Apuntes de matemáticas

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 

Definición.

   Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas  (en R):

   {1}

   Nuestra tarea es resolverlo, aunque como paso previo necesitamos conocer si hay una solución única, si no hay solución o si hay infinitas soluciones. Para ello se suele hacer uso de matrices:

  *  Matrices asociadas al sistema:

   La matriz de los coeficientes:    

   La matriz de los términos independientes:  

   La matriz de las incógnitas:       

  Definidas estas matrices el sistema puede ser expresado:

M . X = B    {2}

  Es sobre este sistema matricial sobre el que llevaremos nuestras indagaciones.

  16. 2  Sistema de Cramer.

  Un sistema del tipo {2} se llama Sistema de Cramer si cumple las siguientes condiciones:

   1)  n = m  (la matriz M es cuadrada) .
   2)  La matriz M es inversible .

   En este caso siempre existe solución única:   

X = M^-1 . B   {3} 

   Aunque para el sistema de Cramer suele darse una solución más sencilla (computacionalmente):

   Teniendo en cuenta que

 Siendo Mij los adjuntos de los elementos de la matriz M. Entonces:

 y si ahora tenemos en cuenta que:

 Los valores de la solución se pueden computar así:

 {4} 

  Un ejemplo: 

   Sea el sistema lineal

2 x +  y  - 3 z  = 5
3 x - 2 y  +2 z  = 5
5 x – 3 y  -   z  = 16

comprobar que es un sistema de Cramer y resolverlo.

  Veamos las tres matrices implicadas:

la tercera matriz es la matriz X de las incógnitas.

  Como el determinante de la matriz M es 23, y la matriz M es cuadrada, podemos decir que es un sistema de Cramer. Cuya solución es:

  16. 3  Clasificación de sistemas lineales.

   Sea un sistema de ecuaciones lineales, en su forma general de m ecuaciones con n incógnitas:

   {5} 

  Consideraremos las dos siguientes matrices:

  La matriz M* es la llamada matriz ampliada, se trata de la matriz de coeficientes M a la que se ha añadido la columna de los términos independientes.

   *  Teorema de Rouche-Frobenius.

  Sea un sistema lineal (de m ecuaciones con n incógnitas), el teorema de Rouche-Frobenius dice que:

  I) Sistema compatible (hay soluciones)  r(M) = r(M*)

  II)  Sistema incompatible (no hay soluciones)  Û  r(M) ¹ r(M*).

  En el caso concreto de un sistema compatible tenemos:

   a)      Sistema compatible determinado:  r(M) = r(M*) = n

         --- entonces la solución del sistema es única ---

   b)     Sistema compatible indeterminado:  r(M) = r(M*) = h < n

          --- solución dependiente de n-h parámetros  ---

    En este último caso, supongamos la existencia de un menor de orden h, tal que:

     {6} 

   En este caso el sistema {5} será equivalente a:

  {7} 

 en donde se han suprimido las n-h ecuaciones cuyos coeficientes no intervienen en {6}.

  El sistema {7} puede ser expresado en la forma:

       {8}

  Y éste es un sistema de Cramer, que puede ser resuelto según las expresiones {4}.

   *  Sistema lineal homogéneo:

    Se trata de una caso especial del  {4} en que los términos independientes son todos nulos, es decir:

   Este sistema admite siempre la solución trivial:

  Una solución que tiene escaso valor práctico, por lo que es deseable que el sistema tenga infinitas soluciones además de la trivial.

  En concreto el sistema tiene infinitas soluciones si r(M) < n (caso II-b)

Método de sustitución

Método de reducción

Método de igualación

 sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).

Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones.

Tipos de solución

Consideremos un sistema como el siguiente:

En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:

Sistema compatible

Si admite soluciones.

La compatibilidad de un sistema se determina a partir del determinante de la matriz 2x2 que constituye el sistema o equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y la segunda.

Sistema compatible determinado

Si admite un número finito de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solución al sistema.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es compatible determinado cuando:

En el ejemplo de la figura, dado el sistema:

Podemos ver, que:

Lo que da lugar a que las dos rectas se corten en un punto, de valores:

siendo esta la solución del sistema.

Sistema compatible indeterminado

El sistema admite un número infinito de soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solución del sistema.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es indeterminado si:

Por ejemplo con el sistema:

Se puede ver:

Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.

Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

Tomando la x como variable independiente, y la y como variable dependiente, según la expresión anterior, asignando valoras a x obtendremos el correspondiente de y, cada par (x, y), así calculado será una solución del sistema, pudiendo asignar a x cualquier valor real.

Sistema incompatible

El sistema no admite ninguna solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas y no tienen ningún punto en común porque no se cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna solución en común.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es incompatible si:

Por ejemplo, dado el sistema:

Se puede ver que:

La igualdad:

Determina la proporcionalidad entre las incógnitas, dos rectas paralelas, pero la diferente proporcionalidad con los términos independientes determina un corte con el eje y disiento, y dos rectas paralelas no se cortan en ningún punto. Dando lugar a la incompatibilidad de las soluciones.

Análisis de tipos

Para poder determinar si, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, corresponde a uno de esos casos, podemos ver, según lo visto anteriormente, el siguiente criterio, partiendo del sistema:

Podemos aplicar el siguiente árbol de decisión, para determinar el tipo de sistema que es:

Para ello, comparamos en primer lugar la relación entre los coeficientes de las incógnitas, si la relación entre los coeficientes de la x y la y es el mismo, el sistema es compatible indeterminado o incompatible, si este coeficiente también es igual a la relacione entre los términos independientes el sistema es compatible indeterminado, y si es distinto en incompatible. Si la relación entre los coeficientes de la x y la y son distintos el sistema es compatible determinado.

Este criterio es equivalente al análisis de los determinantes de las ecuaciones, aplicado a un sistema de dos ecuaciones.

Métodos de resolución

Partiendo de un sistema lineal compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Si el sistema anterior es compatible y determinado, entonces resolver el sistema consiste en encontrar los valores de x y de y que satisfacen las dos ecuaciones simultáneamente.

Podemos diferenciar dos tipos de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, los básicos, basados en operaciones algebraicas encaminados a despejar el valor de cada una de las incógnitas, y los avanzados, basados en propiedades de los sistemas que determinan los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema.

Dentro de los métodos básicos, están el de reducción, igualación y sustitución que mediante distintas operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del sistema. Si el sistema fuera incompatible o compatible indeterminado los métodos anteriores no conducen a una solución del sistema.

Entre los métodos avanzados están Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-Jordan, y mediante la Matriz invertible, entre otros; estos métodos son más sofisticados que los básicos y son necesarios conocimientos de Álgebra lineal en ocasiones elevados, y destinados a la resolución de sistemas de gran dimensión con gran número de ecuaciones que dan lugar, normalmente, al empleo de ordenadores para realizar las operaciones necesarias.

Aquí veremos la Regla de Cramer en su forma para dos ecuaciones con dos incógnitas, como complemento a las formas básicas de resolución.

Método de reducción

El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.

tenemos como ejemplo el sistema:

En este caso la x, ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo; podemos sumar las dos ecuaciones directamente:

como resultado de la suma tenemos una sola ecuación con una incógnita:

despejando la y, tenemos:

que haciendo la operación da:

Para calcular el valor de x, sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones, por ejemplo la primera:

despejando x, tenemos:

que realizando la operación da como resultado:

el resultado del sistema es el valor de x e y que satisface las dos ecuaciones simultáneamente, que como ya sabíamos es:

En este caso era muy fácil dado que la x ya tenía el mismo coeficiente cambiado de signo en una y otra ecuación. Podemos resolver el mismo sistema, pero esta vez eliminando la y:

vemos el coeficiente de la y de la primera ecuación es 1 y el de la segunda, 2; si multiplicamos la primera ecuación por 2, y la segunda la cambiamos de signo, tendremos:

con lo que tenemos que la y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo. Sumando las dos ecuaciones:

así tenemos una ecuación con una incógnita:

despejando la x:

el valor de x que obtenemos es:

para calcular y sustituimos el valor obtenido de x en una de las ecuaciones, la primera de ellas por ejemplo:

que despejando la y tendremos:

con lo que tenemos:

Como puede verse en el ejemplo resuelto, el método de reducción consiste en operar el sistema de modo que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones pero cambiado de signo; al sumar las dos ecuaciones el sistema se reduce a una ecuación con una incógnita que despejamos. Con este valor sustituido en una de las ecuaciones iniciales calculamos la segunda incógnita. Es indistinto que se haga con la x o con la y, en los dos casos obtendremos el mismo resultado.

Método de igualación

El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda. Aprovechando el mismo ejemplo anterior, veamos cómo se resuelve por igualación:

despejamos en las dos ecuaciones una de las incógnitas, por ejemplo la x:

el valor de x ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por lo tanto tenemos:

Pasando todos los términos con y a un miembro de la ecuación, y los términos independientes al otro:

Operando tenemos:

Con lo que tenemos el valor de y. Sustituyendo este valor en la primera ecuación y despejada la x, tenemos que si:

Resulta que x vale:

la solución del sistema es:

Como puede verse, el método de resolución del sistema de ecuaciones no afecta al resultado, porque todos ellos nos llevan a la solución. Veamos qué pasaría si en este mismo sistema, en vez de despejar la xpara después igualar, hubiéramos despejado la y:

la y vale lo mismo en una ecuación que en la otra, por lo que podemos igualar:

operando:

con lo que ya tenemos el valor de x, sustituyendo este valor en la primera ecuación despejada la y tenemos:

luego y valdrá:

Si en lugar de en la primera ecuación lo hiciésemos en la segunda el resultado sería el mismo:

que resultaría:

Como puede verse, podemos resolver el sistema independientemente de qué incógnita despejemos primero o en qué ecuación sustituyamos después su valor, por lo que podemos hacerlo del modo que nos resulte más cómodo, según los coeficientes que tengan las incógnitas.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar así a una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuación despejada y calculamos la segunda incógnita.

