Solución: Seguiremos por orden los puntos que hemos indicado.

  1. Campo de existencia: El denominador, 1 + x², no se anula en ningún punto, por tanto el campo de existencia es todo R.

  2. Simetrías:  La función es antisimétrica, puesto que:

  3. Corte con los ejes:  Para x = 0, tenemos que y = 0.  Y si hacemos y = 0, encontramos que la única solución es y=0. En definitiva, hay un solo punto de corte, esto es el (0,0), el orígen.

  4. Asíntotas:  En cuanto a las asíntotas horizontales podemos hallar los límites:

lo cual nos indica que el eje x=0 es una asíntota horizontal (tanto por la derecha como por la izquierda).
  Para las asíntotas verticales vemos dónde se hace infinita la función, y en realidad no hay ningúna, pues no hay ningún valor de x que anule el denominador.

  Tampoco existe asíntota oblicua  debido a la existencia de una asíntota horizontal.

  5. Máximos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento: Calculamos la primera derivada de f(x):

la igualamos a 0, f '(x) = 0, y resolvemos la ecuación resultante:

cuyas raíces son x = -1, x = +1. Estos dos puntos son los dos posibles extremos locales, conviene apuntar la magnitud de la función en cada uno de estos puntos:

f(-1) = -1/2 ,  f(+1) = 1/2

Por otra parte, podemos estudiar si son máximos o mínimos haciendo la derivada segunda de f:

En concreto tenemos, f ''(-1) >0, lo que nos indica que en x=-1 hay un mínimo. Mientras que f ''(-1) <0 en="" hay="" lo="" m="" p="" que="" significa="" un="" x="+1" ximo.="">

  También podemos hacer un estudio del crecimiento y decrecimiento de la gráfica, estudiando el signo de f ' en las tres regiones (-,-1), (-1,+1), (+1,+):

   (-,-1) :  f '(x) < 0  . La función es decreciente.
   (-1,+1)   : f '(x) > 0  . La función es creciente.
   (+1,+):  f '(x) < 0  . La función es decreciente.

    6. Concavidad y puntos de inflexión. Hacemos f ''(x) = 0, y hallamos sus raíces:   

  Estos tres puntos:   x= 0,  x = -,  x = +  son precisamente los puntos de inflexión de la curva, allí donde la concavidad cambia de tipo.  Finalmente la concavidad la estudiamos en estas cuatro regiones, de acuerdo con el signo de  f '':

   (-,-)   : f ''(x) < 0 . La curva es convexa (concavidad en ).
   (-, 0)      : f ''(x) < 0 . La curva es concava (concavidad en U).
   (0, +)     : f ''(x) < 0 . La curva es convexa (concavidad en ).
   (+, +) : f ''(x) < 0 . La curva es concava (concavidad en U).

   Reuniendo todos los datos obtenidos podemos pasar a trazar la gráfica de la función:

  EJEMPLO 2:  Hacer un estudio de la gráfica de la función:

Solución: Seguiremos por orden los puntos que hemos indicado.

  1. Campo de existencia: El denominador, x+1,  se anula únicamente en el punto x = -1, por lo tanto el campo de existencia será todo R excepto el x= -1.

  2. Simetrías:  Para comprobarlo hacemos:

  consecuentemente, la gráfica no será ni simétrica ni antisimétrica.

  3. Corte con los ejes:  Hacemos primeramente x = 0 y hallamos "y", luego hacemos y=0 y hallamos x:

Los cortes con los ejes son dos: (0,1) y (1,0).

  4. Asíntotas:  Para hallar las posibles asíntotas horizontales hacemos los límites en el infinito de x:

  que éste límite sea infinito nos indica la no existencia de asíntotas horizontales.

  Para las asíntotas verticales tomamos los puntos que hagan infinita la función, en este caso exsite una de ellas:

x = 1

  Asíntota oblicua: Se trata de una recta,  y = m x + b, cuyos valores m y b son:

por tanto, la asíntota oblicua es la recta:  y = x - 3; la cual en forma segmentaria es:

  5. Máximos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento: Calculamos la primera derivada de f(x):

igualamos a 0 y resolvemos la ecuación:

  Hacemos la segunda derivada de la función, tras simplificarla tenemos:

entonces podemos comprobar:  f ''(1)>0, lo cual nos indica que la función tiene un mínimo en x=1, es decir el punto (1,0),   mientras que  f ''(-3)<0 em="" nbsp="" o="" sea="">f(x)

 tiene un máximo en x=-3, el punto (-3,-8).

  Para estudiar crecimiento y decrecimiento, observamos:

   (-,-3) :  f '(x) > 0  . La función es creciente.
   (-3,-1)   : f '(x) < 0   . La función es decreciente.
   (-1,+1)   : f '(x) < 0   . La función es decreciente.
   (+1,+):  f '(x) > 0  . La función es creciente.

  6. Concavidad y puntos de inflexión. Hacemos f ''(x) = 0, y hallamos sus raíces:

ecuación que no tiene ninguna raíz, lo que nos indica que en la gráfica no hay ningún punto de inflexión. No obstante, debemos estudiar la concavidad de la curva en las regiones (-,-1), (-1,+):

  (-,-1) :  f ''(x) < 0  . Concavidad en forma .
  (-1,+):  f ''(x) > 0  . Concavidad en forma U.

  Con todo esto podemos pasar a esbozar la gráfica de la función.

  EJEMPLO 3:  Hacer un estudio de la gráfica de la función:

(por "log x" nos referimos al "logaritmo neperiano" de x)

   1. Campo de existencia:   Sólo tienen sentido los logaritmos de los números positivos, por tanto el campo de existencia de esta función es la zona positiva de R.

   2. Simetrías:  Esta función no tiene simetría puesto que no está definida en la zona negativa del eje x.

  3. Corte con los ejes:  Hacemos primeramente x = 0 y nos queda:

y = (log 0) / 0

un valor que no existe, por tanto la curva no corta al eje Y. Ahora comprobamos el punto x en el que y=0,éste es el punto:

x = 1

puesto que (log 1)/1 = 0, por tanto, la curva corta al eje X en x=1.

  4. Asíntotas:  Para hallar la posible asíntota horizontal hacemos:

es decir,  y = 0,  es una asíntota horizontal.

  Podemos comprobar también que x=0 es una asíntota vertical, pues:

En definitiva, tenemos que el eje OX es asíntota horizontal, y el eje OY es asíntota vertical.

   5. Máximos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento: Calculamos las derivadas f '(x) y f ''(x):

hacemos  f '(x) = 0 , lo cual equivale a:

1 - log x = 0

cuya única raíz es   x = e (recuerde que "log x" es el lograrítmo neperiano, tal que log e = 1). Para este valor resulta que f ''(e)<0 de="" lo="" nbsp="" por="" se="" tanto="" trata="" u="">un máximo local

.

  Para estudiar crecimiento y decrecimiento lo hacemos en las dos regiones  (0,e) y (e,+):

   (0,e) :   f '(x)>0,  la gráfica es creciente.
   (e,+): f '(x)>0,   la gráfica es decreciente.

   6. Concavidad y puntos de inflexión. Hacemos f ''(x) = 0, y hallamos sus raíces:

2 log x - 3 = 0 

es decir:   log x = 3/2 ,  cuya solución es x=, representa un punto de inflexión.

  Estudiamos la concavidad en las dos regiones (0,) y (,+):

   (0,) :   f ''(x)<0 alt="intersec.gif (46 bytes)" concavidad="" convexa="" en="" es="" forma="" height="7" img="" la="" n="" nbsp="" regi="" src="http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/images/intersec.gif" width="10">).
   (,+): f ''(x)>0,   la región es concava, (concavidad en  forma U).

  Finalmente pasamos a esbozar la gráfica:

Para realizar tal análisis de la función, es aconsejable seguir una serie de pasos ordenados:

1. Determinar el dominio.
2. Estudiar su continuidad. Hallar asíntotas verticales.
3. Hallar sus ceros y determinar su signo.
4. Estudiar sus asíntotas horizontales y oblicuas.
5. Calcular la derivada primera para hallar extremos (máximos y mínimos), puntos de inflexión con tangente horizontal y puntos singulares.
6. Calcular la derivada segunda para estudiar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión con tangente oblicua.

