Apuntes de matemáticas

MATRICES

Definición de matriz de números.

   Una matriz  orden (m ´ n)  es un conjunto de m ´ n  números ordenados en una tabla:

en donde podemos apreciar horizontalmente las filas, fila 1: (), fila 2: ( ), etc.  Mientras que verticalmente se habla de columnas: columna 1, columna 2, etc.

  Por tanto, una matriz de orden (m ´ n)  tiene m filas y n columnas. En caso de que el número de filas y el de columnas sea el mismo se habla dematriz cuadrada.

  Las matrices cuadrada tienen dos diagonales, de las cuales sobre un ejemplo vemos la que se llama "diagonal principal" de la matriz:

   Para tratarlas teóricamente las matrices se suelen expresar en forma abreviada así:

es decir, con un nombre propio y dos subíndices, aij, siendo el primer subíndice -en nuestro caso el i- el correspondiente a la fila i-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta m; y el segundo subíndice -en nuestro caso la j- es el correspondiente a la columna j-ésima, cuyo recorrido va desde 1 hasta n. El alumno debe ser muy consciente de este significado de los índices.

  15.2  Operaciones con matrices.

  *  ADICIÓN:

  Sean A y B son dos matrices del mismo orden , entonces la matriz suma S = A + B es:

   es decir, se suman los correspondientes elementos (i,j) de A con los (i,j) de B. Ejemplo:

  *  PRODUCTO POR UN ESCALAR:

    Sea A una matriz y  k un escalar (un número real), entonces la matriz   B =  k A es:

  es decir, se multiplica cada elemento de la matriz A por el número k. Ejemplo:

Considerando esto, podemos hablar de la RESTA de dos matrices A - B, como la suma de A con el producto de (-1)B, lo cual equivale a restar los correspondientes elementos (i,j) de A con los (i,j) de B.

  

  *  PRODUCTO DE MATRICES:

   Sea A una matriz de orden (m ´ n), y B una matriz de orden (n ´ r), entonces la matriz producto, es una matriz  P = A . B   de orden (m ´ r):

     

 (Observe el alumno cómo para obtener el elemento pij, se multiplican cada elemento de la fila i de A por cada elemento respectivo de la columna j de B). Tomemos como ejemplo las matrices  A , tipo (3 ´ 2), y B, tipo (2 ´ 4):

 Así obtenemos   P = A . B,  cuyo resultado es:

en la que se han ido obteniendo los elementos multiplicando fila de A por columna de B (por ejemplo):

  Mejor veámoslo gráficamente:

  Propiedades del producto de matrices:

• El producto de dos matrices de orden (n ´ n), es una matriz tipo (n ´ n).
• En general A . B ¹ B . A  (el producto no es conmutativo)
• El producto es asociativo A . (B . C) = (A . B) . C

 
   15.3  Matrices cuadradas.

  Las matrices cuadradas juegan un papel fundamental en el cálculo matricial. En ellas el número de filas es el mismo que el de columnas:

en este caso hablaremos de "matriz cuadrada de orden n". Dadas dos matrices A y B que sean del mismo orden (orden n, por ejemplo), podemos realizar A+B y A.B, puesto que el producto de dos matrices de orden n es otra matriz de orden n.

  *  Matriz identidad (orden n):

   Es una matriz cuadrada (orden n), representada como In, en la que todos sus elementos son 0, excepto los de la diagonal principal, que son unos:

  Esta matriz cumple la siguiente propiedad:      A . In = In . A = A

es decir, al multiplicarla por cualquier matriz A, vuelve a dar la misma A. En otras palabras, In representa el elemento unitario para el producto de matrices. Teniendo en cuenta ello, puede hablarse de matriz inversa de una matriz dada. 

  En concreto, sea A una matriz cuadrada (orden n), diremos que A es inversible si existe otra matriz B tal que:

A . B = B . A = In 

en este caso, a la matriz B la llamaremos inversa de A, y la representaremos A¯¹, así podremos expresar mejor:

A . A¯¹ = A¯¹. A = In 

  No para toda matriz A puede encontrarse su matriz inversa, enseguida veremos las condiciones que deben cumplir las matrices para serinversibles, antes veamos un repaso de otras matrices notables.

  *  Matrices especiales

   Matriz traspuesta de A:

   (NOTA: El concepto de matriz traspuesta no es exclusivo de matrices cuadradas.) Sea una matriz A de orden (m ´ n), se llama "matriz traspuesta de A", a una matriz, ^tA, de orden (m ´ n), obtenida a partir de A, cambiando filas por columnas. 

  Por ejemplo:

  Las matrices traspuestas tienen especial importancia para matrices cuadradas.

     Propiedades de matrices traspuestas:

    1.  ^t(^tA) = A
    2.  ^t(A + B) = ^tA + ^tB
    3.  ^t(A . B) = ^tB . ^tA

   Matriz simétrica:

   Una matriz A es "simétrica" si coincide con su traspuesta, es decir si:  A = ^tA. Por ejemplo:

Observe cómo los elementos en posiciones simétricas, respecto de la diagonal principal, son iguales.

    Matriz antisimétrica:

   Una matriz A es "antisimétrica" si su opuesta coincide con su traspuesta, es decir si :  -A = ^tA. Por ejemplo:

Observe cómo los elementos en posiciones simétricas, respecto de la diagonal principal, son iguales pero con signo opuesto. Los elementos de la diagonal principal son todos 0 (son iguales a sí mismo con signo opuesto)

  Matriz ortogonal:

  Una matriz A es "ortogonal" si su inversa es igual a su transpuesta, es decir: A¯¹ = ^tA. En este caso, también se tiene que: A . ^tA = In .

  15.4  Matriz inversa de una matriz cuadrada.

   Antes de comenzar el alumno debería repasar el tema de determinantes, en especial la cuestión sobre menores complementarios y adjuntos.

   Sea la matriz cuadrada:

si su determinante, |A|, es no nulo, entonces diremos que la matriz A es inversible, es decir, existe una matriz inversa, A¯¹ , tal que:

A . A¯¹ = A¯¹. A = In

  Es posible comprobar que la matriz inversa de una matriz inversible A es:

siendo los Aij los adjuntos de los elementos de la matriz, pero ATENCIÓN: Observe como  la matriz de arriba está formada por la transpuesta de los adjuntos de los elementos de A. A (esa matriz suele llamarse "traspuesta de la adjunta de A" es decir: ^tA*).

  Vamos a hallar, como ejemplo, la inversa de la matriz:

teniendo en cuenta que su determinante es, |A| = -49, y por tanto A es inversible, pasamos a hallar los adjuntos: 

y por tanto, la matriz inversa de A es:

El alumno puede comprobarlo haciendo el producto A . A¯¹ y observar que se obtiene la matriz identidad de orden 3.

  15.5  Rango de una matriz (cuadrada o no).

  Sea una matriz (m ´ n):

  

antes de dar la definición de rango de A vamos a ver dos definiciones previas:

  *  Submatriz cuadrada (orden h) de A:

 Es la matriz cuadrada (h ´ h) formada por los elementos comunes a h filas y  h columnas, con h£n,  h£m.

  *  Menores (orden h) de A:

   Son los determinantes de las submatrices cuadradas (orden h) de A. 

  Entonces rango de la matriz A, r(A), es el número que expresa el orden del mayor Menor no nulo de la matriz A. (Atención a la anti-redundancia "mayor Menor" )

   Por ejemplo, veamos el rango de la matriz A:

se tiene que r(A) = 3, puesto que al menos hay un menor de orden 3 no nulo:

y por supuesto no es posible tomar menores de orden 4 ó mayores porque sólo hay tres filas.

  El rango de matrices es fundamental para el cálculo algebraico en espacios vectoriales, aplicaciones lineales y en sistemas de ecuaciones lineales.

  Ejercicios para el alumno:

  1) Realizar los productos de matrices siguientes:

    Solución:

  2)   Hallar las matrices inversas de las matrices:

     Solución:

DEFINICIÓN DE MATRIZ
Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.
	Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz  (aij) tiene dos subíndices. El primero  i  indica la fila a la que pertenece y el segundo  j  la columna. Esta es una matriz de  m  filas  y  n  columnas, es decir, de dimensión  m x n.  Esta  matriz también se puede representar de la forma siguiente:  A = (aij) m x n. Si el número de filas y de columnas es igual  ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden  n.

---

2. IGUALDAD DE MATRICES
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales
	Para que las matrices  A  y  B  sean iguales, se tiene que cumplir que  a = 7  y  b = 5.

SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices   A = (aij)   y  B = (bij)  de  dimensión  m x n, la matriz  A + B  es otra matriz  S = (sij)  de la misma dimensión, de modo que cada elemento  sij  de la matriz  S, se obtiene como:  sij = aij + bij.  Es decir, para que dos matrices  A  y  B  se puedan sumar tienen que tener la misma dimensión y, en este caso, se suman los elementos que ocupan la misma posición.
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1ª  Conmutativa:    A + B = B + A 2ª  Asociativa:    ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3ª  Elemento neutro:   0  ( matriz cero o matriz nula ).      0 + A = A + 0 = 0 4ª  Elemento simétrico:  - A   ( matriz opuesta de A ).      A  + ( -A ) = ( -A ) + A = 0 La opuesta de la matriz  A  se obtiene cambiando de signo todos los elementos de la matriz  A:  - (aij) = (-aij).

---

5. DIFERENCIA DE MATRICES
La diferencia de matrices es un caso particular de la suma. Restar dos matrices es lo mismo que sumarle a la primera la opuesta de la segunda:  A - B  =  A + ( -B ).
	Dadas  dos  matrices   A = (aij)   y  B = (bij)  de  dimensión  m x n,  la matriz  A - B  es otra matriz  D = (dij)  de la misma dimensión, de modo que cada elemento  dij  de la matriz  D, se obtiene como:  dij = aij - bij.

---

6. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL  POR UNA MATRIZ
Dado un número real  k  y una matriz  A = (aij)  de dimensión  m x n,  se define el producto del número real  k  por la matriz  A, como otra matriz  P = (pij)  de la misma dimensión que  A, de modo que cada elemento  pij  de  P  se obtiene como:  pij = k.aij.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Sean  A  y  B  matrices de la misma dimensión  y  k  y  h  números reales. Se verifica: 1ª  Distributiva respecto de la suma de matrices:    k . ( A + B ) = k . A + k . B 2ª  Distributiva respecto de la suma de números reales:    ( k + h ) . A = k . A + h . A 3ª  Asociativa mixta (entre números y matrices):   ( k . h ) . A = k . ( h . A ) 4ª  Elemento neutro:  1   ( número real  1 )    1 . A = A PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL  POR UNA MATRIZ Dado un número real  k  y una matriz  A = (aij)  de dimensión  m x n,  se define el producto del número real  k  por la matriz  A, como otra matriz  P = (pij)  de la misma dimensión que  A, de modo que cada elemento  pij  de  P  se obtiene como:  pij = k.aij. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Sean  A  y  B  matrices de la misma dimensión  y  k  y  h  números reales. Se verifica: 1ª  Distributiva respecto de la suma de matrices:    k . ( A + B ) = k . A + k . B 2ª  Distributiva respecto de la suma de números reales:    ( k + h ) . A = k . A + h . A 3ª  Asociativa mixta (entre números y matrices):   ( k . h ) . A = k . ( h . A ) 4ª  Elemento neutro:  1   ( número real  1 )    1 . A = A PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA En cursos anteriores se ha estudiado el producto escalar de vectores, que en el caso de  R2, se definía de la forma siguiente: Si  u = (a , b)  y  v = (c , d)  son dos vectores, su producto escalar es:   u . v = a . c + b . d. De forma análoga, se puede definir el producto de una matriz fila por una matriz columna: Es evidente que el número de elementos de la matriz fila tiene que ser igual al número de elementos de la matriz columna 8. PRODUCTO DE MATRICES El producto de matrices no está definido en todos los casos. Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número defilas de la segunda matriz, es decir, si la matriz  A = ( aij )  tiene dimensión  m x n   y la matriz  B = ( bij )  tiene dimensión  p x q,  para que se pueda efectuar el producto  A . B  es necesario que  n = p.  Por otra parte, la matriz producto  P = ( pij )  tendrá por dimensión  m x q, es decir, el número de filas de la matriz  A  y el número de columnas de la matriz  B. Cada elemento  pij de la matriz  P  se obtiene multiplicando la fila  i  de la matriz  A  por la columna  j  de la matriz  B, siguiendo el procedimiento descrito en el punto anterior. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Sean  A, B  Y  C  matrices. Siempre que sea posible efectuar los productos indicados, de acuerdo con la condición anterior, se verifica: 1ª  Asociativa:    ( A . B) . C = A . ( B . C ) 2ª  Elemento neutro:   I   ( matriz identidad o unidad )       A . I = I . A = A 3ª  Distributiva respecto de la suma de matrices:   A . ( B + C ) = A . B + A . C 4ª  El producto de matrices no es, en general, conmutativo:  A . B  ≠  B . A 5ª  Matriz Inversa:  Dada una matriz cuadrada  A, si existe otra matriz  B  que verifique  A . B  =  B . A = I  (matriz identidad), entonces se dice que  B  es la matriz inversa de  A  y se representa por  A-1.     ( A . A-1 = A-1 . A = I )  RANGO DE UNA MATRIZ En cursos anteriores se ha estudiado la dependencia e independencia lineal de vectores. Recordemos algunas nociones: 1º En  R2  dos vectores  u = (a , b)  y  v = (c , d)  son linealmente independientes cuando no son proporcionales, es decir, no existe ningún número real  β  que verifique:  u = β . v. Ejemplo:  u = (3 , 5)   y   v = (9 ,  6)  son linealmente independientes puesto que no son proporcionales. 2º En  R2  dos vectores  u = (a , b)  y  v = (c , d)  son linealmente dependientes cuando son proporcionales, es decir, existe un número real  β  que verifica:  u = β . v. Ejemplo:  u = (3 , 5)   y   v = (9 ,  15)  son linealmente dependientes puesto que son proporcionales:  v = 3 . u 3º En  R3  tres vectores  u = (a , b, c),   v = (r , s , t)   y   w = (x , y , z)  son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes, es decir, no existen números reales  δ  y  β  que verifiquen: u = δ . v + β . w.  Ejemplo:  u = (1 , 2 , 3),   v = (3 , 5 , 7)  y   w = (4 , 6 , 5)  son linealmente independientes puesto que no existen números reales    δ  y  β  que verifiquen:  u = δ . v + β . w. Si existieran tales números se cumpliría: (1 , 2 , 3) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5),  es decir,  (1 , 2 , 3) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o lo que es lo mismo: 1 = 3δ + 4β;   2 = 5δ + 6β;   3 = 7δ + 5β;   pero este sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas es incompatible, es decir, no tiene solución, lo que es equivalente a decir que no existe los números  δ  y  β   que verifiquen esa igualdad 4º En  R3  tres vectores  u = (a , b, c),   v = (r , s , t)   y   w = (x , y , z)  son linealmente dependientes cuando alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes, es decir, existen números reales  δ  y  β  que verifican:  u = δ . v + β . w. Ejemplo:  u = (18 , 28 , 29),   v = (3 , 5 , 7)  y   w = (4 , 6 , 5)  son linealmente dependientes puesto que existen números reales  δ  y  β  que verifican:  u = δ . v + β . w. (18 , 28 , 29) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5),  es decir,  (18 , 28 , 29) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o lo que es lo mismo: 18 = 3δ + 4β;   28 = 5δ + 6β;   29 = 7δ + 5β;    Resolviendo este sistema se obtiene:  δ = 2   y  β = 3.  Por lo tanto: (18 , 28 , 29) = 2 . (3 , 5 , 7) + 3 . (4 , 6 , 5) 5º En general, un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes y es linealmente dependiente cuando sucede lo contrario, es decir, cuando alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás. En una matriz se puede considerar que las filas (o las columnas) son vectores. Se llama rango de una matriz  A  al número de filas  (o columnas) linealmente independientes. Se representa por rg (A). En cualquier matriz el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes. El valor máximo que puede tener el rango de una matriz es el menor de los números correspondientes al número de filas y columnas, es decir, si una matriz tiene dimensión  3 x 5, el valor máximo que puede alcanzar el rango de dicha matriz es  3  ( pues 3 = mínimo {3 , 5} ). La matriz  A  tiene rango  3  puesto que ninguna fila o columna se puede poner como combinación lineal de las restantes. En cambio, la matriz  B  tiene rango  2,  ya que las dos primeras filas no son proporcionales, pero la tercera fila es igual a la segunda fila menos el doble de la primera fila, por lo que no puede tener rango  3, ya que la tercera fila es combinación lineal de las otras dos. 10. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS El método de Gauss para calcular el rango de la matriz consiste en transformar, mediante determinadas operaciones, la matriz dada en otra, de modo que el elemento  a11 sea distinto de cero, pero todos los de la primera columna que están por debajo sean ceros; el elemento a22 también tiene que ser distinto de cero y todos los de la segunda columna situados por debajo tienen que ser nulos; el elemento  a33 tiene que ser distinto de cero pero todos los elementos de la tercera columna situados por debajo tiene que ser ceros; y así sucesivamente. El proceso termina cuando el elemento  ann  sea distinto de cero y no tenga otros elementos debajo. Durante el proceso se eliminarán las filas o columnas con todos sus elementos nulos. El rango de la matriz será el número de filas con algún elemento distinto de cero. Las operaciones que se pueden realizar en una matriz sin que varíe su rango son: a) Permutar dos filas o dos columnas. b) Multiplicar o dividir todos los elementos de una fila o columna por un número real distinto de cero. c) Sumarle a una fila (o columna) otra paralela a ella. d) Sumarle a una fila (o columna) otra paralela a ella multiplicada por un número. e) Suprimir las filas o columnas cuyos elementos sean todos nulos. f) Suprimir una fila (o columna) proporcional a otra. En el caso más sencillo de que la matriz sólo tenga dos filas (o dos columnas), será suficiente comprobar si dichas filas (o columnas) son proporcionales. Si son proporcionales el rango es  1  y si no lo son el rango es  2. La siguiente escena describe el proceso a seguir a través de un ejemplo: El rango de la matriz  A es  2  pues las filas no son proporcionales. El rango de la matriz  B  es  1, ya que las filas son proporcionales. La segunda fila es igual a la primera multiplicada por  3. El rango de la matriz  C  es  4. Podría ser la matriz obtenida al aplicar el método de Gauss. Se muestra una matriz escalonada (en la primera fila no hay ceros, en la segunda hay uno, en la tercera dos ...) en la que las cuatro filas tienen elementos distintos de cero.