Empleando el mismo ejemplo de sistema veamos cómo se resolvería por el método de sustitución:

podemos despejar cualquiera de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones. Probemos primero despejando la x de la primera ecuación:

si ahora sustituimos el valor de x despejado de la primera ecuación en la segunda, tenemos:

resultando una sola ecuación en y, que podemos resolver:

con lo que ya tenemos el valor de y. Con este valor de y en la primera ecuación, despejamos la x:

que resulta:

la solución del sistema es, por tanto:

Naturalmente habríamos llegado a la misma solución, despejando tanto la x como la y en cualquiera de las dos ecuaciones y sustituyéndola en la otra ecuación.

Veamos cuál sería el resultado si despejáramos la y de la segunda ecuación:

si ahora sustituimos el valor despejado de y de la segunda ecuación en la primera:

resultando una sola ecuación de primer grado con la incógnita x, que resolvemos así:

con lo que tenemos el valor de x. Para calcular y sustituimos este valor en la segunda ecuación despejada en y:

con lo que tenemos:

Con lo que obtenemos el mismo resultado: el sistema solo tiene una solución y todos los caminos nos llevan e ella, porque el método de resolución no afecta el resultado, sólo a las operaciones que hay que hacer para encontrarla.

Regla de Cramer

La Regla de Cramer es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el calculo de determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Aquí sólo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, sin entrar a discutir el origen de este método. Primero veremos un caso general y luego resolveremos un ejemplo.

Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:

La matriz de los coeficientes de las incógnitas son una tabla de 2*2 en la que se encuentran los coeficientes de las incógnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la primera ecuación y en la segunda, los de la segunda ecuación. En la primera columna los de la primera incógnita y en la segunda, los de la segunda incógnita.

El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo:

El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un escalar E, que depende de los términos de la matriz y el lugar donde estén situados:

En el caso de una matriz de 2*2, tenemos que es el producto de los términos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria:

Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su calculo hay que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal.

Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de ecuaciones lineales, el valor de cada incógnita es la relación que existe entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas, donde se ha sustituido la columna de la incógnita a resolver por la columna de términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas.

Así si partimos del sistema:

Tendremos que las incógnitas valdrán:

Desarrollando los determinantes tendremos las operaciones a realizar para calcular la x:

y para el calculo de la y:

Hay que señalar que si el determinante de los coeficientes de las incógnitas vale cero:

el sistema es incompatible o compatible indeterminado, y sólo será compatible determinado si este determinante es distinto de cero.

Como ejemplo vamos a resolver el sistema:

Calculamos primero la x:

y ahora calculamos la y:

Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es:

Solución de un problema

La resolución de un sistema de ecuaciones no es una tarea en sí misma, sino que forma parte de la resolución de un problema, teórico o práctico. Veamos como, partiendo de un problema expresado de modo textual, podemos transcribirlo a ecuaciones y luego resolverlo.

El problema es:

En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y patos hay?

Tenemos un problema expresado textualmente. Para resolverlo tenemos que pasarlo a forma de ecuaciones, por lo que tenemos que determinar:

1. Cuáles son las incógnitas.
2. Qué relación hay entre ellas.

En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de conejos y el número de patos. Llamaremos x al número de conejos e y al número de patos:

Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza. Por tanto: el número de conejos por una cabeza, más el número de patos por una cabeza también, tienen que sumar 18:

Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólo tienen dos. Por tanto: el número de conejos por cuatro patas cada uno, más el número de patos por dos patas, tienen que sumar 52:

La cuestión es: qué valores de x e y cumplen las dos ecuaciones al mismo tiempo; esto es, las dos ecuaciones forman un sistema y el valor de la x y de la y es la solución de un sistema de dos ecuaciones:

Ya tenemos el sistema de ecuaciones perfectamente representado, primero veremos que clase de sistema es, y si admite solución o no, podemos ver que:

Luego el sistema es compatible determina, por lo que tendrá una única solución y podemos solucionarlo por cualquiera de los métodos ya vistos. Por ejemplo, el de reducción.

Todos los coeficientes de la segunda ecuación son pares y por tanto divisibles por dos:

Si ahora la primera ecuación la cambiamos de signo, (multiplicándola por -1), tendremos:

sumamos las dos ecuaciones:

Con lo que tenemos que x= 8. Sustituyendo este valor en la primera ecuación, tenemos:

con lo que ya tenemos la solución del problema:

Podemos comprobar estos resultados en el enunciado del problema para comprobar que son correctos.

En resumen: partiendo de un problema en forma de texto, hemos identificado las incógnitas y hemos establecido las relaciones que hay entre ellas, dando lugar a un sistema que tiene tantas ecuaciones independientes como incógnitas. Resuelto el sistema, tenemos la solución, que podemos comprobar que es correcta en el texto original.