Apuntes de matemáticas

 ESPACIOS EUCLÍDEOS

 Definición de espacio euclídeo.

  Producto escalar en un espacio vectorial.

  Dado un espacio vectorial E sobre R, consideremos la aplicación:

  

  Es decir, a cada par  le asigna un escalar de R,  al cual se le suele representar en la forma:

     .

   Diremos que es un producto escalar (también llamado “producto interno”) si cumple las tres siguientes propiedades:

  Es decir, un producto escalar es cualquier aplicación  f: ExE ---> R que sea bilineal, simétrica y definida positiva.

   CONSECUENCIAS:

   

  Espacio vectorial euclídeo: 

 Un espacio vectorial E, de dimensión n, se llama espacio vectorial euclídeo n-dimensional si en E se halla definido un producto escalar.

   Ejemplo:

   Para el espacio vectorial n-dimensional Rⁿ se puede definir:

   

   Que como fácilmente se comprueba se trata de un producto escalar, llamado producto escalar canónico.

  

   G1. 2  Expresión matricial de un producto escalar.

  Sea E un espacio vectorial de dimensión n, y sea una base de este espacio  .  Una vez conocidos los n productos escalares, , con i, j = 1, ..., n ,   podemos dar una expresión del producto escalar:

   Considerando los dos vectores:                 

  Entonces su producto escalar vendrá expresado por:

    lo cual en notación matricial queda expresado:

                    siendo  G = (g_ij)    i,j = 1,...,n

  La matriz G se llama matriz métrica del producto escalar en la base B.  Se trata de una matriz simétrica definida positiva.

  Atención: La matriz G asociada al producto escalar canónico de Rⁿ es la matriz identidad de orden n.

  G1. 3  Norma de un vector.

  Se llama norma de un vector , representada como , a la raíz cuadrada del producto escalar :

  Como puede apreciarse la norma de un vector es un número real. (Nota:  Hay varias formas de definir la norma de un vector,  aquí nosotros utilizamos la más útil para la geometría).

     Propiedades de la norma:

   

   *  Vector unitario.

    Se dice que un vector es unitario o normalizado si  , es decir, su norma es 1.

  Consecuencia:

  Para un vector cualquiera, ,  supongamos que no sea unitario, siempre podemos extraer un vector unitario de la siguiente manera:

                    

  Ejemplo:

  Sea  Rⁿ con el producto escalar canónico. Para un vector cualquiera  ,  podemos expresar:

   A partir de él podemos extraer el vector unitario:

 

  G1. 4  Coseno del ángulo formado por dos vectores.

.  Sean  dos vectores (no nulos) de un espacio euclídeo E. El ángulo que forman estos dos vectores, ,  queda caracterizado por sucoseno, que por definición es:

  

  *  Cosenos directores.

   Se llaman cosenos directores de un vector ,  en la base     a los cosenos de los ángulos:  para i = 1, 2, ..., n.

 
   G1. 5  Vectores ortogonales y ortonormales.

  Dado un espacio vectorial euclídeo E, se llaman vectores ortogonales aquellos cuyo producto escalar sea nulo:

 Cuando todos los vectores de un sistema  son ortogonales dos a dos, se dice que es un sistema ortogonal.  Si además los vectores del sistema  son unitarios, se dice que es un sistema ortonormal.

  Un sistema ortonormal cumple:

   Ejemplo:

   En Rⁿ con el producto escalar canónico, la base canónica es un sistema ortonormal.

  PROPOSICIÓN:

   Todo sistema ortonormal es libre.

    Demostración:

  Sea S = , un sistema ortonormal. Si S no es libre     no todos nulos tal que 

  Si ahora multiplicamos escalarmente a esta expresión por e_i :

*   Cuando el número de vectores de un sistema ortonormal coincide con la dimensión de E, dicho sistema es una base ortonormal de E.

  G1. 6  Método de ortogonalización de Gram-Schmidt.

  Sea una base cualquiera  , se trata de determinar a partir de ella otra base que sea ortogonal. Se procede de la siguiente manera:

  

 Donde los coeficientes se determinan de tal forma que cada vector v sea ortogonal al resto de vectores.

  De esta manera:

         

  De manera análoga para hallar  se toman las dos condiciones siguientes:

          

                ,     y por tanto:

                    

     De una manera genérica se llega a la expresión:

                        

    Con esto se consigue  una base de vectores ortogonales. Si ahora dividimos a cada uno de ellos por su norma habremos obtenido una base de vectores ortonormales.

   (para i = 1, ..., n) 

   EJEMPLO:

    Sea R³ con el producto escalar euclídeo, y sea la base B = { (1, 1, 0),  (1, 0, 1),  (0, 1, 0) }. A partir de esta base hallemos una base ortonormal por el método de Gram-Schmidt.

    Solución: 

   Simplemente seguimos los pasos arriba indicados:

  A continuación se normalizan estos tres vectores:

  que nos dan los tres vectores de la base ortonormal.

   G1. 7  Subespacio ortogonal.

  Sea E un espacio vectorial euclídeo, se dice que dos subespacios de E, digamos U y V, son ortogonales si cualquier vector de uno de ellos es ortogonal a todos los vectores del otro.

   Dado un subespacio  el conjunto: 

         

   Se llama subespacio ortogonal de U.  Para estos subespacios se cumple que:

  Si además la dimensión de E es finita se verifica también:  .

   G1. 8  Producto mixto.

   Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3 (por ejemplo R³), y sean  cuyas coordenadas sean respectivamente:

           expresados en cierta base ortonormal B.

      Se llama producto mixto al número:

                                                    

    Propiedades:

1. El producto mixto es una forma lineal respecto de cada una de sus tres componentes (forma trilineal), es decir, se cumple:

     2.   El producto mixto es una forma antisimétrica, es decir

     3.    La condición   implica que el sistema  es ligado.

   G1. 8  Producto vectorial.

    Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3 (por ejemplo R³), y sean  dos vectores de E, cuyas coordenadas en una base ortonormal  sean:

         

   Se define el producto vectorial,  ,  como el vector:

                  

    Propiedades:

        

  Producto escalar

Sea E un espacio vectorial (e.v.). Se llama producto escalar a una función real, denotada por < , > y definida en E ´ E, tal que si x, y, z son vectores de E y a es un número real, verifica: 

A.1. < x, y > = < y, x >  (conmutativa)                             

A.2. < x+y, z > = < x, z > + < y, z >  (distributiva)  

       < x, y+z > = < x, y > + < x, z >  (distributiva)

A.3. < ax, y > = a < x, y > (asociativa)                

       < x, ay > = a < x, y > (asociativa)

A.4. < x, x > ³ 0                                 

       < x, 0 > = 0

A5. < x, x > = 0 si, y sólo si, x = 0    

       Si  < x, y > = 0, para todo y, entonces x = 0

         Un espacio vectorial con un producto escalar se dice que es un espacio vectorial euclídeo (espacio euclídeo). El producto escalar es una forma bilineal (por las propiedades A2 y A3) simétrica definida positiva, (por las propiedades A4 y A5).

 

·      Matriz de Gram

             Matriz de Gram del producto escalar respecto de la base B es una matriz cuadrada G cuyos elementos son los productos escalares de los vectores de la base considerada.

  Sea B una base del espacio euclídeo E de dimensión n y G es la matriz de Gram del producto escalar respecto a dicha base. Entonces: 

i). G es simétrica

ii). G es invertible

iii). Si x¹0 es un vector de Âⁿ, entonces   x^TGx > 0

 Nota: Cuando G cumple (iii) se denomina definida positiva.

     Supongamos que B={v₁,v₂,...v_n}  es una base en un espacio vectorial E, donde tenemos definido un producto escalar; la matriz de Gram respecto de B vendrá dada por:

·      Norma o módulo de un vector

           Se llama norma o módulo de un vector x de un espacio euclídeo E, al número real no negativo

  Sea E un espacio vectorial euclídeo. Entonces: 

·                    ççx÷÷ = 0 si, y sólo si, x = 0

·                    ççax÷÷ = ça÷ ççx÷÷      ( ça÷   indica el valor absoluto de a)

·                    ççx + y ÷÷ ²  + ççx - y ÷÷ ²  = 2 (ççx÷÷² + ççy÷÷ ²)

          Se dice que un vector z de un espacio euclídeo E, es normalizado, si

ççz÷÷ = 1

(también se le llama vector unitario).

           Para cada par de vectores x e y de un espacio vectorial euclídeo E, se verifica: 

· çáx, yñ÷ £ ççx÷÷ ççy÷÷                                   (Desigualdad de Cauchy – Schwarz)

           çáx, yñ÷ = ççx÷÷ ççy÷÷    si y sólo si, el conjunto {x, y} es lin. dependiente 

· ççx + y ÷÷ £ ççx÷÷ + ççy÷÷                       (Desigualdad triangular o de Minkowski)

           ççx + y ÷÷ = ççx÷÷ + ççy÷÷ si, y sólo si, x = ay ó y = ax   con a ³ 0.

 

·      Ángulo y distancia entre dos vectores

 ·        Ángulo:

Definiremos el coseno del ángulo que forman dos vectores x e y de la forma siguiente:

 

 ·        Distancia:

Definiremos la distancia entre los vectores x e y de un espacio euclídeo E como sigue:

d (x, y) = ççx - y÷÷   

            Sean x ,y y z vectores cualesquiera de un espacio vectorial euclídeo E

·           d(x, y) ³ 0 

·           d(x ,y) = 0 si, y sólo si, x = y

·           d(x ,y) = d(y, x)

·           d(x, y) £ d(x, z) + d(z, y)      (D. triangular)

Una función que cumple estas cuatro condiciones recibe el nombre de espacio métrico.

·      Ortogonalidad 

  Dos vectores x e y de un espacio euclídeo E se dice que son ortogonales si

áx, yñ = 0

Se denota x    y.

  Un conjunto de vectores {u₁, u₂,..., u_p} de un espacio euclídeo E se dice que es un conjunto ortogonal si

· u_i ¹ 0, para todo i = 1,2,....,p

· áu_i , u_jñ = 0 

Si además todos los vectores están normalizados, hablaremos de conjunto ortonormal. 

  Todo conjunto ortogonal de un espacio euclídeo E es linealmente independiente, pero el recíproco no es cierto.

           Si {u₁, u₂,..., u_p} es una base ortogonal de un espacio euclídeo y x es un vector cualquiera de E, entonces

       Sea {u₁, u₂,..., u_p} un conjunto linealmente independiente de un espacio euclídeo E. Existe un conjunto ortonormal {w₁, w₂,..., w_p} tal que: 

Env {u₁, u₂,..., u_p} =  Env {w₁, w₂,..., w_p}

       Todo espacio euclídeo de dimensión finita no nula admite una base ortonormal. 

·      Subespacio ortogonal

    Sea F un subespacio vectorial de un espacio euclídeo E. Definiremos el subespacio ortogonal a F de la siguiente forma:    

F^{^} = {xÎE: <x,y>=0 para todo yÎF}

· F^{^} es un subespacio vectorial de E.  

· F^{^}  se denomina complemento ortogonal de F.

          Sea F un subespacio vectorial de dimensión finita de un espacio euclídeo E. Si U es una base de F, entonces un vector xΠF^{^} si, y sólo si, x es ortogonal a cada uno de los vectores de la base U.

          Sea F un subespacio vectorial de un espacio euclídeo E de dimensión finita, entonces:    

^·          E = F Å F^{^}

^·          (F^{^})^{^}  = F

^·          dim E = dim F + dim F^{^}

                                            

·      Algoritmo de Gram-Schmidt  

  Sea U = {u₁, u₂,..., u_p} una base de un espacio euclídeo E. Este algoritmo construye una base ortogonal {v₁, v₂,..., v_p} (respectivamente ortonormal: {w₁, w₂,..., w_p}) tal que:   

Env {u₁, u₂,..., u_p} = Env {v₁, v₂,..., v_p}

  ( respectivamente Env {u₁, u₂,..., u_p} = Env {w₁, w₂,..., w_p} )  

etc.

( respectivamente:    )  

·      Proyección ortogonal

        Supongamos que podemos descomponer un vector z de E (e.v. euclídeo) de la forma z = z₁+ z₂, con z₁ en F y z₂ en F^{^.}.

· El vector z₁ se llama proyección ortogonal de z sobre F paralelamente a F^{^}  

(z₁ = proy_F(z)).  

· El vector z₂ es la componente ortogonal de z en F.

   

·        Teorema de la proyección

          Sea F un subespacio vectorial de un espacio euclídeo E de dimensión finita y supongamos que {v₁, v₂,..., v_p} es una base ortogonal de F.

 Si z es un vector de E, se descompone de forma única como       

z = proy_F(z) + z₂

          Una matriz cuadrada T se dice que es una matriz de proyección o matriz idempotente si T² = T.  

·        Teorema de aproximación

Sea F un subespacio vectorial de un espacio euclídeo E de dimensión finita. Si z es un vector de E y z₁, es la proyección de z sobre F paralelamente a F^{^}, entonces  

ççz - proy_F(z) ÷÷  £  ççz - u÷÷

            para todo vector u de F.

Nota: En esta desigualdad se basa la idea de la llamada aproximación por mínimos cuadrados.

·        Matrices ortogonales

Una matriz real Q de orden n se dice que es una matriz ortogonal si sus columnas son vectores ortonormales respecto al producto escalar canónico de Âⁿ.

        Sea Q una matriz de tamaño n´n. Q es ortogonal si, y sólo si,

• Q es invertible, y en tal caso Q^-1=Q^T

• Q^T es ortogonal

      Sus filas son vectores ortonormales respecto al producto escalar canónico de Rⁿ.  

·      Ejercicios resueltos  

1) Dado el producto escalar definido en Â³, de la siguiente forma:

Calcula:

       a)    

       b) La matriz de Gram respecto a la base canónica. (Base canónica es la formada por los vectores {(1,0,0),(0,1,0, (0,0,1)} ).  

       c) La matriz de Gram respecto a la base B ' ={(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}  

       d) La norma de los vectores:

       e) El ángulo que forman los vectores:

        f) Calcula m para que el vector    sea ortogonal a  

        g) Contruye un vector unitario, a partir del vector    

         h) Comprueba la desigualdad Cauchy-Schwarz con los vectores  

 

       Luego la matriz de Gram sería:

  

  

f). Los vectores no pueden ser ortogonales pues su producto escalar es -4.

 

2)  Resuelve el problema 1, pero considerando esta vez el producto escalar canónico en R³:

        

                        

 

 

3).Considera la base de   B={(1,0,2),(0,1,3),(0,0,1)} y el producto escalar canónico. 

    Obtén a partir de ella una base ortonormal.

 

    

Dividiendo cada unos de esos vectores por su módulo obtenemos una base ORTONORMAL.

Si disponemos estos tres vectores en columna obtendremos lo que se denomina una MATRIZ ORTOGONAL (su inversa coincide con la traspuesta)

 

4) Dado el subespacio de R³: H={(x,y,z) | x-y =0, z=0}. 

     Calcula H^{^} y la proyección del vector   de R³ sobre H.