Se explicará este procedimiento tomando como ejemplo la función f(x) = xe^(x+1)/(x-1)

1. Dominio

   El dominio de una función es el conjunto de valores donde la función está definida. Se deben hallar los valores de x donde la función no existe. Estos puntos son:
   1. Valores donde algún denominador es 0. Se deben hallar las raíces de cada denominador que aparezca en la función. Esos puntos no pertenecen al dominio.
   2. Valores donde una cantidad subradical de índice par (por ejemplo raíz cuadrada o raíz cuarta) es negativa. Se hallan las raíces de la cantidad subradical y se estudia su signo. Los intervalos donde es negativa son intervalos donde la función no existe.
      Las raíces cúbicas (y en general todas las de índice impar) existen para todos los reales.
   3. Valores donde algún logaritmando es menor o igual que cero. Se hallan ceros y signo del logaritmando. Donde sea negativo o cero, la función no existe.
   
   
   En f(x) = xe^(x+1)/(x-1) tenemos un denominador: x - 1. Éste vale 0 cuando x=1. Por lo tanto, f no existe en x=1.
   Dominio de f(x) = Df(x) = {x/x pertenece a R _^ x ≠ 1}

2. Continuidad y asíntotas verticales

   De la parte 1) sabemos en qué puntos no existe la función. Ahora tenemos que averiguar cómo se comporta la función en un entorno de esos puntos. Hallamos los límites laterales en los puntos de discontinuidad, y en los extremos de los intervalos de discontinuidad. Si alguno de los límites laterales en un punto x=a da infinito se dice que f tiene asíntota vertical (AV) de ecuación x=a (ver la página con las definiciones de asíntotas).
   En el ejemplo:
   

                       +inf
                    ----^----      
   lim f(x) = lim xe(x+1)/(x-1) = +inf => f tiene AV x=1.
   x->1+      x->1+     
   
                       -inf
                    ----^----  
   lim f(x) = lim xe(x+1)/(x-1) = 0+ 
   x->1-      x->1-     
   

   Podemos comenzar a trazar la función:
   

3. Ceros y signo

   Hallar los ceros de la función consiste en resolver la ecuación f(x)=0.
   En algunos casos esto no es sencillo, por lo cual puede utilizarse el método de Rolle o el método de ábacos.
   Para especificar el signo se colocan sobre un eje los ceros de la función y los puntos de inexistencia, y se determina el signo (positivo o negativo) en cada uno de los intervalos que quedan.
   En el ejemplo:
   
   f(x) = xe^(x+1)/(x-1)
   

      -   0   +   E   +
   -------|-------|------->
          0       1
   

   La función exponencial es siempre positiva, para todo exponente real, así que el signo de f es el signo de x: negativo para x < 0 y positivo para x > 0.

4. Asíntotas horizontales y oblicuas

   En este punto, determinaremos qué asíntotas presenta la función cuando x tiende a +infinito y -infinito (ver la página sobre asíntotas para revisar lo básico sobre el tema).
   Para ello se debe hallar el límite de la función cuando x tiende a +infinito y -infinito.
   
   • Si lim_x->inf f(x) = b la función tiene asíntota horizontal de ecuación y=b (la función se acerca a la recta horizontal y=b cuando x tiende a +infinito o -infinito).
   • Si lim _x->inf f(x) = inf
     Se debe estudiar el lim_x->inf f(x)/x
     
     • Si da inf: no hay asíntota. Se dice que la función tiene dirección asintótica (DA) paralela al eje oy.
     • 0: No hay asíntota. Se dice que la función tiene dirección asintótica paralela al eje ox.
     • m ≠ 0.
       Estudiar lim_x->inf f(x) - mx
       
       • Si da inf: no hay asíntota. Se dice que la función tiene dirección asintótica de coeficiente m.
       • Si da n: Hay asíntota de ecuación y = mx + n.
   En el ejemplo:
   

   lim f(x) = lim xe(x+1)/(x-1) = +inf
   x->+inf    x->inf
   
          f(x)          xe(x+1)/(x-1)   
   lim    ---- = lim   ------------ = e
   x->+inf  x    x->+inf     x
   
   lim f(x) - ex = lim xe(x+1)/(x-1) - ex =
   x->+inf         x->+inf                        IND. 0.inf
                                                     |  
   lim xe(e(x+1)/(x-1) - 1 - 1) =  lim xe(e2/(x-1) - 1) =  
   x->+inf                       x->+inf 
                 1 por límites tipo 
           ------^------
           (e2/(x-1) - 1)   2              2ex
   lim  xe.-------------.----- = lim    ------ = 2e
   x->+inf    2/(x-1)    (x-1)   x->+inf x - 1
   

   Asíntota: y = ex + 2e
   

   lim f(x) = -inf
   x->-inf
   
         f(x)
   lim   ---- = e
   x->-inf x
   
   lim f(x) - ex = 2e
   x->-inf
   

   Para x->-inf la asíntota es y = ex + 2e.
   Sigamos trazando la gráfica:
   

5. Derivada primera

   Se debe calcular la derivada primera, y luego hallar sus ceros y estudiar su signo. Por información sobre derivación, ver derivada y reglas de derivación.
   

   Extremos

   + + + sg f'(x) -----------> f es creciente
   - - - sg f'(x) -----------> f es decreciente
   + 0 - sg f'(x) -----|-----> a f presenta un máximo en (a,f(a)).
   - 0 + sg f'(x) -----|-----> a f presenta un mínimo en (a,f(a)).

   Por detalles ver la página sobre variación.
   

   Puntos de inflexión con tangente horizontal

   - 0 - sg f'(x) -----|-----> a f presenta un punto de inflexión en (a,f(a)) con tangente horizontal.
   + 0 + sg f'(x) -----|-----> a f presenta un punto de inflexión en (a,f(a)) con tangente horizontal.

   Puntos singulares

                 E  
   sg f'(x) -----|-----> 
                 a
   

   Si la derivada primera no existe en un punto en que la función sí existe, se dice que la función presenta un punto singular.
   Para averiguar qué tipo de punto singular es, se deben calcular los límites laterales de la derivada primera en ese punto.
   

   • lim f'(x) ≠ lim f'(x) 
     x->a+       x->a- 
     

     (los dos finitos y diferentes o a lo sumo uno de ellos infinito.)La función presenta un punto anguloso en x=a.
     Las tangentes laterales en el punto son diferentes.
     Sus ecuaciones son:
     

     y = f'(a)(x-a) + f(a)
         ----
         lim f'(x) y lim f'(x)
     	x->a+       x->a- 
     

   • lim_x->a+ f'(x) y lim_x->a- f'(x) son infinitos de distinto signo (la tangente en dicho punto es vertical).
     La función presenta un punto de retroceso en x=a.
     Estos puntos también son un máximo o un mínimo.
   • lim_x->a+ f'(x) y lim_x->a- f'(x) son infinitos de igual signo.La función presenta tangente vertical y es creciente o decreciente.
        El punto se llama punto de inflexión con tangente vertical.
   Continuemos con el ejemplo.
   

   f(x) = xe(x+1)/(x-1)
   
                                    ( x-1-(x+1) )
   f'(x) = e(x+1)/(x-1) + xe(x+1)/(x-1)------------- =
                                        (x-1)2
   
               -2x          e(x+1)/(x-1)(x2 - 4x + 1)
   e(x+1)/(x-1)(----- + 1) = ------------------------
              (x-1)2                (x-1)2
                            __	
          ______       4+2\|3         __ ~
   4 +- \|16 - 4    / ------- = 2 + \|3  = 3,73
   ------------- = /     2
         2         \      __ ~
                    \ 2-\|3  = 0,27
   
          crec max  dec   dec  min crec
            +   0   -   E   -   0   +	             
   sg f' -------|-------|-------|------->   
                  __              __ 
              2-\|3     1     2+\|3
                    __
   Máximo en (2 - \|3, 0,047)
                    __  
   Mínimo en (2 + \|3, 21,1)
   

   Dibujemos ahora esos extremos:
   

6. Derivada segunda

   Se halla la derivada segunda y luego se hallan sus ceros y signo.
   

   Concavidad

   + + sg f'' --------> Si el signo de la derivada segunda es positivo, la función presenta concavidad positiva.
   - - sg f'' --------> Si el signo de la derivada segunda es negativo, la función presenta concavidad negativa.

   Puntos de inflexión con tangente oblicua

   - 0 + sg f'' ----|----> a
   + 0 - sg f'' ----|----> a

   Ecuación de la tangente: y = f'(a)(x-a) + f(a)
   Por más información, ver la página sobre concavidad.
   En el ejemplo:
   

                       (8x - 4)      
   f''(x) =  e(x+1)/(x-1)-------
                        (x - 1)4       
   
            -  0  +  E  +
   sg f'' -----|-----|----->
              1/2    1			   
   
          ~  	   
   f(1/2) = 0,025
           ~
   f'(1/2) = -2,15
   
   y = -2,15(x-1/2) + 0.025 = -2,15x + 1,1
   

   
   Finalmente, dibujemos el punto de inflexión:
   
   Veamos ahora la gráfica exacta de la función: