AMIGOS PARA SIEMPRE: Apuntes de matemáticas

domingo, 17 de abril de 2016

Apuntes de matemáticas

INTEGRALES DE FUNCIONES

Definición de integral definida de una función

Sea f(x) una función definida en un intervalo I=[a, b], supongamos que esta función sea contínua en todo el intervalo I, entonces....

Se llama integral definida (en sentido de Riemann) de f(x) entre a y b:

* Propiedades inmediatas:

Sin más que considerar el significado geométrico de la integral como suma de áreas infinitesimales, las siguuientes propiedades son todas ellas obvias:

1) Para un intervalo de un solo punto [a, a]:

2) Para un intervalo [a, b]:

3) Si tenemos una constante, k , multuplicando a f(x), ésta puede ser extraída del símbolo integral:

4) Para dos funciones f(x) y g(x) definidas en el mismo intervalo [a, b]:

Lo cual suele exponerse diciendo: "la integral de una suma de funciones es la suma de las integrales de las funciones". Y si consideramos además la propiedad (3) con k=-1, podemos añadir: "la integral de una resta de funciones es la resta de las integrales de las funciones".

5) Si el punto c es un punto intermedio del intervalo [a, b] , es decir, a, entonces:

Visitad la página Construction of the Riemann Integral para una mejor explicación del sentido geométrico de la integral.

9. 2 Regla de Barrow para integrales definidas

Sea f(x) una función continua e integrable en [a, b] , tal que exista una función g(x) con la propiedad:

g’(x) = f(x)

Entonces, la regla de Barrow indica que:

resultado que abreviadamente suele expresarse:

y a la función g(x) se la llama función primitiva de f(x).

Ejemplo 1: Hallar por la regla de Barrow la integral definida:

Solución: Se trata de hallar una función primitiva de x², para ello nos vale x³/3, puesto que:

entonces se tiene:

9. 3 Integral indefinida

Sea una función integrable en cierto dominio I, se llama integral indefinida de f(x) ,

, al conjunto de todas las primitivas de f(x):

Una vez hallada una primitiva de f(x), tal como g(x), la integral indefinida es g(x) + C, representando por C cualquier constante numérica.

9. 4 Propiedades.

4) Sea f(x) una función integrable, si expresamos la variable x como función de otra variable t, es decir, x=g(t). Y puesto que dx = g’(t) dt, tenemos:

que es la base para el método de integración de cambio de variable.

Tabla de integrales inmediatas (Forma reducida)

Tabla de integrales inmediatas (Forma extensa)

INTEGRALES DE FUNCIONES

* Integrales inmediatas.

Se llaman integrales inmediatas aquellas que están en la tabla de integrales, su solución es inmediata pues se trata sólo de poner el resultado que aparece en la tabla (desgraciadamente a los profesores no nos gusta mucho ponerlas como ejercicios del exámen

Ejemplo 2: Hallemos la integral:

Solución: Sin más que consultar la tabla de integrales:

En ocasiones una integral es inmediata, aunque a algunos no les parezca en principio así, como en el caso siguiente:

Ejemplo 3: Hallemos la integral:

Solución: Hay que tener en cuenta que el integrando no es más que

, por lo tanto tenemos:

También suele llamarse "inmediata" a una integral a la que ha de hacerse un cambio de variable simple tal como x + a = t, como en el ejemplo siguiente:

Ejemplo 4: Hallemos la integral:

Solución: Hacemos (x + 5) = t , y diferenciando los dos miembros de la igualdad: dx=dt. A continuación sustituimos:

* Integración por descomposición.

Se trata de aprovechar la propiedad de linealidad:

De esta manera, siempre que podamos descomponer una integral en varios sumandos lo haremos así.

Ejemplo 5: Hallemos la integral,

Solución: Esta integral puede ser descompuesta en sumandos más simples,

INTEGRALES DE FUNCIONES

* Integrales por sustitución o cambio de variable.

Basado en la expresión:

o expresado de otra manera:

se trata de hacer una sustitución: g(x) = t, a continuación diferenciando la igualdad:

g' (x) dx = dt

para convertir la integral de x en otra integral de t que sea inmediata, o por l menos más sencilla de integrar.

Ejemplo 6: Hallemos la integral

Solución: Podemos observar que cos x es la derivada de sen x, por lo que la sustitución adecuada es: t = sen x, a continuación diferenciamos ambos miembros y: dt = cos x dx, entonces:

Ejemplo 7: Hallemos la integral

Solución: Podemos observar que 1/x es la derivada de ln x, por tanto la sustitución es ln x = t, y diferenciando tenemos dx/x = dt :

Ejemplo 8: Hallemos la integral

Solución: La sustitución adecuada es:

, y diferenc.: d

teniendo en cuenta que dentro de la raíz tenemos

Ejemplo 9: Hallemos la integral,

Solución: Podemos observar que la derivada del denominador es

(1 + x²)' = 2 x

entonces en la integral podemos multiplicar y dividir por 2:

y ahora hacemos la sustitución: 1 + x² = t , 2x dx = dt. O sea,

Ejercicios para el alumno:

Integrales por partes.

Consideremos dos funciones diferenciables e integrables, a partir de ellas puede hallarse una fórmula interesante:

una expresión que tradicionalmente se expresa:

La integración por partes nos permite transformar la integral de la izquierda en otra integral, la del término de la derecha, que sea más sencillade hallar. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 10: Hallemos la integral,

Solución: Todo se basa en hacer una buena elección para u y para dv, en este caso:

es decir:

de aquí, diferenciamos la primera e integramos la segunda:

por lo tanto, aplicando la fórmula de integración por partes tenemos:

en donde la integral del último término es ya inmediata:

Ejemplo 11: Hallemos la integral,

Solución: Se trata de una integral muy similar a la anterior, escojemos:

ahora diferenciamos la primera expresión e integramos la segunda:

sustituimos en la fórmula de integración por partes:

Ejemplo 12: Hallemos la integral,

Solución: Escojemos u y v así:

diferenciamos la primera expresión e integramos la segunda:

sustituimos en la fórmula de integración por partes:

ahora la integral del término de la derecha no es inmediata, pero puede realizarse también por partes, de forma análoga a la del ejemplo 7, su resultado es: